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2020秋高中数学人教A版选修2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是(）A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小解析：由向量概念可知只有D正确．答案:D2．下列说法中正确的是()A．若｜a｜＝｜b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量,则｜a｜＝|b｜C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中,一定有错误!＋错误!＝错误!解析：｜a|＝｜b|，只是说明a，b模相等，但方向不确定，所以A错；相反向量方向相反，模相等,则B正确；C显然不对；四边形ABCD若为平行四边形则满足此式错误!＋错误!＝错误!，有的不规则四边形ABCD不满足此式,D错．答案:B3．已知空间向量错误!、错误!、错误!、错误!，则下列结论正确的是(）A.错误!＝错误!＋错误!B.错误!－错误!＋错误!＝错误!C.错误!＝错误!＋错误!＋错误! D。
错误!＝错误!－错误!解析:错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.答案：B4．已知正方形ABCD的边长为1,设错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则|a＋b＋c|等于(）A．0 B．3 C．2＋错误!D．2错误!解析:利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a ＋b＋c|＝2|错误!|＝2错误!.答案:D5。
如图，在长方体ABCD。
A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量错误!的是()①（错误!－错误!)－错误!；②(错误!＋错误!)－错误!；③(错误!－错误!)－错误!；④(错误!－错误!)＋错误!.A．①②B．②③C．③④D．①④答案:A二、填空题6．把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是________．解析:在空间中把所有的单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心，半径为1的球面．答案：球面7．在长方体ABCD-A1B1C1D中,错误!＋错误!＋错误!与向量错误!之间的关系是________．解析:因为错误!＝错误!＋错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝2错误!。
第三章 3.1 3.1.5A 级 基础巩固一、选择题1．已知A (3，－2,4)、B (0,5，－1)，若OC →＝23AB →，则C 的坐标是导学号 21324899( B )A ．(2，－143，103)B ．(－2，143，－103)C ．(2，－143，－103)D ．(－2，－143，103)[解析] ∵AB →＝(－3,7，－5)，∴OC →＝23(－3,7，－5)＝⎝⎛⎭⎫－2，143，－103. 故选B ．2．设M (5，－1,2)、A (4,2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为导学号 21324900( B ) A ．(－1,3，－3) B ．(9,1,1)C ．(1，－3,3)D ．(－9，－1，－1) [解析] ∵OM →＝AB →＝OB →－OA →， ∴OB →＝OM →＋OA →＝(9,1,1)．故选B ．3．已知点A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是导学号 21324901( C )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 [解析] AB →＝(3,4，－8)、AC →＝(5,1，－7)、BC →＝(2，－3，1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋1＝14， ∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2. ∴△ABC 为直角三角形．4．(2017·福建三明市高中联盟高二期末)已知a ＝(1,0,2)，b ＝(－1,1,0)，c ＝(－1，y,2)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数y 的值为导学号 21324902( D )A ．－2B ．－1C ．0D ．25．(2017·河南郑州市高二期末测试)已知a ＝(2,4，x )、b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，a ⊥b ，则x ＋y 的值是导学号 21324903( A )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1[解析] ∵|a |＝6，∴|a |2＝36， ∴4＋16＋x 2＝36，∴x 2＝16，x ＝±4. 又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4＋4y ＋2x ＝0， ∴x ＋2y ＋2＝0.当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1， ∴x ＋y ＝1或－3.6．已知a ＝(x,2,0)、b ＝(3,2－x ，x )，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是导学号 21324904( A )A ．x <－4B ．－4<x <0C ．0<x <4D ．x >4[解析] ∵a 、b 的夹角为钝角，∴a ·b <0， 即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0. ∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使b ＝λa ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx ，2－x ＝2λ，x ＝0.此方程组无解，因此选A ．二、填空题7．(2017·广州华美实验中学高二月考)若向量a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，则a ·(b ＋c )＝_3__.导学号 21324905[解析] ∵b ＋c ＝(2,0,3)＋(0,2,2)＝(2,2,5)， ∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝4－6＋5＝3.8．已知a ＝(1，－2,1)、b ＝(3,0,5)、c ＝(0,0，λ)，若a ·(b －c )＝_0__，则λ＝_8__.导学号 21324906[解析] b －c ＝(3,0，λ－5)，因为a ·(b －c )＝0，则3＋5－λ＝0，所以λ＝8. 三、解答题9．已知点A (2,3，－1)、B (8，－2,4)、C (3,0,5)，是否存在实数x ，使AB →与AB →＋xAC →垂直？导学号 21324907[解析] AB →＝(6，－5,5)，AC →＝(1，－3,6)， AB →＋xAC →＝(6＋x ，－5－3x,5＋6x )， ∵AB →⊥(AB →＋xAC →)∴6(6＋x )－5(－5－3x )＋5(5＋6x )＝0， ∴x ＝－8651，∴存在实数x ＝－8651，使AB →与AB →＋xAC →垂直．10．a ＝(5,3,1)，b ＝(－2,6，－25)，若a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.导学号 21324908[解析] ∵a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×(－25)＝3t －525，又∵a 与b 的夹角为钝角， ∴a ·b <0，即3t －525<0，∴t <5215.若a 与b 的夹角为180°， 则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)， 即(5,3,1)＝λ(－2，t ，－25)．故⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ(－2)，3＝λt ，1＝λ(－25)，即t ＝－65.故t 的取值范围是(－∞，－65)∪(－65，5215)．B 级 素养提升一、选择题1．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)、B (4，－3,7)、C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为导学号 21324909( B )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 设BC 边上的中点为D ，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－1，－2,2)，所以|AD →|＝1＋4＋4＝3.2．下列各组向量中共面的组数为导学号 21324910( D ) ①a ＝(1,2,3)、b ＝(3,0,2)、c ＝(4,2,5)②a ＝(1,2，－1)、b ＝(0,2，－4)、c ＝(0，－1,2) ③a ＝(1,1,0)、b ＝(1,0,1)、c ＝(0,1，－1) ④a ＝(1,1,1)、b ＝(1,1,0)、c ＝(1,0,1) A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①设a ＝x b ＋y c ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧1＝3x ＋4y 2＝0·x ＋2y 3＝2x ＋5y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1.故存在实数x ＝－1，y ＝1使得a ＝－b ＋c ， ∴a ，b ，c 共面．②中b ＝－2c ，③中c ＝a －b .故②③中三个向量共面．④设a ＝x b ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x ＝1y ＝1显然无解，故a 、b 、c 不共面．3．已知向量a ＝(1,2,3)、b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为导学号 21324912( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ， 故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7， 而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°.4．已知A (1,2,3)、B (2,1,2)、C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为导学号 21324913( C )A ．(43，43，43)B ．(83，43，83)C ．(43，43，83)D ．(83，83，43)[解析] 点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )、DA →＝(1－a,2－a,3－2a )、DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →最小为－23，此时OD →＝(43，43，83)，故选C ．二、填空题5．(2017·益阳高二检测)已知向量a ＝(3,5,1)，b ＝(2,2,3)，c ＝(4，－1，－3)，则向量2a －3b ＋4c 的坐标为_(16,0，－19)__.导学号 21324914[解析] 2a －3b ＋4c ＝(6,10,2)－(6,6,9)＋(16，－4，－12)＝(16,0，－19)．6．已知正三棱柱ABC －DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CN CF ＝ 116.