关于方程实数根的研究

一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，b那么x1+x2=-ac，x1x2=a4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系22.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝．b4ac3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。

【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根．类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜且k ≠1时，方程有两个不相等23的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝时，方程有两个相等的实数根；23(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞时，方程没有实数根．23说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。

一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。

【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。

第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数高频考点二：证明唯一零点问题高频考点三：根据零点情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点问题②利用数形结合法研究函数的零点问题③构造函数研究函数零点问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()y f x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()y f x=的零点．（2）三个等价关系方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)(xfy=有零点．2、函数零点的判定如果函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b⋅<，那么函数()y f x=在区间(,)a b内有零点，即存在(,)c a b∈，使得()0f c=，这个c也就是()0f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点1．（2022·全国·高二）已知函数()f x的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x的导函数()y f x='的图象如图所示，则下列关于函数()f x的命题：① 函数()y f x=是周期函数；② 函数()f x在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t∈-时，()f x的最大值是2，那么t的最大值为4；④ 当12a<<时，函数()y f x a=-有4个零点．其中真命题的个数是A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数()2e1xf x x a=+-()a R∈有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭B．2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．2,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭3．（2022·全国·高二）若函数()3239f x x x x m =--+仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()5,-+∞B ．(,27)(5,)-∞-⋃+∞C ．(,27)-∞D ．(,5)(27,)-∞-⋃+∞4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数()326f x x x m =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣4，4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数1．（2022·全国·高二）设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )（ ）A ．在区间1(,1)e，(1，e )内均有零点 B ．在区间1(,1)e，(1，e )内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1，e )内无零点D ．在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1，e )内有零点2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()12xx e f x e=-+，其中e 为自然对数的底数， 2.7182818e =……，则()f x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()()1ln 03f x x x x =->的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·高二课时练习）求函数3()231f x x x =-+零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程3269100x x x -+-=的实根个数是______ ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()1x f x e x =-+的零点个数是__________．8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数()()1ln 2af x x a x x=+---，其中R a ∈． (1)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值； (2)若2e a <，讨论()f x 在区间2[1,e ]上的零点个数．9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数()()1e xf x x =+．(1)判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值； (2)求出方程()()f x a a R =∈的解的个数．高频考点二：证明唯一零点（根）问题1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ．(1)若1a =，求()f x 的单调区间及相应区间上的单调性； (2)证明:()f x 只有一个零点．2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数()ln x axf x x+=，R a ∈. (1)若0a =，求()f x 的最大值；(2)若01a <<，求证：()f x 有且只有一个零点.3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数217()ln 4,()2ln 22f x x x xg x x x =-=++. (1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：函数()()()h x f x g x =+仅有一个零点.高频考点三：根据零点（根）情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数32()34f x x ax bx =+++在1x =-时有极值0． (1)求函数()f x 的解析式；(2)记()()21g x f x k =-+，若函数()g x 有三个零点，求实数k 的取值范围．2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数()21xx x f x e+-=. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x a =-（a 为常数）有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数3()91f x ax x =-+，0a >． (1)若3a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围．4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()f x = (1)当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； (2)若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数()()()211e 2xf x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数ln ()xf x x= (1)填写函数()f x 的相关性质；2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数()2e xf x a x =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.(1)若()0f x =有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2x x f x e ae a =+∈R(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()21x g x a x e x =-+，若方程()()g x f x =有三个不同的解，求a 的取值范围.6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数()2()ln 1R f x x ax a =+-∈(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．③构造函数研究函数零点（根）问题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），()sing x a x =（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），a R ∈.(1)若直线:l y kx =与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求a 的值； (2)若方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求a 的取值范围.2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数()()2ln ,f x x x g x x ax b ==++.(1)若()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线，求实数,a b 的取值；(2)若2b =时，方程()()f x g x =在()1,+∞上有两个不同的根，求实数a 的取值范围.3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈． (1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()()11ln e f x a x x=+++，()()e x g x x a a =++∈R ．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若当1≥x 时，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．5．（2022·河南·三模（理））已知函数()()ln 1f x x =+，()e 1xg x =-.(1)判断函数()()()h x f x g x =-的零点个数；6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()(1)x f x e a x =+-，()sin cos g x ax x x =++ (1)求函数()f x 的最值；(2)令()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间(,)4π-+∞上的零点个数，并说明理由．1．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)一、单选题1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．（2022·全国·高二）函数32()2f x x x x =-++-的零点个数及分布情况为（ ） A ．一个零点，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内B ．二个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+内C ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞内D ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,1，()1,+∞内4．（2022·全国·高二）直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-5．（2022·全国·高二）已知函数20()210x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ） A ．e -B ．1-C ．2D ．2e6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x =，()322g x x ex ax =-+，其中e 为自然对数的底数，若方程()()f x g x =存在两个不同的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．22,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．()2,e -∞D ．22,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数22()2(2)e (1)e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3122312222e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．368．（2022·全国·高三专题练习）已知方程|ln |2x kx =+在区间()50,e 上恰有3个不等实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．5331,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5331,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题9．（2022·河南焦作·二模（理））函数1()e ln 1x f x a x -=--在(0,)+∞上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______. 10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．12．（2022·全国·高二）已知函数3211()(2)1()32xf x ax ax e x a R =---+∈在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知()2()e ()x f x x a a =+∈R ．(1)若2是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断2是()f x 的极大值点还是极小值点； (2)若关于x 的方程()2ln e x f x x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．参考数据：ln 20.693≈14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数()1e x f x ax =--，a ∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若方程()ln f x x x =在(1,e)上有实根，求实数a 的取值范围．15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =. (1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方； (2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数()32113f x x ax bx =++-，当2x =时，函数()f x 有极值13-.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有三个解，求实数k 的取值范围.17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．。

