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3．1.1 数系的扩充和复数的概念预习课本P102～103，思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？[新知初探]1．复数的有关概念a＋b i|a，b∈R中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中我们把集合C＝{}i叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z 的实部与虚部．[点睛] 复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等a＋b i|a，b∈R中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规在复数集C＝{}定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1，3B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i答案：C3．复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i(m ∈R)是纯虚数，则有() A ．m ＝±1 B．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m ≠1答案：B复数的概念及分类 [典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝2x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.[活学活用]当m 为何值时，复数z ＝m 2(1＋i)－m (3＋i)－6i ，m ∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：∵z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，∴(1)当m 满足m 2－m －6＝0，即m ＝－2或m ＝3时，z 为实数． (2)当m 满足m 2－m －6≠0，即m ≠－2且m ≠3时，z 为虚数．(3)当m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－m －6≠0，即m ＝0时，z 为纯虚数.复数相等[典例] 2m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根， 则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.[答案]112 －12[一题多变]1．[变条件]若将本例中的方程改为：x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 如何求解？解：设实根为x 0，代入方程，由复数相等定义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，m ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，m ＝2，因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1，当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1. 2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x 2－m2x －1＝(10－x －2x 2)i ，如何求解？解：设方程实根为x 0，则原方程可变为3x 20－m2x 0－1＝(10－x 0－2x 20)i ，由复数相等定义，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－m 2x 0－1＝0，10－x 0－2x 20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，m ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－52，m ＝－715，因此，当m ＝11时，原方程的实根为x ＝2； 当m ＝－715时，原方程的实根为x ＝－52.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．层级一 学业水平达标1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD.2＋2i解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 2．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.3．下列命题中：①若x ，y ∈C，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；④若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错； ②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A.4．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ＜0且a ＝－b C ．a ＞0且a ≠bD ．a ≤0解析：选D 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0.5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z)D ．k π＋π4(k ∈Z)解析：选D 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴ta n θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z)，故选D. 6．下列命题中：①若a ∈R，则a i 为纯虚数；②若a ，b ∈R，且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③两个虚数不能比较大小；④x ＋y i 的实部、虚部分别为x ，y .其中正确命题的序号是________．解析：①当a ＝0时，0i ＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x ＋y i 中未标注x ，y ∈R，故若x ，y 为复数，则x ＋y i 的实部、虚部未必是x ，y .答案：③7．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.答案：28．已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.解析：由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2.答案：2 ±29．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋log 2(3－m )i ，m ∈R，如果z 是纯虚数，求m 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＞0，3－m ＞0，log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(3－m )≠0，解得m ＝－1.10．求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 的值．其中x ∈R，y 是纯虚数． 解：设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ， 即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4.即x ＝－32，y ＝4i.层级二 应试能力达标1．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.2．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，∴m ＝－1.3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R)有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.4．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( )A ．k π(k ∈Z) B．2k π＋π3(k ∈Z)C ．2k π±π6(k ∈Z)D ．2k π＋π6(k ∈Z)解析：选D 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z，故选D. 5．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．解析：∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}． 答案：{0}6．若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R)，则b ＋a i ＝________.解析：根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴b ＋a i ＝－2＋i. 答案：－2＋i7．定义运算＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝，某某数x ，y 的值．解：由定义运算＝ad －bc ，得＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.8．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M，某某数a，b的值．解：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i.②由①，得a＝－3，b＝±2，由②，得a＝±3，b＝－2.综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.。
3．1.1 实数系
3．1.2 复数的概念
明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．
(2)复数集
①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C 表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩
⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件 设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .
[情境导学]
为解决方程x 2
＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一 复数的概念
思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
思考2 如何理解虚数单位i?
答 (1)i 2＝－1.
(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立．
(4)若i 2＝－1，那么i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.
思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？
答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部．
对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数．
①2＋3i ；②－3＋12
i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12
，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．
跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－2的虚数；
(2)虚部为－2的虚数；
(3)虚部为－2的纯虚数；
(4)实部为－2的纯虚数．
解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.
例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3
＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3
，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)复数z 是实数的充要条件是
⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2.
∴当m ＝－2时，复数z 是实数．
(2)复数z 是虚数的充要条件是
⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.
∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．
(3)复数z 是纯虚数的充要条件是
⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3
＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3.
∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．
反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝
m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且
m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.
(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且
m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.
(3)要使z 是纯虚数，m 需满足
m m ＋2m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.
探究点二 两个复数相等
思考1 两个复数能否比较大小？
答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．
思考2 两个复数相等的充要条件是什么？
答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．
例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .
解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝－y ，1＝y －3.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32，y ＝4.
反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充
要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪训练3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2
＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．
解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，
∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或
(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.
由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，
得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2
－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；
由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧ m 2
－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.
1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是(
) A.2，1 B.2，5 C ．±2，5 D ．±2，1
答案 C
解析 令⎩⎪⎨⎪⎧ a 2
＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b
＝5. 2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( )
A ．±1
B ．±i
C ．±2i
D ．±2i
答案 C
3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－1或1
答案 B
解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m m ＋1＝0m 2－1≠0，
∴m ＝0.
4．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－a i(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦2i是一个无理数．
其中正确命题的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
[呈重点、现规律]
1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．。