导学号 21324915[解析] 设CN CF ＝m ，则CN →＝mCF →＝mAD →，∵M 为BC 中点，∴MN →＝MC →＋CN →＝12BC →＋mAD →，又AE →＝AB →＋BE →，由条件知，AE →·MN →＝(AB →＋BE →)·(12BC →＋mAD →)＝12AB →·BC →＋12BE →·BC →＋mAB →·AD →＋mBE →·AD → ＝－14＋4m ＝0，∴m ＝116.三、解答题7．已知空间三点A (0,2,3)、B (－2,1,6)、C (1，－1,5).导学号 21324916 (1)求以AB →、AC →为邻边的平行四边形面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标． [解析] (1)由题中条件可知AB →＝(－2，－1,3)、AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为邻边的平行四边形面积 S ＝|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．C 级 能力拔高已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,2).导学号 21324917 (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标；(2)问是否存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)．因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－x ，1－y ，－z )＝m (－1，0，2)(－x ，－y ，2－z )＝n (－1，1，0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1z ＝2.即D (－1,1,2)．(2)依题意AB →＝(－1,1,0)、AC →＝(－1,0,2)、BC →＝(0，－1,2)，假设存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1α－β＝02β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立．。
描述：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算一、学习任务1. 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程．2. 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；理解空间向量的正交分解及其坐标表示．3. 理解空间向量的线性运算及其性质；理解空间向量的坐标运算．4. 理解空间向量的夹角的概念；理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直．二、知识清单空间向量的概念与表示空间向量的坐标运算三、知识讲解1.空间向量的概念与表示空间向量的概念及表示方法与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），向量的大小叫做向量的长度或模（modulus）．向量可以用有向线段来表示，也可用 ， 等表示，还可以用有向线段的起点与终点字母表示，如 ．长度为 的向量叫做零向量（zero vector），记为 ．模为 的向量称为单位向量（unitvector）．与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector）．空间向量的加减运算①空间向量的加减运算满足三角形法则和平行四边形法则；②空间向量的加 减运算满足交换律及结合律：，．空间向量的数乘运算与平面向量一样，实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vector by scalar）．当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反； 的长度是 的长度的 倍．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：，结合律：．空间向量基本定理（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）．a →b →AB −→−00→1a →a →−a →+=+a →b →b →a →(+)+=+(+)a →b →c →a →b →c →λa →λa →λ>0λa →a →λ<0λa →a →λa →a →|λ|λ(+)=λ+λa →b→a →b →λ(μ)=(λμ)a →a →vector）．（1）；（2）；（3）AP N A 1，则 ∠BA =∠DA =A 1A 16013−−√23−−√高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
第三章 3.1 3.1.3 3.1.4A 级 基础巩固一、选择题1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则 ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·a )c －(c ·a )b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的是导学号 21324863( D ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④[解析] 根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D ．2．若a 、b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的导学号 21324864( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] a ·b ＝|a ||b |⇒cos 〈a ，b 〉＝1⇒〈a ，b 〉＝0°，即a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，a ·b ＝－|a ||b |.3．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则AC 1→＝导学号 21324865( C )A ．i ＋j ＋kB ．13i ＋12j ＋15kC ．3i ＋2j ＋5kD ．3i ＋2j －5k[解析] AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k . 4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中正确命题的个数是导学号 21324866( B ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个[解析] 根据数量积的定义知：①②正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确，故选B ．5．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为导学号 21324867( D ) A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°[解析] ∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， ∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉 ＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 6．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝导学号 21324868( C ) A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 [解析] |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2 ＝|a |2＋6|a ||b |cos<a ，b >＋9|b |2， ∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴|a ＋3b |2＝13，∴|a ＋3b |＝13. 二、填空题7．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x 、y 、z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x 、y 、z 满足的条件是_x ＝y ＝z ＝0__.导学号 21324869[解析] 若x ≠0，则a ＝－y x b －zxc ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底知a 、b 、c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0. 8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝_a 2__.导学号 21324870 [解析] A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉＝2a ×2a ×cos60°＝a 2.三、解答题9．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，求〈a ，b 〉.导学号 21324871 [解析] (a ＋3b )·(7a －5b ) ＝7|a |2－15|b |2＋16a ·b ＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0， 解之得，|b |2＝2a ·b ＝|a |2， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.10.如图，设四面体OABC 的三条棱OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 为△ACB 的重心，以{a ，b ，c }为空间基底表示向量BE →，OG →.导学号 21324872[解析] 由G 为△ACB 的重心易知E 为AC 的中点， ∴BE →＝12(BA →＋BC →)＝12[(OA →－OB →)＋(OC →－OB →)] ＝12[(a －b )＋(c －b )]＝12(a ＋c －2b )， OG →＝OB →＋BG →＝b ＋23BE →＝b ＋13(a ＋c －2b )＝13(a ＋b ＋c )．B 级 素养提升一、选择题1．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是导学号 21324873( B )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定[解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－ AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0， ∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉 ＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0，∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角， ∴△BCD 为锐角三角形．2．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是导学号 21324874( C )A ．2B ．3C ．5D ．