探索勾股定理公开课优质课教学设计一等奖及点评

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）第二环节：探索发现勾股定理1．探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，13132214=+⨯⨯⨯=C S ．方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ．方法三：如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ．（4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容：例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？弦股勾（教师板演解题过程） 练习：1．基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2．生活中的应用：小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容： 教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.3．思想：（1） 特殊—一般—特殊； （2） 数形结合思想．225100x1517意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动． 效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节：布置作业内容：布置作业：1．教科书习题1.1.2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+？意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．教学设计反思 （一）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．a bcabc4．4一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点)2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y＝(m－4)m2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.数量x/千克售价y/元 1 8＋0.4 2 16＋0.8 3 24＋1.2 4 32＋1.6 5 40＋2.0 ……解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．2．2 平方根 第1课时 算术平方根1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点) 3．了解算术平方根的性质．(难点)一、情境导入上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大正方形，那么有a 2＝2，a ＝________，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若x 2＝a ，则a 叫做x 的平方，反过来x 叫做a 的什么呢？二、合作探究探究点一：算术平方根的概念【类型一】 求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)214；(3)0.36；(4)412－402.解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32；(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；(4)∵412－402＝81，又92＝81，∴81＝9，而32＝9，∴412－402的算术平方根是3.方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．【类型二】 利用算术平方根的定义求值3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a 的值，再求a.解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22.方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．探究点二：算术平方根的性质【类型一】 含算术平方根式子的运算计算：49＋9＋16－225.解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算． 解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．【类型二】 算术平方根的非负性已知x ，y 为有理数，且x －1＋3(y －2)2＝0，求x －y 的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y 的值，进而求得答案．解：由题意可得x －1＝0，y －2＝0，所以x ＝1，y ＝2.所以x －y ＝1－2＝－1. 方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，|a|≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.三、板书设计算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a 性质：双重非负性⎩⎨⎧a≥0，a ≥0让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y ＝(m －4)m 2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m 2－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.数量x/千克售价y/元 1 8＋0.4 2 16＋0.8 3 24＋1.2 4 32＋1.6 5 40＋2.0 ……解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．。

八年级勾股定理教案一、教学目标：1. 理解勾股定理的概念；2. 掌握勾股定理的运用方法；3. 能够解决与勾股定理相关的数学问题；4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 勾股定理的概念和原理；2. 勾股定理的运用方法；3. 勾股定理综合练习及应用问题。

三、教学重难点：1. 勾股定理的概念和原理的讲解；2. 教学方法的灵活运用；3. 解决实际问题的能力培养。

四、教学过程：1. 导入：引导学生回忆平面直角坐标系的概念和表示方法，复习勾股定理的基本知识。

2. 讲授：勾股定理的概念和原理(1) 引导学生思考：在直角三角形中，直角边的长度有什么关系？(2) 引入勾股定理的概念：勾股定理指的是直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

(3) 解释勾股定理的原理：根据勾股定理，我们可以通过已知两个直角边的长度来求得斜边的长度，或者已知斜边和一个直角边的长度来求得另一个直角边的长度。

3. 实例演示：(1) 给出一个已知直角三角形的例子，让学生通过勾股定理计算斜边的长度。

(2) 给出一个已知斜边和一个直角边的长度的例子，让学生通过勾股定理计算另一个直角边的长度。

4. 练习：(1) 基础练习：教师提供一些直角三角形的两个直角边长度，要求学生通过勾股定理计算斜边的长度。

(2) 提高练习：教师出示一些复杂的数学问题，要求学生利用勾股定理解决问题。

5. 拓展应用：(1) 在日常生活中，勾股定理的应用是很广泛的。

教师与学生一起探讨一些实际问题，如测量不可直接测量的距离等，引导学生应用勾股定理进行解决。

(2) 勾股定理在几何学和物理学中也有着重要的应用，如计算三角形的面积、解决斜面、斜船等相关问题。

六、教学评价：1. 教师通过课堂练习和讨论，检查学生对于勾股定理的理解和运用情况。

2. 教师评价学生的数学思维能力和问题解决能力。

3. 学生可以通过小组合作或个别展示的形式，完成勾股定理相关的作业和实践任务。

七、教学反思：本节课通过引导学生思考和讲解，使学生理解了勾股定理的概念和原理，并通过实例演示和练习让学生掌握了勾股定理的运用方法。

勾股定理教学设计省一等奖《勾股定理教学设计省一等奖》这是优秀的教学设计一等奖文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！第1篇勾股定理教学设计省一等奖教学目标：一知识技能1.理解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程;2.掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形;二数学思考1.通过勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生发展与形成的过程;2.通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用.三解决问题通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题.四情感态度1.通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一关系;2.在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流合作的意识和探究精神.教学重难点：一重点：勾股定理的逆定理及其应用.二难点：勾股定理的逆定理的.证明.教学方法启发引导分组讨论合作交流等。

教学媒体多媒体课件演示。

教学过程：一复习孕新，引入课题问题：(1) 勾股定理的内容是什么?(2) 求以线段ab为直角边的直角三角形的斜边c的长：① a=3，b=4② a=2.5，b=6③ a=4，b=7.5(3) 分别以上述abc为边的三角形的形状会是什么样的呢?二动手实践，检验推测1.把准备好的一根打了13个等距离结的绳子，按3个结4个结5个结的长度为边摆放成一个三角形，请观察并说出此三角形的形状?学生分组活动，动手操作，并在组内进行交流讨论的基础上，作出实践性预测.教师深入小组参与活动，并帮助指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题.在此基础上，介绍：古埃及和我国古代大禹治水都是用这种方法来确定直角的.2.分别以2.5cm6cm6.5cm和4cm7.5cm8.5cm为三边画出两个三角形，请观察并说出此三角形的形状?3.结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状之间有怎样的关系吗?三探索归纳，证明猜想问题1.三边长度分别为3 cm4 cm5 cm的三角形与以3 cm4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系?你是怎样得到的?2.你能证明以2.5cm6cm6.5cm和4cm7.5cm8.5cm为三边长的三角形是直角三角形吗?3.如图18.2-2，若△ABC的三边长满足，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程.教师提出问题，并适时诱导，指导学生完成问题3的证明.之后，归纳得出勾股定理的逆定理.四尝试运用，熟悉定理问题1例1：判断由线段组成的三角形是不是直角三角形：(1)(2)2三角形的两边长分别为3和4，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是多少?教师巡视，了解学生对知识的掌握情况.特别关注学生在练习中反映出的问题，有针对性地讲解，学生能否熟练地应用勾股定理的逆定理去分析和解决问题五类比模仿，巩固新知1.练习：练习题13.2.思考：习题18.2第5题.部分学生演板，剩余学生在课堂练习本上独立完成.小结梳理，内化新知六1.小结：教师引导学生回忆本节课所学的知识.2.作业：(1)必做题：习题18.2第1题(2)(4)和第3题;(2)选做题：习题18.2第46题.第2篇勾股定理教学设计省一等奖在教学工作者开展教学活动前，时常需要用到教案，教案是教学蓝图，可以有效提高教学效率。

探索勾股定理〔第4课时〕课题: 探索勾股定理〔第4课时〕教学目标知识与能力：1.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系；2.经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

过程与方法：1．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。

3．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比拟、拼图、计算、推理交流等过程，开展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题的方法与经验。

1.情感态度价值观：通过丰富有趣的拼图活动增强对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中开展学生的合作交流的意识和能力。

教学重、难点重点：1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。

难点：1．利用“五巧板〞拼出不同图形进行验证勾股定理。

2．利用数形结合的方法验证勾股定理。

学情分析学生的活动经验根底：学生在初一学习过根本几何图形的面积计算的一些方法，例如：割补法等，但运用面积法和割补思想解决问题意识和能力还不够，因此，可能还需要教师有意识的引导；在先前的学习过程中，学生已经经历了一些拼图、图案设计的实践活动，如制作七巧板，这些都为本节课的活动〔拼图对勾股定理进行无字的证明〕奠定了一定的根底。

课前准备多媒体教学过程教师活动学生活动设计意图第一环节验证方法的收集与整理<一>课前自主探究活动《勾股定理证明方法汇总》<二>探究成果的交流与展示以下是学生搜集的勾股定理的证明方法:·芬奇的证法请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告：第一种类型：以赵爽的“弦图〞为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之假设骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

探索勾股定理公开课优质课教学设计一等奖及点评本节课主要研究勾股定理的探究、证明及简单应用。

勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把有一个角是直角这个形的特征转化成数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，体现了数形结合的思想方法。

