数列、函数极限和函数连续性数列极限定义1（N ε-语言）：设{}n a 是个数列，a 是一个常数，若0ε∀>，∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a a ε-<，则称a 是数列{}n a 当n 无限增大时的极限，或称{}n a 收敛于a ，记作lim n n a a →+∞=，或()n a a n →→+∞.这时，也称{}n a 的极限存在.定义2（A N -语言）：若0A >,∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a A >,则称+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于+∞，记作lim n n a →+∞=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限，对于,-∞∞的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.1.2 数列极限求法的常用定理定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有()()lim lim lim ,lim lim lim .n n n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是收敛数列，且有lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭. 定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理1.2.3（∞Stoltz 公式） 设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，且lim n n x →+∞=+∞（注意：不必lim n n y →+∞=+∞）.如果11limn n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），则 11limlim.n n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-定理1.2.3'（00Stoltz 公式） 设{}n x 严格减，且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞=.若11limn n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞）， 则 11limlimn n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-.定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞=，则（1）12 (i)nn a a a a n→∞+++=，（2）若()01,2,...n a n >=，则12lim ...n n n a a a a →∞=.定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时，有 n n n a c b ≤≤， 则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.定理1.2.6（归结原则）设f 在()0;U x δ' 内有定义.()0lim x xf x →存在的充要条件是：对任何含于()0;U x δ' 且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等.数列极限的求法2.1 极限定义求法在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N .我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子. 例2.1.1 求lim n n a →∞，其中0a >.解：lim 1n n a →∞=.事实上，当1a =时，结论显然成立.现设1a >.记11n a α=-，则0α>. 由()11111nn a n n a αα⎛⎫=+≥+=+- ⎪⎝⎭,得 111n a a n--≤. （5）任给0ε>，由（5）式可见，当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<.即11n a ε-<.所以lim 1n n a →∞=.对于01a <<的情况，因11a>，由上述结论知1lim1nn a→∞=，故11lim lim111/n nn n a a→∞→∞===.综合得0a >时，lim 1n n a →∞=.例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.证明：由lim n n a a →∞=，则0ε∀>，存在10N >，使当1n N >时，有/2n a a ε-<, 则()111211...1......nN N n a a a a aa a a a a a ann++++-≤-++-+-++-.令11...N c a a a a =-++-，那么121 (2)na a a n N c a nnn ε+++--≤+⋅.由lim0n c n→∞=，知存在20N >，使当2n N >时，有2c n ε<.再令{}12max ,N N N =,故当n N >时，由上述不等式知121 (2)222na a a n N a nn εεεεε+++--≤+⋅<+=.所以 12 (i)nn a a a a n→∞+++=.例 2.1.3 求7lim!nn n →∞.解：7lim0!nn n →∞=.事实上，7777777777771......!127817!6!n n n n n n=⋅⋅⋅≤⋅=⋅-.即77710!6!nn n-≤⋅.对0ε∀>，存在7716!N ε⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，便有77710!6!nn nε-≤⋅<，所以7lim0!nn n →∞=. 注：上述例题中的7可用c 替换，即()lim00!nn cc n →∞=>.2.2 极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法. 例2.2.1 求11101110 (i)...mm m m k k n k k a n a n a n a b n b nb n b ---→∞-++++++++,其中00m k m k a b ≤≠≠，，.解：分子分母同乘k n -，所求极限式化为1111011110 (i)...m km kkkm m kkn k k a na na na nb b nb n b n---------→∞-++++++++.由()lim 00n n αα-→∞=>，知，当m k =时，所求极限等于m ma b ；当m k <时，由于()00m k n n -→→，故此时所求极限等于0.综上所述，得到 11101110, (i)....0,mm m m m m kk n k k a k m a n a n a n a b b n b nb n b k m ---→∞-⎧=++++⎪=⎨++++⎪>⎩例2.2.2 求lim1nnn aa →∞+，其中1a ≠-.解: 若1a =，则显然有1lim12nn n aa →∞=+；若1a <，则由lim 0n n a →∞=得()lim lim /lim 101nnnnn n n aa a a →∞→∞→∞=+=+；若1a >，则11limlim111101nnn n naa a→∞→∞===+++.2.3 夹逼准则求法定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具. 