181勾股定理第二课时1

解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km
根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2
D
15
A xE
C
10
B
25-x
BC2+BE2=CE2 又 ∵ DE=CE
∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x)2
∴ X=10
答：E站应建在离A站10km处。
例3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题
a:b:c=1:√3:2
a= 5 cm时求b=？c=？ c= 6 cm时求b=？a=？
（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为 2m ，求AC长．
A
D
1m
B
2m
C
在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：
AC AB2 BC 2 12 22 5
（3）有一个边长为50dm 的正方形洞口， 想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径 至少多长？（结果保留整数）
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
C
BE
在Rt△DCE中，
∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52
∴CE＝1.5m
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端B不是外移0.4m
勾股定理的各种表达式：
在RT△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C
—2
活动1
勾股定理：直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方．
如果在Rt△ ABC中，∠C=90°,
那么 a2 b2 c2 .
B
ac
C bA

上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，
沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A
A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
C
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329, ∴AB=73cm.
B
6.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他
的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，
能通过，所以只能考虑斜着.观察可以发现 AC
的长度是斜着能通过的最大长度，所以只要
AC的长大于木板的宽就能通过.
A
B
1m
解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
D
C
A
B
2m
得AC2=AB2+BC2=12+22=5，
所以AC 5 2.24 .
因为AC的长大于木板的宽2.2m,
所以木板能从门框内通过.
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第 十七章 勾股定理
第十七章
17.1
勾股定理
勾股定理
第二课时
学习目标
1
会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点）
2
能从实际问题中抽象出勾股定理的数学模型，并能利用
勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，进一步
求出未知边长. (难点）
新课导入
知识回顾
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

角三角形,应用勾股定理求解; (2)构建方程应用:题中虽有直角三角形,但已知线段的长不完全是直角
三角形的边长,可通过设未知数,列 方程 ,解答计算问题;
(3)实际问题建模应用:将实际问题转化为数学问题,构造直角三角形, 利用勾股定理解决数学问题,从而得到实际问题的答案.
第2课时 勾股定理的应用
在△ABC 中,AB=15,AC=13,BC 边上的高 AD=12,求△ABC 的周长. 田甜同学的解题过程如下: 解:如图 18-1-5,在 Rt△ACD 和 Rt△ABD 中,
第2课时 勾股定理的应用
【归纳总结】折叠问题中求线段长的方法: (1)设一条未知线段的长为x (一般设所求线段的长为x); (2)用已知数或含x的代数式表示出其他线段的长; (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程; (4)解这个方程,从而求出所求线段的长.
第2课时 勾股定理的应用
图18-1-2
第2课时 勾股定理的应用
[解析] 本题要解决的问题是已知 AB=A1B1=2.5 米,BC=0.7 米,A1A=0.4 米, 求 B1B 的长. 在 Rt△ACB 中,∵AB=2.5 米,BC=0.7 米,
∴AC= ������.������������-������.������������=2.4(米). ∵A1A=0.4 米,∴A1C=AC-A1A=2.4-0.4=2(米).
图18-1-5
第2课时 勾股定理的应用
[反思] 不同意.原因是她只考虑了 BC 边上的高 AD 在三角形内部 的情况,忽略了 BC 边上的高 AD 在三角形外部的情况.正确的解法 如下:若 BC 边上的高 AD 在△ABC 内部,如图①. 在 Rt△ACD 和 Rt△ABD 中, 由勾股定理分别求得 CD= ������������������-������������������= ������������������-������������������=5,

