八年级数学上册探索勾股定理(第二课时)教案北师大版.doc

北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教学设计2一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版数学八年级上册的一章内容。

本章主要让学生通过探索、验证勾股定理，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。

本节课的内容是探索勾股定理的证明方法，让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的含义，并能够运用勾股定理解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力。

但是，对于勾股定理的证明方法，学生可能比较陌生，需要通过实例和引导，让学生理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的含义。

2.培养学生通过探索、验证勾股定理的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.能够运用勾股定理解决实际问题，感受数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：让学生通过探索、验证勾股定理，理解勾股定理的含义。

2.难点：如何引导学生发现和证明勾股定理，以及如何运用勾股定理解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生自主探索勾股定理的证明方法。

2.实例法：通过具体的几何图形，让学生直观地理解勾股定理。

3.实践法：让学生通过动手操作，验证勾股定理，增强学生的实践能力。

六. 教学准备1.准备相关的几何图形，如直角三角形、直角梯形等。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备勾股定理的相关资料，如历史背景、证明方法等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如测量一个直角三角形的两条直角边的长度，让学生思考如何求解斜边的长度。

引导学生回顾平面几何中关于直角三角形的知识，为学习勾股定理做铺垫。

2.呈现（10分钟）利用多媒体展示勾股定理的定义和表述，让学生了解勾股定理的基本概念。

通过几何图形的展示，让学生直观地感受勾股定理的应用。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组尝试用不同的方法证明勾股定理。

教师巡回指导，引导学生发现和证明勾股定理。

《1.2探索勾股定理（第2课时）》教学设计夏县泗交初中孙安平【教材分析】本节课是北师大版《数学（八年级上册）》第一章第一节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.【学情分析】学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.【教学目标】1、能用拼图的方法、面积法验证勾股定理，体会数形结合的思想；2、能熟练地运用勾股定理解决实际问题.【教学重难点】重点：能熟练用拼图的方法验证勾股定理；难点：用勾股定理解决实际问题。

【资源准备】制作 PPT 课件，包括：出示学习目标；通过自主探索、猜测、验证突破重难点；课堂小结；达标检测。

【课时安排】第二课时【教学过程】环节一：复习回顾1.勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.◆设计意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课的探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的欲望.环节二：新知探究◆探究活动一：教师导入，小组拼图今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）◆探究活动二：层层设问，完成验证1.学生通过自主探究，小组讨论得到如图1、图2的两个图形.2.教师提问：（1）如图1，你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书()22142a b ab c +=⨯+，并得到222c b a =+）3.学生自主探究，利用图2验证勾股定理.◆设计意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，又培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问的引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.然后让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理，目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了难点.环节三：延伸拓展，能力提升1.议一议：观察图3，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足222.a b c +=图1 图2bc a b a - _b_a a_c _b _c图32.已知：一个直角三角形的斜边为20 cm ，且两直角边的长度比为3:4，求两直角边的长.◆设计意图：在前面已经讨论了直角三角形三边的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a ，b ，c 不满足222a b c +=.通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判定打下基础.环节四：例题讲解例 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4 000 m 处，过了20 s ，飞机距离这个男孩子头顶 5 000 m ，飞机每小时飞行多少千米？解：设点A 为男孩头顶，点C 为正上方时飞机的位置，点B 为20 s 后飞机的位置，如图4，则222AB BC AC =+，即2229000000BC AB AC =-=， 所以BC=3 000，所以飞机的速度为3 000÷20=150（m/s ）=540（km/h ），答：飞机每小时飞行540 km.◆设计意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.图4环节五：例题讲解约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若一个正方形的边长是1，则它的对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪，实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识.趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.1881年，这位中年人——伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.◆设计意图：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料.介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；通过让部分学生搜集材料，展示材料，既可以让学生得到充分的锻炼，同时也可以活跃课堂气氛.环节五：课堂小结通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.◆设计意图：归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；教师了解学生对本节课的感受并进行总结；培养学生的归纳概括能力.环节六：作业布置习题1.2第1，2，3题.◆设计意图：巩固本节课的内容，充分发挥勾股定理的育人价值.【达标检测】1．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为( )A．16 B．12 C．9 D．72.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝π， S2 ＝2π，试求出S3的面积.3.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.◆设计意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.【板书设计】1.2探索勾股定理（第2课时）。