同时，它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，促成了三角学、解析几何学的建立，对数学进一步的发展拓宽了道路。

因此，勾股定理是数学发展的重要根基之一，被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。

本节课的教学重点是探究并证明勾股定理。

通过分析以特殊的直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，学生可以归纳并合理地用数学语言表达勾股定理的结论。

通过割补法构造图形验证勾股定理，从而理解直角三角形三边的数量关系。

同时，以赵爽弦图和青朱出入图为载体，了解勾股定理各种证明方法之间的内在联系，即实质都是运用等面积法加以证明。

这样可以帮助学生感受多角度分析问题，多种方法解决问题。

在图形的性质转化成数量关系的过程中，也可以感受数形结合的思想。

通过了解勾股定理发展史，学生可以感受勾股定理所蕴含的厚重文化。

同时，增强学生的民族自豪感，感受数学对人类文明的发展所起的积极的推动作用。

因此，本节课的教学目标是：1.经历探索，验证勾股定理的过程，初步掌握勾股定理，进一步了解等面积法的应用；2.通过不同证明方法的探究，进一步发展空间观念和推理能力，体会数形结合的数学思想；3.借助勾股定理丰富的文化背景，培养学生的人文底蕴和科学精神的核心素养。

设计意图：1.通过引入___的故事，增加学生对勾股定理的兴趣和好奇心；2.让学生自己画直角三角形并验证，引导学生从特殊到一般地思考问题；3.通过讨论，让学生认识到尺规作图的局限性，并寻找更好的验证方法。

实验观察：在开始讲解勾股定理之前，我们先来做一个实验。

请同学们转动沙漏并认真观察。

勾股定理教案（人教版）一、教学目标：1. 理解勾股定理的概念和含义。

2. 掌握如何使用勾股定理求解直角三角形的边长。

3. 发现直角三角形的特性及其应用。

二、教学重点：1. 理解勾股定理的几何意义。

2. 掌握勾股定理的运用方法。

三、教学难点：1. 独立推导勾股定理的公式。

2. 将勾股定理应用到实际问题中。

四、教学准备：1. 教学课件、黑板、粉笔。

2. 学生作业本、练习册。

五、教学过程：Step 1 引入（10分钟）1. 教师带领学生回顾直角三角形的概念，并让学生回答以下问题：- 什么是直角三角形？- 直角三角形有哪些特点？2. 引出勾股定理的问题：如何求解一个直角三角形的斜边长度？Step 2 导入（15分钟）1. 教师通过黑板上画出一个直角三角形，并向学生提问：有哪些方法可以求解直角三角形的斜边长度？2. 引导学生思考并发现勾股定理的规律。

3. 教师给出勾股定理的定义，并让学生记下勾股定理的公式。

Step 3 讲解（15分钟）1. 教师用实际例子演示如何使用勾股定理求解直角三角形的边长。

2. 教师讲解勾股定理的推导过程，并引导学生进行思考和讨论。

3. 教师解释勾股定理的几何意义，并让学生理解三角形中两个边平方和等于第三边平方的关系。

Step 4 实践（30分钟）1. 学生独立进行练习，使用勾股定理求解直角三角形的边长。

2. 教师逐一巡视学生的解题过程，给予指导和帮助。

Step 5 归纳（10分钟）1. 教师让学生结合练习内容，总结勾股定理的应用方法。

2. 学生展示他们的解题方法和结果。

Step 6 拓展（10分钟）1. 教师提出一些拓展问题，让学生利用勾股定理解决实际问题。

2. 学生互相交流，分享解题思路和结果。

六、教学反思：本节课以勾股定理为主题，通过引入问题、讲解、实践和拓展等环节，有效地引导学生学习和掌握勾股定理的概念、应用方法以及几何意义。

通过学习勾股定理，学生不仅能够发现直角三角形的特性，还能够将勾股定理应用到实际生活中解决问题。

八下勾股定理教案一、教学目标1. 理解勾股定理的概念，能正确运用勾股定理解决相关问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 培养学生的合作意识和团队合作精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：理解勾股定理的概念，并能正确运用勾股定理解决相关问题。

2. 教学难点：能灵活地运用勾股定理解决实际问题。

三、教学准备1. 教师准备：教学课件、黑板、白板笔、尺子、直角三角形模型等。

2. 学生准备：课本、作业本、尺子、铅笔等。

四、教学过程1. 导入（5分钟）教师可以通过一道数学题目的引入来激发学生对勾股定理的兴趣和思考。

2. 学习与讲解（25分钟）（1）引导学生回顾直角三角形的定义，通过直角三角形模型来说明直角三角形的特点。

（2）引导学生思考，通过实际测量直角三角形的两个直角边的长度，观察是否有某种关系存在。

3. 实践与探究（30分钟）（1）将学生分成小组，每组两到三人，让学生使用尺子测量不同直角三角形的直角边长度，并填写实验数据表格。

（2）通过讨论实验数据，引导学生发现直角边长度的关系，并由此引入勾股定理的概念。

（3）让学生自行发现、总结并归纳勾股定理的表达式。

4. 巩固与拓展（25分钟）（1）通过一些具体的实际问题，引导学生熟练运用勾股定理解决实际问题。

（2）提供一些扩展问题和拓展练习，让学生进一步巩固和拓展所学内容。

5. 总结与归纳（10分钟）教师对本节课的学习进行总结和归纳，重点强调勾股定理的应用。

六、课后作业1. 完成课后练习题，进一步巩固勾股定理的运用。

2. 针对一些实际问题，让学生尝试运用勾股定理进行求解。

七、教学反思通过本节课的教学，学生能够理解并运用勾股定理解决实际问题。

但在实际操作过程中，部分学生对勾股定理的概念理解还不够深刻，需要加强引导和讲解，提升学生的学习效果。

同时，通过小组合作学习，可以加强学生的合作意识和团队合作精神，提高整体学习效果。

勾股定理优质课一等奖教案一、教学目标1、知识与技能目标让学生理解勾股定理的内容，掌握勾股定理的证明方法。

能够运用勾股定理解决简单的几何问题，如求直角三角形的边长。

2、过程与方法目标通过观察、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和逻辑推理能力。

经历勾股定理的探索过程，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感态度与价值观目标激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神和合作交流的意识。

通过了解勾股定理的历史，感受数学文化的魅力，增强民族自豪感。

二、教学重难点1、教学重点勾股定理的内容及证明。

运用勾股定理解决实际问题。

2、教学难点勾股定理的证明。

勾股定理在实际问题中的应用。

三、教学方法讲授法、探究法、讨论法四、教学过程1、导入新课展示一张直角三角形的图片，提问：“同学们，你们知道直角三角形的三条边之间有什么关系吗？”引发学生的思考和讨论。