7[解析] 如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F → ＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以|EF →|2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2(－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c ) ＝14×22＋14×22＋22＋2×(－14)×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5， 所以|EF |＝ 5.3．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是导学号 21324875( A )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)[解析] OA →＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k .4．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为导学号 21324876( D )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°[解析] 由条件知，|BA 1→|＝2a ，|AC →|＝2a ， BA 1→·AC →＝(AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝AA 1→·AB →－|AB →|2＋AA 1→·AD →－AB →·AD → ＝－|AB →|2－AB →·AD →＝－a 2，∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA →|·|AC →|＝－a 22a ·2a ＝－12.∴向量BA 1→与AC →所成的角为120°，故选D ． 二、填空题5.三棱锥P －ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为__(12，0，－12)__.导学号 21324877[解析] MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →)＝12BA →－12BP →，即MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－12. 6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则导学号 21324878(1)AC ′→·DB ′→＝_1__；cos 〈AC ′→，DB ′→〉＝__13__；(2)BD ′→·AD →＝_1__.[解析] (1)AC ′→·DB ′→＝(a ＋b ＋c )·(a －b ＋c ) ＝a 2＋c 2＋2a ·c －b 2＝1，|AC ′→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝3，∴|AC ′→|＝3， |DB ′→|2＝(a －b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2－2a ·b ＋2a ·c －2b ·c ＝3，∴|DB ′→|＝3，∴cos 〈AC ′→，DB ′→〉＝AC ′→·DB ′→|AC ′→|·|DB ′→|＝13.(2)BD ′→·AD →＝(b ＋c －a )·b ＝|b |2＋b ·c －b ·a ＝1. 三、解答题7.如图所示，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.导学号 21324879[解析] 利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a ，b ，c 表示．如图所示，连接BO ， 则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为D 1C 1的中点，试求A 1C 1→与DE →所成角的余弦值.导学号 21324880[解析] 设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.∵A 1C 1→＝AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DE →＝DD 1→＋D 1E →＝DD 1→＋12D 1C 1→＝c ＋12a ，∴A 1C 1→·DE →＝(a ＋b )·(c ＋12a )＝a ·c ＋b ·c ＋12a 2＋12a ·b ＝12a 2＝12.又∵|A 1C 1→|＝2，|DE →|＝12＋(12)2＝52，∴cos 〈A 1C 1→，DE →〉＝A 1C 1→·DE →|A 1C 1→||DE →|＝122×52＝1010，∴A 1C 1→与DE →所成角的余弦值为1010.C 级 能力拔高如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .(1)求证：CC 1⊥BD ； (2)当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.导学号 21324881 [分析] (1)可以转化为证明CC 1→·BD →＝0.(2)A 1C ⊥平面C 1BD 就是A 1C →·BD →＝0且A 1C →·DC 1→＝0. [证明] (1)设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ， 依题意|a |＝|b |，设CD →，CB →，CC 1→中两两夹角为θ，于是BD →＝CD →＝CB →＝a －b ，CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ＝0，∴CC 1⊥BD .(2)当CDCC 1＝1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD . 证明如下：若A 1C ⊥平面C 1BD ，则必有A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1. 连接AC ，易证得BD ⊥平面A 1AC ，则有BD ⊥A 1C ，令CA 1→·C 1D →＝(CA →＋AA 1→)·(CD →－CC 1→)＝(a ＋b ＋c )·(a －c )＝|a |2－a ·c ＋a ·b －b ·c ＋c ·a －|c |2＝|a |2－|c |2＋|b |·|a |cos θ－|b |·|c |cos θ＝(|a |－|c |)(|a |＋|c |＋|b |·cos θ)＝0，得当|c |＝|a |时，A 1C ⊥DC 1，∴当CD CC 1＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD .。
§3.1 空间向量及其运算测试题( 时间 50分钟 总分100分)班级_______________ 姓名______________ 分数_____________一、选择题（每小题6分，共48分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=.则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ）A ．++-2121 B ．++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．--=2 B ．OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ）A ．85BC．D ．504．与向量)2,3,1(-=平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1,－2,6），B （1,2,－6），O 为坐标原点，则向量与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（ ） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．212121-+D ．213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足·，0=·，0=·0=，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则=（）A ．21B ．22 C ．-21 D ．0二、填空题（每小题6分，共24分）．9．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 10．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{},,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．11．已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是 ． 12．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共28分)．13．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．14．（16分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30° （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） 1．A ；解析：)(21111A B B ++=+==+21（－+）=－21+21+．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A C A '++='，运用向量的内即运算即可，||C A ='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即λ=⇔≠//,．5．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ1．6．B ；解析：显然OM 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 二、填空题（每小题6分，共24分） 9．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<，可得结果．10．OC OB OA 313161++； 解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+=11．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 12．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共28分)13．（12分）解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ， 所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）． 由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得||4MN ==．14．（16分）解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°, ∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD 的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=.。