第一章勾股定理1. 1 探索勾股定理第 2 课时教学设计1.学会应用勾股定理，并领会“数与行”相结合的应用思想.2.经历勾股定理应用的过程，掌握勾股定理的使用方法.3.培养良好的合作、交流意识，发展数学观念，体会勾股定理的实际应用.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.四个全等的直角三角形纸片.一、创设情境，引入新知如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程二、合作交流，探究新知勾股定理的初步认识问题1：观察下面地板砖示意图：你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？问题2：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.方法一：割分割为四个直角三角形和一个小正方形.方法二：补补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.方法三：拼将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.想一想（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b 和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍成立吗？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边那么a2+b2=c2名字的由来我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.在西方又称毕达哥拉斯定理三、运用新知求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：已知直角三角形两边，求第三边.利用勾股定理进行计算：例求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.四、巩固新知1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .2. 判断题①△Rt ABC 的两直角边AB=5, AC=12,则斜边BC=13 ( )②△ABC 的两边a = 6 , b = 8, 则c = 10 ( )3. 填空题在△ABC中, ∠C=90°, AC = 6, CB = 8,则△ABC 的面积为_____,斜边上的高CD 为______.4. 一高为 2.5 米的木梯,架在高为 2.4 米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?五、归纳小结◆教学反思略.。

1 探索勾股定理工欲善其事，必先利其器。

《论语·卫灵公》翰皓学校陈阵语第1课时勾股定理一、基本目标1．经历勾股定理的发现过程，了解并掌握勾股定理的内容．2．通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理．二、重难点目标【教学重点】勾股定理．【教学难点】勾股定理的探究．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.2．下列说法中正确的是( C )A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则a2＋b2＝c23．若Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝8，则AC长是( B ) A．5 B．6C．7 D．8环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生对学)【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD ⊥AB于点D，求CD的长．【互动探索】(引发学生思考)要求CD的长，CD是△ABC的高，AB的长已知，如果能求出三角形ABC的面积就好办了．【解答】∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，∴由勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16＝42，∴AC＝4 cm.又∵S△ABC＝12AB·CD＝12AC·BC，∴CD＝AC·BCAB＝4×35＝125(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这个规律常与勾股定理联合使用．【例2】如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝(AD2＋CD2)．【互动探索】(引发学生思考)结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC于点E，在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．【证明】如图，过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．【互动总结】(学生总结，老师点评)构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．活动2 巩固练习学生独学)1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝5，b＝12，则c＝13；若c＝41，a＝9，则b＝40.2．腰△ABC的腰长AB＝10 cm，底BC为16 cm，则底边上的高为6，面积为48.3．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.(1)若a＝5，b＝12，求c；(2)若a＝15，c＝17，求b.解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋2＝52＋122＝19.∵c>0，∴c＝13.(2)根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64.∵b>0，∴b＝8.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．【互动探索】应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．【解答】当高AD在△ABC内部时，如图1.在Rt△AD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝92，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.当高AD在△ABC外部时，如图2.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.图1 图2 【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形时，作高构造直角三角形易漏掉钝角三角形的情况．如在本例中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形，导致漏解．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.请完成本课时对应练习！第2课时勾股定理的证明一、基本目标勾股定理的面积证法；会用勾股定理进行简单的计算．二、重难点目标【教学重点】勾股定理的面积证法．【教学难点】勾股定理的应用．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P4～P6的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，c＝10，则b＝8.2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为2.5m.3．根据下图，利用面积法证明勾股定理．证明：∵S梯形ABCD＝S△ABE＋S△BCE＋S△EDA，又∵S梯形ABCD＝12(a＋b)2，S△BCE＝S△EDA＝12ab，S△ABE＝12c2，∴12(a＋b)2＝2×12ab＋12c2，∴a2＋b2＝c2，即勾股定理得证．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生对学)【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．证明：a2＋b2＝c2.【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个大正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a＋b，∴它们的面积相等．左边大正方形面积可表示为a2＋b2＋12ab×4，右边大正方形面积可表示为c2＋12ab×4.∵a2＋b2＋12ab×4＝c2＋12ab×4，∴a2＋b2＝c2.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为( D ) A．30 cm2 B．130 cm2C．120 cm2 D．60 cm22．直角三角形两直角边长分别为5 cm,12 cm，则斜边上的高为6013 cm.3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB＝AC2－BC2＝5202－2002＝480(m)．该河流的宽度为480 m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和．【互动探索】如何找到这个点P？找到以后如何算出最短距离呢？【解答】作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，连接BP.则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知点P即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8 km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6( km)．由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，∴AB′＝10 km.即AP ＋BP＝AB′＝10 km.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km.【互动总结】(学生总结，老师点评)解这类题的关键在于运用几何知识正确找到符合条件的点P的位置，会构造Rt△AB′E.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理⎩⎪⎨⎪⎧ 验证⎩⎨⎧ 拼图法面积法简单应用请完成本课时对应练习！【素材积累】指豁出性命，进行激烈的搏斗。

