《用适当方法解一元二次方程》导学案

第二十一章一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.2的平方的长方形?解：设长方形的长为xx)m.根据题意，得xx)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2x=±2.即方程的另一个根为-2.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离 ？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流 探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。

21.1一元二次方程(1)学习目标：1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般式，确定各项系数;2.灵活应用一元二次方程的概念解决有关问题;3.理解一元二次方程的解的概念，并能解决相关问题 .学习重点：一元二次方程的相关概念及应用．学习难点：一元二次方程的相关概念及应用．【回顾旧知】问题：什么是一元一次方程？练习：1.下列方程是一元一次方程的有 .(填序号)(1)123-=+x x ； (2) x y x 25-=+； (3)0542=--x x ； (4)123=+x ； (5)()为常数m mx 02=+； (6)322=+y x . 2.若()031=++m x m 是一元一次方程,则m= .【探究新知】一．一元二次方程的定义和一般形式定义： . 一般形式： .【注】：例1：判断下列方程是不是一元二次方程，如果不是，请说明理由.（1）12-=x ； （2）01=+xy ； （3）3212=+x x ； （4）()1232-=+x x x x ； （5）()21x x x =+； （6）()为常数m x mx 012=++.【注意】： .练习：1.若关于x 的方程2232x x mx =+是一元二次方程，则m .2.若关于x 的方程()04222=-+--x x m m 是一元二次方程，则m = .例2：把方程()()12323=-+y y 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.练习: 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项、一次项和常数项.（1）()0122=--x x ； （2）()()()1313322-+=+x x x变式训练：已知一元二次方程()()01142=++-+c x b x 化成一般形式为02342=++x x ， 若a,b,c 是直角三角形的三边长，试求a 的值.二．一元二次方程的解（根）定义: . 例3: 若关于x 的一元二次方程()045222=-+++m x x m 有一个根为0=x ，求m 的值.练习：1.方程01242=-+x x 的根为 ( )A. -2B. 2或 -6C. 6D. -2或62.若()0≠=c c x 是关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的根，则=+b c . 例4：若m 是方程012=-+x x 的根，(1)=--m m 222 ;(2)=-m m 1 ; (3)求2017223++m m 的值.练习：已知a 是方程0120182=+-x x 的一个根，求12018201722++-a a a 的值.【总结归纳】本节课主要学习了哪些内容？你有什么收获？还有哪些困惑？【当堂检测】1．已知方程：①;0322=-x ②;1112=-x ③;0131212=+-y y ④;022=++c y ay ⑤;5)3)(1(2+=-+x x x ⑥.02=-x x 其中是一元二次方程的有 （只需填序号）．2．若方程2243x x mx =-+是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 .3．方程x x 212=-化成一般形式为 ， 二次项系数为 ， 一次项系数为 ，常数项为 ；4．已知关于x 的方程01322=+-kx x 有一个根为2，则k 的值是 ．5．若a 是方程0152=+-x x 的一个根，求221aa +的值.。

一元二次方程的运用（一）设计人: 李华平授课班级: 九（13）班课型：新授审核人：【课标要求】1、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

【学习目标】1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。

2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

【重点】掌握运用方程解决实际问题的方法。

【难点】构建数学模型解决实际问题。

课前预习纲要请同学们回顾七年级列一元一次方程解决实际问题的步骤，想一想，与同桌共同完成下列各题：1．一个三位数，百位上是a，十位上是b，个位上是c，则这个三位数是（）．A．abc B．a+b+c C．100a+10b+c D．cba2．一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，•把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．设原来这个两位数的个位数字为x，则十位字为：。

；则列方程得：。

3、用22cm长的铁丝，折成一个面积为32cm2的矩形。

求这个矩形的长与宽。

设这个矩形的长为xcm，则宽为。

根据题意得方程：。

4、如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？若设每条道路的宽度为课堂学习探究纲要一、创设情境导入新课（1分钟）问题导入：1、填空：56=5×+ ；246=2×+4×+ ；2、若一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为：。

