2018年选修4-4 《圆的参数方程》参考教案

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

《圆的参数方程》教案单位：阳泉市荫营中学姓名：任慧琴邮编：一．教学内容分析教科书是在学习了曲线的参数方程之后，以匀速圆周运动为引子，之后根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。

在介绍了圆的参数方程以后，通过例题，介绍了利用参数求轨迹方程问题.在教科书的基础上，需要在学习了圆心在原点的圆的参数方程之后，由学生探究得到圆心不再原点的圆的参数方程，使圆的参数方程更加完整。

本节学习中知道圆的参数方程的形式并加以应用，是一个重点，但利用参数求轨迹的参数方程是本讲的重要课题。

教科书先安排“圆的参数方程”，是因为圆的参数方程的探求过程比较简单。

本节是我们探求的第一类参数方程，故在教学中要引领学生学习求曲线的参数方程的方法及步骤。

另外，参数方程中参数多数都具有几何意义或物理意义，教学中要让学生体会如何根据具体问题的几何特点或物理意义选择适当的参数比较有利。

在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易.因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点.教科书中的例，就是把曲线的普通方程转化为参数方程后加以解决的.许多问题可以作这样的转化，当然有时也把给定参数方程的问题转化为普通方程来解决.教科书中的例也可以直接用普通方程来解决.二．教学目标（一）知识技能目标.理解圆心在原点,半径为r的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心原点,半径为r的圆的参数方程..明确参数θ的意义,能说明参数θ与圆上一点坐标变量,x y之间的联系. .理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程..能将圆的参数方程与普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的轨迹问题问题.（二）过程方法目标.引导学生求圆心不在原点的圆的参数方程，使学生体会求参数方程的方法和步骤..通过学生讨论探求圆心不再原点的圆的参数方程，使学生自主学习，发散思维.．例题的教学中增加变式，强化对问题的理解，得到一般性的结论. （三）情感态度价值观.通过本节的教学互动,进一步培养学生观察、猜想、验证、证明的能力，激发其学习数学的兴趣.三．教学重点难点重点是：圆心在原点与圆心不在原点的圆的参数方程.难点是：圆的参数方程的应用和“观察、猜想、验证、证明”能力的培养.四．教学辅助工具几何画板.五.教学方法讨论、探究、讲练结合六.教学过程教学环节情境设计和学习任务师生活动设计意图创设情境回忆曲线的参数方程的定义及如何求曲线的参数方程。

圆的参数方程教案
教案标题：圆的参数方程
教学目标：
1. 理解圆的参数方程的概念和基本原理；
2. 掌握圆的参数方程的推导方法；
3. 能够利用参数方程描述圆的性质和特点；
4. 能够应用参数方程解决与圆相关的问题。

教学步骤：
引入活动：
1. 引导学生回顾直角坐标系中圆的方程及性质，如半径、圆心等。

知识讲解：
2. 介绍参数方程的概念和作用，与直角坐标系中的关系。

3. 讲解圆的参数方程的推导方法，包括参数的选择和代入。

示例演练：
4. 给出一个具体的圆的例子，如圆心为(1, 2)，半径为3，引导学生利用参数方程的方法求解。

练习与巩固：
5. 提供一些练习题，让学生运用参数方程解决与圆相关的问题。

6. 分组讨论和解答，鼓励学生互相交流和分享解题思路。

拓展应用：
7. 引导学生思考参数方程在其他几何图形中的应用，如椭圆、双曲线等。

总结与评价：
8. 总结圆的参数方程的要点和关键步骤。

9. 针对本节课的教学效果，进行评价和反馈。

教学资源：
- PPT或白板
- 圆的参数方程示例题
- 圆的参数方程练习题
- 学生讨论与合作的机会
评估方式：
1. 在课堂上观察学生的参与程度和理解情况；
2. 布置课后作业，检验学生对参数方程的掌握情况；
3. 通过小组讨论和解答，了解学生的合作能力和解题思路。

教学提示：
1. 引导学生理解参数方程与直角坐标系中的关系，帮助他们建立联系；
2. 鼓励学生提出问题和思考，激发他们的学习兴趣；
3. 注重学生的实际操作和应用能力，培养他们解决实际问题的能力。

