高等数学无穷级数11-1

第七章 无穷级数

10常数项级数概念及性质

1、定义 P264 ∑an=a1+a2+ +an+

n=1∞

an称为一般项或通项 Sn=u1+u2+ +un称为前n项部分和

例1、1 =3+3+ +3+ =0.331010210n

1+2+3+ +n+

1-1+1-1+ +(-1)n-1+

2、定义 Sn=∑uK

K=1n

an=Sn+1-Sn

如{Sn}收敛，则∑an收敛

n=1∞

3、几个重要极限

等比级数（几何） ∑aqn，当q<1 收敛，q≥1 发散；

n=0∞

P级数 ∑Pn=1∞1nP>1 收敛，P≤1 发散；

∞1P=1当，∑ 又称调和级数。

n=1n

4、级数性质 P266

性质5是级数收敛的必要条件 即 ∑an收敛 →liman=0

n=1n→∞∞

例1、∑n=1∞n-11n-1 发散，∵ liman=lim=≠0 n→∞n→∞2n+122n+1

3n

例2、∑ 发散，∵ lim=-1≠0 nnn→∞n-3n=1n-3∞3n

例3、∑11 发散，但lim=0 n→∞nn=1n∞

20正项级数判别法

∑un∞n=1un≥0

正项级数部分和数列{Sn}单调递增

∴ 正项级数 收敛部分和数列有上界

1、比较判别法

设Vn≥un，如∑Vn收敛，则∑un收敛

n=1

∞n=1∞∞∞ 如∑un发散，则∑Vn发散

n=1n=1

例、判别下列级数敛散性

∞（1）∑

n=114n+n2 （2）∑∞sin2n=1n2nπ 解（1）由于

∞14n2+n≥14n2+n2=11⋅ 5n∵∑1发散，∴原级数发散 nn=1

sin2

（2）由于nπ∞1≤1，而∑收敛，∴原级数收敛 222n=1nnn

比较判别法的极限形式 如limun=A 则有 n→∞Vn

∞∞0

A=0 如∑Vn 收敛，则∑un收敛

n=1

∞n=1∞∞∞A=+∞ 如∑un 收敛，则∑Vn收敛 n=1n=1

判别下列级数敛散性 例、∑lnn=1∞n+1 n

高等数学期末复习

第十二章 无穷级数

一、内容要求

1、能用比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛必要条件，运算性质判别级数的审敛性运算性质判别级数的审敛性

2、能判别级数的绝对收敛，条件收敛

3、能用级数运算性质判别级数的审敛性

4、能用级数的相关概念与性质推出一些简单结论

5、会求幂级数的收敛半径

6、会确定幂级数的收敛域

7、会求收敛幂级数的和函数

8、会利用已知幂级数形式将简单函数作幂级数展开

9、能确定函数傅里叶展开式边界点的收敛值

10、会求傅里叶展开式的系数和作函数的傅里叶展开

二、例题习题

1、下列级数中收敛的是( )；

A．11nnn B．111nn

C．nnnn123 D．1211nn

解：11112(1)121nnnnnn，所以11nnn发散；

111nn发散，因为11n发散，所以1211nn发散，因此选C。（内容要求1）

2、下列级数中收敛的是( )

A.1121nn B.113nnn C.)1|(|1001qqnn D.1132nnn

解： 112121nn，1121nn发散；1lim313nnn，113nnn发散；||1q时，100limnnq，)1|(|1001qqnn发散；122lim133nnnn，1132nnn收敛，所以选D。（内容要求1） 3、下列级数中收敛的是( )；

A．1121nn B．122nnn C．11ln(1)nn D．1311nn

第 1 页 共 42 页 第十一章 无穷级数

教学目的：

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点 ：

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式；

6、傅里叶级数。

教学难点：

1、比较判别法的极限形式；

2、莱布尼茨判别法；

3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

4、函数项级数的收敛域及和函数； 第 2 页 共 42 页 5、泰勒级数；

6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

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.. . 练习111

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练习112

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