“平均数”教学的思考与实践

“平均数”教学案例与评析杭州现代小学数学教育研究中心唐彩斌点评：中科院心理所博导、教授张梅玲一、问题的提出“平均数”教学可以说是一节“传统老课”，很多的老师都用自己的课堂诠释着对平均数的独特理解，很多的创见也得到了广大教师的认可和效仿。

然而，在笔者选择这一课题再去实践的时候，却仍然发现了一些值得讨论的问题：学生不是不熟练于平均数的求解，而是当面对一组数据的时候，不能分辨该不该求平均数？是不是一定要求平均数？即便是求出了平均数的结果时，并不明白为什么要求平均数？平均数到底表示的什么？如果说在平均数的教学中，计算技能的掌握是一贯重视的，而相关的科学分析能力可能是曾被忽视的。

基于此，笔者设计“平均数”教学，尝试探讨相关的问题。

二、教学的实践教学预设目标：1、学生基于对平均数的初步理解，通过丰富的素材进一步感受到平均数的必要和重要；2、经历在不同问题情境中应用平均数的过程，提高灵活应用平均数的水平；3、在应用平均数解决问题的过程中，感受数学与日常生活的联系，增强应用意识，提高学习数学的兴趣。

教学主要过程：（一）创设情境，感受平均数是一组数的代表数。

1、师：同学们，你们喜欢画画吗？平时你们画画，总是老师给你们打分，今天我们换换角色，让你们来给一幅画打打分，你们愿意吗？生：愿意。

师：你觉得这幅画怎么样？打好分数写在纸上。

生开始各自写分数，师叫几个学生介绍自己的打分。

2、师：这是你一个人的想法，接下来，和小组伙伴交流一下，如果要用一个分数来代表你们小组的意见，你们觉得该是几分？生：（分数5，5，5，7），我们选择5分，因为5分选的人多。

生：（分数6，7，7，8），我们选择7分，因为7是中间的数。

生：（分数5，5，9，9），我们选择7分，因为平均数是7。

生：（分数6，8，8，9），我们选择8分，因为比较接近8分。

3、师小结：看来，要用一个数来代表一组数的情况，有的人用中间的数，有的人用出现次数最多的数。

为了更为精确地代表一个数，我们可以用平均数。

[备注：创设的情境是：学生给一幅名画打分。

努力满足好情境的条件：能吸引学生的学习兴趣，能为学习数学知识做准备。

让学生作主给画打分，这种“拍板权”是人本源的一种自我实现的需要。

而学生各自所打出的分数也将为学习平均数做准备，所以此情境直指教学目标，是一种高效的导入方式。

]（二）在应用中，巩固求平均数的技能。

1、师：平均数在生活中到底有哪些应用呢？让我们一起去看一看。

这些运动员是从事什么运动项目的呢？我们一起来算一算。

姓名姚明刘炜李可胡雪峰杜锋王博身高（m） 2.26 1.90 2.08 1.85 2.07 2.02①请你计算出他们的平均身高。

②你发现了什么？姓名占旭刚张国政唐功红刘春红体重（㎏）79 72 119 70①请你计算出他们的平均体重。

②你发现了什么？2、学生独立思考，列式计算，然后小组之间讨论。

发现第一组运动员的平均身高比较高，判断他们是蓝球运动员，第二组运动员的平均体重比较重，他们是柔道运动员。

[备注：以上的两个平均数比较具有现实意义，能够反映现实生活中的一个典型水平。

而对于学生掌握求平均数的技能来说，这两个实际问题的解决也正是正面强化这一技能的形成。

花絮：在判断第一组的时候，有同学不算也猜出来了，因为有一个名字：姚明，这时候我们可以发现，即便在小孩眼里，姚明已经是一种职业的象征；而当计算第二组的时候，比较有趣的是：举重运动员不仅举起来的东西比较重，而且举的人本身也比较重。