二、明确学习目标（略30秒）三、预习检测：预习纲要四、自主探究合作释疑【自主学习】：请同学们结合课本31页，图2-2梯子下滑的问题所列的方程，选择适合你的解法求出梯子下滑的距离。

一元二次方程的解法导学案3-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN主备人用案人授课时间月日总第课时课题课型新授课教学目标1、用公式法解一元二次方程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况重点一元二次方程根与系数的关系难点由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值教法及教具讲练结合教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一、情境创设不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8 = 0 ⑵x2 = 4x－4 ⑶x2－3x = －3二、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢例解下列方程：⑴x2＋x－1 = 0 ⑵x2－23x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b2－4ac的值可以发现它的符号决定着方程的解。

由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；程实数根得b2－4ac = 0，从而得到关于m的方程，求出m的值。

四、课堂练习1、P91练习 1、22、当k为何值时，关于x的方程k x2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？五、课堂小结一元二次方程根与系数有什么样的关系板书设计（用案人完成）当堂作业课外作业教学札记。

《解一元二次方程的程序》导学案第一课时一、导学目标：1. 理解一元二次方程的定义和特点。

2. 掌握一元二次方程的解法和步骤。

3. 学会运用程序进行一元二次方程的求解。

二、导学内容：1. 一元二次方程的定义和特点2. 一元二次方程的解法和步骤3. 程序求解一元二次方程的方法三、导学步骤：1. 引入问题：小明购买了一件衣服，原价为100元，但通过打折后实付80元，求原价和打折率分别是多少？2. 提出问题：如何利用一元二次方程来解决这个问题？3. 分析问题：我们可以设原价为x元，打折率为p，根据题意列出方程组：x = 100，(1-p)x = 80。

4. 解决问题：利用程序编写来求解这个一元二次方程。

5. 总结归纳：通过程序求解一元二次方程的方法，我们可以更快、更准确地获得答案。

四、练习题目：1. 解方程x^2 + 3x - 4 = 0。

2. 某地有公共自行车500辆，一年后增至580辆，增长率为多少？3. 一个矩形的长是宽的2倍，周长为24米，求矩形的长和宽。

五、拓展练习：1. 请设计一个程序，能够用户输入一元二次方程的系数，然后求解并输出方程的根。

2. 利用程序解决以下问题：若一批商品原价为x元，折扣为p，若打完折实付为y元，则x、p、y之间的关系是什么？六、思考延伸：1. 一元二次方程在生活中的实际应用有哪些？2. 如何利用程序解决更复杂的一元二次方程问题？3. 一元二次方程的解法和程序求解方法有何异同之处？通过本导学案的学习，相信同学们能够更深入地理解一元二次方程的解法和程序求解方法，提高数学解题能力和程序设计能力。

愿大家在学习中有所收获，进步更上一层楼！第二课时一、学习目标1. 理解一元二次方程的概念及解法；2. 掌握一元二次方程的求根公式及应用；3. 能够用程序解一元二次方程。

二、学习内容1. 一元二次方程的定义和基本形式；2. 一元二次方程的解法：求根公式；3. 编写程序解一元二次方程。

2.2一元二次方程的解法3
班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿ 第＿＿小组
【课前尝试预学，课中尝试交流】
1. 用配方法解一元二次方程x 2+px =-q 时，应在方程两边同时加上一次项系数 的平方，即同时加上 .
2. 填空：3x 2-9x + =3(x - )2.
3. 用配方法将方程x 2+8x -1=0配方成a (x +m )2=k 的形式为 .
4．用配方法解关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，此方程可变形为………………（ ） A. 44)2(2
2m n m x -=+ B. 4
4)2(22n m m x -=+ C. 24)2(22n m m x -=+ D. 2
4)2(2
2m n m x -=+ 5．用配方法解方程：x 2+2x -2=0.
6．用配方法解下列方程。