讲述勾股定理的历史背景，如毕达哥拉斯发现勾股定理的故事，激发学生的学习兴趣。

2、探索新知让学生画几个直角三角形，测量其三边的长度，并计算两直角边的平方和与斜边的平方。

引导学生观察计算结果，提出猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

证明勾股定理：方法一：利用赵爽弦图证明。

展示赵爽弦图，引导学生观察图形，讲解证明思路。

方法二：利用面积法证明。

通过将直角三角形拼成一个正方形，利用面积相等来证明勾股定理。

3、巩固练习给出一些简单的直角三角形，让学生运用勾股定理求出未知边的长度。

设计一些实际问题，如测量旗杆的高度、求两点之间的距离等，让学生运用勾股定理进行解决。

4、课堂小结与学生一起回顾勾股定理的内容和证明方法。

总结运用勾股定理解决问题的思路和注意事项。

5、布置作业书面作业：课本上的相关习题。

拓展作业：让学生查阅资料，了解勾股定理在其他领域的应用。

五、教学反思在本节课的教学中，通过引导学生自主探究和合作交流，让学生亲身经历勾股定理的发现和证明过程，培养了学生的探究能力和逻辑推理能力。

1.1探索勾股定理（第1课时）一、教材内容和内容分析（一）教学内容本节课是北师大版教材《数学八年级（上）》第一章勾股定理第一节的内容，主要学习勾股定理的探究、证明及简单应用．（二）教学内容分析勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把有一个角是直角这个形的特征转化成数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，体现了数形结合的思想方法. 它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了三角学、解析几何学的建立，对数学进一步的发展拓宽了道路．因此，可以这样说，勾股定理是数学发展的重要根基之一．它不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一．教学重点：探究并证明勾股定理二、教学目标和目标解析（一）教学目标1.经历探索，验证勾股定理的过程，初步掌握勾股定理，进一步了解等面积法的应用；2.通过不同证明方法的探究，进一步发展空间观念和推理能力，体会数形结合的数学思想；3.借助勾股定理丰富的文化背景，培养学生的人文底蕴和科学精神的核心素养.（二）教学目标解析达成目标1：学生通过分析以特殊的直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表达勾股定理的结论．通过割补法构造图形验证勾股定理，从而理解直角三角形三边的数量关系．达成目标2：以赵爽弦图和青朱出入图为载体，了解勾股定理各种证明方法之间的内在联系，即实质都是运用等面积法加以证明. 使学生感受多角度分析问题，多种方法解决问题. 同时，在图形的性质转化成数量关系的过程中，感受数形结合的思想．达成目标3：通过了解勾股定理发展史，感受勾股定理所蕴含的厚重文化.同时，增强学生的民族自豪感，感受数学对人类文明的发展所起的积极的推动作用.三、教学问题诊断分析八年级的学生已经具备了一定的分析和归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法.但学生对构造图形的方法证明几何命题的意识和能力还比较弱，对于如何将图形与数量关系相结合的证明方法还比较陌生.因此，在教学中让学生直接发现“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”有一定的难度，这就需要由特殊的个例入手.学生通过特殊的直角三角形三边满足的关系，思考和探究一般的直角三角形是否也满足这样的关系. 学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，课前的实验引入起到了方法启发的作用. 勾股定理其它证明方法的探究对于学生而言存在很大的挑战，教师问题的设置和及时及时的启发尤为关键.学生间的讨论、交流有利于学生自然、合理地发现勾股定理多种证明方法之间的联系. 最后，教师总结等面积法的方式很多，实质都是图形经过截、割、拼、补等.教学难点：构造图形证明勾股定理，探究典型证明方法之间的本质共性.四、教学支持条件分析在七年级，学生一方面，通过《字母表示数》，《整式的运算》等章节的学习，初步形成了符号化的意识，能熟练进行整式的计算和化简；另一方面，通过《三角形》等章节的学习，积累了用割补法求图形面积的基本经验.本课我主要采用教师问题启发，学生自主探究与合作交流相结合的教学方法．通过学生独立思考和互动研讨，充分经历“观察—猜想—归纳—验证—证明”的探索过程，突出教学重点．同时，在探索勾股定理的其它证法时，鼓励学生大胆尝试，注意关注学生思维历程，提升思维水平的深刻性．学生的学法突出自主探究，实践体验，合作交流．五、教学过程设计教学流程示意图结合教材内容和教学目标，以及本班学生的学情，本课的教学环节及时间分配如下： 提出问题 深入探究 小结升华 教学过程悟度 翼展勾股 （9分钟） （17分钟） 悟识 探究勾股 （21分钟） 悟境 初识勾股 （4分钟） （1分钟） 悟道 凝化勾股 （6分钟）（17分钟）（一）悟境——初识勾股1.校史引入同学们，马上就是我们学校2160年的校庆了，这节课我们先来了解一下学校的历史.2160年了，身为石室人，我感到无比的骄傲. 其实啊，在漫长的历史长河中，我们还有很多伟大的成就. 单从数学方面来说，就有很多了不起的发现，有同学了解过吗？因为反映定理内容的图形，形象直观，华罗庚曾经甚至建议把它作为与外星人联系的信号.那它到底神奇在哪里呢？设计意图：用学校的历史引入，增加学生的亲切感.同时介绍勾股定理的历史起点，也是本节课暗线的起点，充分借助教材的章前图文激发学生的学习兴趣．2.实验观察在讲个定理之前，我们先来做一个实验，转动沙漏，同学们认真观察.问题1：通过刚才的实验，你观察到了什么？问题2：两个小正方形的面积之和等于大正方形面积，其实可以看成中间直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.那么，是不是所有的直角三角形都满足这样的关系？这就是我们今天主要探究的问题.设计意图：1.用实验引入，首先能吸引学生，激起学生的兴趣，在观察的实验的过程中，初步感受到两个小沙漏的体积之和等于下面大沙漏的体积；2.生生互评，能够使我们对实验现象认识得更清楚，进一步思考，去掉厚度，能得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，如果学生没有进一步的结论，老师可以继续启发，三个正方形的面积，实际也分别是对应直角三角形的三条边的平方，从而获得一个关于直角三角形初步的结论：两直角边的平方和等于斜边的平方，从特殊的现象中提出问题.（二）悟识——探究勾股【教学内容与师生活动1】问题1：对于一般的直角三角形，三边是否也存在这样的关系呢？在数学上，我们通常可以从特殊到一般地来研究问题.据说，毕达哥拉斯到朋友家做客的时候，就是因为偶然地发现了地板砖上的特殊图案，从而总结出了勾股定理. 同学们可以看一下，这就是当时毕达哥拉斯发现的特殊图案.我们今天也从特殊到一般来研究勾股定理.请同学们自己在练习本上任意画一个直角三角形进行验证.学生活动：学生独立作图，绝大部分同学取的两条直角边为整数，个别同学三边取的分数；在验证关系时，只有少部分同学得到两直角边的平方和等于斜边的平方，大部分学生并没有得到同样的结论．追问1：看来有好多同学都发现了矛盾，这个矛盾究竟出在哪里？那么这个结论是否对任意的直角三角形都成立？还有没有更加严谨的方法可以说明？请同学们围绕这些疑惑交流讨论.师生活动：尺规作图难免存在一定的误差，导致我们无法获得准确的判断.追问2：那么我们能不能找到避免测量误差的更好的办法？师生活动：学生通过几何画板，演示构造直角三角形，通过测量三边的长度以及计算两直角边的平方和与斜边的关系，验证确实直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．设计意图：学生独立作图初步感知，从特殊的直角三角形出发，到几何画板进一步获得验证，使学生感受在获得猜想时，及时用数学工具进行验证获得思路是一种非常有效的方式．【教学内容与师生活动2】问题2：即使几何画板也不能一一验证任意结论，但它坚定了我们对结论的猜想，我们必须想办法严谨地证明.历史上的数学家爱好者们已经找到了近五百种勾股定理的证明方法，其中很多都是通过图形的割补完成的.现在同学们手上都有一张方格纸，请在方格纸上任意画一个直角三角形，用割或者补的方法来证明这个结论.设计意图：此时直接让学生去证明三边的平方关系，难度很大，为了降低学生的思考难度，教师及时引导，回到课堂开始的图形，直接提示学生借助方格纸作图，利用面积的割或者补的方法得到边长的平方关系.以此，打开教学突破难点的缺口.请同学们在方格纸上任意地画一个直角三角形，通过割或补的方法来证明它的三边是否满足：两直角边的平方和等于斜边的平方.学生活动：学生独立作图，首先画出直角三角形，在验证三边的平方关系时，绝大部分同学都能以直角三角形的三边分别向外作了三个正方形，通过计算正方形的面积，来验证三边的平方关系. 这个过程中涉及到求方格纸中斜放的正方形的面积问题.请两位同学展示他们不同的验证方法.追问1：你为什么会想到向外作三个正方形来验证？追问2：你是如何求斜放的正方形的面积的？追问3：通过我们在方格纸中任意作的一个顶点在格点的直角三角形，都能验证两直角边的平方和等于斜边的平方，那么我们能不能说对于所有的直角三角形，三边都满足这样的关系？学生活动：学生从刚才自己的验证中能猜想到结论的正确性，但是推广到一般，还不能算严格的证明，因为方格纸具有特殊性，因此，想要获得一般性的结论，还需要弱化条件，在一般的平面上对一般的直角三角形进行说明．设计意图：学生在方格纸上作图进一步验证，用割或者补的方法验证两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，进一步感知猜想的正确性.在这个过程中，学生初步感受构造法是证明问题的一种思路，用面积法验证平方关系，巩固求面积常用的割和补的方法.在不断追问中使学生体会到研究几何问题的一般思路：从特殊到一般，思考并理解怎样才能使问题一般化．【教学内容与师生活动3】问题3：那我还想问一下大家，如果我们把方格纸去掉，会对他们的证明有实质的影响吗？请同学们拿出A4纸，在空白处任意画一个直角三角形，用刚才两位同学的方法，尝试证明结论.学生活动：先学生独立作图，尝试用字母表示数，将直角三角形的三边分别用a ，b ，c 来表示．在验证三边平方关系时，因为有了方格纸中割补法的启发，学生能较快完成作图，并用面积法进行验证，在证明222c b a =+时，绝大部分学生都将以c 为边的大正方形用两种不同的方法表示，通过代数式的化简，得到222c b a =+.从而验证结论的一般性.方法1 将以c 为边的正方形补成更大的正方形. 方法2将以c 为边的正方形割成四个全等的 ()2222S a b a b ab =+=++ 直角三角形和一个边为()a b -的正方形. 又()2221422S a b c ab c ab =+=+⨯=+ ()22142S c ab b a ==⨯+- ab c ab b a 22222+=++∴ 222c b a =+∴.222c b a =+∴.设计意图：有了实验的猜想和方格纸上验证获得的方法，学生对于结论一般性的验证能很快解决，理解把一个问题一般化的方式是用字母表示数，感受用面积的不同表示方法得到等式，通过代数式的化简，得到一般的结论的过程．【教学内容与师生活动4】c a b c a板书：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：如图，在Rt △ABC 中，若=90C ∠︒，有222c b a =+.设计意图：教师板书，既是呈现本节课教学内容的关键，同时，教师板书很重要的目的，就是传授知识的同时引导学生养成良好的书写，绘图，语言表达的习惯.（三）悟度——翼展勾股【教学内容与师生活动1】勾股定理的内容简洁，结构优美，从古到今，无数数学家和数学爱好者都研究过这个定理的证明.刚才我们已经说到，勾股定理的证明方法已经有500多种. 下面请大家欣赏勾股定理的一些经典证法.设计意图：这主要是一组国外的经典证法，一是让学生初步感受从古至今古人对勾股定理的热爱和探究，同时也为引出下一个环节引出中国古代的两种经典证明方法做好对比铺垫.【教学内容与师生活动2】其实，在众多的证明方法中，中国历史上关于勾股定理的证明有两颗璀璨明珠.接下来，我们一起分享中国历史上关于勾股定理的两颗璀璨的明珠.教师直接展示赵爽弦图的证明思路，这个方法被哈佛大学教授库里奇称为“最省力的证明”.展示完赵爽弦图的证明方法外，教师进一步介绍东汉数学家刘徽的“青朱出入图”，以及“青朱出入图”的证明方法.设计意图：1.通过赵爽弦图和青朱出入图的介绍，再次感受数学文化，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，感悟古人的智慧，增强民族自豪感.2.学生在观察两种证明思路的同时，调动学生思维的积极性，启发学生对接下来的问题做进一步思考.【教学内容与师生活动3】问题：对比刚才呈现的三种证明方法，如果我们从变换的角度看，思考它们有什么共同特点？学生活动：小组讨论，在讨论与碰撞中发现证明方法的本质共性.学生在作图过程中可能会有所发现，如下图所示：设计意图：这个环节可以给学生充分的思考时间，通过再次动手作图，为学生积极创造从事数学活动的机会，调动学生的思维积极性. 通过赵爽弦图以及青朱出入图的介绍，感受数学文化的同时，启发学生站在巨人的肩膀上做进一步的思考，加深对定理的理解，进一步体会等面积法的多样性. 【教学内容与师生活动4】勾股定理的发展线就是人类文明发展的一个缩影，教师介绍勾股定理发展的一个历史线：设计意图：使学生充分地感受到数学不仅仅是一门博大精深的科学，更是一种先进的人类文化. 整个数学的发展史就是人类物质文明和精神文明的发展史.勾股定理极其深厚的数学文化底蕴是其它定理无法比拟的，学生对勾股定理多种证明方法的探究不仅仅是对基础知识和基本方法的学习，更是科学精神在数学学习中的具体体现.cbacba（四）悟道——凝化勾股【教学内容与师生活动】通过今天对勾股定理的探索，你有什么感受？学生活动：学生从知识上，方法上，以及勾股定理历史文化上都可以谈自己的感想.设计意图：让学生从不同角度回顾本节课所学习的内容，反思其中的数学思想方法，引发学生更深层次的思考，促进学生认知结构与思维品质的提高.六、教学目标检测设计为了检测学生课堂学习目标的达成情况，我设计了如下练习.1.下列说法正确的是（）A.若a，b，c是△ABC的三边，则222+=a b cB.若a，b，c是Rt△ABC的三边，则222a b c+=C.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则222+=a b cD.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则222+=第2题a b c2.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长，宽，高分别是1.2m，1m，0.8m 的箱子能放进储藏室吗？3.装修工人买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装.如果电梯的长，宽，高分别是1.5m，2.0m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出工人买的木条至少是多少米吗？设计意图：练习1直接考查学生对勾股定理的掌握情况；练习2考查学生构造直角三角形，灵活运用定理的方法；练习3考查用勾股定理建立模型，解决生活实际问题的能力.七、教学设计思路说明从总体而言本节课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．教师为学生提供探索和讨论的问题情境和素材，使学生在自主探索和合作交流的基础上经历数学探索问题的一般步骤.整堂课中，创设情境，以实验为背景，充分调动了学生的积极性. 独立探究，师生交流，生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路，学生的表现超出了我的预期．在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对方法的掌握情况和灵活运用和理解定理的意识和能力.在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，充分发挥教学评价的价值，同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，学会互相欣赏，学习和借鉴．1.文化为线，贯穿课堂始终我以探究和证明勾股定理的各种方法为主线，以勾股定理的发现、发展的历史文化背景和数学文化背景为暗线贯穿整堂课始终.2．问题为串，设置层层铺垫精心设计问题串，针对定理证明的重点和难点层层铺垫，引导学生独立探究，合作交流，思维不断地碰撞出火花，充分的体会了数形结合和转化等数学思想.3．学生为本，发展核心素养本节课以学生为本，通过丰富的课堂活动将几何直观、逻辑推理等数学学科核心素养与人文底蕴、科学精神等中学生核心素养紧密联系，体现了数学学科在培养品格健全人的方面的重要价值和作用.八、教学反思1.通过本节课的教学实践，我再次体会到：学生是课堂的主体.在教学过程中，师生一定会有共同的、积极的情感体验.在教学中努力把重心定位在知识形成的过程的探索，更加注重学生学习能力的培养，实践证明这种做法是正确的.今后的教学中，注重挖掘教材的能力生长点，挖掘教材的内涵，着眼于学生终身发展的需要，为学生的终身发展奠定基础.2.数学具有严密的逻辑性和抽象性.而学生学习内容的呈现是从简单到复杂，思维方式是从具体到抽象的一个循序渐进的过程.对一个问题的解决不是教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，合作交流中获得成功的体验.课例点评本节课邓老师对教材在整个学段的地位和作用理解准确，把控到位，目标定位符合课程标准要求，精准、具体、适合自己学生的认知能力。