探索勾股定理（教案）授课教师：高明区沧江中学林展文一、教学目标：1．用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

3. 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

4．（1）在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气；（2）通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。

二、教学重、难点等教学重点：探索和验证勾股定理教学难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理教学方法：交流——探索——归纳验证教具准备：1、学生课前准备若干张有网格的方格纸2、实物投影仪，直尺或三角板等三、教学过程:（一）创设问题情境，引出新课：引入：一根旗杆在离地面9米处折裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆原来有多高?问题转化为直角三角形中已知斜边和直角边求另一条直角边的问题，怎么办呢？这节课我们来共同探索直角三角形中三边之间的数量关系，来求得解决问题的途径。

（设计意图：通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望）（二）实验操作：1、实验探索[师]投影课本第2页图1-1和图1-2及问题（1）（2）（3）[学生]在图1-1中，正方形A 含9个小方格或者说正方形A 的边长是3个单位长度，所以A 的面积是9个单位面积；正方形B 也含9个小方格，所以B 的面积也是9个单位面积；正方形C 可以把它的边缘的12个全等的等腰直角三角形拼成6个小方格，再加上中间的12个小方格，正方形C 共含有18个小方格，所以它的面积为18个单位面积。

[师]还可以如何求得正方形C 的面积呢？[学生]可以把正方形C 分割成四个直角边为3个单位长度的等腰直角三角形，也可以算得C 的面积为18)321(42=⨯⨯个单位面积 [学生]如果把组成C 的四个等腰直角三角形沿正方形的边向外翻，我们观察又可发现C 在边长为6个单位长度的正方形中，并且C 的面积恰好是这个正方形面积的一半，即186212=⨯个单位面积。

