23树和森林的存储和遍历

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系一、引言在计算机科学中，数据结构是非常重要的知识点之一。

而树这一数据结构，作为基础的数据结构之一，在软件开发中有着广泛的应用。

本文将重点探讨二叉树、树和森林遍历之间的对应关系，帮助读者更加全面地理解这些概念。

二、二叉树1. 二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

二叉树可以为空，也可以是一棵空树。

2. 二叉树的遍历在二叉树中，有三种常见的遍历方式，分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。

在前序遍历中，节点的访问顺序是根节点、左子树、右子树；在中序遍历中，节点的访问顺序是左子树、根节点、右子树；在后序遍历中，节点的访问顺序是左子树、右子树、根节点。

3. 二叉树的应用二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用，例如用于构建文件系统、在数据库中存储有序数据、实现算法中的搜索和排序等。

掌握二叉树的遍历方式对于理解这些应用场景非常重要。

三、树1. 树的定义树是一种抽象数据类型，由n(n>0)个节点组成一个具有层次关系的集合。

树的特点是每个节点都有零个或多个子节点，而这些子节点又构成了一颗子树。

树中最顶层的节点称为根节点。

2. 树的遍历树的遍历方式有先根遍历、后根遍历和层次遍历。

在先根遍历中，节点的访问顺序是根节点、子树1、子树2...；在后根遍历中，节点的访问顺序是子树1、子树2...，根节点；在层次遍历中，节点的访问顺序是从上到下、从左到右依次访问每个节点。

3. 树的应用树广泛用于分层数据的表示和操作，例如在计算机网络中的路由算法、在操作系统中的文件系统、在程序设计中的树形结构等。

树的遍历方式对于处理这些应用来说至关重要。

四、森林1. 森林的定义森林是n(n>=0)棵互不相交的树的集合。

每棵树都是一颗独立的树，不存在交集。

2. 森林的遍历森林的遍历方式是树的遍历方式的超集，对森林进行遍历就是对每棵树进行遍历的集合。

3. 森林的应用森林在实际编程中经常用于解决多个独立树结构的问题，例如在数据库中对多个表进行操作、在图像处理中对多个图形进行处理等。

第7章树和森林树形结构是一类重要的非线性结构。

树形结构的特点是结点之间具有层次关系。

本章介绍树的定义、存储结构、树的遍历方法、树和森林与二叉树之间的转换以及树的应用等内容。

重点提示：●树的存储结构●树的遍历●树和森林与二叉树之间的转换7-1 重点难点指导7-1-1 相关术语1．树的定义：树是n（n>=0）个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：①有且仅有一个特定的称为根的结点；②其余的结点可分为m（m>=0）个互不相交的子集T1，T2，…，T m，其中每个子集本身又是一棵树，并称为根的子树。

要点：树是一种递归的数据结构。

2．结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。

3．树的度：一棵树的度指该树中结点的最大度数。

如图7-1所示的树为3度树。

4．分支结点：度大于0的结点为分支结点或非终端结点。

如结点a、b、c、d。

5．叶子结点：度为0的结点为叶子结点或终端结点。

如e、f、g、h、i。

6．结点的层数：树是一种层次结构，根结点为第一层，根结点的孩子结点为第二层，…依次类推，可得到每一结点的层次。

7．兄弟结点：具有同一父亲的结点为兄弟结点。

如b、c、d；e、f；h、i。

8．树的深度：树中结点的最大层数称为树的深度或高度。

9．有序树：若将树中每个结点的子树看成从左到右有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。

10．森林：是m棵互不相交的树的集合。

7-1-2 树的存储结构1．双亲链表表示法以图7-1所示的树为例。

（1）存储思想:因为树中每个元素的双亲是惟一的，因此对每个元素，将其值和一个指向双亲的指针parent构成一个元素的结点，再将这些结点存储在向量中。

（2）存储示意图:-1 data:parent:（3）注意: Parrent域存储其双亲结点的存储下标，而不是存放结点值。

下面的存储是不正确的：-1 data:parent:2．孩子链表表示法（1）存储思想：将每个数据元素的孩子拉成一个链表，链表的头指针与该元素的值存储为一个结点，树中各结点顺序存储起来，一般根结点的存储号为0。