描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角 线面角 二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线 与 平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于空间中任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB→＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD→与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1， ∴点P ，A ，B ，C 四点共面． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→的结果为( )图3-1-11A.BD 1→＝AB →－AD →＋AA 1→B.BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →C.BD 1→＝AB →＋AD →－AA 1→D.BD 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →.故选B. 【答案】 B5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3-1-12A.EF→＋GH →＋PQ →＝0B.EF→－GH →－PQ →＝0 C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0 【解析】 由题图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有EF→＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A 二、填空题6．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③7．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.【答案】 －18．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【导学号：18490085】【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB→与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】 如图所示，(1)∵OQ→＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12.(2)∵P A →＋PC →＝2PO →， ∴P A →＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →， ∴PC→＝2PQ →－PD →. 从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO→－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.10.如图3-1-13，四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE→与MN →是否共线．图3-1-13【解】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE→＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE→＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线． [能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则P A →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB→＝λBC →，故PB →－P A →＝λ(PC →－PB →)，整理得P A →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝P A 1→＋6(P A 1→－PB →)－4(PD 1→－P A 1→)＝11P A 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C. 【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号：18490086】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μ e 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μ e 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4.如图3-1-14所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN→与向量AD →，BC →是否共面．图3-1-14【解】 由题图可得：MN →＝MA →＋AD →＋DN →， ① ∵MN→＝MB →＋BC →＋CN →，②又MA→＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得： 2MN→＝AD →＋BC →， 即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。
第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算课时目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．2．几类特殊向量(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________． (2)单位向量：________的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度______而方向________的向量，称为a 的相反向量，记为________．3．空间向量的加减法与运算律空间向量 的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝________. 加法运 算律(1)交换律：a ＋b ＝________(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.；一、选择题1．下列命题中，假命题是( )A. 向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( )A. OA →＋OB →＝AB →B. OA →＋OB →＝BA →C. AO →－OB →＝AB →D. OA →－OB →＝CD →3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于( )A. OB →B. OC →C. OD→ D .2OD→4.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A. AB →＝AC →＋BC →B. AB →＝－AC →－BC →C. AC →与BC →同向D. 与AC →与CB →同向5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( )A. BD 1→B. 1D B u u u u rC.1B D u u u u rD. 1DB u u u u r6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF→＋GH →＋PQ →＝0 B.EF→－GH →－PQ →＝0C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0二、填空题7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量''A B u u u u u r的模相等的向量有________个．8.若G 为△ABC 内一点，且满足AG u u u r ＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”) 9．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为________． 三、解答题10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．能力提升12.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由b 的终点指向a 的终点的一条有向线段．第三章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算知识梳理1．大小 方向 (2)大小 模 (3)①有向线段 ②AB →2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同 相等 (4)相等 相反 －a3．a ＋b a －b (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]2．D [OA →－OB →＝BA →＝CD →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →， ∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．D [由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．] 5．A[如图所示， ∵DD 1→＝AA 1→，DD →1－AB → ＝AA 1→－AB →＝BA 1→， BA 1→＋BC →＝BD →1， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.]6．A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量EF →，GH →，PQ →平移后可以首尾相连，于是EF →＋GH →＋PQ →＝0.] 7．7解析 |D'C'→|＝|DC →|＝|C'D'→|＝|CD →|＝|BA →| ＝|AB →|＝|B'A'→|＝|A'B'→|. 8．重心 解析如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC→＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心． 9．3解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，CD 在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．11．解 (1) AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →，EF →＝GD →. ∴AB →＋GD →＋EC → ＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．12．D [AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]13．证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点， 则AO →＝12AC'→＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD'→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋B B'→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA'→)＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)AN →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。