第一章勾股定理1．探索勾股定理（2）一、学情与教材分析1.学情分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.2.教材分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.二、教学目标1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.教学难点：验证勾股定理.四、教法建议1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.五、教学设计（一）课前设计1.预习任务结合课本上P5页1-5和1-6，应用等面积法证明勾股定理，（提示：图中的正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示成小正方形加上四个直角三角形的面积）2.预习自测一、选择题1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（）公式．A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2﹣2ab+b2C．c2=a2+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2答案：C解析：∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2，∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，∴c2=a2+b2．故选C．点拨：利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出c2=a2+b2．二、填空题2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是_________．答案：勾股定理解析：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．点拨：观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．3. 如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即_________+_________=_________化简得：a2+b2=c2．答案：4×ab、（b﹣a）2、c2．解析：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2=c2，故答案是：4×ab、（b﹣a）2、c2．点拨：根据直角三角形的面积公式和正方形的面积公式进行填空．（二）课堂设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：探究发现；第三环节：数学小史；第四环节：知识运用；第五环节：随堂检测；第六环节：课堂小结．第一环节：知识回顾内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：探究发现活动1： 教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系图1整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：数学小史活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法. 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.意图：（1（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：知识运用a b内容：例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s 后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题.（1）教材P6练习题1.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第五环节：随堂检测一、选择题1. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选D．点拨：根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34答案：B解析：根据题意得：小正方形的面积=（6﹣3）2=9，大正方形的面积=32+62=45，9﹣45=36．故选B．点拨：由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差．二、填空题3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．其中正确结论序号是_________．答案：①④解析：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；∵小正方形的面积是1，∴b﹣a=1，则（b﹣a）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，∴ab=6，故④正确；根据图形可以得到a2+b2=13，b﹣a=1，而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．故答案是：①④点拨：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．4. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的结论其数学表达式是_________．答案：勾股定理、a2+b2=c2．解析：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．这个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点拨：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．三、解答题5. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是_________三角形，结论是_________（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；答案：（1）直角；a2+b2=c2；（2）见解析解析：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案是：直角；a2+b2=c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°．∵S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2=c2．点拨：（1）根据图示直接填空；（2）利用S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED进行解答．第六环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.布置作业：1．习题1.2 T2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.分层作业基础型：一、选择题1. 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA =S△CEBB．S△EDA+S△CEB=S△CDBC．S四边形CDAE =S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD答案：D解析：∵由S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．可知ab+c2+ab=（a+b）2，∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．故选D．点拨：用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．2. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C解析：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．点拨：观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．二、填空题3. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为6cm，以AC 为边的正方形的面积为25，则正方形M的面积为________．答案：11=AB2，25=AC2，AC2+AB2=BC2=6×6，解析：根据题意知，SM=36﹣25=11（cm2）．∴SM故答案是：11cm2．点拨：根据正方形的面积公式以及勾股定理解答即可．4. 如图，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8．则△ABC的周长为_________．答案：48解析：在直角三角形ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理，得CD=6；∴BC=15+6=21，∴△ABC的周长为17+10+21=48，故答案为：48．点拨：分别在两个直角三角形中求得线段BD和线段CD的长，然后求得BC的长，从而求得周长．三、解答题5. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，试求：（a+b）2的值．答案：B解析：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．点拨：根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．能力型：一、选择题1. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52 B．42 C．76 D．72答案：C解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：C．点拨：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．二、填空题2. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为_______cm2．答案：27解析：∵最大的正方形的边长为3cm，∴正方形G的面积为9cm2，由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，故答案为：27．点拨：根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．3. 魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF=2，CF=4，则AE的长为_______．答案：6解析：∵BF=2，CF=4，∴BC=BF+CF=2+4=6，∵AB∥EC，∴=，即=，解得：CE=12，在Rt△ADE中，AD=6，DE=DC+CE=6+12=18，根据勾股定理得：AE==6，故答案为：6．点拨：由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可．三、解答题4. （1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．答案：见解析解析：（1）这个公式为（a+b）2=a2+2ab+b2；证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，大正方形的面积=（a+b）2，两个长方形的面积=（a+b）b+ab，小正方形的面积=a2，那么大正方形的面积=（a+b）b+ab+a2=（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°﹣（∠ACB+∠DCE）=180°﹣90°=90°．（3）梯形ABDE的面积为（AB+ED）•BD=（a+b）（a+b）=（a+b）2；另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ab+ab+c2．所以，（a+b）2=ab+ab+c2．即a2+b2=c2．点拨：（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．探究型：一、解答题1. 教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长．（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．答案：见解析解析：（1）证明：由图得，×ab×4+c2=（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2=a2+b2+2ab，即a2+b2=c2；（2）解：∵a=3，b=4，∴c==5，梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22；（3）解：如图4，BD是△ABC的高．∵S=AC•△ABCBD=AB×3，AC==5，∴BD===．点拨：（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；（3）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB =S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB =S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+ a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．证明：连结_______，过点B作______________，则_________．∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=______________．又∵S五边形ACBED=______________=ab+c2+a（b﹣a），∴______________=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．答案：BD，BF⊥DE于F，BF=b﹣a，ab+ b2+ab，S△ACB +S△ABE+S△ADE，ab+b2+ ab．解析：证明：连结BD，过点B作BF⊥DE于F，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴。