义务教育课程标准实验教科书（人教版）
勾股定理
（说案）
xx 宁
课题： 勾股定理 xxxx 实验中学 xx 宁
一、教材分析
1、地位和作用
本节课选自人教版《数学》八年级下册第十八章第一节勾股定理第一课时
爱国主义教育的良好素材。

2、 学习目标
【知识技能】 1、经历勾股定理的探索过程，理解并掌握勾股定理；
2、学会运用勾股定理进行简单的计算。

【数学思考】 1、让学生切实经历“观察-探索-猜想-验证-归纳”的探索过程；
2、发展合情推理能力，并体会数形结合、由特殊到一般、转化
的思想方法。

直角三角形三边之间数量关系 解直角三角形
广泛应用
形 数 几何
代数
【问题解决】 1、通过拼图活动，体验解决问题方法的多样性；
2、在探索活动中，培养学生的自主性与合作性。

【情感态度】 激发学生热爱祖国悠久文化的情感。

3、重点、难点
重点：勾股定理的探索过程；
难点：面积法（拼图法）发现勾股定理。

二、教法与学法分析
学法指导
动手实践、自主探索、合作交流
三、教学过程
几何直观
引导
实验
思想方法
探索
验证
活动1：等腰入手发现新知等腰直角三角形三边满足什么关系？
方案二：
4、学生总结归纳勾股定理，
板书勾股定理并给出字母表示。

教师对“勾股弦”的含义以及
3、台风来袭，一棵大树在离
地面9米处断裂，树的顶部四、评价分析
五、设计说明
1、探究体验贯穿始终
2、展示交流贯穿始终
3、习惯养成贯穿始终
4、情感教育贯穿始终
5、文化育人贯穿始终。

