全等三角形基本模型

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全等三角形基本模型

全等三角形的基本模型是由三条相等的射线组成的，这三条射线的长度和宽度相等。它们共同构成了一个三角形，该三角形有三种角度，每个角度都是60度，这样它可以正确地形成一个六边形。

也就是说，全等三角形是一个形状完美的六边形，它的外观看起来是三个正三角形，而每个三角形的角度也都是相等的。例如，每个角都是60度，所以全等三角形称为“六度”三角形。

全等三角形的三个顶点都是共线的，因此它也被称为“线性三角形”。此外，由于它的三个项点都是等距的，因此它也被称为“平行三角形”。而且，由于它的三个项点都是全等的，因此它也可以称为“全等三角形”。

全等三角形是一种常见的几何模型，广泛用于数学，绘图，矩阵计算等方面。特别是，它用于绘制三维空间中的某些形状，以及计算几何形状的相关参数，如面积或周长等。此外，由于它的外观非常美观，因此它也被广泛用于图形设计，为用户提供更加精致的画面。

在数学上，全等三角形的一个重要特点是它可以用来计算其他几何图形的特征，如三角形的周长，面积，角度等。由于全等三角形有三个等距的边，因此它也可以用于计算其他几何图形的面积，如正方形，矩形等。

总之，全等三角形是一种极具用处的几何模型，它可以用于计算几何变换，绘制三维形状，计算面积等，是一个很有用的模型。

三角形全等基本模型

常见三角形全等模型公共线段模型

例1如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC∥BD且AC=BD，求证：CF=DE.练习1已知：如图，点B、D在线段AE上，AF=DC，AB∥ED，∠B=∠E.求证：BC=DF.公共角（对顶角）模型例2如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.求证：△BDE≌△CDF.练习2如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE.求证：BD=CE.角平分线模型例3如图，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°.求证：BD=CD.练习3如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF=∠BAE.求证：AF=BC+FC.三垂直模型

例4如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若CE=BF，AE=EF+BF，试判断AC与BC的位置关系，并说明理由.手拉手模型

例5如图，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由.

全等三角形证明中的基本模型

把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形.

常见平移模型

【引例】如图，AEFB、、、四点在一条直线上，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD．

求证：CFDE

模块一平移型全等

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夯实基础全等中的基本模型

FEDCBA

【解析】 ∵ACCE，BDDF

∴90ACEBDF

在RtACE△和RtBDF△中

ACBDAEBF

∴RtRtHLACEBDF△≌△

∴CEDF，AECBFD

∴CEFDFE

在CEF△和DFE△中

CEDFCEFDFEEFFE

∴CEFDFE△≌△ ∴CFDE

【例1】如图1，A、B、C、D在同一直线上，ABCD，DEAF∥，且.DEAF

求证：AFCDEB△≌△

如果将BD沿着AC边的方向平行移动，图2，B点与C点重合时；图3，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．

图1FEDCBA图2FED(C)BA图3FEDCBA

常见轴对称模型知识导航模块二对称型全等能力提升

【例2】 ⑴如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）

A.3对 B.4对 C.5对 D.6对

⑵如图，ABE△和ADC△是ABC△分别沿着AB，AC翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1，则4________．

【例3】如图，ABAC，D、E分别是AB、AC的中点，AMCD于M，ANBE于N．

全等三角形--------手拉手模型

例题1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1） △ABE≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE与DC的夹角为60。

（4） △AGB≌△DFB

（5） △EGB≌△CFB

（6） BH平分∠AHC

（7） GF∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1） △ABE≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE与DC的夹角为60。

（4） AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

HFGEDABCEBDAC

变式练习2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1） △ABE≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

例题2：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H

问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？

例题3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.

问（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？

HEBDACHEFADBCGHGADCE

例题4：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a

连接AE与CD.

问（1）△ABE≌△DBC是否成立？

（2）AE是否与CD相等？

（3）AE与CD之间的夹角为多少度？

（4）HB是否平分∠AHC？

韦达定理：

HDABCE