数据结构⼊门-树的遍历以及⼆叉树的创建树定义：1. 有且只有⼀个称为根的节点2. 有若⼲个互不相交的⼦树，这些⼦树本⾝也是⼀个树通俗的讲：1. 树是有结点和边组成，2. 每个结点只有⼀个⽗结点，但可以有多个⼦节点3. 但有⼀个节点例外，该节点没有⽗结点，称为根节点⼀、专业术语结点、⽗结点、⼦结点、根结点深度：从根节点到最底层结点的层数称为深度，根节点第⼀层叶⼦结点：没有⼦结点的结点⾮终端节点：实际上是⾮叶⼦结点度：⼦结点的个数成为度⼆、树的分类⼀般树：任意⼀个结点的⼦结点的个数都不受限制⼆叉树：任意⼀个结点的⼦结点个数最多是两个，且⼦结点的位置不可更改⼆叉数分类：1. ⼀般⼆叉数2. 满⼆叉树：在不增加树层数的前提下，⽆法再多添加⼀个结点的⼆叉树3. 完全⼆叉树：如果只是删除了满⼆叉树最底层最右边的连续若⼲个结点，这样形成的⼆叉树就是完全⼆叉树森林：n个互不相交的树的集合三、树的存储⼆叉树存储连续存储(完全⼆叉树)优点：查找某个结点的⽗结点和⼦结点(也包括判断有没有⼦结点)速度很快缺点：耗⽤内存空间过⼤链式存储⼀般树存储1. 双亲表⽰法：求⽗结点⽅便2. 孩⼦表⽰法：求⼦结点⽅便3. 双亲孩⼦表⽰法：求⽗结点和⼦结点都很⽅便4. ⼆叉树表⽰法：把⼀个⼀般树转化成⼀个⼆叉树来存储，具体转换⽅法：设法保证任意⼀个结点的左指针域指向它的第⼀个孩⼦，右指针域指向它的兄弟，只要能满⾜此条件，就可以把⼀个⼀般树转化为⼆叉树⼀个普通树转换成的⼆叉树⼀定没有右⼦树森林的存储先把森林转化为⼆叉树，再存储⼆叉树四、树的遍历先序遍历：根左右先访问根结点，再先序访问左⼦树，再先序访问右⼦树中序遍历：左根右中序遍历左⼦树，再访问根结点，再中序遍历右⼦树后续遍历：左右根后续遍历左⼦树，后续遍历右⼦树，再访问根节点五、已知两种遍历求原始⼆叉树给定了⼆叉树的任何⼀种遍历序列，都⽆法唯⼀确定相应的⼆叉树，但是如果知道了⼆叉树的中序遍历序列和任意的另⼀种遍历序列，就可以唯⼀地确定⼆叉树已知先序和中序求后序先序：ABCDEFGH中序：BDCEAFHG求后序：这个⾃⼰画个图体会⼀下就可以了，⾮常简单，这⾥简单记录⼀下1. ⾸先根据先序确定根，上⾯的A就是根2. 中序确定左右，A左边就是左树(BDCE)，A右边就是右树(FHG)3. 再根据先序，A左下⾯就是B，然后根据中序，B左边没有，右边是DCE4. 再根据先序，B右下是C，根据中序，c左下边是D，右下边是E，所以整个左树就确定了5. 右树，根据先序，A右下是F，然后根据中序，F的左下没有，右下是HG，6. 根据先序，F右下为G，然后根据中序，H在G的左边，所以G的左下边是H再来⼀个例⼦，和上⾯的思路是⼀样的，这⾥就不详细的写了先序：ABDGHCEFI中序：GDHBAECIF已知中序和后序求先序中序：BDCEAFHG后序：DECBHGFA这个和上⾯的思路是⼀样的，只不过是反过来找，后序找根，中序找左右树简单应⽤树是数据库中数据组织⼀种重要形式操作系统⼦⽗进程的关系本⾝就是⼀棵树⾯向对象语⾔中类的继承关系哈夫曼树六、⼆叉树的创建#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef struct Node{char data;struct Node * lchild;struct Node * rchild;}BTNode;/*⼆叉树建⽴*/void BuildBT(BTNode ** tree){char ch;scanf("%c" , &ch); // 输⼊数据if(ch == '#') // 如果这个节点的数据是#说明这个结点为空*tree = NULL;else{*tree = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));//申请⼀个结点的内存 (*tree)->data = ch; // 将数据写⼊到结点⾥⾯BuildBT(&(*tree)->lchild); // 递归建⽴左⼦树BuildBT(&(*tree)->rchild); // 递归建⽴右⼦树}}/*⼆叉树销毁*/void DestroyBT(BTNode *tree) // 传⼊根结点{if(tree != NULL){DestroyBT(tree->lchild);DestroyBT(tree->rchild);free(tree); // 释放内存空间}}/*⼆叉树的先序遍历*/void Preorder(BTNode * node){if(node == NULL)return;else{printf("%c ",node->data );Preorder(node->lchild);Preorder(node->rchild);}}/*⼆叉树的中序遍历*/void Inorder(BTNode * node){if(node == NULL)return;else{Inorder(node->lchild);printf("%c ",node->data );Inorder(node->rchild);}}/*⼆叉树的后序遍历*/void Postorder(BTNode * node){if(node == NULL)return;else{Postorder(node->lchild);Postorder(node->rchild);printf("%c ",node->data );}}/*⼆叉树的⾼度树的⾼度 = max(左⼦树⾼度，右⼦树⾼度) +1*/int getHeight(BTNode *node){int Height = 0;if (node == NULL)return 0;else{int L_height = getHeight(node->lchild);int R_height = getHeight(node->rchild);Height = L_height >= R_height ? L_height +1 : R_height +1; }return Height;}int main(int argc, char const *argv[]){BTNode * BTree; // 定义⼀个⼆叉树printf("请输⼊⼀颗⼆叉树先序序列以#表⽰空结点:");BuildBT(&BTree);printf("先序序列：");Preorder(BTree);printf("\n中序序列：");Inorder(BTree);printf("\n后序序列：");Postorder(BTree);printf("\n树的⾼度为：%d" , getHeight(BTree));return 0;}// ABC##DE##F##G##。