例2.3.1 求极限()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.解：因为()()()()2224412121212121n n n n n n n n =>-=+--=-⋅-，， 所以()()13211332121102421335212121n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅-<<⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅++.因 1lim021n n →∞=+，再由迫敛性知()()1321lim242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅.例2.3.2 求数列{}n n 的极限.解： 记1n n n a n h ==+，这里()01n h n >>，则 ()()2112n nn n n n h h -=+>,由上式得 ()2011n h n n <<>-，从而有21111n n a h n ≤=+≤+- , （2）数列211n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是收敛于1的，因对任给的0ε>，取221N ε=+，则当n N >时有2111n ε+-<-.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得lim 1n n n →∞=.例2.3.3 设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：lim0k nn n a→∞=.事实上，先令1k =，把a 写作1η+，其中0η>.我们有 ()()()22201111...2nnn nn n n an n ηηηη<==<--++++.由于()()22lim021n n n η→∞=≥-，可见n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小.据等式()1/kk nnk n n aa ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，注意到1/1ka>，由方才所述的结果()1/nk na ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是无穷小.最后的等式表明，k n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可表为有限个（k 个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 lim0k nn n a→∞=.2.4 单调有界定理求法有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子. 例2.4.1 求例2.1.3注解中的()lim00!nn cc n →∞=>.解：()lim00!nn cc n →∞=>.事实上，令*!nn cx n N n =∈，.当n c ≥时，()11n nn cx x x n +=≤+.因此{}n x 从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限lim n n x x →∞=存在，在等式()11n ncx x n +=+的等号两边令n →∞，得到00x x =⋅=,所以{}n x 为无穷小.从而()lim00!nn cc n →∞=>.例2.4.2 求极限lim 333n →∞⋅⋅⋅（n 个根号）.解：设3331n a =⋅⋅⋅>，又由133a =<，设3n a <，则13333n n a a +=<⨯=. 因13n n n a a a +=>，故{}n a 单调递增. 综上知{}n a 单增有上界，所以{}n a 收敛. 令lim 13n n a a a →∞=≤≤，，由13n n a a +=， 对两边求极限得3a a =，故3a =. 2.5 函数极限法有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求lim n n a →∞.解：先求lim xx a →∞，因ln ln lim1/0lim lim lim 1x aa xxxxx x x a aee e →∞→∞→∞→∞=====,再由归结原则知lim 1n n a →∞=.例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求lim n n n →∞.解：先求limxx x →∞.因ln ln limlimlim 1x xx xxxx x x ee e →∞→∞→∞====，再由归结原则知lim 1n n n →∞=.例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：先求limk xx x a→∞.因()1!limlim (i)ln ln kk kxxxx x x xkxk a a aaa -→∞→∞→∞====（由洛比达法则），再由归结原则知lim0k nn n a→∞=.2.6 定积分定义法通项中含有!n 的数列极限，由于!n 的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了.例2.6.1 求!limnn n n→∞.解：令!nn y n=，则11ln lnni i y nn==∑.而()++110011lim ln limlnln lim ln lim1ln 1nn n i i y xdx xdx nnεεεεεε→∞→∞→→=====---=-⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰,也即ln lim 1n y →∞=-，所以1!lim limnn n n y en-→∞→∞==.例2.6.2 求极限2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭. 解：因为22sinsin...sin sinsinsin (111)12nnn n n n n n nππππππ+++<+++++++2sinsin...sin 1nnn nπππ+++<+，2sin sin...sin 12limlimsin sin ...sin 1112lim sin sin ...sin n n n nnn n n n n n n n n πππππππππππππ→∞→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12sin xdx πππ==⎰，类似地2sinsin...sin lim 1n nnn nπππ→∞++++22122limsin sin ...sin 1n nn nn n ππππππ→∞⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++=⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，由夹逼准则知2sin sin sin 2lim ...1112n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫ ⎪+++= ⎪+ ⎪++⎝⎭ .注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz 公式法Stoltz 公式，11limlim.n n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-在求某些极限时非常方便，尤其是当1nn kk y a ==∑时特别有效.例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.