2019最新高中数学 章末综合测评3 空间向量与立体几何 新人教A版选修2-1

第三章 空间向量与立体几何单元小结[核心速填]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)重要结论：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①|a |＝a ·a②cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)， 则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．(2)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0. 5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小：(ⅰ)如图3­1①，AB ，CD 是二面角α­l ­β的两个半平面α，β内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．图3­1(ⅱ)如图3­1②③，n 1，n 2分别是二面角α­l ­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．[体系构建][题型探究]类型一、空间向量的基本概念及运算例1、如图3­2，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：图3­2①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________． 【答案】 ③④【解析】容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[规律方法] 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟踪训练]1.如图3­3，已知ABCD ­A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.图3­3【答案】32[连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]类型二、空间向量的坐标运算例2、(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)(2)已知向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥C ． ①求向量a ，b ，c ；②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值.【答案】(1)B [由b ＝12x －2a 得x ＝4a ＋2b ，又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x ＝(0,6，－20)．](2)①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y ＝2－23＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，∴向量a ＝(－1,1,2)，b ＝(1，－1，－2)，c ＝(3,1,1)． ②∵a ＋c ＝(2,2,3)，b ＋c ＝(4,0，－1)， ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a ＋c |＝22＋22＋32＝17，|b ＋c |＝42＋02＋(－1)2＝17， ∴a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为(a ＋c )·(b ＋c )|a ＋c ||b ＋c |＝517.[规律方法] 熟记空间向量的坐标运算公式 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2). (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)，则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算. [跟踪训练]2．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C [∵AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴|AB →|＝32＋42＋(－8)2＝89，|AC →|＝52＋12＋(－7)2＝75，|BC →|＝22＋(－3)2＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，∴△ABC 一定为直角三角形．]类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题例3、 在四棱锥P ­ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． 【答案】以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，(1)证明：∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD ． (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ． 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(y －1)＝0，－1－2(z －1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD ．[规律方法]利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． (3)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．[跟踪训练]3．如图3­4，长方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D．图3­4(1)求证：A1C⊥平面AMN.(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置.【答案】(1)证明：因为CB⊥平面AA1B1B，AM⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AM，又因为AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以AM⊥平面A1BC，所以A1C⊥AM，同理可证A1C⊥AN，又AM∩AN＝A，所以A1C⊥平面AMN.(2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0,0,0)，A 1(2,2,3)，C 1(0,0,3)，CA 1→＝(2,2,3)， 由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2,2,3)．设线段AA 1上存在一点P (2,2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，则C 1P →＝(2,2，t －3)， 因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0， 解得t ＝13.所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13， 所以线段AA 1上存在一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN .类型四、利用空间向量求空间角例4、如图3­5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′­BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2)图3­5(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值．[思路探究] (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．【答案】(1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ． 同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H .因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ， 所以A ′H ⊥CD ．所以∠A ′HO 为二面角A ′­CD ­B 的平面角． 结合图(1)可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155. 所以二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值为155. [规律方法] 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．(3)二面角：如图3­6，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．图3­6[跟踪训练]4．在如图3­7所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB是圆台的一条母线．图3­7(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ． (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F ­BC ­A 的余弦值.【答案】 (1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB ．在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点， 所以HI ∥BC ．又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC ． 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC ．(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC ．又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径， 所以BO ⊥AC ．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3， 可得F (0，3，3)．11 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0可得⎩⎨⎧ －23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33.因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝77，所以二面角F ­BC ­A 的余弦值为77.。