1.1 探索勾股定理第2课时 验证勾股定理教学目标1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯2、掌握勾股定理和它的简单应用。

重点难点重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理．难点：用面积证勾股定理．教学过程一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学们交流。

在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中P7图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？同学们回答有两种可能：（1）2)(b a + （2）2421c ab +⋅ 在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。

22421)(c ab b a +⋅=+请同学们对上式进行化简，得到：22222c ab b ab a +=++即 222c b a =+这就可以从理论上说明了勾股定理存在。

请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。

二、讲解例题例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。

如右图，图中△ABC 的∠C ＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ ABC 的斜边AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。

解：由勾股定理得)(945222222千米=-=-=AC AB BC 即 BC=3千米飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：5403203600=⨯（千米／时）答：飞机每小时飞行 540千米。

第2课时勾股定理的验证和简单应用1．掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法，并能应用勾股定理解决一些实际问题．2．通过拼图验证勾股定理，使学生经历观察、猜想、验证的过程，进一步体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想．3．在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神，通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识．重点能熟练用拼图的方法验证勾股定理．难点用勾股定理解决实际问题．一、复习导入教师提出问题：1．勾股定理的内容是什么？(指名学生回答)2．上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索，发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理．二、探究新知活动1：教师导入，小组拼图．师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个完全相同的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形．(请每位学生用2分钟时间独立拼图，再4人小组讨论．)活动2：层层设问，完成验证．学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：在此基础上教师提问：(1)你能用两种方法表示图1中大正方形的面积吗？(学生先独立思考，再4人小组交流．)(2)你能由此得出勾股定理吗？为什么？(在学生回答的基础上板书(a＋b)2＝4×12ab＋c2，并得到a2＋b2＝c2.)从而利用图1验证了勾股定理．活动3：自主探究，完成验证．师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？(学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解利用图2验证勾股定理．)三、举例分析1．课件出示教材第6页“议一议”．师：怎样判断图中三角形的三边是否满足a2＋b2＝c2?生：分别求出网格中正方形的面积进行判断．教师巡视指导，对于学生出现的问题及时指导，特别是每个小正方形面积的得出．学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a2＋b2＝c2.2．一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边长度比为3∶4，求两直角边的长．四、练习巩固飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方 4 000 m处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5 000 m，飞机每小时飞行多少千米？五、小结通过这节课的学习，你有什么收获？师生共同畅谈收获．六、课外作业1．教材第7页习题1.2第2～5题．2．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其他证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评．勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其所具有的历史价值和应用价值，因此，应注意充分挖掘其内涵．特别是让学生进行调查，再进行展示，这极大地调动了学生的积极性．既加深了学生对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点．为了突破这一难点，本节课设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手．这样学生较容易地突破了本节课的难点．检测内容：17.3得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共24分)1．在函数y ＝3x －2，y ＝1x＋3，y ＝－2x ，y ＝－x 2＋7中，是正比例函数的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．(2018·沈阳)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是( C )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜03．若点A (－7，y 1)，B (－1，y 2)都在直线y ＝－65x 上，则y 1与y 2的大小关系是( D )A ．y 1≤y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1＞y 24．若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (－2，3)，则2k －b 的值为( D ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－35．