2.3.2双曲线的简单几何性质(第1课时)学案

21yb的哪些代数特性获得的？椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程21yb，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？问题1如何研究双曲线的几何性质？师生活动：类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线21,(0,0)ya bb的角度分析）类比椭圆的范围、对称性、顶点的研究，通过方程2221x yb研究双曲线的范21yb，可以直观发现双曲线上的（，纵坐标的范围是y R．“数”的角度：根据方程22221x y ab ①， 得到222211x y a b，∴x ≤－a ，或x ≥a ；y R ．由（x ，y ）的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线．双曲线位于直线x a 及其左侧，以及直线x a 及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸． （2）对称性“形”的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称．“数”的角度：用−x 代x ，−y 代y ，−x ，−y 分别代x ，y ，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. （3）顶点“形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与x 轴有两个交点A 1（－a ，0）和A 2（a ，0），与y 轴没有公共点．这与椭圆不同. “数”的角度：令y =0，得到x =a 或x =−a ，所以A 1（－a ，0）和A 2（a ，0）， 令x =0,y 2=−b 2,没有实数解。

追问2：能否类比椭圆把B 1（0，－b ），B 2（0，b ）两点画在y 轴上？线段B 1B 2有何几何意义？师生活动：引导学生画图，学习线段B 1B 2称为双曲线的虚轴，△22A OB 是直角三角形，且2OA a ，22A B c ，2OB b ，线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长.并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它．追问3：在双曲线29x －24y ＝1位于第一象限的曲线上画一点M ，测量点M 的横坐标x M 以及它到直线3x －2y＝1的距离d ，向右拖动点M ，观察x M 与d 的大小关系，你发现了什么？ 师生活动：通过GGB 软件作图，在向右拖动点M 时，点M 的横坐标M x 越来越大，d 越来越小，但是d 始终不等于0.经过两点A 1，A 2作y 轴的平行线x ＝±3，经过两点B 1，B 2作x 轴的平行线y ＝±2，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是032xy ．可以发现，双曲线22194x y 的两支向外延伸时，与两条直线032x y 逐渐接近，但永远不相交．一般地，双曲线22221x y ab （0a ,0b ）的两支向外延伸时，与两条直线0x ya b逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。

2．3.2双曲线的简单几何性质◆知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题．◆过程与方法目标让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．◆教学过程一.复习引入双曲线的定义及标准方程二.思考分析问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线．问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？提示：只有一个交点．三.抽象概括1．双曲线的几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.1．双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上．2．利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线x ＝±a ，y ＝±b (或x ＝±b ，y ＝±a )围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状．3．为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程x a ±yb ＝0. 四.例题分析及练习[例1] 求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路点拨] 化为标准形式→求a ，b ，c →得双曲线的几何性质 [精解详析] 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，半实轴长a ＝m ，半虚轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m ＝1＋nm， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，渐近线的方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .[感悟体会] 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a ，b 对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质． 训练题组11．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．42解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.答案：C2．已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：由已知得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.∴渐近线方程为x 29－y 216＝0，即x 3±y4＝0.答案：A[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共的渐近线，且过点M (2，－2)． [思路点拨]分析双曲线的几何性质→求a ，b ，c →确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，b a ＝32且a ＝3，∴b ＝92.∴所求的方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，a b ＝32且a ＝3，∴b ＝2.∴所求的方程为y 29－x 24＝1.法二：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴所求的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[感悟体会] 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．若已知双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．训练题组23．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( )A.x 252－y 2122＝1B.y 2122－x 252＝1C.x 2122－y 252＝1D.y 252－x 2122＝1 解析：依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13.又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1. 答案：D4．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为________．解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2，∴4a ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1. 答案：y 24－x 212＝1.[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． [思路点拨]设F 1c ，0，将焦点F 1的横坐标代入方程→求出P 的纵坐标及|PF 1|→由∠PF 2Q ＝90°建立a ，b ，c 的关系→求出离心率[精解详析] 设F 1(c,0)，由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝22c . 由双曲线的定义得22c －2c ＝2a .∴e ＝c a ＝222－2＝1＋ 2.所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.[感悟体会] (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围． 训练题组35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52D.22解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca ＝ 2.答案：B6．设a >1，则双曲线x 2a2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2， 5)C ．(2,5)D ．(2, 5) 解析：e 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1a 2＋2a ＋2＝(1a＋1)2＋1， ∵a >1，∴0<1a <1,1<1a ＋1<2，∴2<e 2<5.又e >1，∴2<e < 5.答案：B7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4， 由e ＝ca ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2.答案：2五.课堂小结与归纳1．已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由方程确定焦点所在的坐标轴，找准a 和b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．2．如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b a2(a >0，b >0)．六.当堂训练1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：由题意e ＝ca ＝2，∴c ＝2a .又c ＝4，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线方程是x 24－y 212＝1.答案：A2．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，即3x ±ay ＝0.又双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2. 答案：C3．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A. 5B.14 C ．2 D ．25解析：∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝ a 2＋b 2＝14，∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝ 5.答案：A4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3 B ．4＋2 3 C ．23－2 D ．23＋2解析：如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上，∴|NF 1|－|NF 2|＝2a .又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：A5．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2. 答案：26．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线．设其方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1.答案：x 216－y 29＝17．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：1F M ·2FM ＝0. 解：(1)∵离心率e ＝ca ＝2，∴a ＝b .设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)，∵(4，－10)在双曲线上，∴n ＝42－(－10)2＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵M (3，m )在双曲线上，故m 2＝3.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴1F M ·2F M ＝0. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝ba －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝ba ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.∵e ＝ca ，∴5e 2－1≥2e 2，∴25(e 2－1)≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，∴54≤e 2≤5(e >1)．∴52≤e ≤5，即e 的取值范围为[52，5]．。