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a 、b 与平面α共面且n⊥a ，n⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量[答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确． 2．在下列条件中，使M 与不共线三点A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 [答案] C[解析] ∵点M 在平面ABC 内，∴对空间任一点O ，有OM →＝xOA →＋yAB →＋zAC →且x ＋y ＋z ＝1，故A 、B 、D 均不对．3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0° [答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．4．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14[答案] D[解析] AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0， 解得λ＝－14，故选D.5．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·(12b )等于( )A ．15B ．3C ．－3D ．5 [答案] B[解析] (6a )·(12b )＝3a ·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2＝3.6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D ′→〉＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] D[解析] B ′D ′→＝BD →， ∵△A ′BD 为正三角形， ∴〈A ′B →，BD →〉＝120°.7．如图，四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝12MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－13a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c [答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－13OA →＝12(b ＋c )－13a ＝－13a ＋12b ＋12c . 故选B.8．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 是线段AB 上一点，且AC AB ＝13，则C 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－3，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－1，73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－72，32[答案] C[解析] 由题意知，2AC →＝CB →，设C (x ，y ，z )，则2(x －4，y －1，z －3)＝(2－x ，－5－y,1－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －8＝2－x ，2y －2＝－5－y ，2z －6＝1－z .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－1，73.9．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l∥α的是( )A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) [答案] D[解析] ∵l ∥α，∴a ·n ＝0， 经检验知选D.10．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 解法一：设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －1，y ＋1，z －2)，BD →＝(x －5，y ＋6，z －2)，AC →＝(0,4，－3)，∵AD →∥AC →，且BD →⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，4y ＋1＝－3z －2，4(y ＋6)－3(z －2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－215，z ＝225.∴|BD →|＝5.解法二：设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)，∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ. ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝(－4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5.11．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A.12B.22C.13D.16[答案] C [解析]如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)．从而D 1E →＝(1,1，－1)，AC →＝(－1,2,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝0，－a ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，a ＝c .令a ＝2，则n ＝(2,1,2)．所以点E 到平面ACD 1的距离为h ＝|D 1E →·n ||n |＝2＋1－23＝13.12．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°[答案] D [解析]建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B (2,0,0)，A (2,2,0)，G (0,0,1)，F (1,1,0)，C 1(0,0,2)，E (1,2,1)．则BA →＝(0,2,0)，GF →＝(1,1，－1)，C 1E →＝(1,2，－1)，∴cos 〈BA →，GF →〉＝|BA →·GF →||BA →|·|GF →|＝13，cos 〈BA →，C 1E →〉＝|BA →·C 1E →||BA →|·|C 1E →|＝23，∴cos α＝13，sin α＝23，cos β＝23，sin β＝13，cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝90°.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a 、b 、c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.[答案] (－64，－26，－17)[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17.14．已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为________．[答案] 14[解析]设上、下底面中心分别为O 1、O ，则OO 1⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，A 1B 1＝1，∴AC ＝BD ＝22，A 1C 1＝B 1D 1＝2， ∵平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，∴∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角，∴∠B 1BO ＝60°，设棱台高为h ，则tan60°＝h2－22，∴h ＝62，∴A (0，－2，0)，D 1(－22，0，62)，B 1(22，0，62)，C (0，2，0)，∴AD 1→＝(－22，2，62)，B 1C →＝(－22，2，－62)，∴cos 〈AD 1→，B 1C →〉＝AD 1→·B 1C→|AD 1→|·|B 1C →|＝14，故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14.15．三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为______．[答案] 45°[解析] 由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ＝2， ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E ，则PE ＝22，AE ＝22， 又PA ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠PAE ＝45°， ∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面ABC ，∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为________．[答案]102[解析] 过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N .