人教版-数学-八年级上册-13.3.2 等边三角形(1) 教案

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初中-数学-打印版 13.3.2 等边三角形 第1课时

一、教学目标

（一）学习目标

1. 探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程.

2. 探索等边三角形的判定定理.

3. 会用性质及判定解决相关问题.

（二）学习重点

等边三角形的性质与判定.

（三）学习难点

等边三角形的性质与判定的应用.

二、教学设计

（一）课前设计

1. 预习任务

（1）三条边都 相等______的三角形叫做等边三角形.等边三角形也称正三角形，它是特殊的等腰三角形.

（2）等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都 相等_______ ，并且每一个角都等于 .

（3）等边三角形的判定：

①三条边都__相等______的三角形是等边三角形；

②三个角都__相等______的三角形是等边三角形；

③有一个角是的__等腰三角形____________是等边三角形.

2. 预习自测

（1）有下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（ ）

A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④

【知识点】等边三角形的判定.

【思路点拨】运用等边三角形的判定． 初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 【解题过程】 依次筛选

故正确的有：①②③④．

【答案】D．

（2）如图，在等边△ABC中，AD是BC上的高，∠BDF=∠CDE=，图中与BD相等的线段有（ ）

A.5条 B.6条 C.7条 D.8条

EFDABC

【知识点】等边三角形的性质．

【思路点拨】利用等腰三角形、等边三角形的性质进行判定．

【解题过程】解：根据等边三角形、等腰三角形的性质，可以得出两个三角形：△BDF、△CDE也是等边三角形，两个三角形：△AFD.△AED为等腰三角形，所以可以得出：BD=CD=DF=BF=AF=AE=CE=DE，共7条．

【答案】C．

（3）已知等边△ABC，分别以AB.BC.CA为边向外作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，则下列结论中不正确的是（ ）

A．BC2=AC2+BC2﹣AC•BC B．△ABC与△DEF的重心不重合

C．B，D，F三点不共线 D．S△DEF≠S△ABC

【知识点】等边三角形的性质．

【思路点拨】根据等边三角形的性质，对四选项逐个进行判断即可求解．

【解题过程】解：A.化简化得AC=BC，正确；

B. △DEF是等边三角形，且等边△ABC的各顶点是△DEF各边的中点，等边△ABC可看作是△DEF的内接正三角形，所以△ABC与△DEF的重心重合，错误；

C.根据题意，可得出点D.B.E在同一直线上，点D.A.F在同一直线上，点E.C.F在同一直线上，正确；

D.S△DEF=4S△ABC，正确．

故选B. 初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 【答案】B.

（4）如图，A.C.B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE.BD分别与CD.CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（ ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【知识点】等边三角形的性质．

【思路点拨】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质采用排除法对各个结论进行分析从而得出答案．

【解题过程】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形

∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=

∴∠ACE=∠DCB

∴△ACE≌△DCB（SAS）（①正确）

∴∠AEC=∠DBC

∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=，∠ACD=∠ECB=

∴∠DCE=∠ECB=

∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=，∠AEC=∠DBC

∴△EMC≌△BNC（ASA）

∴CM=CN（②正确）

∵AC=DC 在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=+∠NBC＞，而DN所对的角为，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，所以③错误，所以正确的结论有两个．

故选B．

【答案】B．

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初中-数学-打印版 (二)课堂设计

1.知识回顾

（1）等腰三角形的定义：有两边_相等_______的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性质：

①等边对_等角_________；

②等腰三角形的_顶角平分线_____、___底边上的中线________________、___底边上的高_____互相重合.

（3）等腰三角形的判定：等角对_等边________.

2.问题探究

探究一 等边三角形的性质.

●活动①

在等腰三角形中，如果底边也等于腰长，会得到哪些结论呢？

（等边三角形，每个角相等，都等于.）

追问：这是什么类型的问题？怎么证明呢？有哪些步骤呢？

（画草图，写出已知求证，最后证明.）

已知：△ABC是等边三角形.