第一章 勾股定理探索勾股定理教学目标：知识与技能;经历勾股定理的发现过程，了解并掌握勾股定理过程与方法：通过对勾股定理的探索，学生在探索实践中理解并掌握勾股定理情感、态度与价值观：培养学生在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力 重难点重点：勾股定理的内容及探究难点：勾股定理的探究教学过程：一、故事导入：先给同学们讲述毕达哥拉斯的故事，并提问毕达哥拉斯发现了什么吸引学生们的兴趣。

二、问题引入：1、你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗图中的较小的两个正方形面积分别记为A S ，B S 较大那个正方形的面积记为C S ；则有：（1） （2）图（1）中，C S = A S = B S = ， 图（2）中，C S = A S = B S = 。

学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于 的正方形的面积．2、由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢（1）观察下面两幅图：第①个图中，A S = ，B S = ，C S 。

第②个图中，A S = ，B S = ，C S = 。

（2）你是怎样得到正方形C 的面积的与同伴交流。

你发现了什么学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于 的正方形的面积．3、（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 即直角三角形 的平方和等于 的平方。

三、练习如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高四、小结本节课有什么收获 ABC C B A。

17.2《勾股定理的逆定理（第1课时）》教学设计一、教学内容及其解析1.教学内容探究勾股定理的逆定理及其简单应用；原命题、逆命题及其相互关系.2.教学内容解析勾股定理揭示了直角三角形由“形”的特殊性，可以得到“三边长”的数量关系.反之，可逆向探究从三角形三边长的数量关系来判断它是不是直角三角形.即“如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形”.了解互逆命题的结构特点，理解原命题为真命题时,其逆命题不一定为真命题.教学重点：通过设置情境，启发学生提出数学问题,探究并证明勾股定理的逆定理.二、教学目标及其解析1.教学目标（1）理解勾股定理的逆定理，经历“情境、问题、实验、猜想、证明”的探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想，并能简单运用勾股定理的逆定理.（2）了解原命题、逆命题的相关概念，进一步加深性质和判定定理之间关系的认识.2.教学目标解析目标（1）要求经历勾股定理逆定理的探究过程，了解证明几何命题的思想方法，同时体会“构造法”证明数学命题的基本思想，并能应用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是直角三角形.目标（2）要求知道互逆命题的结构特点，能根据原命题写出它的逆命题，了解原命题为真命题时，逆命题不一定为真命题,理解用“举反例”来判断逆命题为假命题的方法.三、学情分析通过前面的学习，学生已具备研究几何问题的基本经验，能够进行一般的推理和论证，对动手操作和问题探究充满热情，但思维有一定的局限性，能力也有差距.其二，构造一个直角三角形，用“同一法”来证明勾股定理逆定理的方法是第一次遇到，大多数学生对此难以理解.教学难点：勾股定理逆定理的证明.四、教学策略分析通过设置数学情境，引导观察，启发思考，提出数学问题.再通过操作实验，分析归纳，推理论证来探究勾股定理逆定理及其证明，使学生体会从“特殊”到“一般”的数学思想，培养分析和解决问题的能力.通过回忆勾股定理从“形”到“数”的研究过程，启发学生逆向思考提出相关的数学问题，并有针对性地进行了三组实验.第一、二组实验是为了培养学生的规范作图、观察思考和简单的逻辑推理能力.第三组实验运用“超级画板”软件直观地进行了动态演示，渗透从“特殊”到“一般”的数学思想，体会几何证明的必要性，培养学生严密审慎的逻辑思考习惯，同时也能让学生在不断有问题生成的课堂中饶有兴趣地展开学习活动.此外，通过回顾和类比已学的“平行线”性质定理和判定定理，使学生进一步加深对互逆定理、性质和判定定理之间关系的认识，体现数学知识及学习的整体性和系统性.在教学中教师要有适当的“追问”环节，其目的是使学生弄清知识的来龙去脉，不仅知道“是什么”，更要知道“为什么”以及“你是怎样知道为什么是这样的”，此即“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”“示以学生思维之道”.同时，在学习过程中通过对问题的置疑与分析、质疑甚至是批判，力争为培养学生的创造性思维做点努力.五、教学过程设计1.回忆旧知，再次梳理问题1：勾股定理的内容是什么？预设学生回答“a²+b²=c²”，这时可以追问a，b，c是任意三条边吗？”（这里主要是让学生明确勾股定理是“直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方”.）设计意图：让学生通过回忆，巩固勾股定理的内容，以及勾股定理的数学符号语言如何表达.也让学生再次感受到勾股定理揭示了直角三角形可以由“形”的特殊性得到其“三边长”的数量关系——即由“形→数”，为下一步启发思考、提出问题做铺垫.2.提出问题问题2：你能提出一个相关的数学问题吗？设计意图：希望学生在已体会到由“形→数”的情况下，有一种对由“数→形”的置疑，培养学生的逆向思维能力.学生完成提问：如果三角形的三边长a,b,c，且满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形吗？老师追问：满足a²+b²=c²这个等式的三个数多不多？学生答：多.老师问：有哪些？预计学生回答：3,4,5；6,8,10;5,12,13……老师提出质疑：那是不是以每一组数作为三边长所围成的三角形都是直角三角呢？设计意图：启发学生提出问题后，先让学生们明白其实三角形的三边长满足a²+b²=c²这个等量关系的数特别多，但是不是都是直角三角形呢？由此引起学生的质疑，让他们感觉到要通过实验来验证的必要性，培养学生的科学精神和严谨的学习态度.3.实验第一组实验：教师：“我们选择3,4,5这组数来验证一下.”∵3²+4²=255²=25∴3²+4²=5²既然3,4,5满足a²+b²=c²这个等量关系，那我们就以3,4,5为三边长画三角形，看看它是什么三角形？”（1）学生动手画图.（2）大部分学生画完后，请一位同学上黑板来画，让其他同学观察其画法.设计意图：①用实验来验证提出的问题；②培养学生的规范作图能力；③对于本问题的研究来说，“已知三边长画三角形”要用尺规作图的方法，但并非所有同学都会作图.大多数学生在以前的学习中，都知道“勾三股四弦五”，所以在画图时就很容易犯一个经验性的错误——直接用3,4为直角边画出一个直角三角形.通过对这个“错误”的纠正，培养学生严密审慎的逻辑思考习惯.画完之后让学生通过测量，验证以3,4,5为边所围成的三角形确实是一个直角三角形.教师再提出质疑：一个实验的结果，是必然的还是巧合呢？随之再进行下一组实验.第二组实验：分别以 2.5，6，6.5为边长画出三角形（单位：cm）.教师提问：先计算一下这一组数有什么数量关系？引导学生完成：∵2.5²+6²=42.256.5²=42.25∴2.5²+6²=6.5²设计意图：通过前两次这种推理性的书写，让学生又次明确，在画图试验前，三边长的数量关系都满足了a²+b²=c².让学生有目的性地进行探究实验.通过尺规作图，经测量，学生发现以2.5，6，6.5为边长围成的三角形也是直角三角形.第三组实验：“超级画板”动态演示以“6,8,10”为边长画三角形.在动态演示过后，提问学生“你有什么发现？”预设学生答案：（1）∵6²+8²=100，10²=100，∴6²+8²=10²；（2）AB边越短，∠ACB越小……设计意图：通过“超级画板”的动态演示，渗透从“特殊”到“一般”的数学思想，体会几何证明的必要性，培养学生的观察能力和问题意识，同时也能让学生在不断有问题生成的课堂中饶有兴趣地展开学习活动.也为本节课小结第二个问题，做一个动态、直观的铺垫.通过这个活动，学生发现以6,8,10为边长围成的三角形也是直角三角形，且6²+8²=10².再一次满足提问中的a²+b²=c²这样的数量关系.教师问：看一下这三个实验的结果，现在能不能来回答之前所提出的问题？——“如果三角形的三边长a,b,c，且满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形吗？”预设1：学生回答：能.教师：也就是说“如果三角形的三边长a,b,c，且满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形.”教师追问：仅仅通过三个实验，能说明三边长满足a²+b²=c²的所有三角形都是直角三角形吗？预设2：学生回答：不能教师：为什么，说出你的理由？设计意图：先让学生通过三个实验来回答刚才的提问，如果学生回答“能”，这里可以先让他们品尝到实验的成果，同时认识到实验的必要性.但通过教师追问，让学生再次去质疑，毕竟满足a²+b²=c²这一等式的三边长有无数组，不仅仅只有实验的这三组数，让学生意识到，这三组实验只是得到了一种猜想，如果要想说明猜想（命题）是正确的，那就必须通过推理证明，从而发展学生的理性思维和实践能力.老师总结：所以，我们通过实验得到“如果三角形的三边长a,b,c，且满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形.”现在只能是一个猜想.4.证明，形成定理活动：如何证明这个猜想（命题）？已知：如上图所示，△ABC的三边长a,b,c满足a²+b²=c².求证：△ABC是直角三角形.设计意图：引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务.教师引导：如果要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°，由命题的已知条件，能直接证明吗？这是本节课的难点.教师一定要给足时间，引导学生充分讨论，提出解决问题的方法.如果学生仍没有思路和解决办法，可适时点拔以下关键点：（1）从已知条件不能直接证明△ABC是直角三角形怎么办？（2）我们至今学过哪些几何知识？有哪些证明几何问题的方法和经验？由此启发学生想到可以利用“三角形”中的“全等三角形”，而至少要有两个三角形才能考虑全等，于是才能顺理成章地想到可先构造一个直角三角形，再证明△ABC与这个直角三角形全等即可.设计意图：当难以直接证明△ABC是直角三角形时，需要“全等三角形”这一工具，通过构造一个直角三角形证明△ABC与这个直角三角形全等，从而证明△ABC是直角三角形，让学生体会“同一法”证明思路的合理性，帮助学生突破难点.5.定理应用例1 判断下列问题中以线段a，b，c为边组成的三角形是不是直角三角形？（1）a=15，b=8， c=17（2）a=13，b=14，c=15（3）a=41，b=4，c=5师生活动：第（1）师生共同完成；（2）、（3）由学生独立完成.设计意图：这组练习是勾股定理逆定理的应用，通过练习把陈述性的定理转化为认知操作，学会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，规范地示范解答过程，并介绍勾股数的概念.6.逆命题的教学①如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²．②如果三角形的三边长a，b，c 满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形．师生活动：比较两个命题的题设和结论，让学生初步感受到其题设和结论的关系，然后归纳和介绍原命题，逆命题，互逆定理的概念.同时再让学生回忆之前学习过的一些互逆定理.设计意图：首先让学生观察上面两个命题的特点，然后引入逆命题的概念，再进一步了解互逆命题，互逆定理，体现数学的整体性、系统性，使学生进一步加深对性质和判定之间的关系认识.例2 说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗？（1）如果a=b，那么a²=b².（2）角平分线上的点到角两边的距离相等 .师生活动：学生独立思考并口答完成.设计意图：加深学生对原命题、逆命题，真命题、假命题等概念的理解，理解任何一个命题都有逆命题，但是逆命题不一定都是真命题，理解并会用“举反例”来判断逆命题为假命题.7.小结（1）本节课你有什么收获？（2）通过今天的学习，你还能提出什么问题？设计意图：通过第一个问题可引导对本节课内容及数学思想方法进行及时归纳和总结，且须特别强调研究几何问题的基本思路“观察、发现→提出问题→实验→得出猜想→证明→形成定理”.第二个问题是本节问题研究的引申，并可引导学生提出新的问题，既开拓学生思维，又培养学生发现问题，提出问题的能力，让学生感受到课已终而学未止、思未休.预测学生提出的问题有：钝角三角或者锐角三角形的三边长是否也存在某种数量关系？三角形三边长满足什么数量关系时，三角形是锐角三角形或钝角三角形？等等……8.作业布置教科书第33页练习第1,2，习题17.2第4,5题.设计意图：考查勾股定理逆定理的应用，互逆命题的概念及其关系，判断一个命题是假命题的方法.《17.2勾股定理的逆定理(第1课时)》点评本节课以数学知识本身作为数学情境，通过复习勾股定理，启发学生逆向思考提出新的数学问题：“如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是不是直角三角形。