专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.知识梳理分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）知识结模块一：得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f综合结论（不讨论）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由典例剖析()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.5050021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线． （1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。

2023年《方程的根与函数的零点》教学设计2023年《方程的根与函数的零点》教学设计1一、教学目标（1）知识与技能：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。

（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。

（3）情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。

二、教学重难点重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念难点：函数零点与方程根之间的联系三、教法学法以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台四、教学过程1．创设问题情境，引入新课问题1求下列方程的根师生互动:问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。

问题2填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律问题3完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系？师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。

2．建构函数零点概念函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

思考：（1）零点是一个点吗？（2）零点跟方程的根的关系？(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格）师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。

3．知识的延伸，得出等价关系(1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点(3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点2023年《方程的根与函数的零点》教学设计2一、背景分析1、学习任务分析函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。

一元二次方程根与系数关系知识定位设一元二次方程有二实数根，则，。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。

其逆命题也成立。

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。

而且这部分内容题型多样，方法灵活，触及知识面广。

知识梳理知识梳理1：求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

知识梳理2：构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。

知识梳理3：证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式知识梳理4：研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。

关于方程的实根符号判定有下述定理：⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；⑶方程有异号二根，ac<0；⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；知识梳理4：求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。

例题精讲【试题来源】【题目】已知a 2＋2a=3,b 2＋2b=3, a b ＋ba= . 【答案】83- 【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知关于x 的一元二次方程 x 2－2x －a 2－a=0﹙a ＞0﹚. (1) 证明：这个方程的一个跟比2大，另一个根比2小.(2) 若对于a=1,2…,,2011,相应的一元二次方程的两个根分别为α1，β1，α2，β2，,,α2011，β2011，求【答案】（1）见解析 （2）20111006- 【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p 的取值范围是.p<-【答案】1【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】设a、b是方程x2＋68x＋1=0两根，c、d是方程x2 86x＋1=0两根，则﹙a＋c﹚﹙b＋c﹚﹙a－d﹚﹙b－d﹚的﹜值为。