2．2.2 圆的参数方程[对应学生用书P28][读教材·填要点]如图，质点以匀角速度ω做圆周运动，圆心在原点，半径为R ，记t 为时间，运动开始时t ＝0，质点位于点A 处，在时刻t ，质点位于点M (x ，y )处，θ＝ωt ，θ为Ox 轴正向到向径OM 所成的角，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos ωt ，y ＝R sin ωt (t ≥0)，也可写成⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(0≤θ≤2π)．若圆心在点M 0(x 0，y 0)处，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ≤2π)．[小问题·大思维]1．方程⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(0≤θ≤2π)是以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝R 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y R 2＝1. 令⎩⎪⎨⎪⎧x R ＝cos θ，y R ＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ.2．参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(0≤θ≤π)表示什么曲线？提示：表示圆心为(0,1)，半径为2的圆的上半部分即半圆(包括端点)．[对应学生用书P29][例1] 点M 在圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为φ.以φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法．解答此题需要借助图形分析圆上点M (x ，y )的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．[精解详析] 如图，设圆心为O ′，连接O ′M .①当M 在x 轴上方时， ∠MO ′x ＝2φ. ∴⎩⎨⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ②当M 在x 轴下方时， ∠MO ′x ＝2φ， ∴⎩⎨⎧x ＝r ＋r cos (－2φ)，y ＝－r sin (－2φ). 即⎩⎨⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ③当M 在x 轴上时， 对应φ＝0或φ＝±π2. 综上得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ，－π2≤φ≤π2.(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的．另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成⎩⎨⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ，φ的意义就改变了．1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2[例2] (福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．[思路点拨] (1)化参数方程为普通方程． (2)利用圆心到直线的距离d ≤4可求．[精解详析] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解决此类问题的关键是化圆的参数方程为普通方程后再求解．2. 设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹的参数方程．解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)， 则⎩⎨⎧x 1＝cos θ(cos θ＋sin θ)，y 1＝sin θ(cos θ＋sin θ)，0≤θ≤2π， 即为所求的参数方程．[例3] 已知点P (x ，y )是圆⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ0≤θ≤2π上的动点．(1)求3x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题．解决本题需要正确求出圆x 2＋y 2＝2y 的参数方程，然后利用参数方程求解．[精解详析] (1)∵P 在圆⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ上，∴3x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin(θ＋π3)＋1. ∴－2＋1≤3x ＋y ≤2＋1，即3x ＋y 的取值范围为 [－1,3]．(2)x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0，∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1.又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin(θ＋π4)－1≤2－1， ∴a ≥2－1，即a 的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤2π)转化为直角坐标方程是________________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．解析：易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A 的距离减去半径，易求得为5－1.答案：(x －1)2＋y 2＝1 5－1[对应学生用书P30]一、选择题1．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ0≤θ≤2π.则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：选D 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 故圆心坐标为(2,0)．2．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ≤2π)相切，则实数c 等于( )A ．2或－8B ．6或－4C ．－2或8D ．4或－6解析：选C 将曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ≤2π)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y －3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8.3．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α0≤α≤2π上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝34，φ为锐角)． ∴最大值为36.4．已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ≤2π)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0D ．±2解析：选D 将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2. 二、填空题5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，故参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(0≤θ≤2π)．答案：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(0≤θ≤2π)6．已知圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.答案：[1－2，1＋2]7．直线⎩⎨⎧ x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(0≤α≤2π)相切，则θ＝________.解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6.答案：π6或5π68．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．解析：设P (x ，y )为动圆的圆心， 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0， 得(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋ b 2sin 2θ.∴⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.答案：⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ三、解答题9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1. 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤2π)．10．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求t ＝x ＋y 的最大值． 解：方程x 2＋(y －1)2＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆． ∴其参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.∴t ＝x ＋y ＝cos θ＋sin θ＋1 ＝2sin(θ＋π4)＋1.∴当sin(θ＋π4)＝1时，t max ＝2＋1.11．已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点， 求|AB |及|AM |·|BM |.解：l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.∵Δ>0，可设t 1′、t 2′是方程的两根，由根与系数关系得t1′＋t2′＝32，t1′t2′＝1.由参数t′的几何意义得|MA|＝|t1′|，|MB|＝|t2′|，∴|MA|·|MB|＝|t1′·t2′|＝1，|AB|＝|t1′－t2′|＝(t1′＋t2′)2－4t1′t2′＝14.。