B
A
C D
7cm
想一想
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正 方形,求下列图中字母所表示的正方形的面 积
A =625
225
400
81
B =144
225
议一议
以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个 等边三角形的面积之间有什么关系？
F
A
D
C
B
E
例3 、已知△ABC中, ∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=C
答:两孔中心A,B之间的距离为13mm
求下列图中字母所代表的正方形面积：
A 32
60
81
B 225
你能用刻度尺和圆规，在数轴上作一条线段，使它
的长度为 吗？2
3呢？ 温馨提示：先考
C
23
虑构造Rt△，把
无理数作为Rt△
2
的直角边或斜边 1
1B
1
A
D
2
AD=BC= 3
例2、 如图所示是一个长方形零件的平 面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之 间的距离单位:毫米
在RtΔABC中，根据勾股定理： AB2＝BC2-AC2＝602-202 ＝ 3200 所以，AC＝ 3200 ≈ 57 A，B两点间的距离约为57
尝试应用
3、 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB，若 BC=15，AC=20，求AB的长
提示：
根据面积先求CD=
，在
Rt△BCD中，利用勾股定理求得BD=
孔中心A、B之间的距离。单位：mm
4
解:过A作铅垂线,过B作水平
线,两线交于点C,则∠C =90
A
。AC=9-4=5mm, BC=16-4=12mm

A
图（1）
C 图（2）
B
2.小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图 （1），当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚 好接触地面，如图（2），你能帮他们把旗杆的高度和 绳子的长度计算出来吗？请你与同伴交流并回答用的 是什么方法.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°，a:b=3:4, c=15,求a、b.
复习导入：
1.勾股定理的内容是什么？
如果直角三角形两直角边分
别为a，b，斜边为c，那么
a 勾
股 b
弦 c
a b c
斜边的平方.
2
2
2
即直角三角形两直角边的平方和等于
强调：勾股定理反映了直角三角形的 三边关系。
2.已知，在RT△ABC中，∠B=90°，a、b、c分别
是三角形的三边，则
（1）c=
做一做：
1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与AB方向成直角的 AC方向上的一点，测得BC=60m，AC=20m。求A，B 两点间的距离（结果取整数）。
A B
方法 小结
C
在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
解决实际
下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂 到了地面,并多出了一段,现在老师想知 道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗? 请你与同伴交流设计方案?
（2）a=
（已知a、b，求c）
（已知b、c，求a）
（3）b=
（已知a、c，求b）
3.锐角三角形、钝角三角形是否满足勾股定理？
例1.如图，有一个圆柱体，半径为2， 高为8，A点有一只小蚂蚁，B点有一粒大米， 它想吃到B点处的米粒，那么它从A点爬到B 点的最短距离是多少呢 ？（π取3）
B
A
B
A
求线段的长度，目前多数需要用勾股定理，这就要求我们学会构建 直角三角形

有重要影响
勾股定理的应用
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理在直角三角形中的应用
勾股定理在圆锥曲线中的应用
添加标题
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勾股定理在斜三角形中的应用
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勾股定理在立体几何中的应用
勾股定理在物理学中的应用
电磁学：计算电场和磁场的 强度和方向
热力学：计算热力学系统的 能量和温度
光学：计算光的折射和反射 角度
勾股定理的推广形式
勾股定理的推广：勾股定理的推广 形式包括勾股定理的平方形式、立 方形式、四次方形式等。
勾股定理的立方形式：勾股定理的 立方形式是指在直角三角形中，直 角边的立方和等于斜边的立方。
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勾股定理的平方形式：勾股定理的 平方形式是指在直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的四次方形式：勾股定理的 四次方形式是指在直角三角形中，直 角边的四次方和等于斜边的四次方。
勾股定理在其他数学领域的应用
勾股定理在几何学中的应用：证明 三角形的性质，如全等、相似等
勾股定理在解析几何中的应用：求 解圆锥曲线的性质，如椭圆、双曲 线等
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添加标题
勾股定理在代数学中的应用：求解 二次方程，如x^2 + y^2 = z^2
勾股定理在微积分中的应用：求解 极限、导数、积分等
练习与巩固
基础练习题
勾股定理的基本概念和公式 勾股定理的应用实例 勾股定理的证明方法 勾股定理的拓展和延伸
提升练习题
勾股定理的基本概念和公式 勾股定理的应用实例 勾股定理的证明方法 勾股定理的拓展和延伸
综合练习题

