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-中国科技信息2010年第9期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION May.2010基础及前沿研究
1 概述回归分析是一种传统的应用性较强的科学方法，是现代应用统计学的一个重要的分支，在各个科学领域都得到了广泛的应用。它不仅能够把隐藏在大规模原始数据群体中的重要信息提炼出来，把握住数据群体的主要特征，从而得到变量间相关关系的数学表达式，利用概率统计知识对此关系进行分析，以判别其有效性，还可以利用关系式，由一个或多个变量值去预测和控制另一个因变量的取值，从而知道这种预测和控制达到的程度，并进行因素分析。
2 多元线性回归数学模型设可预测的随机变量为y，它受到p个非随机因素x1,x2,…xp-1，xp，和不可预测的随机因素ε的影响。多元线性回归数学模型为
(1) 其中为回归系数对y和x1,x2,…xp-1，xp,分别进行n次独立观测，取得n组数据(样本)则有
其中ε1,ε2,…εn相互独立, 且服从N(0，σ2)分布。令
则式(2)用矩阵形式表示为
3 模型参数β的最小二乘法估计与误差方差σ2的估计β的最小二乘法估计即选择β使误差项的平方和为最小值, 这时β的值作为多元线性回归分析及其应用
林彬 湛江师范学院信科院 524048DOI：10.3969/j.issn.1001-8972.2010.09.020
Multiple linear regression analysis and its applicationLin Bin (Zhanjiang Normal College, Zhanjiang, 524048, China)
摘 要本文研究了多元线性回归理论及应用，探讨了多元线性回归模型中未知参数的估计及其参数的检验问题，以实例进行了验证。关键词多元线性回归分析； 回归模型； 检验问题。AbstractＷｅ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｌｉｎｅａｒ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｋｎｏｗｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｔｅｓｔｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｌｉｎｅａｒ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌ． ａｎｄ ｔｈｅｎａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｓｏｌｖｅｄ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｉｔｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ．Key wordsＭｕｌｔｉｐｌｅ ｌｉｎｅａｒ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ； ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｍｏｄｅｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｔｅｓｔｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ-６１
EXCEL在多元线性回归分析中的应用高平/文在一元线性回归分析中,重点放在了用模型中的一个自变量X来估计因变量Y。实际上,由于客观事物的联系错综复杂,一个因变量的变化往往受到两个或多个自变量的影响。为了全面揭示这种复杂的依存关系,准确地测定它们的数量变动,提高预测和控制的精确度,就要考虑更多的自变量,建立多元回归模型。多元回归分析的原理和方法同一元线性回归分析基本相同,但有两个不同点:1.不能用散点图来表示变量之间的关系。2.多元回归的计算难度要远大于简单线性回归,且变量越多,计算越复杂。但应用EXCEL来完成计算将变得简单和轻松。以下图中的数据为例:
多元线性回归的EXCEL数据分析操作方法首先单击工具栏,在弹出的菜单中选择数据分析 ,在数据分析工具的选项框中选中回归 ,然后在输入、输出选项以及有关的选项框中进行适当的选择,必须注意在进行自变量X的输入时要按照已经确定的各个自变量的顺序把所有自变量的单元格引用范围一起放在X值的输入区域内。见下图:!27!方法探讨∀青海统计#2006年第12期
点击确定 按钮,即可得到线性回归分析的结果。见下图:!28!方法探讨∀青海统计#2006年第12期根据上图中的显示结果,可直接写出二元线性回归方程:Yi=b0+b1X1i+b2X2i=-51.3127+1.4053x1i+6.3823x2ib1表示在促销费用固定时,商店的规模大小每增加1平方米,年销售额平均增加1.4053万元;b2表示在商店的规模大小固定时,促销费用每增加1万元,年销售额平均增加6.3823万元。这里b1即商店的规模大小的回归系数比一元线性回归方程中的回归系数b=1.6246小,是因为一元线性回归方程只考虑了商店的规模大小对年销售额的影响,忽略了促销费用这一很重要的因素,在商店的规模大小的影响中渗入了促销费用的影响。这里的截距b0=-51.3127万元,与一元线性回归方程中的截距+99.01万元有很大的不同,因为X1=0和X2=0都不在X1、X2的样本取值范围之内,因而对截距项的解释要非常谨慎。判定系数等于85.14%,表明在年销售额的变动中,有85.14%可由商店规模大小和促销费用多少这两个因素的变动来解释,只有14.86%的因素属于随机误差。引进了第二个自变量之后,回归方程的判定系数85.14%,比一元线性回归方程的判定系数77.68%提高了7.46个百分点。但需注意,在一般情况下,增加自变量,即使这个自变量在统计上并不显著,也会使判定系数的值增大。年平均销售额的估计标准误差为112.1015万元,引进了第二个自变量促销费用之后,回归方程的估计标准误差比一元线性回归方程的估计标准误差131.99万元有了下降,说明多元线性回归方程的代表性高于一元线性回归方程。设显著性水平=0.05,b1的检验统计量t=6.2817;b2的检验统计量t=2.4538,查t表知t0.05/2(15-3)=2.1788。因为6.2817>2.1788,2.4538>2.1788。因此拒绝H0:1=0、H0:2=0的假设,认为这两个回归系数在统计上都是显著的。需注意的是,若此例的显著性水平=0.01,不是0.05,则t0.01/2(15-3)=3.0545。虽然6.2817>3.0545,但是2.4538<3.0545,因此仍要拒绝H0:1=0的假设,但无法拒绝、H0:2=0的假设,所以第二个回归系数在统计上不是非常显著。设计显著性水平=0.05,查得F0.05(2,12)=3.89。F=34.38>F0.05(2,12)=3.8,所以拒绝原假设,表明样本的r2是显著的,由此推论已建立的二元线性回归模型有效。所谓复相关,是指一个因变量同多个自变量之间的相关关系。所有自变量共同变动时,因变量随之变动,其相关程度就可用复相关系数来测定。该例中商店规模大小、促销费用和年销售额三个变量的复相关系数为0.9227。计算结果表明,商店规模大小、促销费用作为一个整体影响因素同年销售额存在高度相关,其相关程度比一元回归中商店规模大小单个自变量同年销售额的相关系数更高。但需要强调是当我们研究的客观事物本质上属于多因素影响的变量时,用多元回归、复相关和偏相关分析,比一元回归和单相关分析更为真实和准确。(作者单位:省统计局)(下接第37页)3、加强普查队伍的建设与培训。农业普查不仅工作量大,而且专业性强,数据质量要求高。能否建立一支业务过硬、作风严谨、责任心强的高素质普查队伍,关系到普查的成败。因此,各级、各部门特别是县区政府一定要按照普查办法的要求,把好人员选聘和培训关,选调业务过硬、作风严谨、责任心强的人员充实到各级普查机构。