则可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32，MN ＝1.由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．[解析] 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75.即c ＝15a －75b .∴a 、b 、c 共面．18．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →.[解析] ∵BG ＝2GD ， ∴BG →＝23BD →.又BD →＝BA →＋BC →＝PA →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， ∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b )＝23a－13b＋23c.19．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD＝1.(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求二面角C－AB－D的大小；(3)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的长度．[解析]解法一：(1)∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥BD.∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°.∴二面角C－AB－D的大小为45°.(3)过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH.∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角．∴∠BDH＝30°.在Rt△BHD中，BD＝2，∴BH＝2 2.又∵在Rt△BHC中，BC＝1，∴∠BCH＝45°，∴在Rt△ABC中，AB＝1. 解法二：(1)同解法一．(2)设AB ＝a ，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则B (0,0,0)，A (0,0，a )，C (0,1,0)，D (1,1,0)，BD →＝(1,1,0)，BA →＝(0,0，a )．平面ABC 的法向量CD →＝(1,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有BD →·n ＝x ＋y ＝0，BA →·n ＝az ＝0，∴z ＝0，取y ＝1，则x ＝－1， ∴n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈CD →，n 〉＝CD →·n |CD →||n |＝－22，由图可知二面角C －AB －D为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°.(3)AC →＝(0,1，－a )，CD →＝(1,0,0)，BD →＝(1,1,0)．设平面ACD 的一个法向量是m ＝(x ′，y ′，z ′)，则AC →·m ＝y ′－az ′＝0，CD →·m ＝x ′＝0，令z ′＝1，∴y ′＝a ，则m ＝(0，a,1)． ∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos 〈BD →，m 〉＝BD →·m |BD →||m |＝aa 2＋1·2＝cos60°，解得a ＝1，∴AB ＝1.20．(本小题满分12分)底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠C ＝π2，AA 1＝AC ，D 为CC 1上的点，且CC 1＝3C 1D ，求二面角B －B 1D －A 的余弦值．[解析] 以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AC ＝3，则A (0,3,0)，B 1(3,0,3)，D (0,0,2)．∴AD →＝(0，－3,2)，AB 1→＝(3，－3,3)． 设平面ADB 1的法向量n ＝(1，λ，μ)，则⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AB 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧0－3λ＋2μ＝0，3－3λ＋3μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－3.∴n ＝(1，－2，－3)．又平面BB 1D 的法向量CA →＝(0,3,0)，∴cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA →|n ||CA →|＝－614×3＝－147.由题意可知，二面角B －B 1D －A 为锐角， ∴二面角B －B 1D －A 的余弦值为147.21．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1.(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,5)，E (0,0,1)，F (2,2,4)．∴AC →＝(－2,2,0)，AF →＝(0,2,4)，BE →＝(－2，－2,1)，AE →＝(－2，0,1)．∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0， ∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF .(2)解：由(1)知，BE →为平面ACF 的一个法向量， ∴点E 到平面ACF 的距离d ＝|AE →·BE →||BE →|＝53.故点E 到平面ACF 的距离为53.22．(本小题满分14分)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．[解析] 解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1), BE →＝(－1,1，12)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 得一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)．又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)，而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在一点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE . 解法二：(1)如图(a)所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD . 又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影， ∠EBM 为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG .因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B . 这说明A 1，B ，G ，E 共面．所以BG ⊂平面A 1BE .因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 为平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.。

2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：章末评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A (3，4，5)，B (0，2，1)，O (0，0，0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，－85B.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－45，－85C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，85D.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，45，85 解析：设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，所以x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.答案：A2．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有关系式6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，B ，C 四点共面解析：由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)，所以AP →＝2PB →＋3PC →，所以A ，P ，B ，C 四点共面．答案：B3．已知a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32答案：C4．已知{i ，j ，k }为单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( )A．－15 B．－5 C．－3 D．－1解析：a＝(3，2，－1)，b＝(1，－1，2)，所以5a·3b＝15a·b＝－15.答案：A5．若a＝(0，1，－1)，b＝(1，1，0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是( ) A．－1 B．0 C．1 D．－2解析：a＋λb＝(λ，1＋λ，－1)．由(a＋λb)⊥a知(a＋λb)·a＝0，所以λ×0＋(1＋λ)×1＋(－1)×(－1)＝0，解得λ＝－2.答案：D6．已知正四棱锥S­ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23解析：建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，D(0，－1，0)，AB＝2，SD＝2，所以SO＝1，所以S(0，0，1)，所以E⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，12，SD→＝(0，－1，－1)．