常数项级数的敛散性判别的一些方法摘要 常数项级数的敛散性的判别是数学分析中无穷级数的内容,基于审敛准则,其判别方法多样,且具有技巧性.本文参考了已有的相关文献,归纳总结后结合实例,由不等式的利用、Taylor 展开式、等价量法、对数判别法、拆项法等方法来判别级数敛散性.关键词 级数;收敛;发散.Abstract:This paper presents several methods and techniques,including inequalities, Taylor expansions, equivalent variables, and logarithmic criterion ,for testing the convergence of a constant-term series.Key words:series of constant-term series; convergence; divergence.正文常数项级数的敛散性判别也算得上是数学分析中的一个小难点,这是由于级数的敛散性是直接与数列的极限联系在一起.未学级数之前,我们先学习了数列,也学习了如何求数列的极限.我们可以体会到在求数列的极限时,会遇到一定的障碍,更不用说是级数.但同学们不必担心,如同求数列极限一样,判别级数收不收敛的方法多样.基于它的审敛准则,结合一些方法与技巧,对级数收敛的判别就不会有太大问题.在解决了常数项级数收敛与否的问题之后,我们才能更深入探究其它级数的其它性质.首先,将正项级数的审敛准则的内容列出: 定理1.1 正项级数∑∞=1n na收敛的充要条件是它的部分和数列有上界.定理1.2 （比较准则I ）设∑∞=1n na和∑∞=1n nb是两个正项级数,并且.,n n b a N n ≤∈∀+(1)若∑∞=1n nb收敛,则∑∞=1n na收敛; (2)若∑∞=1n na发散,则∑∞=1n nb发散.定理1.3 (比较准则II) 设∑∞=1n na和∑∞=1n na是两个正项级数,并且,0,>∈∀+n b N n).(lim∞+=∞→有限或λnnn b a(1)若0>λ,则两个数列同时收敛或同时发散; (2)若0=λ,且∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na收敛;(3)若+∞=λ,且∑∞=1n nb发散,则∑∞=1n na发散.定理1.4（积分准则） 设∑∞=1n na为一正项级数.若存在一个单调递减的非负连续函数),0[),1[:+∞→+∞f ,使n a n f =)(,则级数∑∞=1n n a 与无穷积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.定理1.5（D'alembert 准则） 设∑∞=1n na为正项级数,0>n a ,并且).(lim1∞+=+∞→有限或λnn n a a(1)若1<λ时，则∑∞=1n na收敛；(2)若1>λ（含+∞=λ时），则∑∞=1n na发散.定理1.6（Cauchy 准则） 设∑∞=1n na为正项级数,λ=∞→n n n a lim (有限或∞+).（1）若1<λ时，则∑∞=1n na收敛;（2）若1>λ（含+∞=λ时），则∑∞=1n na发散.正项级数的所有审敛法则都适用于负项级数,其实只要将负项级数的负号提出,就转化为对正项级数的讨论.其次是变号级数的审敛准则:∑∞=--+-++-+-=-1143211...)1(...)1(n n n n n a a a a a a ,其中)(0+∈>N n a n ,称为交错级数.定理2.1 (Leibniz 准则) 设1,++≥∈∀n n a a N n ,且0lim =∞→n n a ,则交错级数n n n a ∑∞=--01)1(收敛.且 1+≤=-n n n a R S S . 定理2.2(绝对收敛准则) 若级数∑∞=1n na收敛,则级数∑∞=1n na收敛.若绝对值级数∑∞=1n na收敛,则称级数∑∞=1n na绝对收敛;若级数∑∞=1n na收敛,但其绝对值级数∑∞=1n na发散,则称∑∞=1n na条件收敛.有了这些基础知识作为铺垫,现在我们进入对一些方法的探讨.1.不等式的利用在此我们常用到的不等式有以下几种：（1）x x <ln ;（2）x x <+)1ln(;（3）x e x +>1;（4）)(2221b a ab +≤ 个人认为,前三个不等式大家都用得比较熟练,最后一个不等式不太能在做题时想到.对于些题目看似很复杂,但利用不等式后就会豁然开朗.此处是将原数放大,主要运用比较准则. 例1 0>k ,且∑∞=12n n a 收敛,证明kn a n n n+-∑∞=21)1(绝对收敛?(此题利用了不等式,轻松地证明了此题.) 解：)1(22212kn a kn a n n ++≤+又 ∑∞=12n n a 、∑∞=+121n kn 收敛,则kn a n n +∑∞=21收敛,故kn a n n n+-∑∞=21)1(绝对收敛.例2 判别级数∑∞=+⋅1)1ln 1(n n n n的敛散性. 解：利用不等式x x <ln 有1111ln 11ln 1+⋅-<+⋅-=+⋅=n n n n n n n n u n 因为∑∞=+⋅1)111(n n n 收敛,故∑∞=+⋅1)1ln 1(n n n n 收敛. 2.