泛函分析知识点

泛函分析知识点

知识体系概述

（一）、度量空间和赋范线性空间

第一节度量空间的进一步例子

1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得x,y,zX,下列距离公理成立：

（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0x=y;

（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);

（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);

则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）

2.几类空间

例1 离散的度量空间

例2 序列空间S

例3 有界函数空间B(A)

例4 可测函数空M(X)

例5 C[a,b]空间即连续函数空间

例6 l2

第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间

1. 开球

定义设（X,d）为度量空间，d是距离，定义

U(x0,)＝{x∈X|d(x,x0)<}

为x0的以为半径的开球，亦称为x0的一领域.

2. 极限

定义若{xn}X,xX,s.t.lim,0nndxx则称x是点列{xn}的极限.

3. 有界集

定义若,sup,xyAdAdxy，则称A有界

4. 稠密集

定义设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令M表示M的闭包，如果EM,那么称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密集。

5. 可分空间

定义如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。

第三节连续映射

1.定义设X=(X,d),Y=(Y,~d)是两个度量空间，T是X到Y中映射，x0X,如果对于任意给定的正数，存在正数0，使对X中一切满足0,dxx

的x，有 ~0,dTxTx，

则称T在0x连续.

2.定理1设T是度量空间（X,d）到度量空间~Y,d中的映射，那么T在0xX连续的充要条件为当0nxxn时，必有0nTxTxn

3.定理2度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像1TM是X中的开集.

第四节柯西（cauchy）点列和完备度量空间

1.定义设X=(X,d)是度量空间，nx是X中点列，如果对任意给定的正数0，存在正整数NN,使当n,m>N时，必有

,nmdxx，

则称nx是X中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d）中每个柯西点列都在

（X,d）中收敛，那么称（X,d）是完备的度量空间.

【注意】（1）Q不是完备集

（2）nR完备

（3）cauchy列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy列.

（4）C[a,b]完备

2.定理完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间.

第五节度量空间的完备化

1.定义设（X,d）,(~X,~d)是两个度量空间，如果存在X到~X上的保距映射T，即~,,dTxTydxy，则称（X,d）和(~X,~d)等距同构，此时T称为X到~X上等距同构映射。

2.定理1（度量空间的完备化定理）设X=（X,d）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间~X=(~X,~d)，使X与~X的某个稠密子空间W等距同构，并且~X在等距同构意义下是唯一的，即若(^X,^d)也是一完备度量空间，且X与~X的某个稠密子空间等距同构，则(~X,~d)与(^X,^d)等距同构。

3.定理1’设X=（X,d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间~X=(~X,~d)，使X为~X的稠密子空间。 第六节压缩映射原理及其应用

1.定义设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数，0<<1，使得对所有的,xyX,

,,dTxTydxy,

则称T是压缩映射。

2.定理1（压缩映射定理）（即Barnach不动点定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x,有且只有一个解）.

补充定义：若Tx=x,则称x是T的不动点。

x是T的不动点x是方程Tx=x的解。

3.定理2设函数,fxy在带状域

中处处连续，且处处有关于y的偏导数',yfxy.如果还存在常数m和M满足

'0,,ymfxyMmM,

则方程,0fxy在区间,ab上必有唯一的连续函数yx作为解：

第七节 线性空间

1.定义1设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：

（1）关于加法成为交换群，即对任意x,yX，存在uX与之相对应，记为u=x+y,称为x和y的和，满足

1）xyyx；

2）,,xyzxyzxyzX任何；

3）在X中存在唯一元素，使对任何xX,成立xx，称为X中零元素；

4）对X中每个元素x，存在唯一元素xX，使xx，称x为x的负元素，记为x；

（2）对于X中每个元素xX，及任意实数（或复数）a，存在元素uX与之对应，记为uax，称为a与x的数积，满足

1）1xx；

2）()abxabx对任意实数（或复数）a和b成立；

3）,abxaxbxaxyaxby，

则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数（复数）有意义，则称X是实（复）线性空间。

例1Rn,对Rn中任意两点x=(ξ1,ξ2,…,ξn),y=(η1,η2,…,ηn)和任何实(复)数a,定义

x+y=(ξ1+η1,ξ2+η2,…,ξn+ηn),

ax=(aξ1,aξ2,…,aξn).

容易验证Rn按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间.

2.定义2设x1,x2,…,xn是线性空间X中的向量,如果存在n个不全为零的数α1,α2,…,αn,使

α1x1+α2x2+…+αnxn=0,(1)

则称x1,x2,…,xn线性相关,否则称为线性无关.