树和二叉树知识考点整理●树的基本概念●树的定义●n个结点的有限集●n=0代表空树●满足条件●只有一个根的结点●其余结点是互不相交的有限集，每个集合本身是一棵树，是根的子树●树是一种递归的数据结构●树的根结点没有前驱，其余结点只有一个前驱●树中所有结点可以有零个或多个后驱●基本术语●双亲、兄弟、孩子、祖先●度：孩子个数●分支结点：度大于0●叶子结点：度为0●深度：从下往上；●高度：从上往下；●有序树：从左到右是有次序的●路径和路径长度：路径是从上往下的●森林：m棵互不相交的树的集合。

●树的基本性质●结点数=所有结点度数之和+1●度为m的树中第i层上至多有m的i-1次分个结点●高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点●具有n个结点的m叉树的最小高度为「logm（n（m-1）+1）]●二叉树的概念●定义●一种树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）并且二叉树的子树有左右之分，次序不可颠倒●二叉树与度为2的有序树区别●度为2的可以有三个结点，二叉树可以是空树●度为2的有序树的孩子左右之分是根据另一个孩子而言的；二叉树无论有没有，都要确定左右●特殊的二叉树●满二叉树●树中每一层都含有最多的结点●完全二叉树●高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当，每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号一一对应●二叉排序树●用途：可用于元素的排序、搜索●左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又是一棵二叉排序树●二叉树的性质●非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点树加1，即n0=n2+1●非空二叉树上第k层至多有2^（k-1）个结点●高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点●具有n个结点的完全二叉树的高度为log2（n+1）取顶或者log2n取底+1●二叉树的存储结构●顺序存储结构●只适合存储完全二叉树，数组从0开始●链式存储结构●顺序存储的空间利用率太低●至少三个指针域：数据域、左指针域、右指针域●增加了指向父结点后，变为三叉链表的存储结构●在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域●二叉树的遍历和线索二叉树●二叉树的遍历●先序遍历●根左右●应用：求树的深度●中序遍历●左根右●后序遍历●左右根●应用：求根到某结点的路径、求两个结点的最近公共祖先等●三个遍历时间复杂度都是O(n)●递归算法和非递归算法的转换●层次遍历●需要借助队列●步骤●二叉树根结点入队，然后出队，访问出队结点，若有左子树，左子树根结点入队●遍历右子树，有右子树，右子树根结点入队。