所以cos〈AE→，SD→〉＝AE→·SD→|AE→||SD→|＝－12－1262×2＝－33，所以AE与SD所成角的余弦值为33.答案：C7．在平行六面体ABCD-EFGH中，若AG→＝xAB→－2yBC→＋3zDH→，则x＋y＋z等于( )A.76B.23C.56D．1 解析：AG→＝AB→＋BC→＋DH→，又AG→＝xAB→－2yBC→＋3zDH→，则x＝1，y＝－12，z＝13，则x＋y＋z＝1－12＋13＝56.答案：C8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )A．(1，－2，4) B．(－4, 1，－2)C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)答案：B9．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量BA1→与向量AC→所成的角为( ) A．60° B．150° C．90° D．120°解析：由条件知，|BA1→|＝2a，|AC→|＝2a，BA1→·AC→＝(AA1→－AB→)·(AB→＋AD→)＝AA1→·AB→－|AB→|2＋AA1→·AD→－AB→·AD→＝－|AB→|2－AB→·AD→＝－a2，所以cos〈BA1→，AC→〉＝BA1→·AC→|BA1→||AC→|＝－a22a·2a＝－12.所以向量BA1→与AC→所成的角为120°，故选D.答案：D10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M 与DN所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设该正方体的棱长为2，则D (0，0，0)，A 1(2，0，2)，M (0，1，0)，N (0，2，1)，A 1M →＝(－2，1，－2)，DN →＝(0，2，1)．所以cos 〈A 1M →，DN →〉＝A 1M →·DN→|A 1M →||DN →|＝0，所以异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是90°.答案：D11.如图，在四面体P ­ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B ­AP ­C 的余弦值为( )A.22B.33C.77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于点D ，作CE ⊥AP 于点E .设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2，可以求得BD＝144， ED ＝24. 因为BC →＝BD →＋DE →＋EC →，所以BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →，所以EC →·BD →＝－14，所以cos〈BD →，EC →〉＝－77.答案：C12.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 所成角的余弦值为( )A.23B.66C.33D.63解析：以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B ­xyz (图略)，则B (0，0，0)，A (0，3，0)，P (0，0，3)，D (3，3，0)，E (0，2，1)，所以BE →＝(0，2，1)，BD →＝(3，3，0)．设平面BED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋z ＝0，3x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12z ，y ＝－12z . 令z ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1.因为平面ABE 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝66，即平面ABE 与平面BED 所成角的余弦值为66. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________．解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－13(AB →＋AC →)＋AD →＋14(AB →－AD →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案：－112AB →－13AC →＋34AD →14．空间中，若向量a ＝(5，9，m )，b ＝(1，－1，2)，c ＝(2，5，1)共面，则m ＝________． 解析：因为向量a ，b ，c 共面，所以存在实数α，β，使得a ＝αb ＋βc ，即(5，9，m )＝(α，－α，2α)＋(2β，5β，β)＝(α＋2β，5β－α，2α＋β)．所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋2β＝5，5β－α＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，β＝2.所以m ＝2α＋β＝4. 答案：415．在空间直角坐标系O ­xyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．已知点P (－1，3，2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于________．解析：d ＝|n ·OP →||n|＝|－2－6＋2|4＋4＋1＝2.答案：216．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________．解析：设AP ＝b ，BQ ＝x (x <a )，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，b )，D (0，a ，0)，Q (1，x ，0)，PQ →＝(1，x ，－b )，QD →＝(－1，a －x ，0)．若PQ ⊥QD ，则PQ →·QD →＝1×(－1)＋x ×(a －x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0，方程有解，则Δ＝a 2－4≥0，所以a ≥2.答案：[2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求实数k 的值．解：(1)因为c ∥BC →，所以存在实数m ，使得c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )．因为|c |＝3，所以（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3，所以m ＝±1.所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)．(2)因为a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，所以a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1.又因为|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝（－1）2＋02＋22＝5，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (3)因为ka ＋b ＝(k －1，k ，2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，所以k ＝2或k ＝－52.所以当ka ＋b 与ka －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.18．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在棱CC 1上，且C 1E ＝3EC .(1)证明：A 1C ⊥平面BED ；(2)求直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值．(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A 1(2，0，4)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1C →＝(－2，2，－4)，DB →＝(2，2，0)，DE →＝(0，2，1)．因为A 1C →·DB →＝－2×2＋2×2－4×0＝0， 所以A 1C →·DE →＝－2×0＋2×2－4×1＝0， 所以A 1C →⊥DB →，A 1C →⊥DE →.又因为DB ∩DE ＝D ，所以A 1C ⊥平面BED .(2)解：A 1E →＝(－2，2，－3)，A 1D →＝(－2，0，－4)． 设平面A 1DE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·A 1E →＝0及n ·A 1D →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y －3z ＝0，－2x －4z ＝0.取n ＝(－4，－1，2)． 设直线A 1C 与平面A 1DE 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝|8－2－8|21×24＝1442. 故直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值为1442. 19．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB︵的中点，D 为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面PAC ； (2)求二面角B ­PA ­C 的余弦值．(1)证明：如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (－1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0.设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面POD 的一个法向量， 则由n 1·OD →＝0，n 1·OP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 1＋12y 1＝0，2z 1＝0.