求证：∠A＝∠B＝∠C＝.

【思路点拨】引导学生利用等腰三角形性质去证明.

证明：

如图，∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC ＝BC （等边三角形的三条边相等___）

∴∠A＝∠B ＝∠C （等边对等角） 初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 ∵∠A+∠B+∠C＝（三角形的内角和定理）

∴∠A＝∠B＝∠C＝.

【设计意图】通过类比，进行等边三角形的性质探索.

练习

1．等边三角形 轴对称图形（填是或否）.如果是，它有 条对称轴，分别是 .

【知识点】等边三角形的性质．

【思路点拨】利用等边三角形的轴对称性.

【答案】是、3.三个角的平分线（或三条边的中线或三条边的高线）所在的直线.

探究二 等边三角形的判定.

●活动① 探究判定1

求证：三个角都相等的三角形是等边三角形

【思路点拨】这是文字命题，先画图，写出已知求证，再利用等边三角形的定义.

【解题过程】

已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝.

求证：△ABC是等边三角形.

证明：∵△ABC中，

∠A＝∠B＝∠C＝

∴AB=AC，AB=BC ，BC=AC .

（等角对等边） 初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 ∴ AB= AC = BC .

∴△ABC是等边三角形（等边三角形的定义）

【设计意图】根据等边三角形的定义判定 .

●活动② 探究判定2

证明：有一个角是的等腰三角形是等边三角形.

【思路点拨】这是文字命题，先画图，写出已知求证，再利用等边三角形的定义.

【解题过程】

已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝

求证：△ABC是等边三角形.

证明：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，

∴∠B＝∠C （等边对等角 ）

又∵∠A＝，∠A+∠B+∠C＝

∴∠A＝∠B ＝∠C＝

∴△ABC是等边三角形

（三个角都_相等_的三角形是等边三角形）

【设计意图】根据刚才探究1的等边三角形的判定1判定 ，把未知化归为已知求证.

探究三 等边三角形的性质和判定运用.

●活动①

例1 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.

求证：△ADE是等边三角形. 初中-数学-打印版

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【知识点】等边三角形的判定．

【思路点拨】先利用等边三角形的性质得出三个内角相等，再由平行线的性质得出∠ADE＝∠B ，∠AED＝∠C，最后再由等量代换得出小三角形的三个内角相等，再由等边三角形的判定1得证.

【解题过程】证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B ＝∠C（等边三角形的三个内角相等 ）

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B ，∠AED＝∠C .

（两直线平行，同位角相等 ）

∴∠A＝∠ADE ＝∠AED .

∴△ADE是等边三角形

（三个角都相等的三角形是等边三角形）

【设计意图】根据等边三角形的判定 1进行证明.

●活动② 思维拓展

师问：请聪明的同学们思考，你还有其他方法证明吗？请小组谈论并写出来．

学生小组讨论形成过程.

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B ＝∠C =（ 等边三角形三个内角都等于）

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B =，∠AED＝∠C =

（ 两直线平行，同位角相等 ）

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE(等角对等边 ) 初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 ∴△ADE是等边三角形

（有一个角是 的等腰三角形是等边三角形）

【设计意图】给学生留足时间，让学生独立完成，根据等边三角形的判定 2进行证明，同时让学生明白几何题的证明可以有不同的路径.

练习：

如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD=BE=CF.

求证：△DEF是等边三角形．

【知识点】 等边三角形的性质和判定

【答案】

证明：∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C

又∵AD=BE=CF

∴BD=EC=AF

∴△DBE≌△ECF≌△FAD（SAS）

∴DE=EF=DF

∴△DEF是等边三角形

【思路点拨】 先由△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C ，再由已知AD=BE=CF和等式性质即可得出BD=EC=AF，最后由三角形全等得证.

【设计意图】让学生对等边三角形的性质和判定进行融会贯通.

3. 课堂总结

知识梳理

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于.

（简记为：三边等，三角等，各边上三线合一）

（2）等边三角形的判定方法：