111无穷级数

⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法-⽆穷级数求和的⽅法

⽬录

摘要 (2)1⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法 (2)

利⽤级数和的定义求和 (2)

利⽤函数的幂级数展开式求和 (3)

利⽤逐项求积和逐项求导定理求和 (4)

逐项求极限 (5)

利⽤Flourier级数求和 (7)

构建微分⽅程 (9)

拆项法 (9)'

将⼀般项写成某数列相邻项之差 (10)2总结 (12)

3参考⽂献 (12)

$

⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法

摘要：⽆穷级数是数学分析中的⼀个重要内容，同时⽆穷级数求和问题，也是学⽣学习级数过程中较难掌握的部分.然⽽，⽆穷级数求和没有⼀个固定的⽅法可循.本⽂结合具体例⼦，根据⽆穷级数的不同特点，介绍⼏种常⽤的求⽆穷级数的和的⽅法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和

⽆穷级数是数学分析中的⼀个重要内容，它是以极限理论为基础，⽤以表⽰函数，研究函数的性质以及进⾏数值计算的⼀种重要⼯具.然⽽数学分析中注重函数的敛散问题，却对⽆穷级数求和问题的⽅法介绍的⽐较少，所以求和问题是学⽣学习级数过程中较难掌握的部分.⽆穷级数求和没有⼀个固定的⽅法可循.本⽂结合具体例⼦，根据不同的⽆穷级数的不同特点，介绍⼏种常⽤的求⽆穷级数的和的⽅法和技巧. 1利⽤级数和的定义求和

定义[1]

若级数1n n u ∞

=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1

lim lim n n n n n S u S ∞

→∞

→∞

===∑,

则称级数1n n u ∞=∑收敛，记为1

n n u S ∞

==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列

{}n S 发散，则称级数1n n u ∞

=∑发散.

例1 /

例2

求级数()∑∞=--1

112n n q n ，1≤q 的和 .

解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2)

（1）-（2）得：1

高等数学（三）教案 无穷级数

计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 1 - 无穷级数 总结

无穷级数 常数项级数

傅立叶级数 幂级数 一般项级数

正项级数 用收敛定义，nnslim存在

常数项级数的基本性质

常数项级数的基本性质 ○1 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛

○2两个收敛级数的和差仍收敛

注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.

○3去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性

○4若级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级数去括号后未必收敛.

○5（必要条件） 如果级数收敛 则0lim0nnu

莱布尼茨判别法 若1nnuu且0limnnu，则11)1(nnnu收敛

nu和nv都是正项级数，且nnvu.若nv收敛，则nu也收敛；若nu发散，则nv也发散.

比较判别法

比较判别法的极限形式 nu和nv都是正项级数，且lvunnnlim，则○1若l0,nu与nv同敛或同散;○2若0l,nv收敛,nu也收敛；○3如果l，nv发散，nu也发散。

比值判别法

根值判别法 nu是正项级数，nnnuu1lim,nnnulim,则1时收敛；1()时发散；1时可能收敛也可能发散.

收敛性

和函数

展成幂级数 nnnxa0,nnnaa1lim,1,0;,0;0,.RRR

缺项级数用比值审敛法求收敛半径

)(xs的性质○1在收敛域I上连续;○2在收敛域),(RR内可导，且可逐项求导;○3和函数)(xs在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).

第九章无穷级数

无穷级数是函数逼近与近似计算的重要工具。

本章主要讨论















和函数展开收敛性傅立叶级数和函数展开收敛性幂级数函数项级数条件收敛绝对收敛任意项级数莱布尼兹审敛法交错级数根值法比值法比较法正项级数

常数项级数

级数

,,,,,,,基本概念

基本性质

收敛域

和函数

§1、数项级数的基本概念与性质

一、基本概念

定义1（级数）设有无穷数列，称形式和

1nu



nuuu

21

为无穷级数，简称级数，记为，即

1nnu

,

21

1

n

nnuuuu

其中每个数均称为级数的项，数称为级数的一般项或

通项，级数的前n项和nu

nn

kknuuuus



21

1

称为级数的部分和数列。

研究级数的基本问题：

1、判定级数是否收敛——无穷个数相加是否等于

一个有限数（级数的和）；

2、当级数收敛时，如何求其和。

判定级数收敛或发散的方法统称为审敛法。熟练

掌握针对各种级数的审敛法是学习的主要内容。

定义2（敛散性）设有级数，其部分和为

，则ns

1nnu



1nnu1、级数收敛此时，称s为

级数的和，并记,limss

nn



;

1su

nn



2、级数发散不存在。

1nnunns

lim

显然，收敛级数才有和，发散级数无和；任何级

数要不收敛，要不发散，两者不可兼得。利用敛散性定义可以判定一些级数的敛散性，并

求出收敛级数的和。

【例1】判定级数的敛散性。

1)1(1

nnn

〖解〗由分项分式

),2,1(

111

)1(1





k

kkkk

得级数部分和为

)1(1

431

321

211









nns

n

)

111

()

41

31

()

31

21

()

21

1(



nn

11

1



ns

n

故

nns

lim)

11

1(lim



nn1

于是，原级数收敛，且和为1，即

.1

)1(1

1



nnn□

练习：判定下列级数





1)1(

nnn

的敛散性。一般，对形如

无穷级数求和公式大全

无穷级数是数学中的一个重要概念，它由一系列无穷多个数相加而成。在许多实际问题中，我们需要计算无穷级数的和。本文将介绍一些常见的无穷级数求和公式，帮助读者更好地理解和计算无穷级数。

1.等差数列求和公式

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。当n趋近于无穷大时，等差数列的和可以通过以下公式计算：

Sn = lim(n→∞) (n/2) [2a1 + (n-1)d]

其中Sn是前n项和。

2.等比数列求和公式

等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。当，r，<1时，等比数列的和可以通过以下公式计算：

Sn=a1/(1-r)

当，r，>1时，等比数列的和不存在。

3.幂级数求和公式

幂级数是形如∑(n=0)∞a^n的无穷级数，其中a为常数。幂级数的和可以通过以下公式计算：

S=1/(1-a)

该公式要求幂级数的绝对值，a，<1

4.调和级数求和公式 调和级数是形如∑(n=1)∞1/n的无穷级数。调和级数的和发散，即不存在有限的和。然而，其部分和可以逼近自然对数的常数项：

S = ∑(n=1)∞ 1/n ≈ ln(n) + γ

5.奇数级数求和公式

奇数级数是形如∑(n=1)∞(2n-1)的无穷级数。奇数级数的和可以通过以下公式计算：

S=∑(n=1)∞(2n-1)=n^2

6.平方和级数求和公式

平方和级数是形如∑(n=1)∞n^2的无穷级数。平方和级数的和可以通过以下公式计算：

S=∑(n=1)∞n^2=n(n+1)(2n+1)/6

7.指数级数求和公式

指数级数是形如∑(n=0)∞(x^n/n!)的无穷级数，其中x为常数。

S=∑(n=0)∞(x^n/n!)=e^x

8.费马级数求和公式

费马级数是形如∑(n=1)∞(1/n^2)的无穷级数。费马级数的和可以通过以下公式计算：

S=∑(n=1)∞(1/n^2)=π^2/6