高二数学选修4-4教案06圆的参数方程教学目的：学习圆的参数方程，理解参数θ的几何意义；会用圆的参数方程解题。

教学重点：圆的参数方程的推导及应用。

教学难点：参数θ的几何意义及应用。

教学方法：师生互动，培养创新思维。

教学过程：一、问题情景：【1】已知1y x 22=+，怎样求22y xy 2x -+的最大与最小值？【2】函数ϑϑcos 2sin 2y --=的值域怎么求？你知道有哪几种方法？二、数学构建.从上面的问题可以看到：圆的方程1y x 22=+与方程组⎩⎨⎧==θθsin y cos x 之间有着一定的对应关系，那么我们怎样来认识和理解它们的这种关系呢？事实上：1．设点P 在圆O ：222r y x =+上，从点P 0开始按逆时针方向运动到达点P ，且设∠P 0OP=θ.若设点P 的坐标是(x,y)，由三角函数的定义不难发现，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是θ的函数，即⎩⎨⎧==θθsin r y ,cos r x ① 另一方面，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P （x,y ）都在圆O 上.这表明，方程①也可用来表示圆。

那么，我们就把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程。

其中θ是参数.注意：根据点与θ角的一一对应性质，我们一般设定)2,0[πθ∈。

2．对于圆心为O （a,b ）、半径为r 的圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，可以看成由圆心为原点O ，半径为r 的圆222r y x =+按向量ν=(a,b)平移得到的（如右图）.不难求出，圆心在（a,b ）、半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=.sin r b y ,cos r a x θθ (θ为参数且)2,0[πθ∈）② 注意：若将方程组①、②中的参数θ消去，则可得到这一圆的标准方程，即：222r y x =+和（x-a)2+(y-b)2=r 2。

反之，由圆的标准方程也可直接采用三角换元的方法得到圆的参数方程。

第二讲参数方程1、参数方程的概念(1) 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M (x,y)都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系心y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。

参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。

(2) 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

(3) 参数方程与普通方程的互化r x = rcos3\ y = r sin 3tt ： 参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵 坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之 间的关系。

2、参数方程的应用往往是在x 与y 直接关系很难或不可 能体现时，通过参数建立间接的(兀—疔+0 —疔"〈 x = a + rcosO rsin 0I 、O联系。

x = a + rcosO < •y = b + rsin0尬皿衣涼朮的《)泰救方程尬皿柔庭涼止的谢的泰救方程2泰數方程鸟普通方程的槪念M泰數方程鸟普通方程的虽祀5.皿(1)統述问廳(2)痂眾位“，鬼用思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？如果点P的坐标为U y),圆半径为厂, =0,根据三角函数定义点P的横坐标X、纵坐标y都是血勺函数,即(■ x = r cos 6 —--'0；①y — r sin 3并且对于0的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y),都在圆O上我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为4思考2:圆心为O](a")、半径为厂的圆的标准方程 为(X - 0)2 +(y-b)2 =厂2,那么参数方程是什么呢? 圆心为O](d,b)、半径为厂的圆可以 看作由圆心为原点O 、半径为厂的圆 平移得到，设圆q 上任意一点P(x, y) 是圆O 上的点A 平移得到的， 由平移公式，有 x = + ay = y i+b x { = ［的圆的参数方程, &是参数. -5所以 x = a +rcos0.5.-y = b + r sin5-- P(x,y)• v(a,b U 5rcos0 y{ = rsmO例1、已知圆方程x?+y2 +2x-6y+9=0,将它化为参数方程。

圆的参数方程公开课教案圆的参数方程公开课教案（通用6篇）圆的参数方程公开课教案1㈠课时目标1．掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。