z根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax !+bx +c =0(a ≠0)的两个实数根是，那么，. 注意：它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0有两个实数根x "，x !．（1）若|x "|+|x !|=2√2，求k 的值； （2）当k 取哪些整数时，x "，x !均为整数； （3）当k 取哪些有理数时，x "，x !均为整数． 【思路点拨】（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可； （2）根据根与系数的关系可得若x "+x !=−!#为整数，可得整数k =±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k =−1时，符合题意；由两根之积可得k 应该是整数的倒数，不妨设k ="$，则方程可变形21x x ㄑa b x x -=+21ac x x =21◆思想方法◆典例分析◆知识点总结z为x !+2mx +m −2=0，即为(x +m )!=m !−m +2，再结合整数的意义即可解答． 解：（1）∵Δ=2!−4k (1−2k )=4−4k +8k !=88k !−"!k +"!9=88k −"%9!+&!>0， ∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0都有两个实数根x "，x !， ∵关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0有两个实数根x "，x !， ∴x "+x !=−!#,x "x !="'!##，分两种情况：①若两根同号，由|x "|+|x !|=2√2可得：x "+x !=2√2，或x "+x !=−2√2， 当x "+x !=2√2时，则−!#=2√2，解得k =−√!!； 当x "+x !=−2√2时，则−!#=−2√2，解得k =√!!； ②若两根异号，由|x "|+|x !|=2√2可得：(x "−x !)!=8， 即(x "+x !)!−4x "x !=8， ∴8−!#9!−4×"'!##=8，解得：k =1， 综上，k 的值为1或 ±√!!； （2）∵关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0有两个实数根x "，x !， ∴x "+x !=−!#,x "x !="'!##，若x "，x !均为整数， 则x "+x !=−!#为整数， ∴整数k =±1,±2， 当k =±2时，x "x !="'!##不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x !+2x −1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =−1时，此时方程为−x !+2x +3=0，方程的两个根为x "=−1,x !=3，都是整数，符合题意； 综上，当k 取−1时，x "，x !均为整数； （3）显然，当k =−1时，符合题意； 当k 为有理数时，由于x "x !="'!##="#−2为整数，zxx∴k 应该是整数的倒数，不妨设k ="$ (m ≠0)，m 为整数， 则方程kx !+2x +1−2k =0即为x !+2mx +m −2=0， 配方得：(x +m )!=m !−m +2， 即x =−m ±√m !−m +2，当m =2即k ="!时，方程的两根为x "=0,x !=−4，都是整数，符合题意；当m ≠2时，m !−m +2=(m −"!)!+&%不是完全平方数，故不存在其它整数m 的值使上式成立； 综上，k =−1或"!．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax !+bx +c =0(a ≠0)有两个根x "和x !，且1<x "<2<x !<4，那么方程cx !−bx +a =0的较小根x )的范围为( ) A ．"!<x )<1 B ．−4<x )<−2C ．−"!<x )<−"%D ．−1<x )<−"!【思路点拨】由根与系数的关系得出x "+x !=−*+，x "⋅x !=,+，再设方程cx !−bx +a =0的为m ，n ，根据根与系数的关系得出m +n =−("-!+"-")，mn ="-"⋅-!，从而得出方程cx !−bx +a =0的两根为−"-"，−"-!，然后由1<x "<2<x !<4，求出−"-"，−"-!的取值范围，从而得出结论．【解题过程】解：∵方程ax !+bx +c =0(a ≠0)有两个根x "和x !， ∴x "+x !=−*+，x "⋅x !=,+，设方程cx !−bx +a =0的两根为m ，n ， 则m +n =*,，mn =+,，∵m +n =*,=−*+⋅(−+,)，mn ="-"⋅-!，∴m +n =−(x "+x !)⋅"-"⋅-!=−-"/-!-"⋅-!=−("-!+"-")，∴方程cx !−bx +a =0的两根为−"-"，−"-!，◆学霸必刷∵1<x"<2，2<x!<4，∴"!<"-"<1，"%<"-!<"!，∴−1<−"-"<−"!，−"!<−"-!<−"%，∵−"-"<−"-!，∴方程cx!−bx+a=0的较小根x)的范围为−1<x)<−"!．故选：D．2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x!+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x"、x!满足x"!+x")=4−(x!!+x!))，则实数p的所有值之和为（）A．0 B．−)%C．−1D．−0%【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x"!+2px"−3p−2=0，x"+x!=−2p，进而推出x")=3px"+2x"−2px"!，则x")+x"!=3px"+2x"−2px"!+x"!，x!)+x!!=3px!+2x!−2px!!+ x!!，即可推出(3p+2)(x"+x!)+(1−2p)(x"!+x!!)=4，然后代入x"+x!=−2p，x"!+x!!= (x"+x!)!−4p得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x"、x!是方程x!+2px−3p−2=0的两个相等的实数根，∴x"!+2px"−3p−2=0，x"+x!=−2p，x"x!=−3p−2，∴x"!+2px"=3p+2，∴x")+2px"!=3px"+2x"，∴x")=3px"+2x"−2px"!，∴x")+x"!=3px"+2x"−2px"!+x"!，同理得x!)+x!!=3px!+2x!−2px!!+x!!，∵x"!＋x")=4−(x!!+x!))，∴x"!+x")+(x!!+x!))=4，∴3px"+2x"−2px"!+x"!+3px!+2x!−2px!!+x!!=4，∴(3p+2)(x"+x!)+(1−2p)(x"!+x!!)=4，∴(3p+2)(−2p)+(1−2p)[(−2p)!−2(−3p−2)]=4，∴−6p!−4p+(1−2p)(4p!+6p+4)=4，∴−6p!−4p+4p!+6p+4−2p(4p!+6p+4)=4，∴−2p!+2p−2p(4p!+6p+4)=0，∴−2p(4p!+6p+4+p−1)=0，∴2p(4p!+7p+3)=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，解得p"=0，p!=−1，p)=−)%，∵Δ=(2p)!+4(3p+2)>0，∴p!+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=−1不符合题意，∴p"+p)=−)%∴符合题意，故选B．3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x!−2x+a!+b!+ab=0的两个根为x"=m，x!=n，且a+b=1．下列说法正确的个数为（ ）①m·n＞0；②m>0，n>0；③a!≥a；④关于x的一元二次方程(x+1)!+a!−a=0的两个根为x"= m−2，x!=n−2．A．1B．2C．3D．4【思路点拨】根据根与系数的关系得x"x!=mn=a!+b!+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a!−a+1=8a−"!9! +)%>0，从而即可对①进行判断；由于x"+x!=m+n=2>0，x"x!=mn>0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ=4−4(a!+b!+ab)≥0，即4−4(a!−a+1)≥0，则可对③进行判断；利用a!+b!+ab=a!−a+1把方程x!−2x+a!+b!+ab=0化为(x−1)!+a!−a+1=0，由于方程(x−1)!+a!−a=0可变形为[(x+2)−1]!+a!−a=0，所以x+2=m或x+2=n，于是可对④进行判断．【解题过程】解：根据根与系数的关系得x"x!=mn=a!+b!+ab，∵a+b=1，∴b=1−a，∴mn=a!+(1−a)!+a(1−a)=a!−a+1=8a−"!9!+)%>0，所以①正确；∵x"+x!=m+n=2>0，x"x!=mn>0，∴m>0，n>0，所以②正确；∵Δ≥0，∴4−4(a!+b!+ab)≥0，即4−4(a!−a+1)≥0，∴a≥a!，所以③错误；∵a!+b!+ab=a!−a+1，∴方程x!−2x+a!+b!+ab=0化为(x−1)!+a!−a+1=0，即(x−1)!+a!−a=0，∵方程(x+1)!+a!−a=0可变形为[(x+2)−1]!+a!