已知一次函数的关系满足下表，则函数的关系式是( C )x … －2 －1 0 1 2 … y … 5 3 1 －1 －3 …A.y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x ＋1D ．y ＝－2x －16．已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y ＝kx －k (k ≠0)的图象大致是( B )7．已知一次函数y ＝32x ＋m 和y ＝－12x ＋n 的图象都经过点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B ，C 两点，那么△ABC 的面积是( C )A ．2B ．3C ．4D ．68．(2018·天门)甲、乙两车从A 地出发，匀速驶向B 地．甲车以80 km /h 的速度行驶1 h 后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B 地并停留1 h 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y(km )与乙车行驶时间x(h )之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120 km /h ；②m＝160；③点H 的坐标是(7，80A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题(每小题4分，共32分)9．直线y ＝4x －3过点(__34__，0)，(0，__－3__)．10．已知函数y ＝(k ＋1)x ＋k 2－1，当k __≠－1__时，它是一次函数，当k __＝1__时，它是正比例函数．11．将直线y ＝3x －1向上平移3个单位，得到直线__y ＝3x ＋2__．12．(2018·济宁)在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若x 1＜x 2，则y 1__＞__y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)13．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与正比例函数y ＝2x 的图象平行且经过点A (1，－2)，则kb ＝__－8__．14．某书定价8元，如果购买10本以上，超过10本的部分打八折．请写出购买数量x (本)与付款金额y (元)之间的关系式：__y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8x （0≤x≤10且x 为整数），6.4x ＋16（x ＞10且x 为整数）__．15．(2018·衢州)星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y(千米)与时间t(分钟)的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是__1.5__千米．,第15题图),第16题图)16．如图，点B ，C 分别在两条直线y ＝2x 和y ＝kx 上，A ，D 是x 轴上的两个点，已知四边形ABCD 是正方形，则k 的值为__23__．三、解答题(共44分)17．(8分)已知y 与x ＋2成正比例，且当x ＝1时，y ＝－6. (1)求y 关于x 的函数关系式；(2)若点(a ，2)在这个函数的图象上，求a 的值． (1)y ＝－2x －4 (2)a ＝－318．(8分)(2018·绍兴)一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y(升)关于加满油后已行驶的路程x(千米)的函数图象．(1)根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；(2)求y 关于x 的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．解：(1)由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，∵行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1＝40(升)，∴加满油时油箱的油量是40＋30＝70(升)(2)设y ＝kx ＋b(k≠0)，把(0，70)，(400，30)坐标代入，可得k ＝－0.1，b ＝70，∴y ＝－0.1x ＋70，当y ＝5 时，x ＝650，即该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程为650千米19．(8分)在平面直角坐标系中，直线l 过(1，3)和(3，1)两点，且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．(1)求直线l 的函数关系式； (2)求△AOB 的面积． (1)y ＝－x ＋4 (2)820．(8分)(2018·泰安)文美书店决定用不多于20000元购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完)解：(1)设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.4x 元，由题意，得1400x－16801.4x＝10，解得x ＝20，经检验，x ＝20是原方程的解，∴甲种图书售价为每本1.4×20＝28(元)，答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元(2)设甲种图书进货a 本，总利润W 元，则W ＝(28－20－3)a ＋(20－14－2)(1200－a)＝a ＋4800，∵20a ＋14×(1200－a)≤20000，解得a≤16003≈533，∵w 随a 的增大而增大，∴当a 最大时，w 最大，∴当a ＝533本时，w 最大，此时，乙种图书进货本数为1200－533＝667(本)，答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大21．(12分)如图，直线y ＝kx ＋6分别与x 轴、y 轴相交于点E 和点F ，点E 的坐标为(－8，0)，点A 的坐标为(0，3)．(1)求k 的值；(2)若P (x ，y )是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278？解：(1)∵直线y ＝kx ＋6分别与x 轴、y 轴相交于点E 和点F ，点E 的坐标为(－8，0)，∴0＝－8k ＋6，∴k ＝34(2)如图，过点P 作PH⊥OA 于点H ，∵P(x ，34x ＋6)是第二象限内的直线上的一个动点，∴PH ＝|x|＝－x ，而点A 的坐标为(0，3)，∴S ＝12×3×(－x)＝－32x(－8＜x ＜0)(3)当S ＝278时，x ＝－94，∴y ＝34x ＋6＝6916，∴当点P 运动到点(－94，6916)的位置时，△OPA 的面积为278《轴对称》导学案学习目标1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．3.掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念重难点分析1.准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质。

