第一部分 知识复习专题专题八 思想方法专题 第一讲 函数与方程思想一、选择题1. (2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ．当0≤x ＜π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：由题意，f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＋sin5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.故选A. 答案：A2．设a ＞1，若对于任意的x ∈[a ，2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为( )A ．{a|1＜a≤2}B ．{a|a ≥2}C ．{a|2≤a ≤3}D ．{2，3}解析：依题意得y ＝a 3x ，当x ∈[a ，2a]时，y ＝a 3x ∈⎣⎡⎦⎤12a 2，a 2 [a ，a 2]，因此有12a 2≥a ，又a ＞1，由此解得a≥2.故选B.答案：B3．对任意a ∈[－1，1]，函数f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是( )A.{}x |1＜x ＜3B.{}x |x ＜1或x ＞3C.{}x |1＜x ＜2D.{}x |x ＜1或x ＞2解析：由f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0得 a(x －2)＋x 2－4x ＋4>0.令g(a)＝a(x －2)＋x 2－4x ＋4，由不等式f (x)>0恒成立，即g(a)>0在[－1，1]上恒成立．∴有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－（x －2）＋x 2－4x ＋4>0，（x －2）＋x 2－4x ＋4>0. 解得x<1或x>3. 答案：B4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其一交点为P ，则|PF 2|＝( )A.32B. 3C.72D ．4 解析：如图，令|F 1P|＝r 1，|F 2P|＝r 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ＝4，r 22－r 21＝（2c ）2＝12⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝4，r 2－r 1＝3 r 2＝72.答案：C5．(2014·大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f (－x)＝－f(x), 又因为f(x ＋2)是偶函数，则f(－x ＋2)＝f(x ＋2)，所以f(8)＝f(6＋2)＝f(－6＋2)＝f(－4)＝－f(4)，而f(4)＝f(2＋2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0，f(8)＝0，同理f(9)＝f(7＋2)＝f(－7＋2)＝f(－5)＝－f(5)；而f(5)＝(3＋2)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(9)＝1，所以f(8)＋f(9)＝1.故选D.答案：D6．(2014·湖南卷)已知函数f(x)＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g(x)＝x 2＋ln(x ＋a)图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，1e B.()－∞，e C.⎝⎛⎭⎫ －1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e解析：由题可得存在x 0∈(－∞，0)满足f(x 0)＝g(－x 0) x 20＋ex 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a) ex 0－ln(－x 0＋a)－12＝0，令h(x)＝e x －ln(－x ＋a)－12，因为函数y ＝e x 和y ＝－ln(－x ＋a)在定义域内都是单调递增的，所以函数h(x)＝e x －ln(－x ＋a)－12在定义域内是单调递增的，又因为x 趋近于－∞时，函数h(x)＜0且h(x)＝0在(－∞，0)上有解(即函数h(x)有零点)，所以h(0)＝e 0－ln(0＋a)－12＞0 ln a ＜ln e a ＜ e.故选B.答案：B二、填空题7．若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：令f(x)＝(2－2－|x －2|)2，∵－|x －2|≤0，∴0<2－|x －2|≤1.∴f(x)∈[1，4)．∵方程有实根， ∴1≤2＋a<4，解得－1≤a<2. 答案：[－1，2)8. (2014·陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．解析：由4a ＝2得a ＝12，所以lg x ＝12，解得x ＝10.答案：10三、解答题9．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝2bxax－1，a≠0，f(1)＝1且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个，求函数f(x)的表达式．解析：∵f(x)＝2bxax－1，f(1)＝1，∴2ba－1＝1.∴a＝2b＋1.又f(x)＝2x，即2bxax－1＝2x只有一个解，也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解．∴Δ＝[－2(1＋b)]2－4×2a×0＝0，即(1＋b)2＝0.得b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝2xx＋1.10．某地区要在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB＝BC＝2OA＝4 km，曲线OC段是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在AB，BC上，且一个顶点在曲线OC段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？并求出最大的用地面积．解析：以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝2py，由C(2，4)代入得：p＝1 2，所以曲线段OC的方程为：y＝x2(x∈[0，2])．A(－2，0)，B(－2，4)，设P(x，x2)(x∈[0，2])在OC上，过P作PQ⊥AB于Q，PN ⊥BC于N，故PQ ＝2＋x ，PN ＝4－x 2， 则矩形商业楼区的面积 S ＝(2＋x)(4－x 2)(x ∈[0，2])．S ＝－x 3－2x 2＋4x ＋8，令S′＝－3x 2－4x ＋4＝0得x ＝23或x ＝－2(舍去)，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，23时，S ′＞0，S 是x 的增函数， 当x ∈⎣⎡⎦⎤23，2时，S ′＜0，S 是x 的减函数， 所以当x ＝23时，S 取得最大值，此时PQ ＝2＋x ＝83，PN ＝4－x 2＝329，S max ＝83×329＝25627(km 2)．故该矩形商业楼区规划成长为329 km ，宽为83 km 时，用地面积最大为25627km 2.11．进入2007年以来，猪肉价格上涨，养猪所得利润比原来有所增加．某养殖户拟建一座平面图(如图所示)是矩形且面积为200平方米的猪舍养殖生猪，由于地形限制，猪舍的宽x 不少于5米，不多于a 米，如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米需投入10元，房顶(房顶与地面形状相同)每平方米需投入15元，猪舍外面的四周墙壁每米需投入20元，中间四条隔墙每米需投入10元．问：当猪舍的宽x 定为多少时，该养殖户投入的资金最少？最少是多少元？解析：设该养殖户投入资金为y 元，易知猪舍的长为200x米， ∵y ＝200×10＋200×15＋⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ×20＋4x ×10＝80⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋5 000(5≤x≤a)， ∵函数f(x)＝x ＋100x在[5，10]上单调递减，在[10，＋∞)上单调递增， ∴当a≥10时，y min ＝6 600，此时x ＝10；当5≤a ＜10时，y min ＝80⎝⎛⎭⎫a ＋100a ＋5 000，此时x ＝a. ∴若a≥10米，猪舍的宽定为10米，该养殖户投入的资金最少是6 600元；若5≤a ＜10米，猪舍的宽就定为a 米，该养殖户投入的资金最少是[80⎝⎛⎭⎫a ＋100a ＋5 000]元．