−a=0，∴x+2=m或x+2=n，解得x"=m−2，x!=n−2，所以④正确．故选：C．4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x!−8cx−9d=0的解，c、d是方程x!−8ax−9b=0的解，则a+b+c+d的值为．【思路点拨】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a!−8ac−9d= 0，代入可得a!−72a+9c−8ac=0，同理可得c!−72c+9a−8ac=0，两式相减即可得a+c的值，进而可得a+b+c+d的值．【解题过程】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8(a+c)．因为a是方程x!−8cx−9d=0的根，所以a!−8ac−9d=0，又d=8a−c，所以a!−72a+9c−8ac=0①同理可得c!−72c+9a−8ac=0②①-②得(a−c)(a+c−81)=0．因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8(a+c)=648．故答案为648．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求|a|+|b|+|c|的最小值【思路点拨】用分类讨论的思想，解决问题即可．【解题过程】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，，且b+c=2−a，bc=%+=0的两实根，于是b，c是一元二次方程x!−(2−a)x+%+≥0，即(a!+4)(a−4)≥0，∴Δ=(2−a)!−4×%+所以a≥4．又当a=4，b=c=−1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则|a|+|b|+|c|=a−b−c=a−(2−a)=2a−2，∵a≥4，故2a−2≥6，当a=4，b=c=−1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．故答案为：6．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)!+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax!+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)!−2=0是“同源二次方程”，且方程ax!+ bx+c=0（a≠0）有两个根为x"、x!，则b－2c＝，ax"+x"x!+ax!的最大值是．【思路点拨】利用ax!+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)!−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x"+x!=−2，x"x!=+'!+，进而得出ax"+x"x!+ax!=−28a+"+9+1，设a+"+=t（t>0），得a!−t⋅a+1=0，根据方程a!−t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t!−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax"+x"x!+ax!的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax!+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)!−2=0，∴a(x+1)!−2=ax!+bx+c，展开，ax!+2ax+a−2=ax!+bx+c，可得b=2a，c=a−2，∴b−2c=2a−2(a−2)=4；∵x"+x!=−2，x"x!=+'!+，∴ax"+x"x!+ax!=a(x"+x!)+x"x!=−2a++'!+=−28a+"+9+1，∵方程ax!+bx+c=0（a≠0）有两个根为x"、x!，∴Δ=b!−4ac=(2a)!−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，∴a>0，设a+"+=t（t>0），得a!−t⋅a+1=0，∵方程a!−t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t!−4≥0，解得t≥2，即a+"+≥2，∴ax"+x"x!+ax!=−28a+"+9+1≤−3．故答案为：4，-3．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x!y+xy!=484，求x)+y)．【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设xy=m，x+y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn，则m、n为t!−44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再对x)+y)变形后将m=n=22代入计算即可．【解题过程】解：设xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x!y+xy!=xy(x+y)=mn，∴m、n为t!−44t+484=0的根，∴m=n=22，∴x)+y)=(x+y)(x!+y!−xy)=(x+y)[(x+y)!−3xy]=n[n!−3m]=n)−3mn=9196．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x!+3x−5=0的两根分别为x"、x!．（1）求"-"'"+"-!'"的值；（2）求3x"!+6x"+x!!的值．【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x"⋅x!=,+，x"+x!=−*+时，需要弄清楚a、b、c的意义．（1）利用根与系数的关系求得求"-"'"+"-!'"的值的值；（2）由一元二次方程的解可得x"!+3x"−5=0,再利用根与系数的关系求解即可．【解题过程】（1）∵x"+x!=−3,x"x!=−5，∴1x"−1+1x!−1=x!−1+x"−1 (x"−1)(x!−1)=x"+x!−2 x"x!−(x"+x!)+1=−3−2−5−(−3)+1=5；（2）∵x"是一元二次方程x!+3x−5=0的根，∴x"!+3x"−5=0,∴x"!+3x"=5，又∵x"+x!=−3,x"x!=−5，∴3x"!+6x"+x!!=2(x"!+3x")+(x"+x!)!−2x"x!=29．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x!−2mx+m!−n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax!+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方程的两个实数根为x"、x!，则x"+x!=−*+，x"⋅x!=,+．（1）根据方程x!−2mx+m!−n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0，列出不等式即可得答案；（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程x!−2mx+m!−n=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(−2m)!−4(m!−n)>0，解得：n>0．（2）设方程的两个实数根为x"、x!，且x">x!，∴x"+x!=2m，x"⋅x!=m!−n，由（1）可知：n>0，∵n为符合条件的最小整数，∴n=1，∵该方程的较大根是较小根的3倍，∴x"=3x!，∴4x!=2m，3x!!=m!−1，∴3×$!%=m!−1，解得：m"=−2，m!=2．当m=2时，x!=1，则x"=3x!=3，符合题意，当m=−2时，x!=−1，则x"=3x!=−3<x!，与x">x!不符，舍去，∴m=2．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x!+2x−m!−m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=−2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α"、β"，α!、β!，⋅⋅⋅，α!1!%、β!1!%，求"2"+"3"+"2!+"3!+⋯+"2!#!$+"3!#!$的值．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x"+x!=−*+,x"⋅x!=,+可得："-"+"-!=-"/-!-"⋅-!=!$!/$，进一步可寻找"2!#!$+"3!#!$的规律，即可求解．【解题过程】（1）解：∵关于x的一元二次方程x!+2x−m!−m=0，α和β分别是该方程的两个根，∴αβ=−m!−m∵αβ=−2，∴−2=−m!−m∴m=1或m=−2；（2）解：设方程x!+2x−m!−m=0的两个根为：x",x!则x"+x!=−*+=−2,x"⋅x!=,+=−m!−m，∴" -"+"-!=-"/-!-"·-!=!$!/$=!$($/")∴" 2"+"3"=!"×!，"2!+"3!=!!×)，"2%+"3%=!)×%…．．1α!1!%+1β!1!%=22024×2025∴" 2"+"3"+"2!+"3!+⋯+"2!#!$+"3!#!$=2×8""×!+"!×)+...