2．待定系数法之应用。

㈡问题导学问题1：写出圆心为（a，b），半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。

—2ax—2by+ =0问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？① ；② 1③ 0；④ —2x+4y+4=0⑤ —2x+4y+5=0；⑥ —2x+4y+6=0㈢教学过程[情景设置]把圆的标准方程展开得—2ax—2by+ =0可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：+Dx+Ey+F=0 ①提问：方程表示的曲线是不是圆？一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗？[探索研究]将①配方得：将方程②与圆的标准方程对照。

⑴当＞0时，方程②表示圆心在（—），半径为的圆。

⑵当 =0时，方程①只表示一个点（—）。

⑶当＜0时，方程①无实数解，因此它不表示任何图形。

结论：当＞0时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。

圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了形式上的特点：⑴ 和的系数相同，不等于0；⑵没有xy这样的二次项。

以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件，但不是充分条件[知识应用与解题研究][例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标。

⑴ —6x=0；⑵ +2by=0（b≠0）[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。

分析：用待定系数法设方程为+Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。

[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。

分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。

反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。

《圆的参数方程》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《圆的参数方程》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“圆的参数方程”是高中数学选修 4-4 坐标系与参数方程中的重要内容。

它不仅是对圆的标准方程和一般方程的补充和拓展，也为解决与圆有关的最值、轨迹等问题提供了新的方法和思路。

在教材的编排上，圆的参数方程是在学生已经掌握了圆的标准方程和一般方程的基础上引入的，既体现了知识的连贯性，又为后续学习其他曲线的参数方程奠定了基础。

二、学情分析学生已经学习了圆的标准方程和一般方程，具备了一定的方程思想和运算能力。

但对于参数方程这一概念，学生可能会感到比较陌生，理解起来会有一定的困难。

因此，在教学中要注重引导学生从实际问题出发，通过观察、分析、归纳等活动，逐步理解圆的参数方程的概念和意义。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解圆的参数方程的概念，掌握圆的参数方程的形式。

（2）能够根据圆的参数方程求出圆心坐标、半径等基本量。

（3）会用圆的参数方程解决一些简单的与圆有关的问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察、分析、归纳等活动，培养学生的数学思维能力和创新能力。

（2）通过参数方程的应用，提高学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生体会数学的简洁美和统一美，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生的数学素养。

四、教学重难点1、教学重点（1）圆的参数方程的概念和形式。

（2）用圆的参数方程解决与圆有关的问题。

2、教学难点（1）理解参数方程中参数的几何意义。

（2）参数方程与普通方程的相互转化。

五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考、探索，激发学生的学习兴趣和主动性。

（2）直观教学法：利用多媒体等教学手段，直观地展示圆的参数方程的形成过程，帮助学生理解和掌握。

数学新人教A版选修4-4 第二讲《参数方程》全部教案曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动：练习：斜抛运动：2．参数方程的概念（见教科书第22页）说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C的参数方程是 (t 为参数)（1）判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。

A、一个定点B、一个椭圆C、一条抛物线D、一条直线二．圆的参数方程说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？[来源:Z三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y 的取值范围保持一致。

例3．（教科书第25页例3）例4．（教科书第26页例4）2．你能回答教科书第26页的思考吗？四．课堂练习（教科书第26页习题）五．巩固与反思1．本节学习的数学知识2．本节学习的数学方法巩固与提高1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t为参数）是（D）A． B．C． D．2．下列哪个点在曲线上（C）[来源:]A．(2,7)B．C．D．(1,0)3．曲线的轨迹是（D）A．一条直线B．一条射线C．一个圆D．一条线段4．方程表示的曲线是（D）A．余弦曲线B．与x轴平行的线段C．直线D．与y轴平行的线段5．曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）A．B．C．1D．6．方程(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线7．直线与圆相切，那么直线的倾斜角为（A）A．或B．或C．或D．或8．曲线的一个参数方程为。

2.2 圆的参数方程及应用【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

一、教学目标：知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、圆的参数方程探求1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。

)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。

说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。

（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

半径，并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=⎩⎨⎧y x、若如图取<PAX=θ，AP 的斜率为K ，如何建立圆的参数方程，同学们讨论交流，自我解决。