勾股定理（第1课时）人教版《义务教育教科书·数学》（八年级下册第十七章17.1）义务教育教科书数学八年级下册（人民教育出版社）17.1勾股定理（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1．内容勾股定理的探究、证明及简单应用．2．内容解析勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系：三边之间满足等式：a2＋b2＝c2，它搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用．勾股定理体现了数形结合的思想方法，具有科学创新的重大意义．勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了在三角学、解析几何学、微积分学的建立，使数学的几何学和代数学两大门类结合起来，对数学进一步的发展拓宽了道路．没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦．因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一．勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，体现了从特殊到一般的探索的过程，由具体的关系归纳出抽象的猜想，学生亲手实践赵爽的面积证法，证明猜想、发现定理，并以此引导学生探索、发现、证明定理的思路．通过对勾股定理的探究和发现，培养学生学习数学的热情和自信心．我国对勾股定理的研究和其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定．通过对勾股定理历史和我国古代研究勾股定理成就的介绍，以及赵爽证明勾股定理的巧妙弦图，培养学生的民族自豪感，品味数学文化．在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题，这是勾股定理最基础的应用．基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明勾股定理．二、目标和目标解析1．目标（1）经历勾股定理的探究、证明过程．了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．（2）能用勾股定理解决一些简单问题．2．目标解析目标（1）要求学生通过观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论．理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过面积不变的关系和对图形面积的不同算法证明勾股定理．了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就．（2）学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度．三、教学问题诊断分析勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论．在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系．但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难．因此，在教学中先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考正方形的面积和直角三角形边的关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，归纳出结论．学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，小组合作在此发挥了很大的优势，学生间的互助、交流有利于学生自然、合理地发现和证明勾股定理．本节课的教学难点是：勾股定理的探究和证明．四、教学支持条件分析借助PPT动画，动态地演示从网格中的等腰直角三角形，到网格中的一般直角三角形的变化过程，启发学生考虑用割补法求正方形的面积.在学生拼图验证猜想后，播放视频动画再现赵爽弦图的剪拼过程，形象、直观．利用软件的迭代功能，制作出漂亮的勾股树，品味数学之美．教学流程：1、创设情境，导入新课→2、师生互动，探究规律→3、动手实践，验证猜想→4、观察欣赏，感知文化→5、运用定理，巩固新知→6、畅谈收获，归纳小结→7、布置作业，温故新知.五．教学过程设计环节一：情景引入同学们，2002年国际数学家大会在我国的北京召开，下图就是这一届大会会徽的图案.请你仔细的观察这副图案，说一说，它是由哪些基本图形组成的？生：四个直角三角形和正方形组成的师：直角三角形与正方形是我们生活当中比较常见的基本图形，我们已经学过直角三角形两角之间的关系，两个锐角互余，今天这节课来研究直角三角形三边之间的特殊关系评析：本节课由国际数学学家大会的会徽导入，激发学生的兴趣，引入新课教师引导学生发现会徽图案是由直角三角形、正方形组成.引出本节内容是研究直角三角形三边之间的某种特殊关系.环节二：师生互动，探究规律问题1：相传2500多年前，毕达哥拉斯从地砖图案中发现了直角三角形三边之间的某种数量关系．我们也来观察一下这副示意图，我把地砖的颜色给隐藏，可以清楚的发现图中每个小三角形都是等腰直角三角形，假设每个小等腰直角三角形的面积为1．问题1：图中三个正方形A,B,C的面积分别是多少？三个面积之间有什么等量关系？接下来，在网格图中画出一个任意的直角三角形，像刚才的示意图一样，以这个直角三角形的三边为边长向外作出三个正方形，分别记为A,B,C,假设图中每个小正方形的面积为1.问题1：正方形A的面积为？正方形B的面积为？正方形C的面积呢？追问：如何求正方形C的面积呢？师：通过古希腊数学家在朋友家做客，发现朋友家的地板砖三边之间的数量关系，通过图中观察正方形内的三角形是什么三角形？生：等腰直角三角形师：假设每个小的等腰直角三角形的面积为1，请同学们思考A、B、C三角形的面积各位多少？生：正方形A与B的面积为2，正方形C的面积为4师：继续思考正方形A、B、C面积之间有怎样的等量关系？生：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积师：这个结论在等腰直角三角形的前提下成立，反问在一个任意的直角三角形当中是否还成立呢?生：猜想成立问题2：三个正方形A ， B ，C 面积之间有什么关系？S A +S B =S C下面，我把这幅示意图中的三个正方形推开，把这个直角三角形的三边记为a ，b ，c ，直角三角形三边之间有什么关系呢？得出猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ,斜边长为 c ，那么a 2+b 2=c 2.问题：c 的平方可以表示为什么图形的面积？师：给出任意的直角三角形以各个边向外作正方形A 、B 、C ,假设每个小正方形面积都为1，思考正方形A 、B 、C 的面积为多少？生：正方形A 的面积为16，正方形B 的面积为9 正方形C 的面积为25师：请学生解释一下正方形C 的面积为什么为25？生：正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积师:这个规律刚刚是在等腰直角三角形当中得到的，这个三角形是一般的直角三角形，这个结论还能用吗？生：不能师：如何来求正方形C 的面积呢？请同学们思考一下 C BA b a c生：使用割的办法来求正方形C的面积，把正方形C切割成4个直角三角形+一个正方形得到正方形C的面积为25师：请思考一下还有没有其他办法？生：补上4个小的直角三角形，通过大的正方形的面积减去4个直角三角形的面积师：这两种方法都可以求出正方形C的面积，统称为“割补法”师：通过正方形A、B、C的面积数据，有什么等量关系？你们能得出什么结论？生：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积师：把直角三角形的三边记为a、b、c，能否由上面的等式推出直角三角形三边之间的等量关系？生：因为S A+S B=S C,所以a2+b2=c2师：那个同学能够用文字语言来表达一下呢？生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方师：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，这个结论是在网格图当中得到，去掉网格，这个结论还成立吗？评析：由地砖中存在的特殊示意图导入，发现围成等腰直角三角形的三个正方形面积之间存在特殊的数量关系.在正方形的网格图中进一步研究这个示意图，由特殊的直角三角形过渡到一般的直角三角形，面积之间也存在特殊的数量关系.问题1中，教师提出问题，让学生自己独立观察图形，分析数据，思考其中隐含的规律．得出结论：在等腰直角三角形的前提条件下，从这幅示意图中可以得出小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．学生很容易通过数格子的方法答出正方形A和正方形B的面积.难点是求由斜边所作的正方形C的面积.环节三：动手实践，验证猜想拼图活动：请同学们拿出课前老师分发的四个直角三角形,拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有边长为c的正方形.请同学上台展示他们的拼图结果。

