信号与系统作业第八章

第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。

2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。

♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。

信号与线性系统-8(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：22，分数：100.00)绘出下列离散信号的图形。

（分数：8.00）2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解是一个公比为的等比序列，且该序列起始于k=0。

其图形如图(a)所示。

(2).2δ(k)-ε(k)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解此序列也是起始于k=0的，其图形如图(b)所示。

2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解此序列可看做是对连续时间信号(1+sin(2πt))ε(t)以每周期取16个样本点而得到的，故其图形如图(c)所示。

(4).k(2) -kε(k)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解此序列起始于k=1，其图形如图(d)所示。

绘出下列离散信号的图形。

（分数：8.00）(1).k[ε(k+4)-ε(k-4)]（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解因故此信号的图形如图(a)所示。

《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。

1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。

[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。

](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。

图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。

题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。

S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。

设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。

Chapter 88.6解：x （t ）的傅里叶变换()m ,0j X ωωω>=故x （t ）的频谱图为()()()()[]()[]()[]{}C C C C c j x j x 21j X 21t cos t x ωωωωωωδωωδπωπω++-=++-*↔其频谱图为ttsin C πω的频谱图为故()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛*=t t sin t cos t x -t cos t x t g c c c πωωω的频谱图为故()t cos t g c ω的频谱图为()()()ttAsin t cos t g t x c πωω*=4A =8.9解：(a) 因为1()x t 和2()x t 的截止频率都为c ω，1()x t 经频率为c ω的载波信号调制器经AM —SSB/SC 技术保留下边带后截止频率为c ω。

2()x t 经频率为2c ω的载波信号调制器经AM —SSB/SC 技术保留下边带后有2c c ωωω<<时不为0，其它都为0。

所以，将二者加在一起截止频率为2c ω。

即：2c ωω>时，()0Y j ω=。

(b) 2A =8.12解：2000M ωπ=2c M ωω∴>，即：32220000.510T Tππ->⨯⇒<⨯又410.51010T -∆=⇒∆<⨯8.13解：(a) 11212111()()(1cos)2222j t T j t T T p t P j e d e d πωωπωωωωππ++∞-∞-==+⎰⎰112121111111422sin 1(0)(1cos)()22242T T T p d T T T T ππωππωππ+-∴=+=+=⎰(b) 因为在PAM 中，在1t kT =采样后，来自其它所有脉冲对这个采样值贡献为零，即1()0p t mT -=，m k ≠。

所以，当(0)0p =时，1()0p kT =（1,2,k =±± ）8.16解：{}00()(2)(2)j l C e l l jωπδωωπδωωπ+∞=-∞=---+-∑1()()()2j j j Y e X e C e ωωωπ=* 1()()(2)(2)222j j l Y e X e l l j ωωπππδωπδωππ+∞=-∞⎧⎫∴=*---+-⎨⎬⎩⎭∑ 因而在0ωπ≤≤内， 当308ωπ≤≤或38πωπ≤≤时，()0j Y e ω=。

《信号与系统》第1~8章习题参考解答第一章 (2)第二章 (13)第三章 (22)第四章 (35)第五章 (48)第六章（无） (56)第七章 (57)第八章 (65)第一章1-4 对于例1-1所示信号，由f (t )求f (−3t − 2)，但改变运算顺序，先求f (3t )或先求f (−t )，讨论所得结果是否与原例之结果一致。

解：(1). 例1-1的方法： f (t )→ f (t − 2)→ f (3t − 2)→ f (−3t − 2) (2). 方法二：f (t )→ f (3t )→ 2[3()]3f t − →f (−3t − 2) (3). 方法三：f (t )→f (−t ) →[(2)]f t −+ →f (−3t − 2)方法三：1-5 已知()f t ，为求0()f t at −应按下列哪种运算求得正确结果（式中0t ，a 都为正值）？（1）()f at −左移0t （2）()f at 右移0t （3）()f at 左移0t a （4）()f at −右移0ta解：（4）()f at −右移t a：故（4）运算可以得到正确结果。

