函数极限的习题课
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随堂练习 一第一章 函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ,则k= 。
2、函数xxy sin =有间断点 ,其中 为其可去间断点。
3、若当0≠x 时 ,xxx f 2sin )(= ,且0)(=x x f 在处连续 ,则=)0(f 。
4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。
5、3)21(lim -∞→=+e nknn ,则k= 。
6、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
7、当+∞→x 时,x1是比3-+x 8、当0→x 时,无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
9、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。
10、设113--=x x y ,则x=1为y 的 间断点。
11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ,则当a 为 时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ,则a= 。
13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ,则常数a= 。
二、计算题1、计算下列极限 (1))2141211(lim n n ++++∞→ ; (2)2)1(321lim nn n -++++∞→ ;(3)35lim 22-+→x x x ; (4)112lim 221-+-→x x x x(5))12)(11(lim 2xx x -+∞→ ; (6)x x x 1sin lim 20→ ;(7)xx x x +---→131lim21; (8))1(lim 2x x x x -++∞→ ;2、计算下列极限 (1)x wx x sin lim0→ ; (2)xxx 5sin 2sin lim 0→ ; (3)x x x cot lim 0→ ;(4)x x x x )1(lim +∞→ ; (5)1)11(lim -∞→-+x x x x ; (6)x x x 1)1(lim -→ ; 3、比较无穷小的阶(1)32220x x x x x --→与,时 ; (2))1(21112x x x --→与,时 ; (3)当0→x 时 , 232-+xx与x 。
第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0,问:⑴()2x f ; ⑵()x f sin ; ⑶()()0>+a a x f ; ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么?(1)][;,-的定义域为所以知-11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(-的定义域为所以知-由 ][φ时,定义域为当时,定义域为当从而得-知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a ax a ax a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ,()xe x g =,求()[]x gf 和()[]x fg ,并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}nx 有界, 又,0lim =∞→nn y证明:.0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
从而时,有,当自然数即又有对有界,∴=<=-<>∃>∀=≤∀>∃∴∞→ ..0)(,0,0lim ,,0εεεεMM y x y x My N n N y Mx n M x n n n n n n n n n 5. 根据函数的定义证明: ⑴()813lim 3=-→x x8)13(lim 813303,033,33813,03=-<--<-<>∀<-<-=-->∀→x x x x x x x 所以成立时,恒有,当=取故即可。