1 回归分析
第一节 回归分析的意义
一、什么是回归分析
回归分析是根据一个已知变量来预测另一个变量平均值的统计方法。
回归与相关之间既存在着密不可分的关系，也有本质的区别。从关系看，若两变量无相关时（即r=0），则不存在预测的问题；若两变量存在关系，那么相关程度愈高，误差愈小，预测的准确性越高。当变量完全相关时（即r=1），意味着不存在误差，其预测将会完全准确的。从区别看，一是相关表示两个变量双方向的相互关系，回归只表示一个变量随另一个变量变化的单方向关系。二是回归中有因变量和自变量的区分，相关并不表明事物的因果关系，对所有的研究变量平等看待，不作因变量、自变量的区分
二、回归分析的内容
通过回归分析主要解决以下几个问题：
（1）确定几个变量之间的数学关系式。
（2）对所确定的数学关系式的可信程度进行各种统计检验，并区分出对某一特定变量影响较为显著的变量和影响不显著的变量。
（3）利用所确定的数学关系式，根据一个或几个变量的值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确度。
回归分析内容：
（一）建立回归方程
（二）检验方程的有效性
（三）利用方程进行预测
（四）进行因素分析
第二节 一元线性回归方程的建立
一、一元线性回归意义
一元线性回归是指只有一个自变量的线性回归（linear regression），对具有线性关系的两个变量，回归的目的首先是找出因变量（一般记为Y）关于自变量（一般记为X）的定量关系。
如例11-1：10位大一学生平均每周所花的学习时间及他们期末考试成绩。观察数据我们可以发现两者之间呈正相关，不过更直接的方法是绘制散点图，即分别用两列变量做横、纵轴，描点。若它们的分布在一条带状区域，就预示着两列变量之间有相关，如图11-1所示。若没有随机误差的影响，这些点将落在一条直线上，这条直线称回归线（regression line），它是描述因变量Y关于自变量X关系的最合理的直线。 2
误差理论与数据处理
（Accuracy Theory and Data Analyses）
课程编号：（根据选课系统中编号填写）
学 分：3
学 时：45 （其中：讲课学时：39 实验学时：6 上机学时： ）
先修课程：概率论与数理统计、测试技术、信号分析和处理
适用专业：测控技术与仪器
教 材：《误差理论与数据处理》，费业泰，机械工业出版社，2010.5
开课学院：机械工程学院
一、课程的性质与任务
《误差理论与数据处理》是高等学校测控技术及仪器专业必修的专业基础课，也可作为机械类专业、信息类专业和其它有关专业本科生、研究生的必修课或选修课。通过本课程的学习，培养学生掌握测试与实验数据处理的基本理论与方法，正确估计被测量的值，科学客观地评价测量结果，并根据测试对象的精度要求，对测试与实验方法进行合理设计，为后续专业课程及实验环节奠定理论基础。
二、课程对毕业要求及其指标点的支撑
1. 本课程支撑专业培养计划中毕业要求5和毕业要求6；
2. 本课程支撑专业培养计划中毕业要求5中的指标点1：了解与本专业相关职业和行业的法律基础知识，占该指标点达成度的30%；
3. 本课程支撑专业培养计划中毕业要求5中的指标点3：能正确认识工程对于客观世界和社会的影响，把握国内外测量控制与仪器相关的标准、规范和技术变化，占该指标点达成度的20%；
4. 本课程支撑专业培养计划中毕业要求6中的指标点3：能够对测控系统和仪器工程的实验结果进行数据分析，占该指标点达成度的30%。
三、课程的内容及要求
第一章 绪论
1. 教学内容
（1）研究误差的意义 （2）误差的基本概念
A. 误差的定义及表示法
B. 误差来源
C. 误差分类
（3）精度
A. 精度的基本概念
B．量值的传递、标准与准确度等级
（4）有效数字与数据运算
第四章 大型商业建筑交通生成预测实用方法研究
－1－
表4-9 各商场的建筑面积、商业聚集程度与边界小区到商场的可达性
商场名称 建筑面积/(104m2) 商业聚集程度 边界小区可达性
北国商城 4.52 0.11 0.42
西美百货 2.84 0.11 2.63