13 ?
13 ?
13 ?
1
2
3
√
√
思考：根据上面问题你能在数轴上画出表示 13的点吗？
初中数学
画图提高
问题4 长为 13的线段能是直角边的长都为正整数 的 直角三角形的斜边吗？
13
13
13
1
2
3
√
√
初中数学
步骤：
画图提高
1.在数轴上找到点A ，使OA=3; 2. 作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3. 以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴
y
5
4B
3 2 1
A O 1 2345 6 x
初中数学
练一练
如图,在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B （0，4） ， 求这两点之间的距离.
y
答案: AB= OA2 +OB2 = 52 + 42 = 41.
5
4B
3
2 1
A O 1 2345 6 x
初中数学
想一想
问题:如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意两点的坐 标 为（m，0），（0，n），你能求这两点之间的距离 吗？
股定 理后，你能证明这一结论吗？
初中数学
证明“HL”
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C=∠C ′ =90°，
AB=A ′ B ′ ，AC=A ′ C ′ ．求证：△ABC≌△A ′ B ′ C ′ ．
A
A′
C
B C′ B′
初中数学
证明“HL”
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C=∠C ′ =90°，
交 于C点，则点C即为表示 13 的点.

12
3 4 5 ，…
1
12
3
4
5
“数学海螺”
归纳总结
利用勾股定理表示无理数的方法 （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 整数的直角三角形的斜边. （2）以原点O为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数 轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点 右边的点表示是正无理数.
当堂练习
A
B
1m
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5
AC 5 2.24 .
因为AC大于木板的宽2.2m,所 以木板能从门框内通过.
D
C
A
B
1m
2m
例2 如图所示，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直
的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑
0.5问m,题那1么下梯滑子前底梯端子B也底外端移B离0.墙5m吗?
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题.
A
BE 10，CE 10 3
在△ABC中，
AC 2 8100 300,
AC 20 21 20 4.6 92km;
（2）乘客车需时间
t1
80 60
11 3

总结
总结勾股定理的概念、证明和应用
我们将回顾本课的重点信息，以帮助您更好地理解和应 用勾股定理。
强化勾股定理的记忆方式
我们将分享一些强化学习和记忆勾股定理的方法和技巧， 帮助您更好地掌握这个重要的数学定理。
参考书目
• 《数学之美》 • 《勾股定理辅导书》 • 《数学分级教学丛书》
怎样寻找更多的勾股数
我们将介绍寻找勾股数的方法，以及为什么有些勾股数更难找。
勾股数的性质
我们将展示有关勾股数的一些常见性质，例如它们在三角形中如何分布。
习题讲解
1
不同难度的习题讲解
我们将提供一些挑战性习题，并展示如何使用勾股定理解决这些问题。

2
提高对勾股定理的掌握程度
我们将讨论如何通过分析习题解决方法，来提高对勾股定理的理解和掌握程度。
勾股定理的证明
1
对直角三角形进行分析
我们将研究如何对一个直角三角形进行大小分析，为证明勾股定理打下基础。
2
利用各边长的平方和展开式进行证明
我们将展示如何利用各边长的平方和解决这个问题，以证明勾股定理。
3
用几何证明法证明勾股定理
我们将探讨如何通过建立几何辅助图形来证明勾股定理。
勾股定理的应用
解决实际问题中的直角三角形
我们将探究如何将勾股定理应用于解决建筑、测量和 工程等实际问题。
利用勾股定理计算未知边长
从已知边长开始，我们将展示如何利用勾股定理计算 直角三角形的第三个边长。
应用勾股定理求直角三角形的面积
从已知边长开始，我们将证明如何使用勾股定理求出
常见勾股数
3、4、5和5、1 2 、1 3 这样的勾股数
我们将介绍三个常见的勾股数，并解释它们的来源和性质。