（1）2x 2-x -1=0 （2）3x 2+8x -3=0
7．配方法的基本步骤
(1) 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，在方程两边同时除以 ，就化归为二次项系数为1的一元二次方程；
(2) 将 移项至方程右边；
(3) 方程的两边同加上 的平方；
(4) 当方程右边为非负数时，可用因式分解法或 法解出方程的根.
【课中尝试提高题】
8．用配方法解方程2x2-x-1＝0时,配方结果正确的是() (A)(x-)2＝
. (B)(x-
)2＝.
(C)(x-)2＝
. (D)(x-
)2＝
. 9．已知9x2+18(n-1)x+18n是完全平方式,求常数n的值.
【尝试梳理】梳理一下这节课你学到的知识，并说说你的困惑.。

一元二次方程导学案第二十二章一元二次方程一元二次方程学习目标：会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。

准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知自学课本25页问题1、问题2，并完成下列各题：问题1可列方程整理得②问题2可列方程整理得③一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

一块面积是150c长方形铁片，它的长比宽多5c,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。

展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

其中为一元二次方程的是：【我学会了】只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。

自主探究：自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

【巩固练习】教材第27页练习归纳小结本节课我们学习了哪些知识？学习过程中用了哪些数学方法？确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？作业判断下列方程是否是一元二次方程;将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：x2－x=2；7x－3=2x2;－3x=02x=3－4.判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；±1±2；±2，±4把方程的一个根,求代数式XX的值关于x的一元二次方程x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值三、总结反思，自查自省选择题．方程x=2的两根为．A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1c．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=2．方程ax+=0的根是．A．x1=b，x2=aB．x1=b，x2=c．x1=a，x2=D．x1=a2，x2=b2．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根，则=．A．1B．-1c．0D．2填空题．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．．已知方程5x2+x-6=0的一个根是x=3，则的值为________．．方程2+x=0，那么方程的根x1=______；x2=________．综合提高题．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求2+4ab的值．．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．。

用配方法解一元二次方程导学案（第一课时）主备人：刘凌云审核人：学习目标：1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型,增强学生运用数学的意识和能力．3．体会转化的数学思想方法．4．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．学习重点、难点重点：利用配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程通过配方转化为（x＋m）2＝n(n≥0)的形式．一、课前预习（提出实际问题，让学生用数学知识解决问题）用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台，若要长比宽多2米，那么舞台的长和宽，该如何确定的呢？设计意图：利用现实生活问题，不仅能够生动自然引出我们要解决的数学问题，更重要的是学生们感兴趣，可以激发他们的热情，为下一步探究营造了轻松愉悦的氛围。

若想求出舞台的长和宽，需解方程x2 + 2x-24=0 （学生解方程有困难，教师需引导。

）前面我们可求出了x2 + 2x-24=0方程中x的近似值，你能求出它的精确值吗？今天就学习用配方法解一元二次方程．二、课内探究1．自主学习师：你都会解哪些简单的一元二次方程？（请同学自由回答）生：例如x2=4 (x+3)2=9x=±2 x+3=±3x1=0 x2= - 6师：形如x2=4、(x+3)2=9 的一元二次方程有什么特点呢？你是如何解它们的？（独立思考后，与同桌互相交流）生：方程都可以写成(x+m)2=n(n≥0) 的形式。

两边开平方便可求出方程的解。

2．合作探究师：方程x2+8x-9=0 该如何解呢？（停顿，留给学生时间思考。

若仍没有学生想到办法，教师进一步引导。

）师：方程x2+10x＋25=16(x+5) 2 =16x+5=±4x1= -1 x2= - 9师：看来将一个一般形式的一元二次方程,转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式利用开平方法就可以求解。

《一元二次方程的解法》导学案一、学习目标1、理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式。

2、熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。

3、能根据方程的特点，灵活选择合适的解法，提高解题能力。

二、学习重难点1、重点（1）一元二次方程的四种解法。

（2）选择合适的方法解一元二次方程。

2、难点（1）配方法的理解和运用。

（2）公式法中求根公式的推导和应用。

三、知识回顾1、什么是方程？含有未知数的等式叫做方程。

2、我们学过哪些方程？一元一次方程、二元一次方程等。

四、一元二次方程的概念1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。

2、一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a≠0$），其中$ax^2$是二次项，＄a$是二次项系数；＄bx$是一次项，＄b$是一次项系数；＄c$是常数项。