《24.1勾股定理》教学设计一、教学内容及其解析勾股定理是直角三角形特有的一条重要性质，也是平面几何的一个基本定理.它揭示了三角形中一个直角的“形”的特点决定了三边之间的“数”的关系，是用代数思想解决几何问题的重要手段，是解决四边形问题及圆的问题和解三角形的主要依据，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性和连续性.本节课的教学重点是勾股定理的发现和辨析.勾股定理不仅促进了数学的发展，而且在科技进步中也发挥了不可估量的作用.二、教学目标及其解析1.掌握勾股定理的内容；能够使用勾股定理进行简单的几何计算；理解勾股定理的证明方法.2.经历观察，计算，辨析，证明,应用的探究过程，感受知识的发生，发展. 体会数形结合，转化，由特殊到一般的数学思想，并获得研究问题的方法.3.通过亲身参与数学活动，获得成功的体验；在小组探究中学会合作与分享.4.通过了解中国古代在勾股定理研究方面的伟大成就，激发爱国情怀.三、学生学情分析从年龄特点上看，虽然八年级学生不及低学段学生那样活泼富有激情，但他们已经具备了一定的动手能力，对知识的迁移能力，以及理性的分析问题，用多种方法解决问题的能力.能在老师的引导下，针对某一问题展开讨论并归纳总结，但是受年龄特征的影响，他们探索问题的方法和角度还需进一步培养.所以勾股定理的证明是本节课的难点.从知识储备上看，学生已经掌握了直角三角形的一部分性质及三角形全等和轴对称的相关知识；会通过作简单的辅助线解决几何问题.教学中利用学生已有的知识和经验，让学生积极参与到课堂的讨论与探究中来，大胆发表见解，发挥其主动性、积极性，优化课堂效果.四、教学策略分析通过故事，以问题为载体给学生提供思考，研讨，探索的空间，引导学生积极参与课堂活动.教学环节的设计与展开，都以问题的讨论与解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种研讨，探索的学习活动过程，在讨论和交流中逐步发现，辨析，证明，应用勾股定理.五、教学过程设计（一）创设情境引出课题观看PPT，播放沙画还原第24届数学家大会的申办和召开，介绍大会会徽，指出该会徽是我国数学发展史上的伟大成就，代表我国古代对勾股定理的研究成果，从而引出课题和研究内容.【师生活动】共同观看PPT，教师介绍大会会徽的含义.【设计意图】明确学习的知识内容和目标.（二）漫话勾股感知发现1.观看PPT，播放毕达哥拉斯参加政要的餐会，凝视地砖出神，教师引导学生观察，引发学生思考.初步探索等腰直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.【师生活动】共同观看PPT，当学生观察受阻时，教师引导学生观察以等腰直角三角形三边为边向外作的三个正方形，利用正方形所覆盖的等腰直角三角形的个数，探究三个正方形的面积关系：P Q M S S S +=，从而得到三边关系:222AC BC AB +=.【设计意图】初步体会边的关系可以通过研究面积关系获得.2.将生活问题转化为数学问题.在网格中，通过计算进一步探索等腰直角三角形的三边关系.【设计意图】通过数学计算，验证P Q M S S S +=仍然成立，根据三个正方形的面积关系，依然能得到三边关系为：222AC BC AB +=.（三）条件辨析 直观验证教师提出问题：“等腰直角三角形是特殊的三角形，它有两个特殊条件，等腰和直角，等腰直角三角形的三边能具有这样特殊的数量关系，这两个特殊条件是否缺一不可呢？如果缺少其中一个条件，或者两个特殊条件都不存在了，那这样的三角形的三边还存在以上特殊的数量关系吗？”【师生活动】教师提出问题，引发学生思考.【设计意图】辨析决定“两条直角边的平方和等于斜边的平方”这一关系的重要条件到底是“等腰”还是“直角”.学生通过思考获得以下争论：争论1：两个条件缺一不可，因为已经验证过等腰直角三角形的三边是满足222+=.AC BC AB争论2：等腰这个特殊条件不能少，因为等腰是边的关系，222+=也AC BC AB是边的关系.争论3：可能与直角关，因为我们曾经学习过“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，这种边的关系就是与30°角有关.由此推断，等腰直角三角形这种特殊的三边关系可能与直角有关.争论4：可能与两个条件都没有关系.争论5：应该分别验证一下.学生总结具体的验证方案：已经验证了同时有两个特殊条件的等腰直角三角形的三边存在特殊的数量关系.接下来，继续验证减少其中一个特殊条件的等腰三角形和直角三角形的三边是否存在以上特殊关系；再验证两个特殊条件都不存在的任意三角形的三边是否也存在以上特殊关系.【师生活动】分别研究直角三角形，等腰三角形，任意三角形的三边是否也具有以上的特殊关系.教师提出问题：“如何验证呢？”学生根据刚刚获得的经验找到解决问题的方法：以三边为边向外作正方形，分别求三个正方形的面积.通过研究正方形的面积关系从而研究三角形三边关系.在研究任意三角形的三边是否存在以上特殊关系时，引导学生思考得到“因为去掉‘直角’这一个条件三边关系已经不存在了，那去掉‘等腰’和‘直角’这两个条件，三边关系就一定不存在”的结论，从而提升学生的思维.【设计意图】引导学生从已有的经验方法出发，确立研究问题的方法.（四）归纳总结猜想结论通过辨析猜想结论，引导学生说出：“如果直角三角形两条直角边分别为a,b，斜边为c，那么a，b，c满足222+=”.a b c（五）动手操作推理证明特殊给我们启示，而一般才具有代表性.我们验证过的直角三角形的三边都是特殊值，那一般的直角三角形的三边是否仍然存在以上特殊的数量关系.方法1观点1：放回网格中.观点2：不行.因为任意三角形的顶点不一定在格点上.观点3：如果三个顶点都在格点上，那边长就又是特殊值了.方法2观点1：以直角三角形的三边为边向外作三个正方形.观点2：无法求出P 、Q 、M 这三个正方形的面积. 观点3：三个正方形的面积分别是222,,a b c .观点4：即使能表示面积，但没有具体数据仍然无法证明222a b c +=. 【师生活动】教师引导学生试一试用以前的方法能否进行证明.学生经历了失败，教师再引导学生思考222a b c +=的特点，继续引导学生由边长的平方想到正方形的面积，在本节课研究面积的方法的启示下，请同学们参考前面解决问题的方法，完成探究任务.在小组活动中，教师参与并指导.【设计意图】教师引导学生采取先独立思考，自主探究、再合作交流的学习方式，让学生的手动起来，思维也动起来.在合作中交换数学方法，升华数学思想.（六）呼应引入 升华感情向学生介绍3世纪数学家赵爽通过对图形的分割和拼接，利用面积相等证明勾股定理的方法，以及“勾股弦图”重要的历史意义，紧扣引入环节，升华爱国情怀.（七）应用新知 解决问题1.求下列图中字母所代表的正方形的面积.2.直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c .完成下列表格.例 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.5m 的 长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？【师生活动】师生共同解决问题.【设计意图】夯实勾股定理的内容，通过书写过程，强化勾股定理的内容和几何语言的表达，并培养学生的说理习惯，树立数形结合解决问题的意识.（八）梳理提升 反思小结本节课，我们经历了观察，计算，辨析，猜想，证明，应用的探究过程，从特殊的等腰直角三角形入手，通过减少条件，过渡到一般的直角三角形进行研究；由有网格的直观计算到无网格的逻辑推理，体验了勾股定理的发现和证明，也感受了我国古人的智慧.亲爱的同学们，我们今天研究的勾股定理是一个基本的几何定理，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，它不仅为我们解决生活问题提供了方法，也为科学创新提供了思路.【设计意图】梳理本节课学习的过程，以及研究问题的方法，体会“从特殊到一般”，“从有序到无序”，“从直观到抽象”的数学思想.（九）布置作业延伸课堂课本第8页，第1，2，3题.六、课堂教学目标检测1.求下列用字母表示的正方形的面积.2.直角三角形的两条直角边分别为5，12.则斜边长为 .3.直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，另一条直角边长为 .4.直角三角形的两条直角边分别为6，8，则斜边上的高为 .5.如图，等腰三角形ABC中，若AB=AC=17，BC=16.则三角形ABC的面积是多少？B评课——《勾股定理》《勾股定理》是义务教育阶段人教版八年级下册第24章第一课时的内容.勾股定理是几何学中重要的基本定理之一，它揭示了直角三角形三边特殊的数量关系，将“形”与“数”紧密的联系起来了纵观郝金芝老师的课堂主要有以下几方面的特点:1.课堂内容的呈现体现了多样性和层次性郝老师能够灵活的把握教材，创造性的使用教材，重点设计了勾股定理的“辨析”和证明的过程.首先从最特殊的等腰直角三角形入手研究，发现三边存在特殊的数量关系，之后，郝老师并没有照搬教材直接验证直角三角形的三边，而是创造性的处理，让学生思考“等腰直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方”这一结论是与“等腰”还是“直角”有关，引发学生的争论，试图通过网格计算分别验证直角三角形，等腰三角形和任意三角形的三边是否具有以上特殊的数量关系.学生在解决问题中也得出“去掉直角这个条件，三边关系已经不存在了，所以去掉等腰和直角两个条件，三边关系就更不存在了”的结论，这样自然而然的课堂生成说明了教师问题的设计引发了学生深刻的思考.这个辨析的环节一下子拓展了课堂的宽度，让学生更深入的认识到勾股定理是直角三角形独具的性质，这样的认识过程和结果的形成过程才是学生最大的收获，而且这样过程教会学生的是一种“去伪存真”的思想，是一种研究问题的方法.在勾股定理一般性证明的环节，郝老师也通过不断的追问引发学生思考，学生从已有经验“放入网格”“以三边为边向外作正方形”出发进行尝试，当学生遇到困难时，教师适时引导学生“借助前面研究面积问题的方法”进行尝试验证.这两处有效的争论，让学生在争论中认识问题，拓展思路，交流思想和方法，让学生受益良多.2.教学活动的设计郝老师在设计课堂活动时也特别用心，从生活现象过渡到数学问题，再从有网格的直观计算到无网格的逻辑推理，让学生的思维经历了“感性具体→理性具体→理性一般”的过程，符合学生认识新知识的过程.教师的教学以学生的认知水平和已有经验为基础，引导学生独立思考，主动探索，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验.3.信息技术与课程内容整合本节课，郝老师合理的使用现代信息技术，作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进了教与学的方式.4.学科德育渗透通过有关数学史料，让学生了解勾股定理在我国数学发展史上的重要意义，激发学生的民族自尊心，增强民族自豪感，对学生进行爱国主义教育.5.课堂节奏的把握本节课在应用勾股定理解决问题这一环节节奏有点儿快，如果能再多给学生思考时间，效果会更好.。