所以z 1＝0，x 1＝y 1，取y 1＝1得n 1＝(1，1，0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAC 的一个法向量，PA →＝(－1，0，－2)，PC →＝(0，1，－2)，则由n 2·PA →＝0，n 2·PC →＝0，得⎩⎨⎧－x 2－2z 2＝0，y 2－2z 2＝0.所以x 2＝－2z 2，y 2＝2z 2. 取z 2＝1，得n 2＝(－2，2，1)．因为n 1·n 2＝(1，1，0)·(－2，2，1)＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面POD ⊥平面PAC .(2)解：因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为n 3＝(0，1，0)． 由(1)知，平面PAC 的一个法向量为n 2＝(－2，2，1)．设向量n 2和n 3的夹角为θ，则cos θ＝n 2·n 3|n 2||n 3|＝25＝105.所以二面角B ­PA ­C 的余弦值为105.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，PA ⊥平面ABCD ，PD 与平面ABCD 成30°角．(1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； (2)求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值． (1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥PA . 又因为AB ⊥AD ，AD ∩AP ＝A ，所以AB ⊥平面PAD ， 所以PD ⊥AB .又因为PD ⊥AE ，AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE ， 所以BE ⊥PD .(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AD ，PA ⊥AB.又因为AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，C (a ，a ，0)，D (0，2a ，0)，AD →＝(0，2a ，0)．因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠ADP 是PD 与平面ABCD 所成的角，所以∠ADP ＝30°. 因为AD ＝2a ，所以PA ＝2a tan 30°＝233a ，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，233a .所以PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，－233a ，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，－233a .设n ＝(x ，y ，z )为平面PCD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay －233az ＝0，2ay －233az ＝0.取x ＝1，则n ＝(1，1，3)是平面PCD 的一个法向量．易知AD →＝(0，2a ，0)为平面PAB 的一个法向量， 所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|AD →||n |＝55.所以平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为55. 21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC .(2)设二面角D ­AE ­C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ­ACD 的体积． (1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又因为E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A ­xyz ，则A (0，0，0)，D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12. 设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的一个法向量．由题意有|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32或m ＝－32(舍去)． 因为E 是PD 的中点，所以三棱锥E ­ACD 的高为12，三棱锥E ­ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.22．(本小题满分12分)在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，∠ABC ＝90°，如图(1)，把△ABD 沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图(2)．(1)求证：CD ⊥AB .(2)若M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离．(3)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，请说明理由．图(1) 图(2)(1)证明：由已知条件可得BD ＝2，CD ＝2，CD ⊥BD . 因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD . 所以CD ⊥平面ABD .又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD ⊥AB .(2)解：以D 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知条件可得D (0，0，0)，A (1，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，M (1，1，0)，CD →＝(0，－2，0)，AD →＝(－1，0，－1)． 设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则CD →⊥n ，AD →⊥n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧CD →·n ＝0，AD →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0.令x ＝1，得平面ACD 的一个法向量为n ＝(1，0，－1)． 因为MC →＝(－1，1，0)，所以点M 到平面ACD 的距离d ＝|n ·MC →||n |＝12＝22.(3)解：假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°. 设BN →＝λBC →，0<λ<1，则N (2－2λ，2λ，0)， 所以AN →＝(1－2λ，2λ，－1)．因为平面ACD 的一个法向量为n ＝(1，0，－1)，且直线AN 与平面ACD 所成角为60°， 所以sin 60°＝|AN →·n ||AN →||n |＝32，可得8λ2＋2λ－1＝0， 所以λ＝14或λ＝－12(舍去)．综上可知，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60°，此时BN BC ＝14.结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

描述：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算一、学习任务1. 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程．2. 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；理解空间向量的正交分解及其坐标表示．3. 理解空间向量的线性运算及其性质；理解空间向量的坐标运算．4. 理解空间向量的夹角的概念；理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直．二、知识清单空间向量的概念与表示空间向量的坐标运算三、知识讲解1.空间向量的概念与表示空间向量的概念及表示方法与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），向量的大小叫做向量的长度或模（modulus）．向量可以用有向线段来表示，也可用 ， 等表示，还可以用有向线段的起点与终点字母表示，如 ．长度为 的向量叫做零向量（zero vector），记为 ．模为 的向量称为单位向量（unitvector）．与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector）．空间向量的加减运算①空间向量的加减运算满足三角形法则和平行四边形法则；②空间向量的加 减运算满足交换律及结合律：，．空间向量的数乘运算与平面向量一样，实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vector by scalar）．当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反； 的长度是 的长度的 倍．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：，结合律：．空间向量基本定理（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）．a →b →AB −→−00→1a →a →−a →+=+a →b →b →a →(+)+=+(+)a →b →c →a →b →c →λa →λa →λ>0λa →a →λ<0λa →a →λa →a →|λ|λ(+)=λ+λa →b→a →b →λ(μ)=(λμ)a →a →vector）．（1）；（2）；（3）AP N A 1，则 ∠BA =∠DA =A 1A 16013−−√23−−√高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。