全等三角形八大基本模型

常见三角形全等模型公共线段模型

例1如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC∥BD且AC=BD，求证：CF=DE.练习1已知：如图，点B、D在线段AE上，AF=DC，AB∥ED，∠B=∠E.求证：BC=DF.公共角（对顶角）模型例2如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.求证：△BDE≌△CDF.练习2如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE.求证：BD=CE.角平分线模型例3如图，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°.求证：BD=CD.练习3如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF=∠BAE.求证：AF=BC+FC.三垂直模型

例4如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若CE=BF，AE=EF+BF，试判断AC与BC的位置关系，并说明理由.手拉手模型

例5如图，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由.

前面的文章给出了全等三角形八大模型的手牵手模型的图例，解题方法和例题，今天我们一起来看看边边角模型的解题方法，希望对大家的几何学习能有帮助。

边边角模型

例：（1）如图1，三角形ABC是等边三角形,点D是边BC上(除B,C外)的任意一点，∠ADE=60°,且DE交三角形ABC外角∠ACF的平分线CE于点E,求证:AD=DE。

（2）如图2，把“点D是边BC上(除B,C外)的任意一点”改成“点D是BC的延长线上(除C点外)的任意一点”，其他条件不变,结论“AD=DE”仍然成立吗？

例题的两个图形

以下是这两道题的解答：

第一道题解法1

第一道题解法2

第二道题解法1

第二道题解法2

想必大家对边边角模型有了一个初步了解，下面给大家留一道练习题自己做做，对边边角模型加以巩固。

边边角模型练习题

Powered by TCPDF ()

把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形.

常见平移模型

【引例】如图，AEFB、、、四点在一条直线上，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD．

求证：CFDE

模块一 平移型全等

知识导航 知识互联网

夯实基础 全等中的基本模型

FEDCBA

【解析】 ∵ACCE，BDDF

∴90ACEBDF

在RtACE△和RtBDF△中

ACBDAEBF

∴RtRtHLACEBDF△≌△

∴CEDF，AECBFD

∴CEFDFE

在CEF△和DFE△中

CEDFCEFDFEEFFE

∴CEFDFE△≌△ ∴CFDE

【例1】 如图1，A、B、C、D在同一直线上，ABCD，DEAF∥，且.DEAF

求证：AFCDEB△≌△

如果将BD沿着AC边的方向平行移动，图2，B点与C点重合时；图3，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．

图1FEDCBA图2FED(C)BA图3FEDCBA

常见轴对称模型 知识导航 模块二 对称型全等 能力提升

【例2】 ⑴如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（ ）

A.3对 B.4对 C.5对 D.6对

⑵如图，ABE△和ADC△是ABC△分别沿着AB，AC翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1，则4________．

【例3】 如图，ABAC，D、E分别是AB、AC的中点，AMCD于M，ANBE于N．

半角模型（一）

把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样

的模型称为半角模型。 1、常见的图形

正方形，正三角形，等腰直角三角形等。

特点：

①大角内部有一小角，且小角角度是大角角度的一般

②大角的两边相等，保证旋转之后能够完全重合

③大角的两边与其他两边形成的两个角互补，保证旋转之后的两个三角形两边能在同一直线上

2、解题思路

① 将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；

② 证明与半角形成的三角形全等；

③ 通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。

二、基本模型

1、正方形内含半角

例题1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。

2、等边三角形内含半角

例题2、如图，已知 △ABC 是等边三角形，点 D 是 △ABC 外一点，DB = DC 且 ∠BDC = 120° ，

∠EDF = 60° ，DE ，DF 分别 交 AB ，AC 于点 E , F 。 求证： EF = BE + CF

3、等腰直角三角形内含半角

例题3、如图，已知 △ABC 是等腰直角三角形，点 D ,E 在 BC 上，且满足 ∠DAE = 45° 。 求

证 ： DE^2 = BD^2 + CE^2

半角模型练习（二） 条件：ABCD为正方形，∠MAN=45°，AM与AN分别与BC边和CD边交与M,N两点，连接MN.

思路：1、旋转

辅助线；①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FE=DM，连AF

②将三角形AND绕点A顺时针旋转90°，得到三角形ABF。

注意：旋转需证F,B.M三点共线

结论：MN=BM+DN

（2）C三角形CMN=2AB

（3）AM,AN分别平分∠BMN,∠MND

2、翻转（对称）

辅助线：①做AP垂直MN，交MN于点P

②将三角形AND,三角形ABM分别沿着AM,AM翻转，但一定要证