第二课时 探索勾股定理(二)

探索勾股定理（第2课时）课题: 探索勾股定理（第2课时）教学目标知识与能力：进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

过程与方法：体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

情感态度价值观：激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。

教学重、难点重点：运用勾股定理进行简单的计算和实际运用难点：运用勾股定理进行简单的计算和实际运用学情分析勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。

课前准备多媒体教学过程教师活动学生活动设计意图勾（1）你能用直角三角形学生尝试总结：勾股定理1．让学生归纳股定理的简单应用课堂小结布置作业的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？例如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？练习：1、基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、生活中的应用：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员（gou-gu theorem）：如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。

（在西方称为毕达哥拉斯定理）学生独立完成学生口答完成在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。

课题探索勾股定理（2）学 习 目 标 1．能说出勾股定理的证明,并能应用其进行简单的计算和实际运用。

2．经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.3．感受勾股定理的文化价值，通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.重 点 难 点 教学重点：综合运用已有知识解决问题，加深对数形结合的思想的认识。

教学难点：通过拼图验证勾股定理，获得一些研究问题的方法与经验。

教法 选择 探索讨论、归纳总结课型 新授课课前准备 多媒体课件是否采用多媒 体 是教 学 时 数2课 时教学 时数第 2 课时备课总数第 2课时课 堂 教 学 过 程 设 计 教学内容教师活动 学生活动一、复习设疑，激趣引入（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.二、合作探究1.请你利用四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形. 下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学们交流。

在同学操作的过程中，教师展示投影.提问：大正方形的面积可表示为什么？ 验证方法一：（1）2)(b a +（2）24ab 21c +22222c ab b ab a +=++即 222c b a =+验证方法二：22)(4a 21c a b b =-+引导学生回顾勾股定理的的内容。

引导学生拼图投影展示拼法引导学生分析教师讲解，拓展学生知识面。

回顾勾股定理的内容以及证明。

以小组为单位，画、拼一拼、摆一摆，含有以斜边c 为边长的正方形。

分析交流，得出结论后化简，从而验证勾股定理。

课题鲁教版七年级数学（上）第三章 1.探索勾股定理（二）作者及工作单位教材分析《探索勾股定理》是鲁教版七年级上册第三章第一节，本节有二课时，本课是第二课时，主要内容是探索勾股定理的证明。

勾股定理是直角三角形三边之间的一种美妙关系，将数与形密切联系起来，在几何学中占有非常重要的位置。

同时勾股定理在生产、生活中也有很大的用途。

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要的结论，它有着广泛的应用，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

同时在勾股定理的探索中，让学生发展合情推理能力，为以后的学习打下基础。

因为勾股定理的出现，使数学从单一的纯计算进入了几何图形的证明，所以为了让学生感受数形结合这一数学思想，让学生亲自动手，互相协作，因此引入了“等积法”证明勾股定理。

学情分析学生经历了一年的初中学习，具备了一定的归纳、总结、类比、转化以及数学表达的能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的指导下通过小组成员间的互助合作，发表自己的见解。

另外，在学本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有了初步的认识，并能从直观把握直角三角形的一些特征，为此在授课时要抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会。

教学目标知识与技能：1. 掌握勾股定理，初步理解割补拼接的面积证法.通过动手实践理解勾股定理的证明过程。

2. 能利用勾股定理进行简单的几何计算 过程与方法：通过实践、猜想、拼图、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展过程 情感、态度、价值观：通过对勾股定理的历史介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。

教学重点和难点重点：掌握勾股定理的内容及其初步应用 难点：勾股定理的证明教学过程教学环节教师活动学生活动和预设学生活动 设计意图一、 设情景问题， 引入课题1.名言激趣：数学是上帝用来书写宇宙的文字。

第一章勾股定理1.2探索勾股定理第2课时一、教学目标1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.在实际问题的情景中，能熟练运用勾股定理解决问题.3.通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.二、教学重点及难点重点：经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题．难点：用拼图法验证勾股定理．三、教学准备四个全等的直角三角形纸片，一个以斜边为边长的正方形纸片、课件四、相关资源五、教学过程【复习后顾】复习回顾，引出新课1．直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角；（2）直角三角形斜边上的中线等于；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于．2．勾股定理的内容：_________________________________________________．3.在直角三角形中，两直角边长分别为5、12，求斜边长.师生活动：学生口述勾股定理，师总结勾股定理是由形到数的转变．强调勾股定理的应用，引出新课．这是我们上节课应用测量和数格子法发现的定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!板书：探索勾股定理（2）【新知讲解】合作探究：面积法验证勾股定理教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）此图片是动画缩略图，本动画资源提供拼图场景，充分调动学生的积极性，渗透利用图形之间的关系证明勾股定理的思路。