+"!1!%×!1!09=2×X1−12+12−13+...+12024−12025Y=2×X1−1 2025Y=4048 202511．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x!+(2m+3)x+m!=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m的取值范围（2）若满足"2+"3=−1，求m的值．（3）若α>2，求证：β>2；【思路点拨】（1）根据一元二次方程x!+(2m+3)x+m!=0的两个不相等的实数根，得Δ>0，即可列式作答；（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=−(2m+3)和αβ=m!，因为"2+"3=−1，所以!$/)$!=1，解得m"=3，m2=−1，结合m>−)%，即可作答；（3）因为(α−2)(β−2)=αβ−2(α+β)+4，结合α+β=−(2m+3)和αβ=m!，得m!+2(2m+3)+ 4=(m+2)!+6，则(α−2)(β−2)≥6>0，又因为α>2，即可证明β>2．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x!+(2m+3)x+m!=0的两个不相等的实数根∴Δ=b!−4ac=(2m+3)!−4×1×m!=4m!+12m+9−4m!=12m+9>0，即m>−)%；（2）解：∵"2+"3=323+223=2/323=−1，且α+β=−*+=−(2m+3)，αβ=,+=m!∴!$/)$!=1整理得m!−2m−3=0，解得：m"=3，m2=−1∵由（1）知m>−)%，∴m=3检验：当m=3时，m!≠0，即m=3；（3）证明：因为(α−2)(β−2)=αβ−2(α+β)+4，把α+β=−(2m+3)和αβ=m!代入上式，得m!+2(2m+3)+4=m!+4m+10=(m+2)!+6，∵(m +2)!≥0， ∴(m +2)!+6≥6 ∴(α−2)(β−2)≥6>0 ∵α>2， ∴α−2>0， ∴β−2>0， 即β>2．12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x !+4x +1=0的两根是α、β． （1）求|α−β|的值； （2）求Z 23+Z 32的值；（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x )+y )=(x +y)(x !+y !−xy )． 【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β)!的值，进而求得|α−β|的值．（2）先根据二次根式的性质将Z 23+Z 32化为√293+93√2，然后通分化简可得2/3923，最后将α+β=−4,αβ=1代入计算即可；（3）由题意可得新一元二次方程的两个根为8"29)和8"39)，然后求得8"29)+8"39)和8"29)8"39)的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【解题过程】（1）解：∵方程x !+4x +1=0的两根是α、β ∴α+β=−4,αβ=1∴(α−β)!=(α+β)!−4αβ=12 ∴|α−β|=2√3；（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵[\αβ+\βα]!=αβ+βα+2=α!+β!αβ+2=(α+β)!−2αβαβ+2=16，∴Z23+Z32=4（负值舍去）；（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为8"29)和8"39)则8"29)+8"39)=(1α+1β)^X1αY!+X1βY!−1αβ_=α+βαβ^α!+β!α!β!−1αβ_=α+βαβ^(α+β)!−2αβα!β!−1αβ_=−41`16−21!−1a=−52X 1αY)X1βY)=X1αβY)=1所以新的一元二次方程x!+52x+1=0．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x"+x!=$'"$，若方程的两根之和为整数，即$'"$为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0可有x=($'")±√$!'"1$/"!$，若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m!−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m ≠0，且Δ=[−(m −1)]!−4m ×2=m !−10m +1≥0， 根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x "+x !=−'($'")$=$'"$，若方程的两根之和为整数，即$'"$为整数，∵$'"$=1−"$，∴"$是整数， ∴m =±1，当m =1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意； 当m =−1时，Δ=1+10+1=12>0，$'"$='"'"'"=2，为整数，符合题意；∴m 的值为−1；（2）当m =0时，此时关于x 的方程为x +2=0，解得x =−2； 当m ≠0时，对于关于x 的方程mx !−(m −1)x +2=0的根为：x =($'")±√$!'"1$/"!$，若方程的根为有理根，且m 为整数， 则Δ=m !−10m +1为完全平方数， 设m !−10m +1=k !（k 为正整数）， 则：m ="1±√"11'%/%#!!=5±√24+k !，∵m 为整数，设24+k !=n !（n 为正整数）， ∴(k +n )(n −k )=24，∴b k +n =12n −k =2 或b k +n =6n −k =4 或b k +n =8n −k =3 或b k +n =24n −k =1 ， 解得：bk =5n =7 或b k =1n =5 或d k =0!n =""!（不合题意，舍去）或d k =!)!n =!0!（不合题意，舍去） ∴m !−10m +1=1!=1或m !−10m +1=5!=25； 当m !−10m +1=1时，解得m =10或m =0（舍去）； 当m !−10m +1=25时，解得m =−2或m =12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m 的值为0或10或−2或12．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m 为整数，关于x 的方程(m !+m −2)x !−(7m +2)x +12=0有两个整数实根． （1）求m 的值．（2）设△ABC 的三边长a,b,c 满足c =4√2,m !+a !m −12a =0,m !+b !m −12b =0．求△ABC 的面积． 【思路点拨】（1）设原方程的两个解分别为x ",x !，根据两个整数实根，则x "+x !=&$/!$!/$'!,x "x !="!$!/$'!都是整数，进而分类讨论，即可求解；（2）由（1）得出的m 的值，然后代入将m !+a !m −12a =0，m !+b !m −12b =0进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积． 【解题过程】（1）解：∵m !+m −2≠0， ∴m ≠−2或m =1， ∵方程有两个实数根，∴Δ=b !−4ac =[−(7m +2)]!−4×12×(m !+m −12) =m !−20m +580=(m −10)!+480>0 设原方程的两个解分别为x ",x !∴x "+x !=&$/!$!/$'!,x "x !=∴m !+m −2=1,2,3,4,6,12 m !+m −2=1，解得：m ='"±√")!（舍去） m !+m −2=2，解得：m ='"±√"&!（舍去） m !+m −2=3，解得：m ='"±√!"!（舍去）m !+m −2=4，解得：m =−3或m =2 m !+m −2=6，解得：m ='"±√))!（舍去）m !+m −2=12，解得：m ='"±√"!;!（舍去） 当m =−3时，&$/!$!/$'!='!"/!%=−";%不是整数，舍去当m =2时，&$/!$!/$'!="%/!%=4符合题意，综上所述，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a!−6a+2=0，b!−6b+2=0，当a=b时，a=b=3±√7，当a≠b时，a、b是方程x!−6x+2=0的两根，而Δ>0，根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，①a≠b，c=4√2时，由于a!+b!=(a+b)!−2ab=36−4=32=c!，故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S<=>?="!ab=1；②a=b=3−√7，c=4√2时，因2(3−√7)<4√2，故不能构成三角形，不合题意，舍去；；③a=b=3+√7，c=4√2时，因2(3+√7)>4√2，故能构成三角形，S<=>?="!×4√2×Z l3+√7m!−l2√2m!=4n4+3√7；综上，△ABC的面积为1或4n4+3√7．15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax!+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x"+x!=−*+，x"x!=,+．