这的确是一种有趣的现象，也的确是一种普遍的典型水平。

]（三）灵活应用，感受平均数的特征。

师：平均数在实际生活中有着广泛的应用，到底怎样灵活应用平均数，让我们一起去一些比赛的现场看一看。

1、少儿歌唱比赛师：谁是冠军？生：两个人并列冠军：因为平均分是一样的。

师：如果这样宣布比赛的结果，有一位选手可能对一位评委有意见？你们认为谁啊？生：3号选手一对李评委的打分有意见，他为什么把我的分打的那么低？[备注：平均数容易受两极数据的影响，有时求平均数要略加处理。

在现实生活中也为了更加合理地表达一个人的真正水平，总是先去掉一个最高分和一个最低分。

这样的求得平均数就比较合理了。

这种现象在众多电视节目中都有体现，而这种社会现象都会对学生学习平均数形成经验，对学习产生积极的影响。

]2、实心球比赛]你们认为谁是冠军？（请说明理由）。

同意强强是冠军的举手？（全班都举手了）同意是迪迪是冠军的举手？（没有人举手。

）[备注：看到一组数据，是不是用平均数来代表一组数据，要看具体的情况。

有的时候并不是选用平均数的。

而在这个问题的解决中，学生受到思维的定势，就只用平均数。

在老师的启发下，学生才回忆起自己的生活经验，根据最高分来决定成绩的排名。

虽然是让学生出错了，但这个错误的经历对于学生的学习留下了深刻的印象，促动了思维灵活性。

]3、跳绳比赛你们认为哪组是冠军呢？（请写明理由）学生在之前的练习过程中，会有类似的想法：要比出分数的结果，不一定要平均数吗？用总数也能比出冠军吗？因为之前有的习题中份数是相同的，正因如此，本题就是为了突出应用平均数的必要性，让学生在比较中发现：用总数来比，不行，而用平均数来比，才比较恰当。

[备注：通过实例，区别平均数与总数的不同特征，尤其是当份数不同的时候，能较好地反映一组数据的典型水平，凸现平均数的特征。

]（四）联系生活，加深对平均数意义的理解。

1、师：下面老师要给大家讲一个新“小马过河”的故事？森林里有两个马群，一个是黑马群，一个是黄马群，由于生长环境的不同，黑马群的平均身高是1.3米，黄马群的平均身高是1.2米，两个马群各派出一匹马到河对岸取粮食，黑马一出来，还没看到黄马，就志高气昂地对别人说“我一定比黄马高”。

2、组织学生讨论：黑马一定比黄马高吗？学生会举例说明：黑马群的平均身高是1.3米，但这只黑马比1.3米低呢，比如1.2米。

黄马群的平均身高是1.2米，但这只黄马比1.2米高呢，比如1.5米。

不就比黑马高了。

学生的回答，总是能清楚地表达平均身高不是每匹马的身高。

3、到底怎么样？呈现画面：黑马1.3米，黄马1.5米，他们来到小河边，小河的平均水深1.2米，黑马迫不及待地走下河，黄马却在想“会有危险吗？”，学生讨论：平均水深1.2米，但说不定比1.2米深的地方是1.6米，不就麻烦了。

4、从学生的回答中，平均数的特点已经理解到位。

而这道题额外承载的教育含义却远不止这些，学生已经对黄马和黑马有了自己的看法：黑马：自高自大，骄傲，目光短浅；黄马呢，稳重，周到，细致。

5、而在评价马的时候也折射出一些社会的现象：（因为当时在深圳上课，笔者就现场举例）一个是深圳特区，一个是西部的城镇，是不是特区的每一个人都比西部的每一个人都要富裕？这就不一定了。