与此同时,要认真做好普查培训和切实搞好普查试点工作,使所有普查人员明确普查指标的内容含义、要求及普查指标间的逻辑关系,准确把握普查的难点内容和问题,尤其要学会如何利用被调查对象的总体情况,现场分析评估被调查对象申报的数据,当场修改不实数据,确保各类普查数据的真实性。4、加强依法普查,确保普查质量。各级、各有关部门要以这次普查为契机,加大统计普法力度,使各级普查机构严格按照∀中华人民共和国统计法#的有关规定和普查的具体要求,克服困难,依法实事求是认真调查和填报,不弄虚作假,使各被调查单位和农户如实填报普查表,不虚报、瞒报。总之,要确保此次普查情况不失真,调查数字不含水,统计数据不掺假,经得起实践的检验、群众的检验和历史的检验,为更好地推进新农村建设,获取真实的三农 数据。做到这一要求,只要有好的方案,通过法制手段、宣传手段、培训手段和市场经济手段等多种措施,解决了人的问题,包括各级领导、各级普查人员、各被调查对象的认识问题、思想问题,普查的难点会迎刃而解。否则,别无他法。(作者单位:山东省沂南统计局文登统计局)!29!方法探讨∀青海统计#2006年第12期
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线性回归方程的分析及其应用
作者：朱召坡
来源：《科学导报·学术》2018年第09期
摘 要： 线性回归主要是通过研究自变量与因变量的关系建立线性回归方程并且对其应用的过程。线性回归分析在此过程中显得尤为重要，因为线性回归分析直接影响着线性回归方程，从而影响着预测值与实际值的差距大小。在线性回归方程建立后，就要讨论所建立的方程的预测值与实际值是否大致相等。如果大致相等，这可进行下一步；反之则需重新讨论。确定好线性回归方程后，下一步就是对其进行应用。研究线性回归方程就是要用其解决现实生活中的问题。因此线性回归方程的研究与应用是一个完整的体系。
关键词： 线性回归，最小二乘法，线性回归方程，线性回归方程的应用
【中图分类号】 0212.1 【文献标识码】 A【文章编号】 2236-1879（2018）09-0072-02
1.引言
线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。线性回归也是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。按自变量个数可分为一元线性回归分析方程和多元线性回归分析方程。
在统计学中，线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简单回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归。（这反过来又应当由多个相关的因变量预测的多元线性回归区别，而不是一个单一的标量变量。）
一般采用线性回归分析，由自变量和规定因变量来确定变量之间的因果关系，从而建立线性回归模型。模型的各个参数可以根据实测数据来求解。然后评价回归模型能否很好的拟合实际数据：如果不能很好的拟合，则重新拟合；如果能很好的拟合，就可以根据自变量进行下一步推测。
线性回归在分析化学中的应用 樊帆 （贵州省煤田地质局实验室） 摘要：本文论述了线性回归方程的建立方法，以及如何用相关系 数对其进行显著性检验，归纳了线性回归在分析化学中的应用，并介 绍了利用计算机技术进行分析化学中回归分析的优点及方法。 关键词：线性回归分析化学应用 １概述 线性回归法在煤质化验中应用十分广泛，例如煤中 砷、氯、锗、硅等元素的测定都用到了～元线性回归分析 法。当我们研究客观现象时，发现某些变量之间存在一定 的关系。这种关系可以分为两类：一类是变量之间存在着 确定性关系，即数学上的函数关系，只要自变量Ｘ的取值 确定了，因变量ｙ的取值就唯一地确定了；另一类关系为 非确定性关系，即相关关系。函数关系与相关关系的差别 在于：函数关系是由Ｘ决定ｖ的值，相关关系是由Ｘ取值 决定Ｙ值的概率分布。我们用ｅ．来表示某一个点与拟合直 线的垂直偏差，基于适合度要求的最小二乘标准要求我们 将这些垂直偏差的平方和最小化。 ２一元线性回归 ２．１一元线性回归方程的建立一元线性回归方程是 回归分析中最重要且最简单的情况。 