材料2：已知一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m!n+mn!的值．解：∵一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=−1，则m!n+mn!=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x!−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x"+x!=___________，x"x!=___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x!−3x−1=0的两根分别为m、n，求A$+$A的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s!−3s−1=0，t!−3t−1=0，且s≠t，求"B −"C的值．【思路点拨】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=−*+=3，mn=,+=−1，再根据A$+$A=$!/A!$A=($/A)!'!$A$A，最后代入求值即可；（3）由题意可将s、t可以看作方程x!−3x−1=0的两个根，即得出s+t=−*+=3，s⋅t=,+=−1，从而可求出(t−s)!=(t+s)!−4st=13，即t−s=√13或t−s=−√13，最后分类讨论分别代入求值即可．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x!−3x−1=0的两个根为x1，x2，∴x"+x!=−*+=−')"=3，x"⋅x!=,+=−""=−1．故答案为：3，−1；（2）∵一元二次方程x!−3x−1=0的两根分别为m、n，∴m+n=−*+=3，mn=,+=−1，∴A $+$A=$!/A!$A=(m+n)!−2mnmn=3!−2×(−1)−1=−11；（3）∵实数s、t满足s!−3s−1=0，t!−3t−1=0，∴s、t可以看作方程x!−3x−1=0的两个根，∴s+t=−*+=3，st=,+=−1，∵(t−s)!=(t+s)!−4st=3!−4×(−1)=13∴t−s=√13或t−s=−√13，当t−s=√13时，" B −"C=C'BBC=√")'"=−√13，当t−s=−√13时，" B −"C=C'BBC='√")'"=√13，综上分析可知，"B −"C的值为√13或−√13．16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx +n =0或px +q =0时，多项式A =(mx +n )(px +q )=mpx !+(mq +np )x +nq 的值为0，把此时x 的值称为多项式A 的零点．（1）已知多项式(3x +1)(x −2)，则此多项式的零点为__________；（2）已知多项式B =(x −1)(bx +c )=ax !−(a −1)x −+!有一个零点为1，求多项式B 的另一个零点； （3）小聪继续研究(x −3)(x −1)，x (x −4)及8x −0!98x −)!9等，发现在x 轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x =2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M =(2ax +b )(cx −5c )=bx !−4cx −2a −4是“2系多项式”，求a 与c 的值． 【思路点拨】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；（2）根据多项式的零点的定义将x =1代入ax !−(a −1)x −+!=0，求得a =2，再解一元二次方程即可求解；（3）令cx −5c =0，求得M 的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx !−4cx −2a −4=0的两个根为x "=−1，x !=5，再利用根与系数的关系即可求解． 【解题过程】（1）解：令(3x +1)(x −2)=0， ∴3x +1=0或x −2=0， ∴x =−")或x =2，则此多项式的零点为−")或2； 故答案为：−")或2；（2）解：∵多项式B =(x −1)(bx +c )=ax !−(a −1)x −+!有一个零点为1，∴将x =1代入ax !−(a −1)x −+!=0，得a −(a −1)−+!=0，解得a =2，∴B =2x !−x −1=(x −1)(2x +1)， 令2x +1=0，解得x =−"!， ∴多项式B 的另一个零点为−"!；（3）解：∵M=(2ax+b)(cx−5c)=bx!−4cx−2a−4是“2系多项式”，令cx−5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，∴设M的另一个零点为y，则D/0!=2，解得y=−1，即2ax+b=0时，x=−1，则−2a+b=0①，令M=bx!−4cx−2a−4=0，根据题意，方程bx!−4cx−2a−4=0的两个根为x"=−1，x!=5，∴x"+x!=−'%,*=5+(−1)=4，x"⋅x!='!+'%*=5×(−1)=−5，∴c=b②，5b−2a−4=0③，解①②③得c=b=1，a="!，∴a="!，c=1．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x"，x!是关于x的一元二次方程x!−2(k+1)x+k!+2=0的两实根，且(x"+1)⋅(x!+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)是一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根，设s"=α+β，s!=α!+β!，…，s A=αA+βA．根据根的定义，有α!−α−1=0，β!−β−1=0，将两式相加，得(α!+β!)−(α+β)−2= 0，于是，得s!−s"−2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s"，s!的值．②经计算可得：s)=4，s%=7，s0=11，当n≥3时，请猜想s A，s A'"，s A'!之间满足的数量关系，并给出证明．【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x"+x!=2(k+1)，x"x!=k!+2．由(x"+1)(x!+1)=8，可得x"x!+(x"+x!)+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=−*+=1，αβ=,+=−1，进而可求出s"=α+β=1，s!=α!+β!=(α+β)!−2αβ=3；②由一元二次方程的解的定义可得出α!−α−1=0，两边都乘以αA'!，得：αA−αA'"−αA'!=0①，同理可得：βA−βA'"−βA'!=0②，再由①+②，得：(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0．最后结合题意即可得出s A−s A'"−s A'!=(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0，即s A=s A'"+s A'!．【解题过程】解：（1）∵x"，x!是关于x的一元二次方程x!−2(k+1)x+k!+2=0的两实根，∴x"+x!=−*+=−'!(#/")"=2(k+1)，x"x!=,+=#!/!"=k!+2，∴(x"+1)(x!+1)=x"x!+(x"+x!)+1=k!+2+2(k+1)+1=8，整理，得：k!+2k−3=0，解得：k"=−3，k!=1．当k=−3时，Δ=b!−4ac=[−2(k+1)]!−4(k!+2)=[−2(−3+1)]!−4[(−3!)+2]=−28<0，∴此时原方程没有实数根，∴k=−3不符合题意；当k=1时，Δ=b!−4ac=[−2(k+1)]!−4(k!+2)=[−2×(1+1)]!−4(1!+2)=4>0，∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴k=1符合题意，∴k的值为1；（2）①∵x!−x−1=0，∴a=1，b=−1，c=−1．∵α，β(α>β)是一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根，∴α+β=−*+=1，αβ=,+=−1，∴s"=α+β=1，s!=α!+β!=(α+β)!−2αβ=1!−2×(−1)=3；②猜想：s A=s A'"+s A'!．证明：根据一元二次方程根的定义可得出α!−α−1=0，两边都乘以αA'!，得：αA−αA'"−αA'!=0①，同理可得：βA−βA'"−βA'!=0②，由①+②，得：(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0，∵s A=αA+βA，s A'"=αA'"+βA'"，s A'!=αA'!+βA'!，∴s A−s A'"−s A'!=(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0，即s A=s A'"+s A'!．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x!−(m+2)x+4m=0有两个实数根x",x!，其中x"<x!．（1）若m=−1，求x"!+x!!的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x",y"),B(x!,y!)