第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算课后篇巩固提升1.下列说法正确的是( )A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线2.已知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是空间两个不共线的向量,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么必有( ) A.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 B.MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面 D.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共面3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 为A 1D 1的中点,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则CE ⃗⃗⃗⃗ =( )A.-a-12b+cB.a-12b+cC.a-12b-cD.a+12b-cCE ⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ )=c+12b-a-b=-a-12b+c.故选A.4.在空间四边形OABC 中,G 是△ABC 的重心,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.12a+12b+12cB.13a+13b+13c C.a+b+c D.3a+3b+3cG 是△ABC 的重心,则CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13[(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC⃗⃗⃗⃗⃗ )] =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b+13c.故选B.5.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +p OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n,p ∈R),则“A,B,C,D 四点共面”是“m=32,n=12,p=-1”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,空间中四点A,B,C,D,若OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +p OC⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n,p ∈R). 若A,B,C,D 四点共面,根据空间向量的共面定理,只需m+n+p=1, 又由m=32,n=12,p=-1,可得m+n+p=1,所以“m=32,n=12,p=-1”时,A,B,C,D 四点共面,即必要性成立,反之不一定成立,既充分性不成立.所以“A,B,C,D 四点共面”是“m=32,n=12,p=-1”的必要不充分条件.故选A.6.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么M 必( ) A.在平面BAD 1内 B.在平面BA 1D 内 C.在平面BA 1D 1内D.在平面AB 1C 1内PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此M,B,A 1,D 1四点共面.7.已知A,B,C 三点不共线,O 是平面ABC 外任一点,若由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC⃗⃗⃗⃗⃗ 确定的一点P 与A,B,C 三点共面,则λ= .P 与A,B,C 三点共面,所以15+23+λ=1,解得λ=215.8.设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+ke 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,且A,B,D 三点共线,则实数k 的值是 .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(5e 1+4e 2)+(e 1+2e 2)=6e 1+6e 2. 又因为A,B,D 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以e 1+ke 2=λ(6e 1+6e 2). 因为e 1,e 2是不共线向量,所以{1=6λ,k =6λ,故k=1.9.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点M 为DD 1的中点,点N 在AC 上,且AN ∶NC=2∶1,求证:A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.10.如图,已知空间四边形ABCD,E,H 分别是边AB,AD 的中点,F,G 分别是边CB,CD 上的点,且CF ⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:四边形EFGH 是梯形.E,H 分别是边AB,AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AH ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗ . 又FG ⃗⃗⃗⃗ =CG ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗ =34FG ⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FG ⃗⃗⃗⃗ ,|EH⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|FG ⃗⃗⃗⃗ |. 又点F 不在EH 上, ∴四边形EFGH 是梯形.。
高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ）A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝ （ ）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是 （ ） A. BC AB ⋅ B. ⋅ C.⋅ D.AC AB ⋅4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{,,}是空间的一个基底，向量-=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为 （ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA → ＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命 题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．22.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E -CF -C 1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2，32)，E (0，0，22)，F (3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0， 所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)． 设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)， 可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°， 即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有AC AB ⋅＝12. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面．5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11 A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c . 12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋ OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC → 共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题． 13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 14. 433 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. 18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225. ∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225. 19.解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12， ∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。
空间向量及其运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1 认识空间向量的观点||，认识空间向量的基本定理及其意义||，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3掌握空间向量的数目积及其坐标表示||，能用向量的数目积判断向量的共线和垂直.1．空间向量的有关观点名称观点表示零向量模为 0 的向量0单位向量长度 (模 )为 1 的向量相等向量方向同样且模相等的向量a＝ ba 的相反向量为－相反向量方向相反且模相等的向量a表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或a∥ b 共线向量重合共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1) 共线向量定理：对空间随意两个向量a||， b(b≠ 0)||， a∥ b 的充要条件是存在实数λ||，使得a ＝λb．(2)共面向量定理：若两个向量 a||，b 不共线 ||，则向量 p 与向量 a||，b 共面 ? 存在独一的有序实数对(x||， y)||，使 p＝xa＋ yb．(3) 空间向量基本定理：假如三个向量a||，b||，c 不共面 ||，那么对空间任一直量p||，存在有序实数组 { x||， y||， z}|| ，使得 p＝ xa＋ yb＋zc||，把 { a||，b||， c} 叫做空间的一个基底．3．空间向量的数目积及运算律(1)数目积及有关观点①两向量的夹角→→已知两个非零向量a||， b||，在空间任取一点O||，作 OA＝ a||， OB＝ b||，则∠ AOB 叫做向量a 与πb 的夹角 ||，记作〈 a||， b〉||，其范围是0≤〈 a||，b〉≤π||，若〈 a||， b〉＝2||，则称 a 与 b 相互垂直||，记作 a⊥ b.②两向量的数目积已知空间两个非零向量a||， b||，则 |ab|cos〈a||， b〉叫做向量a||， b 的数目积 ||，记作 a·b||，即a·b＝|ab|cos〈 a||， b〉．(2)空间向量数目积的运算律①联合律： ( λa)· b＝λ(a· b)；②互换律： a·b＝ b·a；③分派律： a· (b＋ c)＝ a·b＋ a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设 a＝ (a1||， a2||， a3)||， b＝ (b1||， b2||， b3).向量表示[坐标表示数目积a·b a112233b ＋ a b ＋ a b共线a＝λb(b≠0)a112233＝λb ||，a＝λb ||， a ＝λb垂直a·b＝ 0 a b ＋ a b ＋ a b ＝ 0112233(a≠ 0||， b≠ 0)模|a|222a ＋ a＋ a312cos〈 a||，b〉＝〈a||，b〉(a≠0||，b夹角 a b ＋ a b＋a b≠ 0)112233222222a＋a＋a ·b＋b ＋ b312312规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量||，并用它们表示出指定的向量||，是用向量解决立体几何问题→→→→→||，的基本要求．