五、一元二次方程的解法1、直接开平方法（1）适用条件：方程形如$x^2 ＝ p$（＄p≥0$）或$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n≥0$）。

（2）解法：对于$x^2 ＝ p$，直接开平方得$x ＝ ±＼sqrt{p}＄；对于$（x ＋ m)＾2 ＝ n$，开平方得$x ＋ m ＝ ±＼sqrt{n}＄，即$x ＝ m ±＼sqrt{n}＄。

例如：解方程$x^2 ＝ 9$，解得$x ＝ ±3$；解方程$（x 2)＾2 ＝16$，＄x 2 ＝ ±4$，＄x ＝ 2 ± 4$，即$x_1 ＝ 6$，＄x_2 ＝－2$。

2、配方法（1）步骤：①移项：把常数项移到方程右边；②二次项系数化为 1：方程两边同时除以二次项系数；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④写成完全平方式：＄（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式；⑤直接开平方求解。

例如：解方程$x^2 ＋ 4x 5 ＝ 0$移项得：＄x^2 ＋ 4x ＝ 5$二次项系数化为 1 得：＄x^2 ＋ 4x ＋ 4 ＝ 5 ＋ 4$配方得：＄（x ＋ 2)＾2 ＝ 9$开平方得：＄x ＋ 2 ＝ ±3$解得：＄x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝－5$3、公式法（1）求根公式：对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a≠0$），其求根公式为$x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。

【九年级】用一元二次方程解决问题导学案4.3用一元二次方程解决问题（1）班名和学号学习目标1.进一步了解方程是描述客观世界的有效模型，2.通过对实际问题的决实际问题的过程，知道解的一般步骤和关键所在学习重点：理解不平等学习难点：字语言转化为数学不等式教学过程一、情境引入：长方形公园周围的围栏长280米。

据了解，公园面积为4800平方米。

请询问公园的长度和宽度二、探究学习：1.试试：通常用一元一次方程解决实际问题要经历怎样的过程？2.总结用方程解决实际问题的一般步骤为：找相等关系；设未知数，列方程，解方程，检验，答题。

3.典型示例：例1、我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元，如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于今为500元。

a公司组织员工分批前往龙湾景区。

目前计划用2.8万元组织首批员工出行。

这次旅行可以安排多少人参加？例2、建造一个池底为正方形、深度为2米的长方体无盖水池，池壁的造价为100元/平方米池底造价200元/平方米，总造价6400元。

找到方形池底的长度。

例3、两个连续奇数的积是323，求这两个数。

4.巩固工作：（1）在三位数345中，3，4，5是这个三位数的什么？（2）如果a、B和C分别代表百位、十位和一位数字，这三位数字可以用ABC格式写吗？为什么？（3）有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原的数就得到1855，求原的两位数。

（4）假设两个数之和为12，乘积为32，那么这两个数是（5）求x:(x-1)=(x+2):3中的x.（6）三个连续整数乘以二，然后求和得到362。

找到这三个数字。

三、归纳总结：1.列出了用一元二次方程解决实际问题的一般步骤2、解的取舍情况.4.3用一元二次方程解决问题（1）【后作业】班名和学号1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%,若每年下降的百分数相同,则这个百分数为（）a、 10%b、20%c、120%d、180%2、若两个连续整数的积是56,则它们的和是()a、±15b、15c、-15d、113、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是。

选择合适的方法解一元二次方程【学习目标】1．理解并掌握用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．2．能结合具体方程灵活选择合理的方法求解．3．通过知识之间的相关联系，培养学生用发展的眼光分析问题和解决问题的能力，树立转化的思想．【学习重点】选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便．【学习难点】理解各种解法的区别与联系。