，若AB=√10，求m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x"和x!，求该直角三角形的面积．【思路点拨】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“Δ=b!−4ac”，根与系数关系“x"+x!=−*+，x"⋅x!=,+”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用；（1）将m=−1代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到x"+x!=−*+=1，x"⋅x!=,+=−4，将x"!+x!!转化即可求解；（2）根据点A(x",y"),B(x!,y!)在函数图像上，得出Alx"，3x"+1m，Blx!，3x!+1m，再根据根与系数关系得到x"+x!=m+2,x"⋅x!=4m，根据AB=√10即可求解；（3）根据直角三角形两直角边x",x!为整数，得出Δ=b!−4ac=m!−12m+4，令m!−12m+4=k!(k为正整数)，得出(m+k−6)(m−k−6)=32，又m+k−6>m−k−6，然后分三种情况取值即可解答；【解题过程】（1）当m=−1时，方程为x!−x−4=0，Δ=b!−4ac=(−1)!−4×1×(−4)=17>0，∴x"+x!=−*+=1，x"⋅x!=,+=−4，即x"!+x!!=(x"+x!)!−2x"x!=1!−2×(−4)=9；（2）将A(x",y"),B(x!,y!)代入y=3x+1可得Alx"，3x"+1m，Blx!，3x!+1m，又Δ=(m+2)!−4×4m>0，故x"+x!=m+2,x"⋅x!=4m，AB!=(x"−x!)!+(y"−y!)!=10(x"−x!)!，即10(x"−x!)!=10，(x"−x!)!=1，(x"−x!)!=(x"+x!)!−4x"x!=1，(m+2)!−4×4m=1，(m−6)!=33，m"=6+√33,m!=6−√33；（3）∵直角三角形两直角边x ",x !为整数，∴Δ=b !−4ac =(m +2)!−4×4m =m !−12m +4为平方数， 不妨令m !−12m +4=k !(k 为正整数)， (m −6)!−32=k !，(m +k −6)(m −k −6)=32， m +k −6>m −k −6，当①∴m +k −6=32,m −k −6=1， 解得m =%0!（不合题意舍去）；当②m +k −6=16,m −k −6=2， 解得m =15，∴方程x !−17x +60=0， x "=12,x !=5，则斜边为13， 即S =-"⋅-!!=30；当③m +k −6=8,m −k −6=4， 解得m =12，∴方程x !−14x +48=0，x "=6,x !=8，则斜边为10， 即S =-"⋅-!!=24，综上所述：该直角三角形的面积为30或24．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x !+px +q =0有两个实数根x "，x !，那么x "+x !=−p ，x "x !=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a ，b 是方程x !+15x +5=0的二根，则+*+*+=?（2）已知a 、b 、c 满足a +b +c =0，abc =16，求正数c 的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知b x =x "y =y "和b x =x !y =y !是关于x ，y 的方程组t x !−y +k =0x −y =1 的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y "y !−-"-!−-!-"=2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据a ，b 是方程x !+15x +5=0的二根，求出a +b ，ab 的值，即可求出+*+*+的值； （2）根据a +b +c =0，abc =16，得出a +b =−c ，ab ="E,，a 、b 是方程x !+cx +"E ,=0的解，再根据c !−4×"E ,≥0，即可求出c 的最小值；（3）运用根与系数的关系求出x "+x !=1，x "x !=k +1，再解y "y !−-"-!−-!-"=2，即可求出k 的值．【解题过程】（1）解：∵a ，b 是方程x !+15x +5=0的二根， ∴a +b =−15，ab =5， ∴+*+*+=(+/*)!'!+*+*=('"0)!'!×0=43，∴+*+*+=43；（2）∵a +b +c =0，abc =16， ∴a +b =−c ，ab ="E ,，∴a 、b 是方程x !+cx +"E ,=0的解，∴c !−4×"E ,≥0，∴c !−%%,≥0，∵c 是正数，∴c )−4)≥0， ∴c )≥4)， ∴c ≥4，∴正数c 的最小值是4；（3）存在，当k =−2时，y "y !−-"-!−-!-"=2．理由如下： ∵u x !−y +k =0①x −y =1② ，由①得：y =x !+k ， 由②得：y =x −1，∴x !+k =x −1，即x !−x +k +1=0，由题意思可知，x "，x !是方程x !−x +k +1=0的两个不相等的实数根， ∴d (−1)!−4(k +1)>0x "+x !=1x "x !=k +1 ， 则k <−)%，∵b x =x "y =y " 和b x =x !y =y ! 是关于x ，y 的方程组t x !−y +k =0x −y =1 的两个不相等的实数解，∴y "y !=(x "−1)(x !−1)， ∴y "y !−-"-!−-!-"=(x "−1)(x !−1)−(-"/-!)!'!-"-!-"-!=2，∴x "x !−(x "+x !)+1−(-"/-!)!'!-"-!-"-!=2，∴k +1−1+1−"'!(#/")#/"=2，整理得：k !+2k =0，解得：k "=−2，k !=0（舍去）， ∴k 的值为−2．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x "，x !是关于x 的一元二次方程ax !+bx +c =0(a ≠0)的两个实数根，若x "<x !<0，且3<-"-!<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x !+13x +30=0的两根为x "=−10，x !=−3，因−10<−3<0，3<'"1')<4，所以一元二次方程x !+13x +30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x !+9x +14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x 的一元二次方程2x !+(k +7)x +k !+3=0是“限根方程”，且两根x "、x !满足x "+x !+x "x !=−1，求k 的值；（3）若关于x 的一元二次方程x !+(1−m )x −m =0是“限根方程”，求m 的取值范围． 【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x "=−7，x !=−2，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x "+x !=−#/&!，x "x !=#!/)!，代入x "+x !+x "x !=−1，即可求出k "=2，k !=−1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x"=−1，x!=m或x"=m，x!=−1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m<0且m≠−1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x!+9x+14=0，(x+2)(x+7)=0，∴x+2=0或x+7=0，∴x"=−7，x!=−2．∵−7<−2，3<'&'!=&!<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x!+(k+7)x+k!+3=0的两个根分比为x"、x!，∴x"+x!=−#/&!，x"x!=#!/)!．∵x"+x!+x"x!=−1，∴−#/&!+#!/)!=−1，解得：k"=2，k!=−1．分类讨论：①当k=2时，原方程为2x!+9x+7=0，∴x"=−&!，x!=−1，∴x"<x!<0，3<-"-!=&!<4，∴此时方程2x!+(k+7)x+k!+3=0是“限根方程”，∴k=2符合题意；②当k=−1时，原方程为2x!+6x+4=0，∴x"=−2，x!=−1，∴x"<x!<0，-"-!=2<3，∴此时方程2x!+(k+7)x+k!+3=0不是“限根方程”，∴k=−1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x!+(1−m)x−m=0，(x+1)(x−m)=0，∴x+1=0或x−m=0，∴x"=−1，x!=m或x"=m，x!=−1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠−1，∴(1−m)!+4m>0，即(1+m)!>0，∴m<0且m≠−1．分类讨论：①当−1<m<0时，∴x"=−1，x!=m，∵3<-"-!<4，∴3<'"$<4，解得：−")<m<−"%；②当m<−1时，∴x"=m，x!=−1，∵3<-"-!<4，∴3<$'"<4，解得：−4<m<−3．综上所述，m的取值范围为−")<m<−"%或−4<m<−3．。