对于具有ｎ个实验点（ｘ．，Ｙ．）（ｉ＝１，２，…，ｎ）的校正曲 线为． ｙｉ＝ａ＋ｂｘＩ＋ｅ 式中ｅｉ为残差。 在分析校正时，可取不同的ｘ 值测量Ｙ ，用最小二乘 法估计ａ与ｂ值，其目的在于使残差平方和达到最小。 ２．２一元线性回归方程的显著性检验用最小二乘法 拟合回归方程与回归线只表明各实验点与所拟合的回归 方程和回归线的变差平方和最小，并没有证明所拟合回归 方程与回归线肯定有意义。至于所拟合回归方程是否有意 义，尚需进行统计检验。回归方程的显著性检验，可使用Ｆ 检验法和相关系数检验法，其中相关系数检验法更常用。 ｒ＝１时，Ｘ与Ｙ完全线性相关，所有的Ｙ 值都在回归线 上。 ｒ＝Ｏ时，ｂ＝０，即根据最小二乘法确定的回归直线平行 于×轴，这说明ｖ的变化与ｘ无关，这时ｘ与Ｙ没有线性 关系。 ０＜Ｉ ｒ ｌ＜１这是绝大多数的情形，Ｘ与Ｙ之间存在着 一定线性关系。当ｒ＞Ｏ时，ｂ＞Ｏ，直线的斜率是正的，ｖ值随 着Ｘ增加而增加，此时称Ｘ与Ｙ为正相关。当ｒ＜Ｏ时，ｂ ＜０，直线的斜率是负的，Ｙ值随着Ｘ增加而减小，此时称Ｘ 与Ｙ为负相关。 以相关系数判断线性关系的好与不好时，还应考虑测 量的次数和置信水平。ｒ出现的概率遵从统计分布规律，根 据对ｒ出现概率的研究，数学家已经编制出了检验相关系 数的临界值表。 ３二元回归分析 ３．１二元回归方程的建立在分析测试实际工作中， 在许多情况下，影响分析信号强度（吸光度、谱线强度、极 谱电流等）的因素不止一个，要找到分析信号强度（因变量 Ｙ）与影响它的因素（自变量Ｘ）之间的关系，就要用到多元 回归。其中，二元回归分析是多元回归分析中一种最简单 的情况。 设两个自变量分别为Ｘ 和Ｘ２，因变量为Ｙ，则二元线 性回归方程可表示为： ｙ＝ａ＋ｂ１Ｘ１＋ｂ２ｘ２ ３．２二元回归方程的显著性检验与一元线性回归相 似，需要对所建立的二元线性回归方程进行显著性检验， 要用一个称之为全相关系数的量Ｒ来表征它们之间的相 关程度 Ｒ＝ 式中ｉ＝１，２，…，ｍ，ｍ为自变量的数目。全相关系数Ｒ 取值在０≤Ｒ≤１，Ｒ越接近于１，说明相关的程度越好。相 关系数临界值可以由相关系数表中查出，判断方法同一元 线性回归方程相似。 ４利用计算机技术在分析化学中进行回归分析 回归分析是用于实验数据处理的一个非常重要的数 学工具，在分析化学领域得到了广泛的应用。然而对于分 析化学实验中的大量数据进行回归分析，计算工作是较为 繁复的。为此，可通过计算机编程的方法减少计算量。目前 很多统计软件被开发出来用于回归分析，使得回归分析的 应用更加方便快捷。 常用的统计软件有ＳＡＳ（ＳｔａｔｉｓｔｉｃａＩ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｓｙｓ— ｔｅｒｎ），ＳＰＳＳ（Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａ Ｊ Ｐａｃｋａｇｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ＳｏｃｉａＩ Ｓｃｉｅｎｃｅ） 和ＥｘｃｅＩ等，其中Ｅｘｃｅｌ比专业统计软件更易学、易用，是 一种较好的统计软件，在数据处理中得到了广泛的应用。 ＥｘｃｅＩ提供了众多的回归分析手段，如分析工具库、规 划求解、图表功能和内置函数都能用于回归分析。 用ＥｘｃｅＩ计算，可免去繁复的计算，具体步骤如下：① 在ＥｘｃｅＩ表格中输入实验数据。②用上述数据绘制散点 图。③通过添加趋势线计算回归方程。 ５结束语 在分析化学的数据处理中，回归分析尤其是线性回归 分析有着举足轻重的地位，在环境监测、生物、食品、钢铁 冶炼等多个领域都有着广泛应用，计算机的引入更是使得 回归分析更加快捷方便，减少了大量的繁复的计算。线性 回归定将在分析化学各个领域发挥更大的作用。 参考文献： ｆ１】王学仁，温忠奔编译．应用回归分析【Ｍ１ 重庆大学出版社， １９８９． 【２］ｇｌ￣勃．分析测试数据的统计处理方法【Ｍ】．北京．清华大学出版 社，１９９５．１０５—１５１． 【３】梁潇．一种计算机处理分析化学实验数据的方法【Ｊ］．化工高等 教育，２００３．４：６７－６８． ｂ 一 ｌＥ∑ 一 ～ ＂