情景导入生成问题回顾：1．我们已经学习了哪几种解一元二次方程的方法？说说各有什么特点？解：我们已经学过的一元二次方程的解法有配方法、公式法、因式分解法．因式分解法：右化为0，左分解，再利用pq＝0，则p＝0或q＝0.配方法：先把方程中二次项系数变为1，左边加一次项系数一半的平方，配成一个完全平方式后，再求解．公式法：当b2－4ac的值为非负数时，可用求根公式求解，当b2－4ac小于零，无实根．2．解一元二次方程的基本思路是什么？解：将一元二次方程转化为两个一元一次方程，即降次．自学互研生成能力知识模块一观察方程特点，寻找解一元二次方程的最佳方法阅读教材P40的“议一议”，完成下面的内容：你打算用什么方法解下列一元二次方程？并简要说明理由．①(2x＋1)2＝3根据平方根的意义解；②t2－3t＝0因式分解法；③y2－6y＋1＝0公式法或配方法；④(5x－1)2＝3(5x－1)因式分解法．归纳：(1)若给定的方程易化为(mx＋n)2＝a(a≥0)的形式，可根据平方根的意义解一元二次方程；(2)若给定的方程易于因式分解，可用因式分解法；(3)公式法和配方法适合所有一元二次方程，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙．思考：怎样才能找到解一元二次方程的最佳方法？【例1】解一元二次方程x2＋x－3＝0最合适的方法是( D)C ．配方法D ．公式法 教师点拨：在解一元二次方程时，首先考虑的是根据平方根的意义解一元二次方程；其次考虑因式分解法，因为这种方法最快捷；再次考虑配方法和公式法．而在使用平方根的意义求解和因式分解法时，经常用到整体思想． 知识模块二 选择适当的方法解一元二次方程阅读教材P 40例9～P 41，完成下面的例2【例2】 用适当的方法解下列方程：(1)4x 2－3x ＝0； (2)3(x ＋1)2＝3.63；解：原方程可化为 解：原方程可化为x(4x －3)＝0. (x ＋1)2＝1.21.x ＝0或4x －3＝0, x ＋1＝±1.1，∴x 1＝0，x 2＝34. ∴x 1＝0.1，x 2＝－2.1. (3)x 2＋4x －1＝0; (4)x 2－5x ＋1＝0.解：原方程可化为 解：b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×1＝21，x 2＋4x ＋22－22－1＝0. ∴x＝5±212×1＝5±212， (x ＋2)2＝5, ∴x 1＝5＋212，x 2＝5－212. ∴x ＋2＝±5，∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(5)(x －5)2－4(x －5)(3－x)＋4(3－x)2＝0.解：原方程可化为[(x －5)－2(3－x)]2＝0∴[(x －5)－2(3－x)]＝0，即3x －11＝0.∴x 1＝x 2＝113. 教师点拨：在解一元二次方程时，应注意：①我们应当仔细观察方程的形式和系数特点，选取合适的方法解一元二次方程，有利于减少计算量，从而提高计算的正确性．②在用公式法求解时，须先计算b 2－4ac 的值，若它小于0，则此方程无实根．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 观察方程特点，寻找解一元二次方程的最佳方法知识模块二 选择适当的方法解一元二次方程检测反馈 达成目标1．解方程(3x －2)2＋(2－3x)＝0，最佳方法是( B )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法2．解一元二次方程2x 2＋5x ＋1＝0最合适的方法是( D )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法3．已知代数式3－x 与－x 2＋3x 的值互为相反数，则x 的值是(A ) A ．－1或3B ．1或－3C ．1或3D ．－1或－34．请选择合适的方法填在横线上．(1)解方程x 2＝23x ，用因式分解法较合理；(2)解方程7x 2－127＋2＝0，用公式法较合理；(3)解方程x 2－2x －1999＝0，用配方法较合理；(4)解方程16(x －1)2＝9，用直接开方法较合理．5．用适当的方法解下列方程．(1)4(x －2)2－36＝0；解：x 1＝5，x 2＝－1.(2)3x(2x ＋1)＝(1＋2x)(2＋x)；解：x 1＝－12，x 2＝1.(3)x 2－23x ＋1＝0； 解：x 1＝3＋2，x 2＝3－ 2.(4)(2x －1)2＝x 2＋4x ＋4.解：x 1＝3，x 2＝－13。