12．直线m ：y ＝kx ＋1和双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A ，B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 2＝1(x≤－1)消去y ， 得(k 2－1)x 2＋2kx ＋2＝0.①(联立方程是解决交点问题的一般方法)因为直线m 与双曲线的左支有两个交点，所以方程①有两个不相等的负实数根．所以⎩⎨⎧Δ＝4k 2＋8（1－k 2）＞0，x 1＋x 2＝2k 1－k 2＜0，x 1·x 2＝－21－k2＞0，解得1＜k ＜ 2.设M(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝k1－k2，y 0＝kx 0＋1＝11－k 2.由P(－2，0)，M ⎝⎛⎭⎫k 1－k 2，11－k 2，Q(0，b)三点共线，得出b ＝2－2k 2＋k ＋2，……(构造出b 和k 的函数关系式)设f(k)＝－2k 2＋k ＋2＝－2⎝⎛⎭⎫k －142＋178，…(使函数更加清晰) 则f(k)在(1，2)上为减函数， ∴f(2)＜f(k)＜f(1)，且f(k)≠0. ∴－(2－2)＜f(k)＜0或0＜f(k)＜1. ∴b ＜－2－2或b ＞2.∴b 的取值范围是(－∞，－2－2)∪(2，＋∞)．13．若关于x 的方程4x ＋a·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围．解析：解法一 令2x ＝t(t ＞0)，则原方程可化为 t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*)问题转化为方程(*)在(0，＋∞)上有实数解，求a 的取值范围． ①当方程(*)的根都在(0，＋∞)上时，可得下式 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4（a ＋1）≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0⎩⎪⎨⎪⎧a≤2－22或a≥2＋22，a ＜0，a ＞－1，即－1＜a≤2－22，②当方程(*)的根一个在(0，＋∞)上，另一根在(－∞，0]上时， 令f(t)＝t 2＋at ＋a ＋1得f(0)≤0，即a≤－1. 由①②知满足条件的a 的取值范围为 (－∞，2－22]． 解法二 令t ＝2x (t ＞0)， 则原方程可化为t 2＋at ＋a ＋1＝0. 变形为a ＝－1＋t 21＋t ＝－（t 2－1）＋21＋t＝－⎣⎡⎦⎤（t －1）＋2t ＋1＝－⎣⎡⎦⎤（t ＋1）＋2t ＋1－2≤－(22－2)＝2－2 2.当且仅当t ＝2－1时取等号． 所以a 的取值范围是(－∞，2－22)．。
专题八 系列4选讲第一讲 (选修4－4)坐标系与参数方程必记公式]直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，t an θ＝yx (x ≠0).重要结论]1．圆的极坐标方程(1)若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； ②当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； ③当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a si n θ. 2．直线的极坐标方程(1)若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsi n (θ－α)＝ρ0si n (θ0－α)．(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； ③直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsi n θ＝b.3．几种常见曲线的参数方程 (1)圆①以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r si n α，其中α是参数． ②当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r si n α，其中α是参数．(2)椭圆①椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b si n φ，其中φ是参数．②椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a si n φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t si n α，其中t 是参数． 4．直线参数方程中参数t 的几何意义过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t si n α(t 为参数)①. 通常称①为直线l 的参数方程的“标准式”．其中参数t 的几何意义是：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.当0<α<π时，si n α>0，所以，直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．此时，若t >0，则M 0M →的方向向上；若t <0，则M 0M →的方向向下；若t ＝0，则点M 与点M 0重合，即当点M 在M 0上方时，有t ＝|M 0M →|；当点M 在M 0下方时，有t ＝－|M 0M →|.失分警示]1．极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．考点极坐标方程及其应用典例示法典例1 已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5si nt (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2si n θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解](1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5si nt消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsi n θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsi n θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.解决极坐标系问题的策略(1)如果题目中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐标方程，则可以统一转化到直角坐标系中，利用直角坐标系的定理、公式解题．(2)如果题目中曲线的极坐标方程比较复杂，不方便化成直角坐标方程或者极坐标系中的极角、极径关系比较明显，比如已知两个点的极坐标，求两个点间的距离，则可以直接利用已知的极角、极径结合余弦定理求距离．针对训练2016·衡阳联考]在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点． (1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．解 (1)曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，变形ρ2＝2ρa cos θ， 化为x 2＋y 2＝2ax ，即(x －a )2＋y 2＝a 2. ∴曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆； 由l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，展开为12ρcos θ＋32ρsi n θ＝32，∴l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由题可知直线l 与圆C 相切，即|a －3|2＝a ，解得a ＝1.(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3， 则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3cos θ－3si n θ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.考点参数方程及其应用典例示法典例2 2014·全国卷Ⅰ]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解](1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3si n θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3si n θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3si n θ－6|.