数项级数的敛散性判别法(一)

级数敛散性判别方法的归纳级数是数列之和的概念在数学中的推广。

级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。

下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。

一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式）比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。

1.比较判别法对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么：（1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。

（2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。

2.比较判别法的极限形式对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么：（1）若0<c<∞，则∑b_n收敛或发散，则∑a_n也收敛或发散。

（2）若c=0，则∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。

（3）若c=∞，则∑b_n发散，则∑a_n也发散。

比较判别法适用于一些特殊情况，如∑(1/n^p)的敛散性可以通过与调和级数∑(1/n)做比较来判断。

二、比值判别法比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。

对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在：（1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛；（2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散；（3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。

比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。

三、积分判别法积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。

对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减；（2）级数∑a_n与函数积分∫f(x)dx存在以下关系：a_n=f(n)，则（a）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上收敛，则级数∑a_n也收敛；（b）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上发散，则级数∑a_n也发散。

数项级数敛散性判别方法数项级数是由一系列项相加而得的无穷级数，其中每个项都是一个数字。

判定一个数项级数的敛散性是非常重要的，因为这决定了级数是否收敛（最终总和有一个有限的值）或者发散（最终总和无穷大）。

在数学中，有许多方法用于确定数项级数的敛散性。

下面将介绍一些常用的方法。

1.利用比较判别法：如果一个数项级数的项的绝对值可以比较为另一个已知的收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小，那么可以通过比较判别法来判断原数项级数的敛散性。

a)如果一个级数的项的绝对值总是大于一个收敛级数的项的绝对值的大小，那么原级数也发散。

b)如果一个级数的项的绝对值总是小于一个发散级数的项的绝对值的大小，那么原级数也收敛。

c)如果一个级数的项的绝对值与一个收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小相同，那么原级数的敛散性不能确定。

2.利用比值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的比值，并观察这个比值的极限。

a) 如果比值极限小于1，即lim，A(n+1)/A(n)， < 1，那么级数A收敛。

b) 如果比值极限大于1，即lim，A(n+1)/A(n)， > 1，那么级数A发散。

c) 如果比值极限等于1，即lim，A(n+1)/A(n)， = 1，那么比值判别法无法确定级数A的敛散性。

3.利用根值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的根值，并观察这个根值的极限。

a) 如果根值极限小于1，即lim√(，A(n)，) < 1，那么级数A收敛。

b) 如果根值极限大于1，即lim√(，A(n)，) > 1，那么级数A发散。

c) 如果根值极限等于1，即lim√(，A(n)，) = 1，那么根值判别法无法确定级数A的敛散性。

4.绝对收敛性和条件收敛性：如果一个级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，那么称原级数是绝对收敛的。

否则称为条件收敛的。

5.交错级数的收敛判别法：交错级数是由正项和负项交替出现的级数。

a)如果交错级数的交错项（即正项和负项的绝对值所组成的级数）满足单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。

判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。

以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。

-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。

-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。

2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。

-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。

3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。

4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。

收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。

5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。

- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。

6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。

7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。

例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。

通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。

但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。

第七章 无穷级数7.1数项级数敛散性的判别方法一 基本概念定义1 级数收敛 令121nn n kk s u u u u==+++=∑ ，若lim n n s s →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，若不然，则称1nn u∞=∑发散；定义2 正项级数 若1nn u∞=∑,0n u ≥，则称1nn u∞=∑为正项级数；定义3 交错级数 若1(1)nnn u∞=-∑或11(1)n n n u ∞-=-∑,0n u ≥，则称1n n u ∞=∑为交错级数定义4 绝对收敛 若1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为绝对收敛；（绝对收敛级数的本身也收敛）定义5 条件收敛 若1nn u∞=∑发散，而1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为条件收敛．二 基本结论定理1 （级数1nn u∞=∑的敛散性，其中n nn u u u '''=+） （1）若1n n u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都收敛，则1nn u∞=∑收敛．（2）若1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑一个收敛，另一个发散，则1nn u∞=∑一定发散．（3）若1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都发散，1nn u∞=∑敛散性不确定．（4）若1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都绝对收敛，则1nn u∞=∑绝对收敛．（5）1nn u ∞='∑和1n n u ∞=''∑一个绝对收敛，另一个条件收敛，则1nn u∞=∑条件收敛．（6）1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都是条件收敛，则1nn u∞=∑一定收敛，但其绝对收敛还是条件收敛不确定．定理2 两个重要级数的敛散性（1）等比级数敛散性 等比级数1nn aq∞=∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项．（2）几何级数敛散性 p 级数11p n n ∞=∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散．三 基本方法题型1．正项级数敛散性的判别方法：比较法，比值法，根植法。

判断级数的敛散性的方法要判断级数的敛散性，我们可以使用不同的方法和定理。

下面我将介绍一些常用的方法和定理。

1. 常比较法：常比较法是判断级数收敛性最常用的方法之一。

当我们需要确定一个级数是否收敛时，我们可以将它与一个已知收敛或发散的级数进行比较。

1.1. 比较法：设a_n和b_n是两个正数列，若对于n＞N，总有a_n≤b_n，则有以下结论：a) 若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也一定收敛；b) 若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也一定发散。

1.2. 极限比较法：设a_n和b_n是两个正数列，若存在正数λ，使得对于足够大的n，总有0≤a_n / b_n ≤λ，则有以下结论：a) 若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也一定收敛；b) 若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也一定发散。

使用比较法时，我们可以通过找到一个已知的收敛或发散的级数，将其与我们需要判断的级数进行比较。

根据比较的结果，我们可以得出结论。

2. 极限判别法：极限判别法是一种通过普遍公式或形式上的特殊处理，通过对级数的极限进行判断来判断级数的敛散性的方法。

2.1. 根值判别法：设a_n≥0，乘幂项是级数常见的形式之一，即∑a_n的n次方。

如果存在正数p 使得lim(n→∞)√n*a_n = a，则有以下结论：a) 若a < 1，则级数∑a_n收敛；b) 若a > 1，则级数∑a_n发散；c) 若a = 1，则极限判别法不能确定级数的敛散性。

2.2. 比值判别法：设a_n≠0，存在lim(n→∞) a_n+1 / a_n = q，则有以下结论：a) 若q < 1，则级数∑a_n绝对收敛；b) 若q > 1，则级数∑a_n发散；c) 若q = 1，则极限判别法不能确定级数的敛散性。

2.3. 积分判别法：对于一些形式上类似于函数积分的级数，我们可以使用积分判别法来判断其敛散性。

设f(x)是一个连续正函数，自变量x在[a, ∞)上连续递减，则有以下结论：a) 若∫(a, ∞) f(x) dx收敛，则级数∑f(n)从n = a到∞收敛；b) 若∫(a, ∞) f(x) dx发散，则级数∑f(n)从n = a到∞发散。

数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。

在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。

下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。

1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。

即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。

2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。

具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。

3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。

具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。

4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。

如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。

5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。

6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。

具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。

关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。

使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。

关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。

如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。

1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。

其中n u 称为该数项级数的通项。

数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。

称为数项级数第n 个部分和。

定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。

若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。

即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。

性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。

（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。

判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。

对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。

以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。

即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。

这个方法常用于证明一些级数的发散。

2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。

-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。

如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。

-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。

如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。

比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。

3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。

极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。

4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。

即，级数与积分的敛散性相同。

积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。

5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。

如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。

序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。

以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。

在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。

需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。

正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。

判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。

一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。

2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。

二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。

三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。

四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。

五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。

这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。

同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。