八年级数学上册1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教案新版北师大版一. 教材分析《新版北师大版八年级数学上册》第一章“探索勾股定理”的目的是让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵，并能够运用勾股定理解决实际问题。

本节课是该章节的第一课时，主要让学生验证勾股定理。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对三角形、直角三角形等概念有一定的理解。

但他们对勾股定理的发现过程和证明方法可能还不够深入了解，因此需要通过本节课的教学，让学生从实践中感受勾股定理的真理，提高他们的数学思维能力。

三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵。

2.培养学生运用几何图形进行推理和验证的能力。

3.提高学生对数学的兴趣和探索精神。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生通过实际操作，验证勾股定理。

2.教学难点：引导学生理解并证明勾股定理。

五. 教学方法1.实践教学法：让学生通过实际操作，发现并验证勾股定理。

2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成验证勾股定理的任务。

六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、圆规等教具。

2.制作课件，展示勾股定理的发现过程和证明方法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，让学生了解勾股定理的发现过程，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师展示勾股定理的表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

然后提出问题：如何验证这个定理呢？3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用教具和直尺，尝试构造直角三角形，并测量两条直角边和斜边的长度。

每组学生将自己的测量结果填入表格中。

4.巩固（5分钟）教师邀请几组学生汇报自己的测量结果，引导学生发现：不论直角三角形的直角边和斜边的长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边的平方。

5.拓展（5分钟）教师提出挑战性问题：如何证明这个结论对所有的直角三角形都成立呢？引导学生进一步思考和探索。

1.1 探索勾股定理（2）教学目标知识与技能1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

2．掌握勾股定理并能简单应用。

过程与方法让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的过程，进一步体会数形结合的思想．情感与态度在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐.重点难点重点：经历勾股定理的验证过程，能利用勾股定理解决实际问题.难点：用拼图法验证勾股定理.教学过程【新课导入】创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理，那么我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢？请跟我一起去探索吧！【新知构建】一、勾股定理的验证展示教材P4图1 - 4，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.生：割补法进行验证.师：出示教材P5图1 - 5和图1 - 6，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？生：讨论交流.师总结：图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a，b，c的直角三角形；图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a，b，c的直角三角形和一个小正方形.图1 - 5采用的是“补”的方法，而图1 -6采用的是“割”的方法，请同学们将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来.(1)动笔操作，独立完成.师：图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少？你们有哪些方法求？与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.1ab+c2两种方法.生1：得出(a+b)2，4×2生2：根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师：化简之后能得到勾股定理吗？生：得到a2+b2=c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方，验证了勾股定理.师：你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗？学生独立完成.师：(强调)割补法是几何证明中常用的方法，要注意这种方法的运用.二、勾股定理的简单应用1.展示教材P5例题我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?分析：根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m，因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.知识拓展：利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为(a+b)(a+b),又可以表示为(2ab+c2),所以可得(a+b)(a+b)=(2ab+c2),化简可得a2+b2=c2.2.展示教材P8图1 - 8.观察图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成) 【课堂小结】1.勾股定理的验证方法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题.【课后作业】必做题：教材第6页随堂练习，教材第7页习题1.2第1，3题.选做题：教材第7页习题1.2第2题.。