则|P A |＝d si n 30°＝255|5si n (θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且t an α＝43.当si n (θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当si n (θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.1．参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用si n 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式： ①t ·1t ＝1；②⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4； ③⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1. 2．参数方程表示的曲线的综合问题的求解思路 (1)可以统一成普通方程处理．(2)利用参数方程中参数解决问题，如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题，利用圆锥曲线参数方程中的参数角θ解决与最值相关的问题．针对训练2016·唐山统考]将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D.(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解 (1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435， 且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35.考点极坐标方程与参数方程的综合应用典例示法典例3 2015·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t si n α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2si n θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得⎩⎨⎧x＝0，y＝0或⎩⎨⎧x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2si nα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2si nα－23cosα|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪si n⎝⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.解决极坐标方程、参数方程综合问题的方法与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、圆、椭圆，处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程，利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题，另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数方程，化为三角函数的最值问题处理．针对训练2016·西安质检]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝3cosα，y＝si nα(α为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsi n⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4 2.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程．(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．解(1)对于曲线C 1有⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos α，y ＝si n α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋y 2＝cos 2α＋si n 2α＝1， 即C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.对于曲线C 2有ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22ρ(cos θ＋si n θ)＝42⇔ρcos θ＋ρsi n θ＝8⇔x ＋y －8＝0，所以C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0.(2)显然椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上点P (3cos α，si n α)到直线x ＋y －8＝0的距离为d ＝|3cos α＋si n α－8|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2si n ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－82，当si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1时，d 取最小值为32，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.全国卷高考真题调研]1．2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t si n α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，t an α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.2．2015·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsi n θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsi n θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2， 即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．2014·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝si nt(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，si nt )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，t ant ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，si n π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.其它省市高考题借鉴]4．2016·北京高考]在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsi n θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 2解析 将ρcos θ－3ρsi n θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1，又(1,0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.5．2015·湖北高考]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(si n θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 2 5解析 因为ρ(si n θ－3cos θ)＝0，所以ρsi n θ＝3ρcos θ，所以y －3x ＝0，即y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t ，消去t 得y 2－x 2＝4.由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，由两点间的距离公式得 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3222＝2 5.6．