如本例用 OA||，OB||，OC表示 OG||，MG 等 ||，此外解题时应联合已知和所求察看图形联想有关的运算法例和公式等||，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和||，等于由开端向量的起点指向末端向量的终点的向量．因此在求若干向量的和 ||，能够经过平移将其转变为首尾相接的向量乞降．3.数目积的应用：a· b(1)求夹角 ||，设向量 a||， b 所成的角为θ||，则 cosθ＝|a||b|||，从而可求两异面直线所成的角；(2)求长度 (距离 )||，运用公式 |a|2＝ a·a||，可使线段长度的计算问题转变为向量数目积的计算问题；(3)解决垂直问题 ||，利用 a⊥ b a·b＝ 0(a≠ 0||，b≠ 0)||，可将垂直问题转变为向量数目积的计算问题．种类一空间向量的线性运算例１：如图 3-1-6||，已知平行六面体ABCD ABCD .求证:AC AB AD 2AC.【分析】 :因为在平行六面体中 ||，每个面都是平行四边形||，故可联合空间向量加法的平行四边形法例进行向量的运算||，从而证明结论 .【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形||，又∵ AA CC ,AD BC ,练习１：如下图||，在平行六面体ABCD－A1 1 1 1→→→1＝ b||， AD ＝c||， M||，B C D中 ||，设 AA ＝ a||， ABN||， P 分别是 AA ||， BC||， C D的中点 ||，试用 a||， b||， c 表示以下各向量：→→AP||， A N1111→b →c【答案】 (1)AP； (2)A 1=a+c+N=-a+b+22练习 2：设向量a ||，b不平行 ||，向量a b 与 a 2b 平行||，则实数_________．【答案】1 2种类二共线定理、共面定理的应用例 2：射线 AB 、AC、 AD 不共面 ||，连接 BC、 CD 、DB ||，取 AB、 BC、 CD 、 DA 的中点 E、F、G、 H ||，如图 3-1-20||，试判断四边形EFGH 的图形形状 ||，并用向量的方法证明.【答案】解法 1:四边形 EFGH 是平行四边形 .EH FG. ∵E点不在 FG 上||，∴EH∥FG||，且EH =FG||，∴四边形 EFGH 是平行四边形 .解法 2:∵HG HD DG1(AD DC) 1AC,22∴ HG EF.又H点不在EF上||，∴HG∥ EF||，且 HG =EF.∴四边形 EFGH 是平行四边形 .练习 1：已知向量a= (2,1) ||，b= (1, 2) ||，若 ma+nb= (9, 8) ( m, n R )||，则 m n 的值为______.【分析】由题意得：2m n 9,m 2n8 m 2, n 5, m n 3.【答案】3种类三空间向量数目积的应用例 3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a||，点 M||， N 分别是 AB|| ， CD 的中点．(1)求证： MN ⊥ AB|| ，MN ⊥ CD；(2)求 MN 的长；(3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值．【分析】（ 1）设 AB =p||， AC =q||， AD =r.由题意可知： |p|=|q|=|r|=a||，且 p 、 q 、 r 三向量两两夹角均为 60° .MN =AN -AM=1 （AC +AD ）-1AB=1 （ q+r -p ） ||，2221∴ MN · AB =（ q+r-p ）· p= 1 （ q ·p+r · p-p 2） = 1（ a 2· cos60°+a 2 ·cos60° -a 2） =0.2 2∴ MN ⊥ AB|| ，同理可证 MN ⊥ CD. （ 2）由（ 1）可知 MN = 1（ q+r -p ）222 1 21 ［2 22+2（ q · r-p · q-r · p ）］∴|MN | =MN= （q+r-p ） =4q +r +p41 2 22 （ a2a2a 2）= 1× 2a 2 a 2[a +a +a +224 =.422 2∴| MN |=2a||，∴ MN 的长为2a.22→ →(3) 解 设向量 AN 与MC 的夹角为θ. →1→→ 1∵ AN ＝ 2(AC ＋ AD )＝ 2(q ＋ r)||，→→→1MC ＝ AC － AM ＝ q － 2p||，→→ 11∴ AN · MC ＝ 2(q ＋ r) ·(q － 2p)111＝ 2(q2－2q · p ＋ r · q － 2r · p)1112＝ 2(a 2－ 2a 2cos60°＋ a 2cos60°－ 2a 2cos60° )＝ a.2→→3又∵ |AN |＝ |MC |＝ 2 a||，→ → → → 3 32∴AN · MC＝ |AN MC |cos θ＝2 a × 2 a × cos θ＝a. 22∴ cos θ＝ .3→ →22∴向量 AN 与MC 的夹角的余弦值为3||，从而异面直线AN 与 CM 所成角的余弦值为 3.22【答案】（1）看法析（） MN 的长为 a.（ 3）异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为 322练习 1：在平行六面体 ABCD － A1 1 1 1中 ||，以极点 A 为端点的三条棱长度都为1||，且两两夹B C D角为 60° .→→求 BD1与AC夹角的余弦值．【答案】设AB =a||，AD =b. AA1 =c→→BD1＝ b＋ c－ a||， AC＝ a＋ b||，→→∴|BD1|＝ 2||， |AC|＝ 3||，→→BD1· AC＝ (b＋ c－ a)·(a＋b)＝ b2－ a2＋ a· c＋b· c＝ 1.→→→→BD 1||，· AC6∴ cos〈BD 1||， AC〉＝→→＝6 .|BD1|· |AC|1．已知向量 a＝ (1||， 0||，－ 1)||，则以下向量中与 a 成 60°夹角的是 ()A． (－ 1||， 1||， 0) B ． (1||，－ 1||， 0)C． (0||，－ 1||， 1)D． (－ 1||， 0||， 1)【答案】 B2．在以下命题中：①若向量 a||， b 共线 ||，则向量 a||， b 所在的直线平行；②若向量 a||， b 所在的直线为异面直线||，则向量 a||，b 必定不共面；③若三个向量 a||， b||， c 两两共面 ||，则向量 a||， b||， c 共面；④已知空间的三个向量a||， b||， c||，则关于空间的随意一个向量p 总存在实数 x||，y||， z 使得 p ＝ xa＋ yb＋ zc.此中正确命题的个数是()A． 0 B ． 1C． 2D． 3【答案】 A3.在空间直角坐标系中||， A(1||， 2||， 3)||， B(－ 2||，－ 1||， 6)||， C(3||，2||， 1)||， D(4||， 3||， 0)||，则直线 AB 与 CD 的地点关系是 ()A．垂直 B ．平行C．异面D．订交但不垂直【答案】 B→ 3 → 1 → 1 →4.O 为空间随意一点 ||，若 OP＝4OA＋8OB＋8OC||，则 A||， B||， C||， P 四点 ()A．必定不共面 B ．必定共面C．不必定共面 D ．没法判断【答案】 B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础稳固（ 1）1．已知 a＝ (－2||， 1||， 3)||， b＝ (－ 1||， 2||， 1)||，若 a⊥ (a－λb)||，则实数λ的值为 ()A．－ 2 B ．－14C.14D． 2 35【答案】 D2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a||，点 E||，F 分别是 BC||，AD 的中点 ||，→→则 AE· AF的值为 ()2121232 A． a B. 2a C.4a D. 4 a【答案】 C3．若向量 c 垂直于不共线的向量a 和 b||，d＝λa＋μb(λ||，μ∈ R||，且λμ≠0)||，则()A． c∥ dB． c⊥ dC． c 不平行于d||， c 也不垂直于dD．以上三种状况均有可能【答案】 B4．已知 { a||， b||， c} 是空间的一个基底||， { a＋ b||， a－ b||， c} 是空间的另一个基底||，一直量p 在基底 { a||， b||， c} 下的坐标为 (4||， 2||， 3)||，则向量 p 在基底 { a＋ b||， a－ b||， c} 下的坐标是 () A． (4||， 0||， 3)B． (3||， 1||， 3)C． (1||， 2||， 3)D． (2||， 1||， 3)【答案】 B5.已知 2a＋ b＝(0||，－ 5||， 10)||， c＝ (1||，－ 2||，－ 2)||， a·c＝ 4||， |b|＝ 12||，则以 b||， c 为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】 60°6.已知 a＝ (2||，－ 1||， 3)||， b＝ (－ 1||， 4||，－ 2)||， c＝ (7||， 5||，λ)||，若 a||， b||， c 三个向量共面||，则实数λ等于 ________．65【答案】7能力提高（ 2）→→→→7.在四周体OABC 中||， OA＝a||，OB＝ b||，OC＝ c||，D 为 BC 的中点 ||，E 为 AD 的中点 ||，则 OE ＝________(用 a||，b||，c 表示 )．【答案】1a 1b 1c244→→→→→→8.A||，B||，C||，D 是空间不共面四点||，且 AB·AC＝0||， AC·AD ＝ 0||，AB· AD ＝0||，则△ BCD 的形状是 ________三角形 (填锐角、直角、钝角中的一个)．【答案】锐角→→9.已知空间中三点A(－ 2||，0||， 2)||， B(－ 1||， 1||， 2)||， C(－ 3||， 0||，4)||，设 a＝ AB ||， b＝ AC.→(1)若 |c|＝ 3||，且 c∥ BC ||，求向量c.(2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值．→→【答案】解(1) ∵c∥ BC||， BC＝ (－ 3||， 0||， 4)－ (－ 1||， 1||，2) ＝( －2||，－ 1||， 2)||，→∴c＝ mBC ＝m(－ 2||，－ 1||， 2)＝ (－2m||，－ m||， 2m)||，∴|c|＝（－ 2m）2＋（－ m）2＋（ 2m）2＝ 3|m|＝ 3||，∴m＝± 1.∴c＝ ( －2||，－ 1||， 2)或 (2||， 1||，－ 2) ．(2)∵ a＝ (1||，1||，0)||，b＝ (－ 1||， 0||， 2)||，∴a·b＝ (1||， 1||， 0)· (－ 1||，0||，2) ＝－ 1||，又∵ |a|＝ 12＋ 12＋ 02＝ 2||，|b|＝（－1）2＋02＋22＝5||，·－ 110a b＝＝－∴cos〈 a||， b〉＝10||，|a|· |b|10即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为－10 10 .因此异面直线AG 与 CE 所成角的余弦值为 2 .3。
第三章空间向量与立体几何
§空间向量及其运算
空间向量及其加减运算
课时目标
．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．
．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．
．几类特殊向量
()零向量：的向量叫做零向量，记为．
()单位向量：的向量称为单位向量．
()相等向量：方向且模的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
()相反向量：与向量长度而方向的向量，称为的相反向量，记为．
．空间向量的加减法与运算律
空间向量
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：
的加减法
＝＋＝；＝－＝.