尽管，特区整体要优越很多。

由此想来，生活的平均数，需要我们科学分析，正确应用。

[备注：平均数是一组数据的典型水平，但不是指每一个个体的真实水平。

平均数是针对整体而言，不是针对个体的。

除了数学知识的深刻认识，重要的是渗透了社会生活中的道理，这作为教育任务的数学必须承载的，也是值得我们教师永恒追求的。

]三、实践后的反思1、置于整体，概念的特点更能显现；众所周知，同样看一个事物，从局部看局部，从整体看局部，显然显得更为清楚。

而在数学学习的过程中，也有同样的道理。

平均数是什么呢？我们需要一个全景式的了解，统计学认为，描述一组数据的特征量有三种：差异量，集中量和相关量。

集中量就是表示一组数据的典型水平或集中趋势的量。

集中量又分为众数，中位数与平均数。

平均数又分为加权平均数，调和平均数和算术平均数。

从现实情况看，小学生学习的平均数更多的是指算术平均数，较复杂的平均数中有加权平均数。

有一个这样整体系统的认识，教学中更能抓住其本质特征。

从这些背景知识中，可以发现：平均数是众多集中量（小学生讲“代表数”比较容易理解）中的一个，并不唯一。

反思第一环节，学生给名画打分的环节，要找一个能代表小组意见的分数时，从学生的回答中，我们可以看到除了平均数还有中间数和众数的雏形，这就是一个概念形成的真实的整体背景。

2、丰富经历，认知的形成更加完整；有经历，才会有体验。

在正面强化学生初步学会求平均数的基础上，教学时创设多个比赛场景，要求学生面对一组组的数据来评判谁是冠军？当学生面对唱歌比赛的分数结果时，生活经验的积累和认识的冲突结合在起来，感受到平均数作为一个集中量，在实际使用中有它的不足：容易受到两极数据的影响。

当学生在面对实心球比赛成绩的时候，这种思维的定势是强烈的，学生一看到一组数据就计算平均数，但是用来确定比赛结果的并不是平均数，而是他们的最大值。

当学生面对两组人数不同的组进行跳绳比赛的时候，他们又一次发现：用总数不能比，用平均数比还是有着便利的一面。

纵观一节课，可以发现不同的情境让学生有了不同的经历，而所形成的体验也可以说是“此起彼伏”，“学会了用，又不能盲目用”“知道了平均数的不足，又知道了平均数的便利”，伴随着这样的情感体验，学生对平均数的认识就显得完整了许多。

3、加强联系，学习的价值更为丰实；数学联系，就本节课教学设计而言，主要指数学与其他学科的联系，以及数学与德育的联系。

本节课上，在数学学习的过程中，有美术中的名画欣赏，有体育项目的特点介绍，还有体育和音乐中各种比赛的规则。

当然，这些也仅仅是数学学习的素材而已，而数学与德育的联系却并非只是形式而已。

在课堂上，我们发现，面对世界上最伟大的画家之一凡高的名画“向日葵”的时候，学生打分却上下不一，有的打了5分还振振有词，折射出的高雅艺术与现实大众审美之间的矛盾，这也是社会的现实，其实，即便是成人看到名画，又何尝不是这样呢？当听完新“小马过河”的故事时，学生不仅对黄马和黑马赋予了人的个性特点，渗透了为人处事的作风，同时联想现实生活中的一些“平均数”，如重点中学的学生平均分数比一般学校高，那么是否就是就读重点中学好；好的单位平均公资比一般单位好，那么是否要选择好单位就业，以及“宁当鸡头不作凤尾”的俗语，都是对学生的学习和生活有着长远的教育意义的。

“作为教育任务的数学”看来承载的不只是数学的学习。

虽然我们也反对“去数学化”，反对数学与其他学科的牵强联系，也不赞成“贴标签式的德育渗透”，但我们认同和倡导用儿童所能接受并喜欢接受的方式，加强联系，渗透德育，真正实现“数学教学，不只教学数学。

”★探索的核心是创新——学习唐彩斌执教“平均数”的思考张梅玲（中国科学院心理研究所） “平均数” 的教学可以说是一节“传统老课”，不少老师也经常以此内容作为观摩课。

这次观看杭州唐彩斌执教的平均数，我感到对这节传统的老课仍闪射出新意并引人思考。

一、参与中重体验。

平均数是描述一组数据的典型水平和集中趋势的量。

这节课的引入一般的设计均采用人数不等各组比赛，从出现不公平而引出平均数。