证明：前面用N ε-定义法证明，现用Stoltz 公式证明. 令12...,n n n y a a a x n =+++=，则由Stoltz 公式得到()()()1212121 (i)......lim 1nn n n n a a a na a a a a a n n →∞-→∞++++++-+++=--limlim 1n n n n a a a →∞→∞===.例2.7.2 求112...lim kk kk n nn+→+∞+++.解： ()11112 (i)lim1kkkkk k k n n nn nnn +++→+∞→+∞+++=-- （Stoltz 公式）＝()112111lim...1kk kk n k k nCn Cn+-→+∞++-+-- （二项式定理）＝11111k C k +=+.2.8 几何算术平均收敛公式法上面我们用Stoltz 公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发现很多**nn，类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. 例2.8.1 同例2.1.1一样求lim n n a →∞，其中0a >. 解：令123,...1n a a a a a =====,由定理1.2.4（2）知lim lim 1n n n n a a →∞→∞==.例2.8.2 同例2.3.2一样求lim n n n →∞.解：令()112,3, (1)n n a a n n ===-，,由定理1.2.4（2）知lim lim lim11n n n n n n n a n →∞→∞→∞===-.例2.8.3 同例2.6.1相似求lim!nn n n →∞.解：令()111nnn nn a n n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则()12312231234123nn nn a a a n+⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝()()11!!nnnnn n nn n n++=⋅.所以121!n n nnn a a a nn +⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，也即121!nn nnn a a a n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，而由定理1.2.4（2）知121lim lim lim 1nnn n n n n a a a a e n →∞→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅==+= ⎪⎝⎭.故12limlimlim11!nn nn n n n n n a a a e e n n n →∞→∞→∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=++.例2.8.3 求3123 (i)nn nn→∞++++.解：令(),1,2,3...n n a n n ==，则由定理1.2.4（1）知 3123 (i)lim lim1nnn n n n na n n→∞→∞→∞++++===.2.9 级数法若一个级数收敛，其通项趋于0（0n →）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想. 例2.9.1 用级数法求例2.1.3注()lim0!nn cc n →∞>.解：考虑级数!ncn ∑，由正项级数的比式判别法，因()1lim/lim011!!1n nn n ccc n n n +→∞→∞==<++，故级数!ncn ∑收敛，从而()lim00!nn cc n →∞=>.例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：考虑正项级数k nn a∑，由正项级数的比式判别法，因()11111lim/lim 1kkkn n n n n nn aa a n a+→∞→∞++⎛⎫=⋅=< ⎪⎝⎭， 故正项级数knn a∑收敛，所以lim0k nn n a→∞=.例2.9.3 求极限()()222111lim ...12n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.解： 因级数211n n∞=∑收敛，由级数收敛的柯西准则知，对0ε∀>，存在0N >, 使得当n N >时，21221111nn k k kkε-==-<∑∑，此即()()222111...12nn n ε+++<+，所以()()222111lim ...012n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 例2.9.4 求极限()212lim ...1n n n a aaa →∞⎛⎫+++>⎪⎝⎭. 解：令1x a=，所以1x <.考虑级数 1n n nx ∞=∑，因为()111limlim1n n nn n nn x a x a nx++→∞→∞+==<，所以此级数收敛.令 ()1nn s x nx ∞==∑，则()11n n s x x nx∞-==⋅∑.再令()11n n f x nx∞-==∑，()1111x x n nn n x f t dt ntdt xx∞∞-=====-∑∑⎰⎰.所以()()2111xf x xx '⎛⎫==⎪-⎝⎭-. 而 ()()()()122111xas x x f x x a --=⋅==--,所以()()122112lim ...1n n n a s x a a a a -→∞-⎛⎫+++== ⎪⎝⎭-.2.10 其它方法除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子.例2.10.1 求()22lim sin n n n π→∞+.解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性. ()()2222lim sin lim sin n n n n n n n πππ→∞→∞+=+-＝222lim sin lim sin111n n n n n nn ππ→∞→∞=++++＝2sin 12π=.例2.10.2 设21101222n n a cc c a a +<<==+，，,证明：{}n a 收敛，并求其极限.解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明 ()0,1,2...n a c n <<=. 事实上,102c a c <=<.假设01n a c <<<，则2210222222n n a c c cc c a c +<=+<+<+=.令()222c xf x =+，则()f x x '=.()()()111n n n n n n a a f a f a f a a ξ+--'-=-=⋅-＝11n n n n a a c a a ξ--⋅-<-， （1）其中ξ介于n a 和1n a -之间.由于01c <<,再由（1）式知{}n a 为压缩数列，故收敛.设lim n n a l →∞=,则2c l c ≤≤.由于2122n n a c a +=+，所以 22,2022c ll l l c =+-+=.解得11l c =+-（舍去），11l c =--. 综上知lim 11n n a c →∞=--.注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.函数极限一、函数极限的定义定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向无穷大时，函数f （x ）趋向于a ，记作+∞→x lim f(x)=a 或f(x)→a(x→+∞)。
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