世界上几个文明古国相继发现和研究过勾股定理，其证明方法有很多种，有兴趣的同学可以继续研究．
1876 年美国总统 Garfield 证明
刘徽证明
例1 作 8 个全等的直角三角形（2 条直角边长分别为 a，b， 斜边长为 c），再作 3 个边长分别为 a，b，c 的正方形，把它们拼成两个正方形（如图）．你能利用这两个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程．
勾股定理（第2课时）
人教版八年级数学下册
命题如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么_________．
a2＋b2＝c2
如何证明呢？
右图是我国古代证明该命题的“赵爽弦图”．
赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实．
你是如何理解的？你会证明吗？
解：由图可知大正方形的边长为：a＋b，则面积为(a＋b)2，由左图可得 (a＋b)2＝a2＋b2＋4× ，由右图可得 (a＋b)2＝c2＋4× ．根据面积相等，所以 a2 ＋ b2＝c2．
用分割拼接法证明勾股定理，其依据是“分割拼接前后图形的各部分的面积之和不变”．
例2 某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图 1，点 B 是正方形 ACDE 的边 CD 上一点，连接 AB，得到 Rt△ACB，三边分别为 a，b，c，将 △ACB 裁剪拼接至 △AEF 位置，如图 2，该同学用图 1、图 2 的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
解：如图2，连接 BF．在图1中，正方形 ACDE 的面积为 b2，在图2中，∠BAC＝∠EAF，则 ∠EAF＋∠BAE＝90°，故 △BAF为等腰直角三角形．四边形 ABDF 的面积为： c2＋ (b－a)(a＋b)＝ c2＋ (b2－a2)．

周公问:"我听说您对数学非常精通，我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一
段丈量,那么怎样才能得到关于天地的高度呢?"
商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形的一条
直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5.
八年级北师大版数学上册
第一章
1.1 探索勾股定理
第二课时
验证勾股定理
勾股定理
学习目标
1.掌握用面积法验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一
些实际问题.（重点）
2.学习勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特
殊到一般的思想.（重点，难点）
情景导入
中国最早的一部数学著作--《周髀算经》的开章,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
P点，连BP.
则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，
易知P点即为到点A，B距离之和最短的点．
过点A作AE⊥BB′于点E，
则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．
由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，
∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km，
故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km.
A
130
?
C
120
B
C.100米
D.130米
2.如图,太阳能热水器的支架AB
A
长为90 cm,与AB垂直的BC长为
120 cm.太阳能真空管AC有多长?
解：在Rt△ABC中,由勾股定理,
得
AC2=AB2+BC2，

什么是勾股定理？
1 三角形的边和角的基本概念
解释三角形的边和角的基本概念，为学生理解勾股定理做铺垫。
2 勾股定理的几何意义
揭示勾股定理在几何学中的重要作用和意义。
勾股定理的表示方法
1 勾股定理的两种形式
2 勾股定理的证明方法
介绍勾股定理的直角三角形两种表示方 法，加深学生对其理解。
探讨勾股定理的证明方法，培养学生的 证明能力。
勾股定理第2课时ppt课件
这是一份关于勾股定理第2课时的PPT课件。通过本课时，我们将深入了解勾 股定理的几何意义、表示方法、证明方法、性质与判定方法，并探讨其在实 际应用中的使用。
引言
1 上节课回顾
2 本节课概要
回顾上节课学习的内容，为本节课的学 习打下基础。
介绍本节课的学习目标和内容，为学生 提供一个清晰的学习框架。
总结
1 回顾本节课内容
2 下节课预告
总结本节课所学内容，帮助学生巩固知 识。
展望下节课的内容，激发学生的学习兴 趣。
笛卡尔坐标系中的勾股定理
1 直角三角形的边长度的计算
教授如何利用勾股定理在笛卡尔坐标系中计算直角三角形的斜边长度。
2 证明斜边长度公式
引导学生自行证明斜边长度公式，锻炼他们的推理和证明能力。
勾股数的性质与判定方法
1 什么是勾股数
阐述勾股数的定义和特点，帮助学生理解勾股数的概念。
2 勾股数的判定方法
介绍如何判断一个数是否是勾股数，激发学生的思考和分析能力。
3 勾股数的性质
探讨勾股数的一些重要性质和规律，加深学生对勾股定理的理解。
实例分析
1 使用勾股定理解决三角形问题
通过具体的例子，演示如何应用勾股定理解决实际三角形问题。