国美(东) 0.10 0.07 1.79
华联商厦 3.73 0.36 1.43
东购 4.70 0.65 0.47
人民商场 3.90 0.35 0.84
国美(西) 0.09 0.09 2.66
百姓鞋业服饰广场 0.12 0.35 1.54
苏宁 0.11 0.35 1.57
华伦天奴 0.06 0.35 1.77
金百丽时尚 0.81 0.35 1.66
时尚1+1 0.05 0.35 2.28
天元名品 1.12 0.35 1.30
大中 0.05 0.35 2.05
福兴阁 2.81 0.65 0.64
长安商场 0.67 0.09 2.35
世贸名品 1.16 0.08 3.82
建华商场 1.21 0.13 1.49
蓝天商厦 1.20 0.05 1.17
益友百货 1.87 0.04 2.00
新世纪商城 1.07 0.08
1.09
下面拟合大型商场对于交通影响范围边界小区的可达性计算公式。
建立二元线性回归方程如下
01122yaaxax (4-7)
式中，y——商场交通影响范围边界交通小区到商场的可达性；
x1——商场的建筑面积；
x2——商场所在交通小区的商业聚集程度；
a0，a1，a2——待标定系数。
采用最小二乘法对式(4-7)进行标定。回归方程如下
122.3947980.22471.52309yxx (4-8) 第四章 大型商业建筑交通生成预测实用方法研究
－2－ 复相关系数0.627736R,对回归模型进行检验，以确定预测结果的可信程度。进行F检验，5.852782F，当检验水平0.05时，0.05(2,2121)3.55F，0.05FF，说明回归效果非常显著。进行t检验，08.986066t，12.27831t，22.82342t，当检验水平0.05时，0.052(2121)2.101t，因为t0，t1，t2的绝对值均大于2.101，可见自变量x1(商场的建筑面积)和自变量x2(商业聚集程度)对因变量y(商场交通影响范围边界交通小区到商场的可达性)有显著影响。
误差初步理论（1）
(选自《资料分析模块宝典》五版)
在我们后面将要介绍的“十大速算技巧”里，我们可以粗略的分成两类：一类称为“无偏速算”，包括直除法、放缩法、化同法、插值法、差分法、综合法六种方法，这样的方法带我们得到的结果是无偏的、确定的；另一类称为“有偏速算”，包括估算法、截位法、凑整法这三种方法，这样的方法往往都是以“截位”为基本操作方式，计算的结果往往是有偏差、非确定的。
事实上，不管是哪种“无偏速算”，我们都经常需要通过“截位”来简化计算，于是也会存在误差。因此，计算误差在资料分析的速算里是普遍存在的，那么对速算方法中存在的误差进行有效的分析和利用，就是我们学习的重要内容。
1.这样近似的结果可靠吗？结果是变大还是变小了？误差有多大？
2.在什么情形下可以这样近似？又在什么情形下，这样近似会得到错误的答案？
3. 还有没有其它方法，可以使计算量变得更小，但又不要影响最后的答案？ 4. 还有没有其它方法，在不增加计算量的前提下，可以得到更高的精度？
带着这样四个问题，我们先学习什么叫“相对误差率”
一、绝对误差与相对误差率
如果真实值为10，经过估算得到的结果为11，那么这个结果是有误差的。通过计算“11-10=1”可知：我们估算结果的误差为“1”，我们把这样的误差称为“绝对误差”，即估算值与真实值的差。
然而，“绝对误差”在误差理论当中并不是最重要的概念，我们更加需要分析的是估算值与真实值之间的相对差异，我们把“绝对误差÷真实值”称为估算的“相对误差率”，也常常简称为“相对误差”，这是我们误差理论当中最重要的概念，也是我们研究和学习的重点。譬如将“10”估算为“11”的相对误差即为：(11-10)÷10=10%。
在资料分析的速算中，我们一定要分清“绝对误差”和“相对误差（率）”的区别和联系，这是速算方法精度估计的重要基础。譬如将“8%”估算为“9%”，绝对误差应该为“1%”，而相对误差不是“1%”，而是“1%÷8%=12.5%”。正因如此，如果两个选项分别为“9%”和“8%”，那么在计算当中出现“1%左右”的相对误差并不会太影响最后的结果。