3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质情景导入(1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等性质． (2)用多媒体展示几组焦点在x 轴、y 轴上开口大小各不相同的双曲线，观察双曲线形状的美． (3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢？ 新知初探1．双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－ay ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a )，(0，a )轴长实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝c a>1 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心双曲线的 叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线学 习 目 标核 心 素 养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.________________的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ . 3．直线与双曲线的位置关系将y ＝kx ＋m 与x 2a 2－y 2b2＝1联立消去y 得一元方程(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2(m 2＋b 2)＝0.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 24＝1的焦点在y 轴上．( ) (2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． ( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条．( )2．若等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A ．y 218－x 218＝1B ．x 218－y 218＝1C ．x 28－y 28＝1D ．y 28－x 28＝13．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．4．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.合作探究类型1 根据双曲线方程研究几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值；(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． 类型2 由几何性质求双曲线的标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)．规律方法1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)． 2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0，m ＞0，n ＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0，A ＞0，B ＞0)． (2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)共焦点的双曲线系方程可设为x 2a 2－λ－y 2λ－b 2＝1(b 2＜λ＜a 2)． 跟踪训练1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .类型3 求双曲线的离心率 [探究问题]1．双曲线的离心率的范围怎样？对双曲线的形状有什么影响？2．双曲线的离心率与其渐近线斜率有什么关系？例3 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，求其离心率的值． 规律方法求双曲线离心率的方法(1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca 得解．(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2得解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋qac ＋ra 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋qe ＋r ＝0求解． 跟踪训练2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 类型4 直线与双曲线的位置关系 [探究问题]1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？2．过点(0,2)和双曲线x 216－y 29＝1只有一个公共点的直线有几条？例4 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．规律方法直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． (2)数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程． 跟踪训练3．已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程．课堂小结1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程． 2．与双曲线有关的其他几何性质(1)通径：过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1⎝⎛⎭⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点作垂直于焦点所在对称轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫做通径，其长度为2b 2a.(2)焦点三角形：双曲线上的点P 与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积S ＝b 2tan θ2.(3)距离：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上任意一点M 到左焦点的最小距离为a ＋c ，到右焦点的最小距离为c －a .(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率相等的双曲线系方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ＞0)．(5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线系方程为x 2a 2＋k －y 2b 2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．课堂检测1．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3 B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4 C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5 D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±42．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A ．31414B ．324C ．32D ．433．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________． 4．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于A ，B 两点，则|AB |＝________.5．直线l 与双曲线x 2－4y 2＝4相交于A ，B 两点，若点P (4,1)为线段AB 的中点，则直线l 的方程是________．参考答案思考：[提示]渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．2．(1)对称中心(2)实轴和虚轴等长23．一个两个一个没有初试身手1．[提示](1)×(2)√(3)×2．