不难看出,x1,x2,…,xn线性无关的充要条件为,若10niiix,

必有α1=α2=…=αn=0.

3.定义3设M是线性空间X的一个子集,如果M中任意有限个向量都线性无关,则称M是X中线性无关子集.设M和L为X中两个子集,若M中任何向量与L中任何向量都线性无关,则称M和L线性无关.

4.定义4设X是线性空间,M是X中线性无关子集,如果·spanM=X,则称M的基数为X的维数,记为dimX,M称为X的一组基.如果M的基数为有限数,则称X是有限维线性空间,否则称X是无限维线性空间.如果X只含零元素,称X为零维线性空间.

第八节赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间

1.定义1设X是实(或复)的线性空间,如果对每个向量x∈X,有一个确定的实数,记为‖x‖与之对应,并且满足:

1°‖x‖≥0,且‖x‖=0等价于x=0;

2°‖αx‖=|α|‖x‖其中α为任意实(复)数;

3°‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,x,y∈X,

则称‖x‖为向量x的范数,称X按范数‖x‖成为赋范线性空间.

2.引理1(H?lder不等式)设p>1,111pq，,,,pqfLabgLab那么f(t)g(t)在[a,b]上L可积,并且

3引理2(Minkowski不等式)设p≥1,f,g∈Lp[a,b],那么f+g∈Lp[a,b],并且成立不等式

‖f+g‖p≤‖f‖p+‖g‖p

4.定理1当p≥1时,Lp[a,b]按(6)中范数‖f‖p成为赋范线性空间.

5.定理2Lp[a,b](p≥1)是Banach空间.

6.定理3设X是n维赋范线性空间,{e1,e2,…,en}是X的一组基,则存在常数M和M′,使得对一切

成立

1221nkkMxMx.

7.推论1设在有限维线性空间上定义了两个范数‖x‖和‖x‖1,那么必存在常数M和

M′,使得

M‖x‖≤‖x‖1≤M′‖x‖.

8.定义2设(R1,‖x‖1)和(R2,‖x‖2)是两个赋范线性空间.如果存在从R1到R2上的线性映射φ和正数c1,c2,使得对一切x∈R1,成立

c1‖φx‖2≤‖x‖1≤c2‖φx‖2

则称(R1,‖x‖1)和(R2,‖x‖2)这两个赋范空间是拓扑同构的.

8.推论2任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构. (二)有界线性算子和连续线性泛函

第一节有界线性算子和连续线性泛函

定义1设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间,D是X的线性子空间,T为D到Y中的映射,如果对任何x,y∈D,及数α,有

T(x+y)=Tx+Ty,(1)

T(αx)=αTx,(2)

则称T为D到Y中的线性算子,其中D称为T的定义域,记为D(T),TD称为T的值域,记为R(T),当T取值于实(或复)数域时,就称T为实(或复)线性泛函.

定义2设X和Y是两个赋范线性空间,T是X的线性子空间D(T)到Y中的线性算子,如果存在常数c,使对所有x∈D(T),有

‖Tx‖≤c‖x‖,(3)

则称T是D(T)到Y中的有界线性算子,当D(T)=X时,称T为X到Y中的有界线性算子,简称为有界算子.对于不满足条件(3)的算子,称为无界算子.本书主要讨论有界算子.

定理1设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子,则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子.

定理2设X是赋范线性空间,f是X上线性泛函,那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间N(f)是X中的闭子空间

定义3T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空

间Y中的线性算子,称

0supxxDTTxTx(4)

为算子T在D(T)上的范数.

引理1设T是D(T)上有界线性算子,那么

11supsupxDTxDTxxTTxTx（6）

Ⅲ.有界线性算子和连续线性泛函的例子

例6赋范线性空间X上的相似算子Tx=αx是有界线性算子,且‖T‖=|α|,特别‖IX‖=1,‖O‖=0.

第二节有界线性算子空间和共轭空间

Ⅰ.有界线性算子全体所成空间

定理1当Y是Banach空间时,B(X→Y)也是Banach空间.

Ⅱ.共轭空间

定义1设X是赋范线性空间,令X′表示X上连续线性泛函全体所成的空间,称为X的共轭空间.

定理2任何赋范线性空间的共轭空间是Banach空间.

定义2设X和Y是两个赋范线性空间,T是X到Y中的线性算子,并且对所有x∈X,有

‖Tx‖=‖x‖,

则称T是X到Y中的保距算子,如果T又是映射到Y上的,则称T是同构映射,此时称X与Y同构.