21.1一元二次方程导学案(1)

第21章 一元二次方程21.1一元二次方程（1）学习目标：1． 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义； 2． 一元二次方程的一般形式及其有关概念；3． 使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式； 4． 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题 学习难点：建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

一． 学前准备：1．____________________________________________叫方程；_____________________________________________叫一元一次方程。

2．我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，利用一元一次方程解决实际问题的步骤是：二． 探究活动（一） 独立思考·解决问题1． 剪一块面积为1502cm 的长方形铁片，师它的长比宽多5cm ，这块铁皮该怎么剪呢？如果铁皮的宽为x （cm ），那么铁皮的长为_________cm. 根据题意，可得方程是：______________________2．6，求这两个数。

设其中较小的一个数位x ，请列出满足题意的方程__________________. 3．正方形的面积是22cm ，求它的边长？_______________________________________________.3． 矩形花圃一面靠墙，另外三面所围得栅栏的总长度是19m ，如果花圃的面积是242m ，求花圃的长和宽。

__________________________________________________________. （二） 师生探究·合作交流议一议：1.上面的方程有哪些共同的特点呢？你知道什么是一元二次方程了吗？2．结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗？3．20(0)ax bx c a ++=≠其中______叫做二次项，a 叫做______,bx 叫做_______,b 叫做_______.c 是常数项。

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２1。

1一元二次方程预习案一、预习目标及范围:1.理解一元二次方程的概念;2．知道一元二次方程的一般形式,会把一个一元二次方程化为一般形式；3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；4．理解一元二次方程根的概念.二、预习要点1.一元二次方程的概念等号两边都是,只含有一个(一元)，并且未知数的最高次数是(二次）的方程,叫做一元二次方程.概念解读:(1）等号两边都是整式；(２)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可。

２.一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax２+ｂx+c=0(a≠０）的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数; 是常数项．概念解读:（1）“a≠０”是一元二次方程一般形式的重要组成部分. 如果明确了ax2+bx ＋c=0是一元二次方程,就隐含了ａ≠０这个条件;（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,各项的系数包括它前面的符号．3．一元二次方程的根的概念使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

．概念解读：（１)一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解;(2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.三、预习检测程那些是一元二次方程?(1）.5x－2=x＋１(２)。

人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析《一元二次方程（1）》是人教版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。

一元二次方程是初中数学的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。

通过本节的学习，学生能够了解一元二次方程在实际生活中的应用，培养其解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程有一定的了解。

但在解一元二次方程方面，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步掌握一元二次方程的解法。

三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过合作交流，培养学生探究问题的能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。

2.难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，合作解决问题。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、教学辅助材料等。

2.学生准备：课本、练习本、文具等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义，呈现一元二次方程的解法，引导学生理解并掌握解法。

3.操练（10分钟）学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。

4.巩固（5分钟）对学生的练习进行讲解，解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际生活中的应用，让学生尝试解决实际问题。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调一元二次方程的定义和解法。

7.家庭作业（5分钟）布置一些一元二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。

新人教版九年级数学上册21 一元二次方程复习1导学案学习目标：能灵活选择解题方法正确熟练地解一元二次方程．重点：解一元二次方程．难点：解含有一个参数的一元二次方程．一、相关知识链接：一元二次方程的一般形式是：02=++c bx ax （a 、b 、c 是已知数，特别强调．．．．0≠a ）， 其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．练习1: 把一元二次方程3)4()3(2+-=-x x x x 化为一般形式为 ， 其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．练习2: （1）已知关于x 的方程()0122=-+-ax x a 为一元二次方程，则a 的取值范围是 ．（2）关于x 的一元二次方程043)2(22=+-+-m x x m 有一个解是0，则=m ．二、一元二次方程的解法：（1）解一元二次方程的基本思想是通过降次将其转化为一元一次方程.（2）常用的解法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.其中配方法和公式法适用于解任何一元二次方程．配方法的步骤：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是 ．其中△=ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式；① 当 042>-ac b 时，方程 的实数根；② 当 042=-ac b 时，方程 实数根； ③ 当 042<-ac b 时，方程 实数根；④ 当 时，方程有两个实数根。