结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。

4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。

（二）、应用举例例1、已知两条曲线的参数方程05cos 4cos125sin 3sin 45:(:(45x x t y y t t c c θθθ==+==+⎨⎨为参数）和为参数） （1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。

学生练习，教师准对问题讲评。

（三）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）例2、1、已知点P （x ，y ）是圆0124622=+--+y x y x 上动点，求（1）22y x +的最值， （2）x+y 的最值，（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。

《圆的参数方程》说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是《圆的参数方程》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析《圆的参数方程》是高中数学选修 4-4 坐标系与参数方程中的重要内容。

在此之前，学生已经学习了圆的标准方程和一般方程，为学习圆的参数方程奠定了基础。

参数方程作为一种重要的数学工具，在解决几何问题、物理问题等方面有着广泛的应用。

通过本节课的学习，不仅可以加深学生对圆的认识，还能让学生体会到参数方程在解决问题中的独特优势，为后续学习其他曲线的参数方程做好铺垫。

二、学情分析授课对象是高二年级的学生，他们已经具备了一定的数学基础知识和逻辑思维能力。

在学习圆的标准方程和一般方程的过程中，学生对圆的性质有了一定的了解，但对于参数方程的概念和应用还比较陌生。

在教学中，需要通过具体的实例引导学生理解参数方程的意义，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学应用意识和创新能力。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解圆的参数方程的概念，掌握圆的参数方程的形式。

（2）能够根据圆的参数方程求圆心、半径等基本量，会用参数方程表示圆上的点。

（3）掌握圆的参数方程与普通方程的互化，能运用圆的参数方程解决一些简单的几何问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察、分析、类比等方法，引导学生探究圆的参数方程的推导过程，培养学生的数学思维能力。

（2）通过参数方程与普通方程的互化，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。

（3）通过运用圆的参数方程解决实际问题，培养学生的数学应用意识和创新能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究、合作交流的过程中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的信心。

