第十一章 无穷级数

第十一章 无穷级数

一、常数项级数

1. 基本概念

（1）无穷级数的定义：nnnuuuuu3211

（2）级数的收敛与发散

如果 ssnnlim，则称无穷级数1nnu收敛, s叫做级数1nnu的和，且1nnsu；

如果ns没有极限，则称无穷级数1nnu发散.

（3）性质

性质1线性性质：设级数1nnus，1nnv，,为常数，则1()nnnuvs.

性质2 （级数收敛的必要条件）级数1nnu收敛.0limnnu

如果级数的一般项不趋于零, 则级数发散。

（4）柯西审敛原理

级数1nnu收敛对任意给定的0，总存在自然数N，当n>N时，对任意的自然数p，有 12nnnpnpnuuuss 成立

（5）几个典型常数项级数的敛散性

① 等比级数 (几何级数)

20nnnaqaaqaqaq

)( 1||,1)( 1||,收敛发散qqaq

② 调和级数：11nnn131211 (发散)

③ P-级数：ppppnpnn1413121111 发散时当收敛时当,1,1pp

【例1】判别级数1213nnn的收敛性，并求级数的和。

解：由于12131133333nnnnnnnnnnnu，由定义 2231223341(1)()()()3333333nnnnnS113nn

1limlim(1)13nnnnnSS

所以原级数收敛，且和为1。

【例2】判断级数111()nnnnnnn的敛散性。

解：因为 11211()(1)nnnnnnnnnunnn

而2102211lim(1)lim[(1)]1nnnnnenn

11111limlnlimln0limlimlim1xxxxxxnxxnxxnxeeee

所以 lim10nnu，由级数收敛的必要条件，原级数发散。

【例3】 若0limnnna，且11])1[(nnnnaan收敛于，证明级数1nna收敛.

解 设级数1nna的部分和为nS，级数11])1[(nnnnaan的部分和为n，因为

12323112311234(1)2(1)2()2nnnnnnnnaaanaaananaaaaanaSna

所以 ])1([21)(21111nnnnnnaannaS

因为0limnnna，所以0)1(lim1nnan，且0limnna，从而0lim1nna

所以 21limnnS，由级数收敛的定义知级数1nna收敛.

【例4】利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性

(1) 11(1)nnn；

(2)

11111123456

解：（1）对任意给定的0，要使

112111(1)1231111111 ()()12311npnnnpuuunnnnpnnnnpnpnn 取自然数1N，当nN时，对任何自然数p有

112111(1)123npnnnpuuunnnnp

成立，由柯西审敛原理，级数11(1)nnn收敛。

（2）取106，无论n多大，p=3n，有

1233111111

31323362616111111 33333366611 (31nnnpnpnuuussnnnnnnnnnnnnn111)23211111 ()32226nnnnnn

由柯西审敛原理，级数11111123456发散。

2. 常数项级数审敛法

(1) 常数项级数类型

正项级数：

1nnnuu（0）

交错级数: 11(1)nnnnuu（>0）

任意项级数:

1nnnuuR（）

（2）正项级数及其审敛法

① 充分条件： 正项级数收敛部分和所成的数列nS有界.

② 比较审敛法： 设1nnu和1nnv均为正项级数，且),2,1(nvunn,

a. 若1nnv收敛, 则1nnu收敛；b. 若1nnu发散，则1nnv发散.

③ 极限审敛法：设1nnu与1nnv都是正项级数，lvunnnlim，则

a. 当l0时，1nnu与1nnv具有相同的敛散性； b. 当0l时，若1nnv收敛，则1nnu收敛；

c. 当l时，若1nnv发散，则1nnu发散；

重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.

④ 等价无穷小法： 若nnvu~（等价无穷小），则1nnu与1nnv具有相同的敛散性.

⑤ 比值审敛法(达朗贝尔判别法)： 设1nnu是正项级数,如果)(lim1或nnnuu,则1时级数收敛;1时级数发散; 1时失效.

⑥ 根值审敛法(柯西判别法)：设1nnu是正项级数, 如果nnnulim)(或,

则1时级数收敛;1时级数发散; 1时失效.

（3）交错级数审敛法(莱布尼茨定理)

如果交错级数11(1)nnnu满足条件: ①),3,2,1(1nuunn；②0limnnu,

则级数收敛, 且其和1us, 其余项nr的绝对值1nnur.

（4）任意项级数审敛法

绝对收敛： 若1nnu收敛, 则称1nnu为绝对收敛;

条件收敛： 若1nnu发散,而1nnu收敛, 则称1nnu为条件收敛.

注：若级数1nnu发散，不能断定级数1nnu也发散，但可利用比值法或根值法进行判断.

做法如下：如果1lim1nnnuu或1||limnnnu，则1nnu发散。

由1可知lim0nnu，从而lim0nnu，因此，1nnu发散。

【例5】判定级数1)0(11nnaa的敛散性

解 当01a时， 1lim01nna，由级数收敛的必要条件知级数111nna发散. 当1a时， nnaa111，而11nna为公比为11a的等比级数收敛，由比较审敛法知级数111nna收敛.

【例6】判断级数21cos32nnnn的敛散性。

解：此级数为正项级数，2cos322nnnnnna，2nnnv令，

111211limlimlim1222nnnnnnnvnnvnn，12nnn收敛，

故由比较审敛法，原级数收敛。

注：应用比较法判断一个正项级数1nnu的敛散性，最关键问题是要熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数，调和级数，p级数等), 然后根据nu的特点，进行有针对性的放缩。

【例7】 判别级数1[2(1)]3nnnn的敛散性。

解： 因为 2(1)33nnnnnna，所以，分别考虑123nnn和1(1)3nnnn的敛散性。

对于11(1)33nnnnnnn，由比值法 11113limlim133nnxxnnnbnb，

知1(1)3nnnn收敛，所以，1(1)3nnnn绝对收敛；同理得123nnn收敛，可知原级数收敛。

【例8】判断级数1!nnnann的敛散性。

解：111(1)!(1)limlimlimlim1!1(1)nnnnnnnnnnnnanunaanaanunenn

由比值审敛法，当ae时，原级数收敛；当ae时，原级数发散。

当ae时，1lim1nnnaa，比值审敛法失效，注意到 111(1)nnnueun，1lim0nnnnuuu，原级数发散。

注：在级数一般项nu中，若含有形如nnknnan,!,,的因子时，适于使用比值审敛法。

【例9】判断级数11[ln(1)]nnn的敛散性。

解：此级数为正项级数， nnn11limlimlim01[ln(1)]ln(1)nnnnunn

故由根值审敛法，原级数收敛。

注：在级数一般项nu中，若含有n次方时，适于使用根值审敛法。

【例10】判别级数

1ln(1) nnnn的敛散性。

解：原级数为交错级数，先考虑级数11lnnnnnan的敛散性。

由于当3n时，ln1nnann，而级数31nn发散，由比较审敛法，级数33lnnnnnan发散，即原级数非绝对收敛。

因为 lnnnun， lnlimlim0nnnnun

令ln()xfxx，因为 2ln1ln()()0xxfxxx

所以f(x)在[3,)内单调递减，得1nnuu

于是由莱布尼兹判别法可得级数3ln(1)nnnn收敛，从而原级数条件收敛。

注：在运用莱布尼兹定理判别1nnuu时，可引入函数，利用函数的导数，判别单调性。

二、函数项级数

1．基本概念

（1）函数项级数

1()nnux ，),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI上的函数

（2）收敛域 函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域.

（3）和函数 在收敛域上,函数项级数的和函数)(xs为

1()()nnsxux .