《一元二次方程：深入探讨两个不相等的实数根 a b》一元二次方程是初中阶段数学学习的重要内容，而探讨两个不相等的实数根 a b 是其中的一个重要问题。

在本篇文章中，我们将从浅入深地探讨一元二次方程和两个不相等的实数根 a b，并探讨其深层含义和应用。

## 1. 一元二次方程的基本概念让我们来回顾一下一元二次方程的基本概念。

一元二次方程通常的一般形式为 Ax^2 + Bx + C = 0，其中 A、B、C 分别为常数，而 x 则代表未知数。

而方程的根则是能够使得方程等式成立的 x 的值。

在这里，我们重点强调两个不相等的实数根a 和b。

在解一元二次方程时，我们通常使用求根公式 x = (-B±√(B^2-4AC))/(2A)。

### 1.1 求根公式的含义在一元二次方程中，求根公式的正负号代表着两个不同的解，分别对应着两个不相等的实数根 a 和 b。

而在方程中，判别式Δ = B^2-4AC 则决定了根的性质，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。

而对于我们的主题——两个不相等的实数根 a 和 b，往往对应着Δ>0的情况，接下来我们将着重对此进行探讨。

## 2. 两个不相等的实数根的意义现在，让我们进一步探讨两个不相等的实数根 a 和 b 的意义。

当一元二次方程有两个不相等的实数根时，实际上反映了方程对应的二次函数与 x 轴相交于两个不同的点。

这一点可以通过函数图像的形状来理解，即函数的图像会与 x 轴在两个不同的点上相交。

### 2.1 几何解析从几何角度来说，两个不相等的实数根 a 和 b 分别代表了函数图像与x 轴相交的两个横坐标。

这也意味着方程所对应的二次函数在这两个横坐标上的函数值分别为零，这些横坐标的数值与实数根 a 和 b 的数值是对应的。

通过一元二次方程的两个不相等的实数根，我们能够对应地找到函数图像在 x 轴上的特殊点，从而更全面地理解函数的性质。