注：1-4、1-5 题考察信号时域运算：1-4 题说明采用不同的运算次序可以得到一致的结果； 1-5 题提醒所有的运算是针对自变量t 进行的。

如果先进行尺度变换或者反转变换，再进行移位变换，一定要注意移位量和移位的方向。

1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图： （1）()(2)()t f t e u t −=− （2）2()(36)()t t f t e e u t −−=+ （3）3()(55)()t t f t e e u t −−=−（4）()cos(10)[(1)(2)]t f t e t u t u t π−=−−− 解：（1）()(2)()tf t e u t −=−（2）2()(36)()ttf t e eu t −−=+（3）3()(55)()ttf t e eu t −−=−（4）()cos(10)[(1)(2)]tf t e t u t u t π−=−−−1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别：（1）[()(1)]−−；t u t u t（2）(1)�；t u t−（3）[()(1)](1)−−+−；t u t u t u t（4）(1)(1)−−；t u t（5）(1)[()(1)]−−−−；t u t u t（6）[(2)(3)]−−−；t u t u t（7）(2)[(2)(3)]t u t u t−−−−。

信号与系统作业第⼋章8、1 已知描述连续时间系统得微分⽅程与激励信号f(t)分别如所⽰:(4)(t)+5(t)+6y(t)=6f (t),f(t)=10cos(2t)u(t)试⽤MA TLAB得lsim函数求出上述系统在0~10秒时间范围内得零状态响应y(t)得样值,并绘出系统零状态响应得时域仿真波形。

a=[1 5 6];b=[6];sys=tf(b,a);p=0、01;t=0:p:10;f=10*cos(2*t);y=lsim(sys,f,t)a=[1 5 6];b=[6];sys=tf(b,a);p=0、01;t=0:p:10;f=10*cos(2*t);lsim(sys,f,t)y =6、93570、32185、17264、86711、15625、82463、69222、75175、98242、22758、2⽤连续系统时域分析得经典⽅法(求解微分⽅程得⽅法)求题8、1所⽰系统得解析解,并与MA TLAB得仿真结果进⾏⽐较,验证结果就是否相同。

8、3 已知描述系统得微分⽅程如下,试⽤MATLAB求系统在010秒时间范围内冲激响应与阶跃响应得数值解,并绘出系统冲激响应与阶跃响应得时域波形。

(1)(t)+3(t)+2y(t)=f (t)(4) y’’(t)+4y(t)=2f(t)(1):a=[1 2 1];b=[1];subplot(2,1,1)y=impulse(b,a,10) %冲激信号得数值解impulse(b,a,10) %冲激信号得时域波形subplot(2,1,2)y=step(b,a,10) %阶跃信号得数值解step(b,a,10) %阶跃信号得时域波形y =0、36790、27070、14940、07330、03370、01490、0064 0、0027 0、0011 0、0005y =0 0、2642 0、5940 0、8009 0、9084 0、9596 0、9826 0、9927 0、9970 0、99880、9995(4)a=[1 0 4];b=[2];subplot(2,1,1)y=impulse(b,a,0:1:10) %冲激信号得数值解impulse(b,a,10) %冲激信号得时域波形subplot(2,1,2) y=step(b,a,0:1:10) %阶跃信号得数值解step(b,a,10) %阶跃信号得时域波形y =0、90930、75680、27940、98940、54400、53660、99060、28790、7510 0、9129y =0 0、7081 0、8268 0、0199 0、5728 0、9195 0、0781 0、4316 0、9788 0、1698 0、29608、4已知描述离散系统得差分⽅程与输⼊序列x(n)分别如下所⽰:（1）y(n)+2y(n1)+y(n2)=x(n),x(n)=u(n)试⽤MATLAB得filter函数求出上述系统在0~20时间采样点范围内零状态响应y(n)得序列样值,并绘出系统零状态响应得波形。