加法运
算律 ()交换律：＋＝ ()结合律：(＋)＋＝.；
一、选择题
．下列命题中，假命题是()
. 向量与的长度相等
．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
．只有零向量的模等于
．共线的单位向量都相等
.如图所示，平行四边形的对角线的交点为，则下列等式成立的是
()
. ＋＝ ＋＝
－＝ －＝
.已知是△所在平面内一点，为边中点且＋＋，则等于() OD →OD →
.已知向量，，满足＝＋，则()
. ＝＋ ＝－－
与同向 .与与同向
.在正方体—中，向量表达式化简后的结果是()
.1D B .1B D .1DB
．平行六面体—中，，，，，，分别是，，，，，的中点，则() .EF →
＋＋＝.EF →－－＝ .EF →＋－＝ .EF →
－＋＝ 二、填空题。
第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。
A .1 B .2 C .3 D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为( )A .1010 B . 15C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ；_C_D_A_P_ N_B_M（2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a=-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( )A ．可构成直角三角形B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25]4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1及平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；D 1C 1B 1A 1DABCC 1 B 1 A 1B A（2）求1C 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，1AC AA ==(1)证明：1ABA C ⊥； （2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面PAC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-. 连结AC ，则§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ； （2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 设1,,A A a AD b DCc ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-，令24260xx +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），_C_D _A_P_ N _B _M _EA 1§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.A 2.D 3.B 4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1及AM 所成的角就是AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°. ∴AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网1.A2.C3. （1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DEAC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =.设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =-，所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==7. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =，故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --的余弦值大小为77. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由正弦定理030ACB∠=.如右图，建立空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量，设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =，则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 不妨取1,(3,1,1)mn ==则，1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DSa =，平面DAC 的一个法向量600aOS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°._C_A_S_F_BO（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且),(0,)DS CS ==.设,CEtCS = 则((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面. 作 者 于华东 责任编辑 庞保军。
3.1.1空间向量及其加减运算课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|C.空间向量就是空间中的一条有向线段⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAD.在四边形ABCD中,一定有AA解析:|a|=|b|,说明a与b的模相等,但方向不确定;由于a的相反向量b=-a.故|a|=|b|,从而选项⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , B正确;向量与有向线段是不同的,常用有向线段表示向量;一般的四边形不具有AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA只有平行四边形才成立,故选项A,C,D均不正确.答案:B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的结果是()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−(AA2化简(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AAA.0B.AA答案:A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA3已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AAA.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA解析:AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA答案:A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形AAAA是(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA4设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA)A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形解析:由已知得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是相等向量,因此AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等,方向相同,即四边形ABCD 是平行四边形.答案:B5已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题正确的是( ) A .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相等向量 B .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量 C .AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相等向量D .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量解析:选项A 中是一对相反向量,B 中是一对相等向量;C 中是一对相反向量,D 中也是一对相反向量. 答案:D6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的结果为______________________. 答案:07①若|a |=0,则a =0;②若a =0,则-a =0;③|-a |=|a |,其中正确命题的序号是 . 答案:②③8如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________________,A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________________.解析:AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a +c , A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b -c . 答案:b -a +c a +b -c9已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,化简:AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .解:AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 10如图所示,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA 1=1,以此长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,(1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为√5的所有向量.解:(1)因为长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 这8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)因为这个长方体的左、右两侧的对角线长均为√5,所以模为√5的向量有AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共8个.能力提升1下列说法正确的是( ) A.若|a |<|b |,则a <bB.若a 与b 互为相反向量,则a +b =0C.单位向量的模不一定相等D.在四边形ABCD 中,一定有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗解析:选项A 中,向量a 与b 不能比较大小;选项B 中,应为a +b =0;选项C 中,单位向量的模都是1个单位长度;选项D 中,由向量运算可知正确. 答案:D2已知平行六面体OABC-O'A'B'C',AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 'A '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-a +b +cB.-b -a -cC.a-b-cD.a-b+c答案:D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,那么()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AA3如果向量AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AAA.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向D.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AAC.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴A,A,A共线且点C在AB之间,即AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AA解析:∵|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA答案:D4在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式成立的是()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAA.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAB.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAC.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAD.AA答案:B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,有下列各式:⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA5对于空间中的非零向量AA①AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |;⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;③|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;②AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA④|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.其中一定不成立的是______________________.(填序号)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故②不成立;③当AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA解析:①AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 恒成立;②AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线且AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反时,有⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AA方向相同时,有|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |;④当AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.故只有②一定不成立.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AA|AA答案:②6如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简下列向量表达式:(1)AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:结合题图可知, (1)AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(2)A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 7在六棱柱ABCDEF-A 1B 1C 1D 1E 1F 1中,化简A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并在图中标出化简结果的向量.解:A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .图略.8如图,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD ,E ,F ,G 分别是BC ,CD ,DB 的中点,请化简(1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并在图中标出化简结果的向量.解:(1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图中向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图中向量AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA(2)连接GF,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA。
第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.2 空间向量的数乘运算A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的是( )abbcac共线．共线，与与A．若与共线，则abc共面，即它们所在的直线共面． B．向量，，C．零向量没有确定的方向．abab. λ∥＝，则存在唯一的实数λD．若，使答案：C22eaeeeeeμ＋∈R，且λλ＋μ2．已知两非零向量λ，(，且与，不共线，设μ＝222111)≠0)，则(eaae B．∥．A ∥21eea共面 C．D与、．以上三种情况皆有可能21C答案：aaabmbnabp) ，则，( ＝3．若＝与－不共线，且＝＋，pmpmn与B，共线．A．共线，ppmnn D．，．，与共线共面C ababamnp，2，即＋( －＋)＝2解析：由于(＋＝)11pmnmnmnp共面．，＋，又，与即不共线，所以＝22答案：D4．下列命题中，不正确的命题个数为( )→→→→ABBCCDDA＝0＋＋；＋①ababab共线的充要条件；，|是||－| |＝|＋②abab所在的直线在同一平面内；、共面，则③若、→→→11OPOAOBPAB三点共线．，则、、④若＝＋23A．1 B．2 C．3 D．4C答案：OABCOBACMNOACBG在线和分别是边，的中点，点，5.已知空间四边形，，其对角线为→→→→MNMGGNOAOBOCOG是( ，用向量表示向量，段)上，且使，＝2111→→→→OOAOBOC＋A.＋＝633112→→→→OGOAOBOC＋B.＋＝63322→→→→OGOAOBOC＋C.＋＝33122→→→→OGOAOBOC D.＋＝＋233MGGNMNOACB的中点，，，解析：因为，＝2分别是边12111122→→→→→→→→→→→→→→→OGOMMGOMMNOMMOOCCNOMOCOBOCOAOB＋－＝＋＋＝＋＋)＝＋(＋＋(＋＝所以)＝33333633→OC.答案：A二、填空题→→→abABabBCabCDabABCD中一定共2、＝－5，则＋6、，6．已知向量7、＝，且＝、＋2－，线的三点是________．→→→→ABbCDa BDBC 2＝解析：＋＝4＋2＝DBA所以、、三点共线．DBA答案：、、→→→DCbaABbbABaBCabCDa中一定共，则2，，2＝－5＋6，，，＝．已知向量77，，且－＝＋．线的三点是________→→→→ABbCDaBDBC2＋解析：4＝＋＝＝2DAB、三点共线．、所以DAB、、答案：21→→→→OCOBOACBOABCOPA确定的三点不共线，是平面＋外任一点，若由＝λ＋．已知8，，35CBAP．________＝λ三点共面，则，，与一点．122PABC三点共面，所以＋＋λ＝解析：由1与，解得，λ，＝.53152 答案：15三、解答题MGABCDBCCD的中点，化简下列各式：分别是空间四边形，9．已知的两边，→→→CDABBC＋；＋(1)→→→1BCBDAB＋(2)；＋()2→→→1ACAGAB (3))－(．＋2→→→→→→ADACCDABBCCD.＋＋解：(1)如图所示，＝＋＝BDHMGGH. ，连接(2)取，的中点MGBCCD的中点，因为，，分别为BMGH为平行四边形，所以→→→→→1BDBCBHBMBG，＝)＝所以( ＋＋2→→→→→→1ABBDBCABBGAG.＝从而＋(＝＋＋)2ABACSN，的中点 (3)分别取，，SMAMMN，，连接，ASMN为平行四边形，则→→→→→1ABACASANAM，＝＝＋所以( ＋)2→→→→→→1AGABACAGAMMG.＋－)＝＝所以－(2EF GHABCDABBCCDDA的中点．用向的边，，，如图，已知10.，，，分别为空间四边形EFGH四点共面．，，，量法证明BGEG，，证明：如图，连接11→→→→→BFBCEHBDBG＝，，则＝＝221→→BCBD)，( ＋21→→→→→→→→→→→EGEBBGEBBCBDEBBFEHEFEH.＋)所以＝＝＋＝＝＋＋(＋＋2EFGH四点共面．，所以，，B级能力提升→→→→11xOCxOAOBABCMOOM的值为＋1．已知点在平面＝内，并且对空间任意一点，则，有＋33)(0 ．1 BA．1 D.．3 C3D答案：→→→ADcOCDBCEaOABCOAOBb的中＝，，-中，的中点，＝，为＝2．如图所示，在四面体为→cOEab＝________(用，)点，则，．表示→→→→→→→→→1111111111OEOAAEaADaODOAaODaOBOCab＋＋＋×(＋＝)(解析：＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝2222222244c.111abc答案：＋＋244ABCDABEFMNAC、3．如图所示，四边形、和四边形分别是都是平行四边形，且不共面，→→BFCEMN是否共线．的中点，判断与MNACBFABCDABEF都是平行四边形，分别是、、解：因为、的中点，而四边形→→→→→→→11MNMAAFFCAAFB.＋所以＝＝＋＋＋22→→→→→→→→→11MNMCCEEBBNCACEAFFB，－＋＝－又因为＝＋＋－＋22→→→→→→→1111CAAFFBCACEAFFB.＋所以－＋－＋＝－2222→→→→→→→CECAAFFBMAAFFN)．2(＋所以＝＋2＋＋＝→→→→→→CEMNCEMNCEMN共线．所以所以＝2.∥，即与。
祈福教育 高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝ （ ） A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是 （ ）A. ⋅B. ⋅C.⋅D.⋅4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{c b a ,,}是空间的一个基底，向量b a n b a m -=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形 为 （ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在 唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命 题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →， 则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是 AB 、AD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a＋b与k a－2b互相垂直，求k的值．22.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝22，BF＝ 2.(1)求证：CF⊥C1E；(2)求二面角E-CF-C1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(3，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2，32)，E(0，0，22)，F(3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)， C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0， 所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)．设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)， 可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得 cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°，即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4＋2＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12.4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面． 5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209.8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9. 解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形． 10. 解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)，∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11\ A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c .12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共 面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC →共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面．14.433 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0， 所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满 足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14.18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225.19. 解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1， ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21. 解析 ∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →， ∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0， 则k ＝－52或k ＝2.。