（2）通过参数方程在实际生活中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

四、教学重难点1、教学重点圆的参数方程的形式及参数的几何意义，圆的参数方程与普通方程的互化。

2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程1．能依据圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数，写出它们的参数方程． 2．能利用圆锥曲线的参数方程来解决简单的实际问题．1．圆的参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程是______________，参数α的几何意义是________________(O 为坐标原点，P 为圆上任意一点)．(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程是__________________．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角(P 为圆上任意一点，O 为圆心)．(3)圆的圆心在原点，半径为r ，它与x 轴负半轴的交点为A (－r,0)，点P (x ，y )是圆周上任意不同于A 的一点，此时，圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k 2r1＋k2，y ＝2kr1＋k2(k 为参数)．参数k 的几何意义是直线AP 的斜率．选取不同的参数，可以得到不同形式的圆的参数方程．其中(1)(2)两种形式可结合推导过程记忆，(3)了解就行．【做一做1－1】已知圆的方程为x 2＋y 2＝4x ，则它的参数方程是__________．【做一做1－2】直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )．A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 2．椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是________________．参数φ的几何意义是以原点为圆心，a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角．(2)中心在点C (x 0，y 0)，长轴平行于x 轴的椭圆的参数方程是__________________．参数φ的几何意义是以C 为圆心，以a 为半径所作圆上一点P 和椭圆中心C 的连线CP 与x轴正半轴的夹角．【做一做2－1】椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为__________．【做一做2－2】椭圆⎩⎨⎧x ＝32cos φ，y ＝23sin φ(φ为参数)的焦距是__________．3．双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是________________．【做一做3】已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (a 为参数)，则该曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1.利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图．2．圆锥曲线的参数方程不是唯一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不唯一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的形式，也可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin φ，y ＝b cos φ的形式，二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也就不同．答案：1．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数) OP 与x 轴正方向的夹角(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)【做一做1－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π) x 2＋y 2＝4x 可化为(x－2)2＋y 2＝4，∴圆心为(2,0)，半径r ＝2.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．【做一做1－2】D 将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝4，所以圆心到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|－9|32＋42＝95＜2，∴直线与圆相交． 点(0,0)不在直线3x －4y －9＝0上，故直线与圆相交但不过圆心． 2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数) 根据题意，a ＝2，b ＝3，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．【做一做2－2】26 根据参数方程，可知a ＝32，b ＝23.∴c ＝22－32＝18－12＝6，∴焦距为2c ＝2 6.3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数)【做一做3】C题型一 圆的参数方程的应用【例1】已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，求x 2＋2xy ＋3y 2的最大值和最小值． 分析：利用参数方程，转化成三角函数的问题来解决．反思：利用参数方程求最值问题是其常见的应用，求解时注意三角公式的应用． 题型二 椭圆的参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上一个动点，求x ＋y的最大值．分析：将普通方程化为参数方程，利用三角函数的相关知识求最值．反思：利用圆锥曲线的参数方程求最值问题，实质是利用三角函数求最值问题． 题型三 双曲线的参数方程的应用【例3】如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是两个焦点，证明|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.分析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，证明等式两边等于同一个式子即可．反思：利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式，方法简单、明确，有利于掌握应用．答案：【例1】解：圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)．∴x 2＋2xy ＋3y 2＝cos 2α＋2cos αsin α＋3sin 2α ＝1＋cos 2α2＋sin 2α＋3×1－cos 2α2＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋2sin(2α－π4)．则当α＝k π＋3π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最大值为2＋2，当α＝k π－π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最小值为2－ 2.【例2】解：椭圆方程x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．设椭圆上任一点P (3cos θ，sin θ)，则x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－1,1]， ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1时，x ＋y 取最大值2. 【例3】证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1， |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－22＋tan 2φ＝2cos 2φ－22cos φ＋1. ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP |2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1，∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.1如图，已知椭圆24x ＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，则|OP |·|OQ |的值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42点M 0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M 与点M 0的距离的最小值)是( )．A ．1B ．2C ．3 3参数方程=4sin ,=5cos x y θθ⎧⎨⎩(θ为参数)表示的曲线为__________．4已知抛物线y 2＝2Px ，过顶点的两条弦OA ⊥OB ，求以OA ，OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．答案：1．D 设M (2cos φ，sin φ)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程为y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程为y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.2．C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1.∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ.设双曲线上一动点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1cos θ，tan θ，则|M 0M |2＝1cos 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1时，|M 0M |2取最小值3， 此时有|M 0M |＝ 3.3．椭圆 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin θ，y ＝5cos θ(θ为参数)可化为⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝x4，cos θ＝y5(θ为参数)①②①2＋②2，得x 216＋y 225＝1，所以曲线为椭圆．4．分析：用参数方程形式设出A ，B 的坐标，求出以OA ，OB 为直径的圆的方程，再求交点．解：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，设Q (x ，y )，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1，t 2为关于t 的方程2pxt 2＋2pyt －x 2－y 2＝0的两根．∴t 1t 2＝－x 2＋y22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0(x ≠0)．∴另一交点Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点(0,0))．。

《2. 圆的参数方程》教学案1教学目标：1．了解参数方程的定义，了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义；2．理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用；3．会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

教学重点：使学生能进行曲线的参数方程与普通方程的互化；教学难点：理解直线、圆、椭圆的参数方程及其应用。

基础知识：1．参数方程的定义：2．过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线的参数方程：⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 其中t 表示),,(000y x p 到上一点),(y x p 的有向线段p 0的数量。

3、圆的参数方程:圆心在点),,(00'y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数） 4、椭圆12222=+by a x 的参数方程。

⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数） 一、课前预习： 1、方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线是 ____2、下列方程中，当方程x y =2表示同一曲线的点 ____ （1）⎩⎨⎧==2t y t x （2）⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin sin 2 (3)⎩⎨⎧=+=t y x 11 (4)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t t xos x tan 2cos 1213、参数方程⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x （θ为参数）的普通方程是___________________.4、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=θθsin 3sin 21y x （θ为参数，πθ20<<），试判断点)25,0(),3,1(B A 是否在曲线C 上. 二、例题：例1．求椭圆的参数方程（见教材P.40例1）变式训练1、已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数) 求 （1）6πθ=时对应的点P 的坐标 （2）直线OP 的倾斜角变式训练2、A 点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA=90°，其中O 为椭圆中心，求椭圆离心率e 的取值范围。