全等三角形常见模型

证明三角形全等的常见题型

教学重点：利用全等三角形的性质和判定解决

教学难点：熟练灵活的运用三角形全等的知识解决问题

教学方法：师生共同合作、探究

教学过程：

全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等

1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明 ∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。

在△ABF和△DCE中，

∴ △ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2 已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），

∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，

∴ △ADE≌△CFE（ASA）.

∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）

3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3 （同例2）.

证明 ∵ FC∥AB（已知），

∴ ∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.

在△ADE和△CFE中，

∴ △ADE≌△CFE（AAS）.

∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等

1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。求证：

△ABD≌△ACE.

证明 ∵∠1=∠2（已知），

∠ADB=180°-∠1，

全等三角形常见的几何模型

集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

1、绕点型（手拉手模型）

（1）自旋转：，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1） △ABE≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE与DC的夹角为60。

（4） △AGB≌△DFB

（5） △EGB≌△CFB

（6） BH平分∠AHC

（7） GF∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1） △ABE≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE与DC的夹角为60。

（4） AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

(1)△ABE≌△DBC

(2)AE=DC

(3)AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC HFGEDABC

3、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．

（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

例4、例题讲解：

1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.

第05讲模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)

目录

【模型一平移型模型】......................................................................................................................................1

【模型二轴对称型模型】..................................................................................................................................3

【模型三四边形中构造全等三角形解题】......................................................................................................5

【模型四一线三等角模型】..............................................................................................................................9

【模型五三垂直模型】....................................................................................................................................13

【模型六旋转型模型】....................................................................................................................................18

1、绕点型（手拉手模型）

（1）自旋转：，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1） △ABE≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE与DC的夹角为60。

（4） △AGB≌△DFB

（5） △EGB≌△CFB

（6） BH平分∠AHC

（7） GF∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1） △ABE≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE与DC的夹角为60。

（4） AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

(1)△ABE≌△DBC

(2)AE=DC

(3)AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由． HFGEDABCEBDACHEBDAC（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

例4、例题讲解：

1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.

(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF②AC=CF+CD.

(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；