【答案】B【解析】由条件知，等轴双曲线焦点在x 轴上，可设方程为x 2a 2－y 2a 2＝1，a 2＋a 2＝62，解得a 2＝18，故方程为x 218－y 218＝1.3．【答案】2【解析】由题意知4a 2－9b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，得a ＝1，b ＝3，∴e ＝2.4．【答案】5【解析】∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.合作探究类型1 根据双曲线方程研究几何性质例1 解：双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .例2 解：(1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)由两顶点间的距离是6得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.(3)法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意，得⎩⎨⎧ b a ＝43，(－3)2a 2－(23)2b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4，所以双曲线的方程为4x 29－y 24＝1.当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1.由题意，得⎩⎨⎧a b ＝43，(23)2a 2－(－3)2b 2＝1，解得a 2＝－4，b 2＝－94(舍去)综上所得，双曲线的方程为4x 29－y 24＝1.法二：设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即4x 29－y 24＝1.跟踪训练1．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2. 又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)． 把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16.∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1. (3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94. 当λ＜0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1. 类型3 求双曲线的离心率[探究问题]1．[提示] 在双曲线方程中，因为a ＜c ，所以离心率e ＝c a∈(1，＋∞)，它的大小决定了双曲线的开口大小，e 越大，开口就越大．2．[提示] e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2 当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为k ，则e ＝1＋k 2，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为k ，则e ＝1＋1k 2. 例3 (1)【答案】5或52 【解析】当焦点在x 轴上时，b a ＝2，这时离心率e ＝c a ＝1＋22＝ 5. 当焦点在y 轴上时，a b ＝2，即b a ＝12，这时离心率e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＝52.](2)解：因为双曲线的右焦点F (c,0)到渐近线y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0的距离为|bc |a 2＋b 2＝bc c＝b ，所以b ＝32c ，因此a 2＝c 2－b 2＝c 2－34c 2＝14c 2，a ＝12c ，所以离心率e ＝c a＝2. 跟踪训练2．【答案】2＋3【解析】如图，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )，此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a， 得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝c a＝2＋ 3.类型4 直线与双曲线的位置关系[探究问题]1．[提示] 可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．[提示] 四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．例4 解：(1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1， 消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1.∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－2k 1－k 22＋81－k 2 ＝1＋k 28－4k 21－k 22. 又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k 2， ∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝128－4k 21－k 22＝2， 即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62. ∴实数k 的值为±62或0. 跟踪训练 3．解：法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ， 整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝8k (3k ＋1)4k 2－1. ∵A (3，－1)为MN 的中点，∴x 1＋x 22＝3， 即8k (3k ＋1)24k 2－1＝3， 解得k ＝－34. 当k ＝－34时， 满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54， 即3x ＋4y －5＝0.法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎨⎧ x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1). ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1)＝－34. 经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)， 即3x ＋4y －5＝0.课堂检测1．【答案】A【解析】|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A.2．【答案】C【解析】由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，故e ＝32. 3．【答案】x 216－y 24＝1 【解析】由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1. 4．【答案】3【解析】双曲线的左焦点为(－2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 方程为y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋2＝0，x 2－y 23＝1得8y 2－123y ＋9＝0， 则y 1＋y 2＝332，y 1y 2＝98. ∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(1＋3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫3322－4×98＝3. 5．【答案】x －y －3＝0【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k ，易知k 存在且k ≠0，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 又∵点P (4,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.代入，得(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1. 因此直线l 的方程是y －1＝1×(x －4)，即x －y －3＝0.。