2015·湖南高考]已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B，求|MA|·|MB|的值．解(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①，即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将⎩⎨⎧x＝5＋32t，y＝3＋12t代入②，得t2＋53t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.1．2016·合肥质检]在直角坐标系xOy中，曲线C：⎩⎪⎨⎪⎧x＝2cosα＋1，y＝2si nα＋1(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsi nθ＋ρcosθ＝m.(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为22，求实数m的取值范围．解(1)曲线C的普通方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；当m＝0时，直线l的直角坐标方程为：x＋y＝0，圆心C到直线l的距离为d＝|1＋1|12＋12＝2＝r，r为圆C的半径，所以直线l与圆C相切．(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝|1＋1－m|12＋12≤322，解得－1≤m ≤5.2．2016·湖南四校联考]已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y的取值范围．解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4si n ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32si n θ－12cos θ又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0⇒(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2，将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y 得z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是－2,2]．3．2016·山西质检]已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ，y ＝2si n φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．解 (1)C 1：ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2si n 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2si n 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.4．2016·长春质量监测]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t si n α(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. (1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； (2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．解 (1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsi n θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，其表示一个圆．(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得：t 2－23si n α·t －13＝0，|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(23si n α)2－4×(－13)＝12si n 2α＋52，因此|AB |的最小值为213，最大值为8.5．2016·河南六市一联]在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsi n 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． 解 (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsi n 2θ，得ρ2si n 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7， 所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62，因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22， 所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.6．2016·贵阳监测]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t si n α(t 为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C.(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值． 解 (1)证明：依题意|OA |＝4cos φ， |OB |＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4，则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4 ＝22(cos φ－si n φ)＋22(cos φ＋si n φ) ＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.7．2016·重庆测试]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝si n α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P 的坐标为(－2,2)，求|PB |＋|AB |的最小值．解(1)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos αy ＝si n α可得，(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋si n 2α＝1，所以曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.由直线l 的极坐标方程：ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得ρ(si n θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)设点P 关于直线l 的对称点为Q (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋a 2＋2＋b2＝4，b －2a －(－2)·(－1)＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6，由(1)知，曲线C 为圆，圆心坐标为C (1,0)， 故|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1＝37－1.当Q ，B ，A ，C 四点共线，且A 在B ，C 之间时，等号成立，所以|PB |＋|AB |的最小值为37－1.8．2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a si nt (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足t an α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsi n θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsi n θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8si n θcos θ＋1－a 2＝0，由已知t an θ＝2，可得16cos 2θ－8si n θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.。