树和森林转换为二叉树的方法树和森林是在计算机科学中常见的数据结构，用于表示具有层级关系的信息。

而二叉树是一种特殊的树形结构，每个节点最多只能有两个子节点。

在一些情况下，我们可能需要将树和森林转换为二叉树，以便于进行一些操作或分析。

本文将介绍两种将树和森林转换为二叉树的常见方法：二叉树的遍历和线索二叉树。

1.二叉树的遍历：二叉树的遍历是一种常见且简单的树到二叉树转换方法。

树的遍历有三种基本方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

我们可以通过对树的任意一种遍历方式进行调整，来将树转换为二叉树。

1.1.前序遍历：前序遍历是指首先访问根节点，然后按照左子树、右子树的顺序遍历。

在转换为二叉树时，我们可以将子节点作为二叉树的左子节点，兄弟节点作为同级节点的右子节点。

1.2.中序遍历：中序遍历是指首先按照左子树、根节点、右子树的顺序遍历。

在转换为二叉树时，我们可以将树的左子树作为二叉树的左子节点，根节点作为二叉树的根节点，然后将树的右子树作为二叉树的右子节点。

1.3.后序遍历：后序遍历是指首先按照左子树、右子树、根节点的顺序遍历。

在转换为二叉树时，我们可以将根节点作为二叉树的根节点，兄弟节点作为同级节点的右子节点，然后将子节点作为二叉树的左子节点。

2.线索二叉树：线索二叉树是一种特殊的二叉树，每个节点除了包含左、右子节点的指针之外，还包含指向前驱节点和后继节点的指针。

在树和森林转换为二叉树时，我们可以使用线索二叉树的概念来构建二叉树。

2.1.前序线索二叉树：在前序线索二叉树中，节点的left指针指向节点的前驱节点（通过前序遍历），节点的right指针指向节点的后继节点（同样通过前序遍历）。

对于没有前驱或后继节点的节点，可以用空指针表示。

2.2.中序线索二叉树：在中序线索二叉树中，节点的left指针指向节点的前驱节点（通过中序遍历），节点的right指针指向节点的后继节点（同样通过中序遍历）。

对于没有前驱或后继节点的节点，可以用空指针表示。

森林、树、⼆叉树的性质与关系森林、树、⼆叉树的性质与关系这篇博客写的太累了。

本⽂中对于这部分的讲解没有提到的部分：对于⼆叉树的遍历：重点讲了⾮递归遍历的实现⽅式和代码（递归⽅法使⽤的相对较多，请直接参考博客代码）对于哈夫曼编码和线索⼆叉树的代码实现没有列出。

树我们对于树和⼆叉树这⼀部分的内容主要研究树的逻辑结构和存储结构，由于计算机的特殊性存储结构及⼆叉树的简单性，我们更主要讨论⼆叉树的逻辑结构和存储结构并对其进⾏实现（其中包含⼆叉树的⼀些重要性质），另外我们在研究这⼀类问题时，⾸先要考虑到树与森林之间的转换，以及树与⼆叉树之间的转换。

从⽽简化为最简单的⼆叉树问题。

知识体系结构图：树的定义：（采⽤递归⽅法去定义树）树：n（n≥0）个结点的有限集合。

当n＝0时，称为空树；任意⼀棵⾮空树满⾜以下条件：（1）有且仅有⼀个特定的称为根的结点；（2）当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合⼜是⼀棵树，并称为这个根结点的⼦树。

（⽤图的定义法去描述树：连通⽽不含回路的⽆向图称为⽆向树，简称树，常⽤T表⽰树）树的基本术语：结点的度：结点所拥有的⼦树的个数。

树的度：树中各结点度的最⼤值。

叶⼦结点：度为0的结点，也称为终端结点。

分⽀结点：度不为0的结点，也称为⾮终端结点。

孩⼦、双亲：树中某结点⼦树的根结点称为这个结点的孩⼦结点，这个结点称为它孩⼦结点的双亲结点；兄弟：具有同⼀个双亲的孩⼦结点互称为兄弟。

祖先、⼦孙：在树中，如果有⼀条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，⽽y称为x的⼦孙。

路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为⼀条由n1⾄nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。

