第二讲 一元二次方程实数根与韦达定理
一 知识要点
实系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x
1. 根的判别式
2. 韦达定理
二. 例题解析
例1.已知方程220()x x m m R --=∈没有实根,试判断关于x 的方程 ()()222212110x mx m x +++-+=有无实根.
例2.k 为何值时，关于x 的方程()22241210x k x k -++-=
（1）有两个不相等的实根；
（2）有两个相等的实根；
（3）没有实数根
例3.方程：()()2212110a x a x --++=只有一个实根，求a 的值
例4.设关于x 的方程：2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根，求实数,a b 的值。
例5.已知12,x x 是方程22310x x --=的根，求223321121212
,,,x x x x x x x x +++ 12221211,x x x x +-的值；
例6若方程2(32)0x x a +--=的两个实根分别为12,x x ，下就根的取值范围，分别求实数a 的取值范围
（1）两实根均大于0；
（2）两实根均小于0；
（3）两实根一个大于0，一个小于0；
（4）两实根均大于1；
（5）两实根均小于1；
（6）两实根一个大于1，一个小于1；
例7 已知方程2520,x x +-=作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的立方的倒数。
例8.已知a 为实数，解关于x 的方程10x x a ++=
例9.已知方程42280x mx ++=的四个根均为整数，求m 的值及方程的根。
例10.对自然数,n 设关于x 的二次方程22(21)0x n x n +++=的两根为,n n αβ，求下式的值：
()()()33442020
1111(1)1(1)1(1)αβαβαβ+++++++++
课后练习：
1.当k 为何值时，关于x 的方程()234210k x kx k +-+-=的两个根异号且负根的绝对值大于正根？
2.已知x 的二次方程2240x kx k -+-=
（1）当k 为何值时，方程有两个正根；
（2）当k 为何值时，方程只有一个正根；
3.关于x 的一元二次方程2222x mx x m -=--有两个不相等实根，并且两根平方和是35，则m 的值是
4.求作一个一元二次方程，使其根分别是方程2310x x +-=两根的倒数的三次方；
5.已知二次函数2y ax bx c =++和一次函数y bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>，且 ()0,,a b c a b c R ++=∈。求证：两函数的图像交于两个不同点A 、B 。
答案：
1.30k -<<
2.（1）23
k <≤ （2）22k -<≤ 3.3m =- 4.23610x x --=