一元二次方程因式分解法选择合适的方法解一元二次方程导学案
一、新课导入
1.导入课题：
(提问)我们已经学习了哪些降次的方法解一元二次方程呢？ (追问)哪种运用方法解一元二次方程最简单呢？（板书课题）
2.学习目标
能选用合适的方法解一元二次方程.
3.学习重、难点：
重点：选择合适的方法解一元二次方程．
难点：选择合适的方法.
4.自学指导
（1）自学内容：选择合适的方法一元二次方程.
（2）自学时间：15分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①直接开平方法适用于哪种形式的方程？；
配方法适用于哪种形式的方程？；
公式法适用于哪种形式的方程？；
因式分解法适用于哪种形式的方程？ .
②前面这些解法各有什么优缺点？
③解一元二次方程的基本思想是什么？
④选择适当的方法解下列方程：
2x2-4x+1=0； (2x-1)2=x(3x+2)-7；
x2+2x-35=0； (x-1)2+2x-3=0；
x2-6x+9=(5-2x)2； x(2x+1)=8x-3.
二、自学：学生可参考自学指导进行自学.。

2.3 用公式法求解一元二次方程(一)导学案【学习目标】1、在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力2、能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.3、通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

学习流程： 【课前展示】用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算,也可以提前发导学案课前完成。

由学生总结用配方法解方程的一般方法 【自学导航】 自主推导求根公式。

提出问题：解一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a ≠0)解：两边都除以一次项系数:a 02=++ac x ab x问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：配方:加上再减去一次项系数一半的平方4)2(2222=+-++aca b a b x a b x 即:44)(222=--+a acb a b x 22244)(a ac b a b x -=+ 问：现在可以两边开平方吗？ 答：问：什么情况下 04422≥-aac b答：∴当b 2-4ac ≥0时，两边开平方取“±” 得：2244a ac b a b x -±=+ aac b a b x 242-±=+aac b a b x 242-±-= aac b b x 242-±-=问：如果b 2-4ac<0时，会出现什么问题？ 答：如果b 2-4ac=0呢？ 答;对于一元二次方程02=++c bx ax（0≠a ），当042≥-ac b 时，它的根是：，这个式子称为一元二次方程的求根公式。

用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 【例题训练】 解方程【归纳】（1）你能解一元二次方程x 2-2x+3=0的解吗？你是怎么想的？ （2）对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ），当042<-ac b 时，它的根的情况是怎样的？与同伴交流结论：对于一元二次方程02=++c bx ax（0≠a ）（1）当b 2-4ac>0时，方程有 的实数根；（2）当b 2-4ac=0时，方程有 的实数根； （3）当b 2-4ac<0时，方程 实数根。

第7 课时教学后记：第8－9 课时课题一元二次方程根与系数的关系课型新授课教学目标1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。

2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从发现问题，发现关系的过程。

3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。

教学重点启发学生，观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。

教学难点对根与系数这一性质进行应用。

教学方法合作探究法教学内容及过程备注一、提出问题解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？（1）x2－2x＝0；（2）x2＋3x－4＝0；（3）x2－5x＋6＝0二、尝试探索，发现规律1、完成如上表格。

2、猜想一元二次方程的两个解的和与积和原来的方程有什么联系？小组交流。

同学各抒已见后，老师总结：两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数，两个根的积等于一元二次方程的常数项。

第10 课时第11 课时教学内容及过程备注一、复习提问1、列方程解应用题的一般步骤是什么？2、说一说，菱形的面积与它的对角线长有什么关系？二、例题讲解例1展示教材P22例4。

（1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；（2）确定本题的等量关系是：菱形的面积＝1/5矩形面积；（3）引导学生根据题意设未知数；（4）引导学生根据等量关系列出方程；（5）引导学生求出所列方程的解；（6）检验所求方程的解的合理性；（7）根据题意作答；（8）教师板书解题过程。

例2如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。

解：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于厘米，宽等于厘米，底面= 。