结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩⼦结点在第k+1层。

森林转化为二叉树的口诀【原创版】目录1.森林与二叉树的关系2.口诀的意义和作用3.口诀的内容和结构4.口诀的应用示例5.口诀的优点和局限性正文森林与二叉树的关系森林和二叉树是计算机科学中常见的两种数据结构。

森林是由若干棵不相交的二叉树组成的集合，而二叉树则是由一个根节点和两个子树组成的树形结构。

将森林转换为二叉树有助于更好地理解和操作森林数据。

口诀的意义和作用为了方便记忆和操作，有人总结了一个将森林转换为二叉树的口诀。

这个口诀可以帮助我们在编程或者解决问题时，更快地实现森林到二叉树的转换。

口诀的内容和结构森林转换为二叉树的口诀如下：“根节点为树根，左右子树换顺序，树中节点加兄弟，遍历森林成二叉树。

”这个口诀分为四句，每一句都描述了森林转换为二叉树的一个步骤。

1.根节点为树根：森林中的每个树都有根节点，我们将这些根节点作为二叉树的根节点。

2.左右子树换顺序：森林中每个节点的左右子树在转换为二叉树时，需要交换它们的顺序。

3.树中节点加兄弟：在二叉树中，每个节点都有左右子节点，而在森林中，每个节点的子树是一个独立的二叉树。

因此，在转换过程中，需要为森林中的每个节点添加一个兄弟节点，即该节点在二叉树中的左右子节点。

4.遍历森林成二叉树：按照上述步骤，遍历整个森林，最终得到一个完整的二叉树。

口诀的应用示例假设有一个简单的森林结构如下：```1/2 3/4 5```按照口诀，我们可以将其转换为一个二叉树：```1/2 3/ /4 5 6 7```口诀的优点和局限性这个口诀有助于简化森林到二叉树的转换过程，使编程实现更加简洁。

然而，它只适用于特定类型的森林，例如树与树之间没有共享节点的森林。

树、森林与二叉树的转换1、树转换为二叉树由于二叉树是有序的，为了避免混淆，对于无序树，我们约定树中的每个结点的孩子结点按从左到右的顺序进行编号。

将树转换成二叉树的步骤是：（1）加线。

就是在所有兄弟结点之间加一条连线；（2）抹线。

就是对树中的每个结点，只保留他与第一个孩子结点之间的连线，删除它与其它孩子结点之间的连线；（3）旋转。

就是以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定角度，使之结构层次分明。

树转换为二叉树的过程示意图2、森林转换为二叉树森林是由若干棵树组成，可以将森林中的每棵树的根结点看作是兄弟，由于每棵树都可以转换为二叉树，所以森林也可以转换为二叉树。

将森林转换为二叉树的步骤是：（1）先把每棵树转换为二叉树；（2）第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子结点，用线连接起来。

当所有的二叉树连接起来后得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。

森林转换为二叉树的转换过程示意图3、二叉树转换为树二叉树转换为树是树转换为二叉树的逆过程，其步骤是：（1）若某结点的左孩子结点存在，将左孩子结点的右孩子结点、右孩子结点的右孩子结点……都作为该结点的孩子结点，将该结点与这些右孩子结点用线连接起来；（2）删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线；（3）整理（1）和（2）两步得到的树，使之结构层次分明。

二叉树转换为树的过程示意图4、二叉树转换为森林二叉树转换为森林比较简单，其步骤如下：（1）先把每个结点与右孩子结点的连线删除，得到分离的二叉树；（2）把分离后的每棵二叉树转换为树；（3）整理第（2）步得到的树，使之规范，这样得到森林。

根据树与二叉树的转换关系以及二叉树的遍历定义可以推知，树的先序遍历与其转换的相应的二叉树的先序遍历的结果序列相同；树的后序遍历与其转换的二叉树的中序遍历的结果序列相同；树的层序遍历与其转换的二叉树的后序遍历的结果序列相同。

由森林与二叉树的转换关系以及森林与二叉树的遍历定义可知，森林的先序遍历和中序遍历与所转换得到的二叉树的先序遍历和中序遍历的结果序列相同。