本资源适用于勾股定理的证明的教学，供教师备课和授课使用。

请插入动画【数学活动】拼图设计意图：利用交互动画可以让学生动手操作，不断探究，直到拼出来为止。

增加学习兴趣。

活动1：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：(1)你能用两种方法表示图1中大正方形的面积吗？(学生先独立思考，再4人小组交流)图1(2)你能由此得出勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a +b )2=4×21ab +c 2．并得到222c b a=+从而利用图1验证了勾股定理. ）（3）利用图2验证勾股定理.学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证勾股定理，在验证过程中，大家注意数形结合思想和类比思想的应用.设计意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想和类比思想在数学中的应用，体会成功的快乐.本图片是微课的首页截图，本资源是动画视频，通过探究四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，并利用面积的等量关系证明了勾股定理，本资源适合于勾股定理的教学使用，有利于学生更好的学习本节知识点.若需使用，请插入微课【知识点解析】面积法设计意图：利用视频可以辅助面积法的教学，过程清晰易学活动二：分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用下图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.师：出示教材P5图1-5和图1-6,小明对这个大正方形适当割补后得到图1-5和图1-6.想一想:小明是怎样进行验证的？图1-5 图1-6学生先独立探究，再小组交流教师总结:图1-5是在大正方形的四周补上四个边长为a、b、c的直角三角形；图1-6是把大正方形分割成四个边长为a、b、c的直角三角形和一个小正方形.图1-5采用的是“补”的方法,而图1-6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a、b、c的关系式表示出来.归纳总结：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．活动三：欣赏勾股定理的证明方法1、毕达哥拉斯证明勾股定理此图片是动画缩略图，本动画资源给出传说中毕达哥拉斯证明勾股定理的思路，通过对图形的适当改变，开拓学生的思路。

课型 新授教学目 标 重点和难点 引导学生大 胆联想，将 形与数的问 题联系起 来.鼓励学 生大胆的拼 摆，只要符 合要求，教 师都应予以 鼓励，然后 在小组内交 流，同时提 示学生根据自己拼出的 图形，联系 （研/力』疽+2 &就推证方 法说明勾股 定理探索勾股定理（二）十果题 探索勾股定理（二） （一） 教学知识点 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.运用勾股解决一些实际问题.（二） 能力训练要求 1.学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新 能力和解决实际问题的能力.2.在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数 形结合的意识. 教学重点勾股定理的证明及其应用. 教学难点勾股定理的证明.教具准备 投影片师 生 活 动 过 程 设计意图【•创设问题情景，引入新课上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾 股定理.同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不 可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的 结论不一定正确.因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的 关系. 讲授新课1. 拼一拼出示投影片（§ 1.2.2A ）（1）在一张硬纸板上画4个如右图所示全等的直角三角形.并把它们剪下来.Q（2）用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看一、能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是（。

+人）.要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可.这是一个实 际应用问 题，经过分 析，问题转 化为已知两 边求直角三 角形第三边 的问题，这 虽是一个一 元二次方程 的问题，学 生可尝试用学过的知识 来解决.同 时注意，在 此题中小孩 是静止不动 的.大正方形面积可以表示为：(。

+人)\又可以表示为：-abX4+(b-a).2对比这两种表示方法，可得出c 2=-abX4+(b-a).化简、整理得2c 2=a 2+b 2.因此我们得到了勾股定理.2. 议一议前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系.那么锐角三角形或 钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？3. 例题讲解飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4800米处，过了 10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每 小时飞行多少千米？解：根据题意，得 RtZVlBC 中，ZC=90° , AB=5000 米，AC=4800 米.由勾股定理，得 AB 2=AC 2+BC 2.即 50002=5C 2+48002,所以 BC=14(X) 米.飞机飞行1400米用了 10秒，那么它1小时飞行的距离为1400 X6X60=504000米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时.m.课时小结这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理 解决了生活中的实际问题.课堂练习：课后习题作业：作业本利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献.借助对学生 进行爱国主义教育.并在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴 趣.。