（3）想一想：怎样选择合适的方法解一元二次方程？问题解决：练习1:1．方程0)5)(2(=+-x x 的解为 ． 2．方程())1(31-=-x x x 的解为 ．3．+-x x 42 =2______)(-x ．4．若关于x 的一元二次方程()0022≠=++a bx ax 的一个根为1-，则=-b a ． 5．已知一元二次方程042=++k x x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ．6．方程12-=k x 有两个实数根，则k 的取值范围是 ．练习2: 请你选择适当的方法解下列方程．．．．．．．： （1）02)1(2=--x ． （2）0232=+x x ． （3）0262=+-x x ．练习3：1．经过配方，方程0762=+-x x 可以变形为 （ ）A ．16)3(2=-xB ．2)3(2=+xC ．29)6(2=-xD ．2)3(2=-x 2． 不解方程，判别方程03532=+-x x 的根的情况是 （ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．已知m是方程42=-x x 的解，则代数式m m 2232+-的值是 （ ）A ．－3B ．－5C ．1D ．－1【课堂探究】问题1：解下列方程：（1）83752+=++x x x （2）1422+=x x问题2：已知：关于x 的一元二次方程022=+-n mx x ．（1）当2=m 时，方程有两个实数根，求n 的取值范围；（2）若n （0≠n ）是这个方程的一个实数根，且7=+m n ，求n 的值．问题3：已知关于x 的一元二次方程01)(2)1(222=+++-+b x b a x a ．（1）当2=b 时，方程有一个实数根为2，求a 的取值范围；（2）若此方程有实数根，当13-<<-a 时，求b 的取值范围．【课堂检测】1．一元二次方程x x 2332-=的一次项系数和常数项分别是 （ ）A ．2和－3B ．3 和－2C ．－3和2D ．3和22．方程02=+x x 的根是 （ ）A ．1-=xB ．01=x ，12-=xC ．01=x ，1=xD ．x x -=1，x x --=2 3．若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+--k x x k 的一个根为0，则k 等于 （ ）A ．1-=k 或1=kB ．1=kC ．1-=kD ．1=k4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 （ ）A ．12+=x xB ．0122=-+x xC ．022=+x xD ．02222=+-x x5．方程k x -=32有两个实数根，则k 的取值范围是 ． 6．解下列方程：（1）142+=x x ． （2）2275x x =+7．已知关于x 的一元二次方程)(2)2(2m x x m m x -=-+的两个实数根分别为1x ，2x ．（1）若方程有一个根是2，求m 的值；（2）若012>>x x ，且1242x x y -=，求y 的取值范围．。

x新人教版九年级数学上册：21．1 一元二次方程（1）导学案学习内容： 学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其相关的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式，并用这些概念解决问题．学习难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 学习过程：（阅读教材第2 至3页，并完成预习内容。

）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。

如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程 _____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。

根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。

列方程____________________________化简整理得 ____________________________ ③请口答下面问题：（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.这样的方程叫做一元二次方程 小结：一元二次方程的一般形式:____________________________ 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。

一元二次方程 课题： 21.1 一元二次方程 （1） 序号：学习目标：1、知识和技能：理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

2、过程和方法：经历自主学习的过程，会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

3、情感、态度、价值观：进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

学习重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

学习难点：由实际问题列出一元二次方程。

导学方法：课 时：导学过程一、课前预习：阅读课本P25-27的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。

二、课堂导学：1、导入在前面的学习中，我们已经认识了一些方程，并体会到利用方程可以分析和解决一些实际问题。

这节课我们带着具体的问题再来认识一种新的方程。

2、出示任务 自主学习阅读课本的有关内容，回答下列问题：1）尝试用方程分析解答课本中的问题1、2，并思考题中的等量关系是什么？2）观察化简后的方程有什么共同的特点？3）什么叫一元二次方程？4）一元二次方程的一般形式是什么？有什么规定？为什么这样规定？对b 、c 有要求吗？5）方程a x 2+bx +c=0(a ≠0)是一元二次方程吗？为什么？什么条件下它是一元二次方程？什么条件下它是一元一次方程？由此反思一个方程是否是一元二次方程应注意什么？6)认真阅读课本例题的解题过程，尝试完成课后练习1，并反思将方程转化为一般形式的方法。

3、合作探究1）要使02)1()1(1=+-+++x k x k k 是一元二次方程，则k=_______.2）已知关于x 的方程1222-=--x kx x k )(。