勾股定理的教案人教版一、教学目标1. 知识目标：掌握勾股定理的概念和基本应用。

2. 能力目标：能够灵活运用勾股定理解决实际问题。

3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和探索精神。

二、教学重点和难点1. 重点：理解勾股定理的概念和几何意义。

2. 难点：能够熟练应用勾股定理解决实际问题。

三、教学过程1. 导入（5分钟）教师出示一个直角三角形的图形，引导学生观察并提出直角三角形的特点。

2. 学习勾股定理（15分钟）a. 教师给出勾股定理的定义：“在直角三角形中，直角边的平方等于斜边两条边的平方和”，并引导学生理解这个定义。

b. 教师在黑板上列示勾股定理的表述方式：a² + b² = c²，解释其中a，b，c的含义。

c. 教师指导学生自己发现和验证勾股定理。

通过实际测量直角三角形的三边长度，学生可以用数值验证勾股定理的正确性。

3. 勾股定理的应用（20分钟）a. 教师引导学生通过勾股定理求解直角三角形的边长。

给出一些边长已知的直角三角形的例子，让学生运用勾股定理求解未知边长。

b. 补充：勾股定理与三角函数的关系。

教师简要介绍正弦、余弦和正切函数，并说明与勾股定理的关系。

4. 扩展应用（15分钟）a. 教师给出一些勾股定理的应用问题，如建筑中的测量、导弹轨迹等，并引导学生分析问题并运用勾股定理进行求解。

b. 学生分组合作解决一些实际问题，鼓励学生进行创新思维，提出更多有关勾股定理的应用。

5. 总结归纳（10分钟）教师让学生回顾整个教学过程，对勾股定理的概念和应用进行总结归纳。

并提醒学生复习巩固所学知识。

四、教学评价1. 教师观察学生在掌握勾股定理的概念和应用方面的表现，及时给予肯定和指导。

2. 学生通过课堂练习及实际应用问题的解答，进行学业的自我评价和总结。

五、教后反思本节课通过引导学生发现和验证勾股定理的正确性，巧妙地培养了学生的探索精神，培养了学生对数学的兴趣。

通过实际应用问题的分析和解答，进一步加深了学生对勾股定理的理解和运用能力。

北师大勾股定理教案一、教学目标：1. 理解勾股定理的概念和原理；2. 能够熟练应用勾股定理求解直角三角形的各边长和角度；3. 培养学生的问题解决能力和逻辑思考能力。

二、教学重点与难点：1. 理解勾股定理的原理和应用；2. 掌握勾股定理的运用方法；3. 培养学生的问题解决能力。

三、教学内容：1. 勾股定理的概念和原理；2. 直角三角形的边长与角度的关系；3. 勾股定理的应用实例。

四、教学过程：1. 导入（5分钟）介绍勾股定理的由来和应用背景，引发学生对勾股定理的兴趣和好奇心。

2. 概念解释（10分钟）向学生解释什么是直角三角形和勾股定理。

通过示意图展示直角三角形的特点和三边关系，引导学生理解勾股定理的原理。

- 直角三角形是指其中一个角度是90度的三角形；- 勾股定理指的是直角三角形中的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

3. 基本例题演示（15分钟）通过几个简单的案例，演示如何应用勾股定理求解直角三角形的边长。

- 给出一个已知直角三角形的直角边长，让学生求解斜边的长度；- 给出一个已知直角三角形的斜边和一个直角边的长度，让学生求解另一个直角边的长度。

4. 深入应用（30分钟）通过一些复杂一点的案例，让学生更加熟练掌握勾股定理的应用。

- 给出直角三角形的两个直角边的长度，让学生求解另一个直角边的长度；- 给出直角三角形的两个直角边的长度，让学生求解内角的大小；- 要求学生根据题目中给出的条件，构造直角三角形，并求解相关的边长和角度。

5. 练习与巩固（20分钟）让学生进行一些练习题，巩固所学的知识和技能。

- 提供一些应用勾股定理求解直角三角形的练习题，让学生独立解答；- 在解答过程中，鼓励学生思考并讲解解题思路。

6. 归纳总结（10分钟）回顾所学内容，引导学生总结勾股定理的应用方法和注意事项，帮助他们理清思路和加深记忆。

五、教学评价：1. 课堂练习的完成情况；2. 学生对勾股定理原理的理解和应用能力的掌握；3. 学生在解题过程中的思考和逻辑思维能力。