等价量法等价量法实际上应用的就是无穷小或大的等价代换,方法简单易掌握,同样也是一种放大缩小的应用. 例3.判别级数∑∞=+-11)11(2n n n的敛散性.可利用等价代换,但这里先将原式前项改写为xe 的形式.解： 当∞→n 时，1112-+n n=112ln -+n n n e≈12ln +n nn 231n<.而∑∞=1231n n收敛,故由比较审敛法知原级数收敛.3.Taylor 展开式Taylor 展开式看似与级数完全不沾边,但它"该出手时就出手".如下例: 例4.判别级数∑∞=+⋅1))11((n nn e 的敛散性. 解： ))(()1ln(2122111)11(nn n n o n n n n e e e e n e u +-+⋅=⋅=+⋅=≈ne n o n e 2))]1(211(1[≈+-- ∴原级数发散 4.对数判别法此方法对判别“幂指型”或含“n ln ”级数很有效.首先介绍一下这个定理：定理（对数判别法） 设∑∞=1n nu为正项级数,若有0>α，使当0n n ≥时, α+≥1ln 1lnn u n(5) 则∑∞=1n n u 收敛;若0n n ≥时,1ln 1ln≤n u n(6) 则∑∞=1n n u 发散.证明如下:若0n n ≥时,不等式(5)成立,则α+≤11n u n .由于级数∑∞=+111n nα收敛,所以∑∞=1n nu收敛.同理可证当不等式(6)成立时,∑∞=1n nu发散.例5.判别级数)1()ln (ln 11ln >∑∞=n n n n的敛散性. 解：)]ln[ln(ln ln ])ln ln[(ln ln 1lnln n nn n u n n == .对0>α,必存在0n ,使当0n n ≥时, α+≥1)]ln[ln(ln n , 故原级数收敛.例6.判别级数)1(21ln >∑∞=a a n n n的敛散性.解：a nn n a n n n a n u nnn ln ln 2ln ln ln ln 2ln ln 2ln ln 1lnln -⋅=⋅-== 由L'Hospital 法则知,+∞=-⋅=-⋅=-⋅+∞→+∞→+∞→)ln 11(lim 2ln )ln ln (lim 2ln )ln ln 2(ln lim a xa x x a xx x x x .故对0>α,存在0n ,使当0n n ≥时,α+≥-⋅1ln ln 2ln a nn, ∴原级数收敛. 5.拆项法有一种应用广泛,形式多变,方便灵活的方法,即将一般项通过等价变换、有理化、三角函数基本公式等拆成几项之差,大大降低了难度,解决了无从下手的窘境.这也是一种常见的方法,容易掌握.例7.判别级数∑∞=⋅122sin )sin(n n n n αα的敛散性. 解：n n n n n n ααααsin )sin(sin )sin(2222⋅=⋅ 而2221)sin(n n n ≤α ∑∞=∴122)s i n (n n n α收敛;而对于∑∞=1sin n n α,当παk =时收敛,当παk ≠时发散. 综上可知,原级数当当παk =时收敛,当παk ≠时发散.例8.判断级数∑∞=+122)sin(n n a π的敛散性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?解： )sin()1())(sin()sin(222222n n a n n a n n a a n n -+-=-++=+=πππnn a a n++-=222sin)1(π ,得到一个交错级数则易知级数收敛,但其绝对值级数发散. 故原级数条件收敛.6.Cauchy 积分法即定理1.4（积分准则）,利用的就是级数∑∞=1n n a 与无穷积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.就此举一例如下:例9.判别级数)0()(ln 12>∑∞=p n n n p的敛散性.解：不论p 为何数,当x 充分大时,设函数px x x f )(ln 1)(=,则)(x f 在),2[+∞上都是非负递减的.满足积分准则的条件.当1=p 时,无穷积分+∞==∞++∞⎰22ln ln ln x x x dx ,故发散, 1,1)2(ln 1>--p p p, 当1≠p 时,=-=∞+-+∞⎰212)(ln 11)(ln p p x p x x dx1,<∞+p . 因此,仅当1>p 时,)0()(ln 12>∑∞=p n n n p收敛.故原级数当1>p 时收敛,当1≠p 时发散.7.检比法与检根法.即D'alembert 准则与Cauchy 准则.但无论是检比法还是检根法,当1=λ时，级数的敛散性都没有确定的结论,此时就需要采用上述的其他方法来判断.总结本文主要是通过归纳总结将常数项级数的审敛准则与方法及例题放在一起,希望会对同学们关于级数敛散性的入门学习起到辅助作用.其实方法还不止上述所列出的几种,文中未包含的还有高斯参考文献[1]工科数学分析基础.上册/王绵森,马知恩主编,2版.—北京：高等教育出版社,2006.2[2]华东师范大学数学系.数学分析（下）[M].2版.北京:高等教育出版社,1991:17- 19.[3]费定晖,周学圣,郭大钧,等.吉米多维奇数学分析习题集题解(四) [M]. 2版. 济南: 山东科学技术出版社, 1999:2- 3,38- 41.。