问当k 为何值时，方程为一元二次方程？当k 为何值时，方程为一元一次方程？三、展示与反馈：检查预习情况，解决学生疑惑。

四、学习小结：1、一元二次方程的定义只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

21.1 一元二次方程（第 1 课时）一、学习目标1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、学习重点、难点重点：建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。

难点：在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。

三、学习过程1.回答以下问题。

（ 1）一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有个求知数（一元），并且求知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（ 2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：(a≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项。

2．新课应用 :1、下列方程是一元二次方程的是有：（ 1），（2） (x+1)(x-1)=0，2x2110，（5），（ 6）2x2 3 y 5 0（ 3），（ 4）x2、一元二次方程4x 2x25x 1 化为一般形式是：；其二次项是：；一次项是：；常数项是：.3、若(m3)x n23nx30 是关于x的一元二次方程，则（） .A m≠0， n=3B m≠3， n=4C m≠0， n=4D m≠3， n≠04、已知：关于 x 的方程k2 1 x2k 1 x20 .（ 1）当 k 取何值时，此方程为一元一次方程.（ 2）当 k 取何值时，此方程为一元二次方程.四、达标过关测试1. 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（） .A . 3 x 12 2 x 1B .11 2 0 C. ax2bx c 0 D. x22x x 21x 2x2．一元二次方程(13x)( x3) 2 x21化为一般形式为：，二次项系数为：___，一次项系数为：____，常数项为：_____.3．关于 x 的方程(m1)x 2(m1)x3m20 ,当 m________时为一元一次方程；当m ___________时为一元二次方程 .4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16 元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为 x ，则根据题意可列方程为．21.1 一元二次方程（第2 课时） ----一元二次方程的根一、学习目标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。

新人教版九年级数学上册21.1 一元二次方程导学案学习目标1、理解一元二次方程的概念；2、掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项；3、理解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目学习重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．学习难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。

学习过程探索新知问题1 要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?问题 2 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？小组合作列出满足条件的方程问题1：问题2：问题3：议一议：上面三个方程与一元一次方程有什么区别？它们有什么共同点？类比一元一次方程给一元二次方程及一元二次方程的解（也叫根）下一个定义:一元二次方程：（三个要素）一元二次方程的根：归纳：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0）．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．思考：为什么规定a≠0？跟踪练习：1、指出下列方程，哪些是一元二次方程？（1）-x2＝0 (2) 3x2-5x=0 (3)2x2－5xy＋6y＝0 (4)212103x x--=（5） 2102y += （6）7x212=； 2(7)10mx nx ++= 2、3、4、若关于x 的方程(k －3)x 2 ＋ 2x －1＝0是一元二次方程，则k5、议一议：下列哪些数是方程2120x x +-=的解？-4，-3，-2，-1, 0, 1, 2, 3, 46、已知x=2是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m=7、方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？当堂达标1、 下列关于x 的方程是否是一元二次方程？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：． 032)1(2=++x ax023)2(2=+mx x222(3)(1)8210(4)(1)2(5)2(5)74m x mx m b x bx b tx x tx----=+-+=-=-2、当m 取何值时，方程||1(1)230m m xmx +-++=是关于x 的一元二次方程？ 3、若一元二次方程20ax bx c ++=有一个根为1，则a b c ++= ；若0a b c -+=，则方程必有一根是据题意，设出恰当的未知数列出方程，并化为一般形式⑴两数的差为2，平方和为52，求这两个数。

22．1 一元二次方程一、学习目标1、正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；2、知道一元二次方程的一般形式是20(ax bx c a b c ++=、、是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；3、理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件；4、通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。

重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．二、知识准备1、只含有_____个未知数，且未知数的最高次数是_______的整式方程叫一元一次方程2、方程2（x+1）=3的解是____________3、方程3x+2x=0.44含有____个未知数，含有未知数项的最高次数是_____，它____ （填“是”或“不是”）一元一次方程。

三、学习过程1、 根据题意列方程：⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。

设正方形桌面的边长是x m ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知 数，未知数的最高次数是_____。

⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡， 求花园的长和宽。

设花园的宽是x m,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x (19－2x )=24，去括号， 得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是 ________。

⑶如图，长5m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m 。

若梯子底端向右滑动的距离与 梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。

设梯子滑动的距离是x m ，根据勾股定理，滑动之前梯子的顶端离地面4m ，则滑动后梯子的 顶端离地面（4－x ）m ，梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。