1标准方程 错误!－错误!＝1 （a 〉0,b>0) 错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0） a ，b,c 关系 a 2+b 2=c 2 a 2+b 2=c 2
渐近
线
探究点二由性质求标准方程(定型→设方程→定量→作答)
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线的焦点为（2，0)，右顶点为(错误!，0)； (2)实半轴长为8，离心率为错误!；
变式:求满足下列条件的双曲线方程
(1）双曲线C的焦点为（0,5)，虚轴长为4; （2）实轴长为2,离心率为2；
四、巩固提高（链接高考）：
1、（2013陕西卷）双曲线x2
16
－错误!＝1的离心率为______，两条渐近线的方程为_____．
2、(2011年高考安徽卷）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
3、（2011年高考江西卷）若双曲线错误!-错误!=1的离心率e=2，则m=__ __.
4、思考：若a=b，则渐近线的方程为_____，离心率e＝
五、小结(方法总结）：
（1）双曲线的简单性质（2）应用：①方程→性质②性质→方程
六、作业：1、P835 2、补充:求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点分别为F1（－3,0），F2（3,0)，离心率e＝ 3
（2)虚轴长为12,离心率为4
5
；。

2.3.2双曲线的简单几何性质（第1课时）【学习目标】1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a 、b 、c 、e 的关系及其几何意义的理解。

2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。

【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。

【学习难点】渐近线方程的导出。

一、课前预习要求及内容回顾：1、双曲线的定义：2、双曲线的标准方程：3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？二、预习整理（一）试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程)0,0(,12222>>=-b a b y a x ，研究它的几何性质。

①范围 ：由双曲线的标准方程可得：=22by 从而得x 的范围： ；即双曲线在不等式 和所表示的区域内。

22ax = 从而得y 的范围为 。

②对称性：以x -代x ，方程不变，这说明所以双曲线关于 对称。

同理，以y -代y ，方程不变得双曲线关于 对称，以x -代x ，且以y -代y ，方程也不变，得双曲线关于 对称。

③顶点：即双曲线与对称轴的交点。

在方程12222=-by a x 里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为1A （ ）2A （ ） ；我们把1B （ ）2B （ ）也画在y 轴上（如图）。

线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。

④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。

（二）想一想1、根据上述四个性质，画出椭圆 191622=+y x 与双曲线191622=-y x 的图象。

2、渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线，。

叫做等轴双曲线，它的渐近线为，离心率为。

思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？三、合作探究四、小组展示例题1、求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率，渐近线方程。

双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。

能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。

那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。

1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。

同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。

若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。

所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。

x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。

（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。

由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。

灵石一中课前自主学习型学案1高二年级（数学）理科学科（任彩萍）主编课题 2.3.2 双曲线的简单几何性质日期班级小组姓名学习目标了解双曲线的简单几何性质；能利用双曲线的标准方程研究它的简单几何性质。

重点难点双曲线的简单几何性质及初步运用。

双曲线的渐近线与离心率的应用。

基础层次1．你认为双曲线的定义中有几处需注意的？分别是2.类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线22221x ya b-=（a>0,b>0）的哪些性质？请逐项研究其性质3.双曲线的顶点有几个？椭圆呢？双曲线的焦点是在实轴上，还是虚轴上？椭圆中又是什么呢？4.双曲线22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线有几条？分别是什么？怎样从几何上理解、直观感知“渐近”？画双曲线时应先画什么？椭圆有渐近线吗？5.离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率可以刻画双曲线的什么几何特征？双曲线的离心率与渐近线的斜率有什么关系？对双曲线的形状有什么影响？6.等轴双曲线具备的条件是等轴双曲线的渐近线为等轴双曲线的离心率e= 请写出推导过程。

7.求双曲线22916144y x-=的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

8.求符合下列条件的双曲线的标准方程。

（1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，e=54；（2）焦点在y轴上，焦距是16，43 e=9.求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。

10.对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F-,求它的标准方程和渐近线方程。

探究层次求适合下列条件的双曲线的标准方程。

（1）离心率2e=，经过点M(-5,3)（2）与双曲线221169x y-=共渐近线，且经过A(23,3)-点（3）与椭圆22464x y+=有相同的焦点，且以直线30x y+=为一条渐近线灵石一中课前自主学习型学案2 高二年级（数学）理科学科（任彩萍）主编课题 2.3.1双曲线及其标准方程日期班级小组姓名自主检测1．已知F1（-8,3）F2（2,3），动点P满足|P F1|—|P F2|=10，则P点的轨迹方程是（）A.双曲线B.双曲线的一支C.直线D.一条射线2.已知两点F1（-2,0）F2（2,0），与它们的距离的差的绝对值是3的点M的轨迹是3.平面内有两个定点F1、F2及动点P，设命题甲是“|P F1|—|P F2|是非零常数”，命题乙是“动点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线”，那么，甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件 D.既不充分又不必要条件能力检测1. 过点22(32,2)1164x y-=且与双曲线有相同焦点的双曲线的标准方程是（）22.1128x yA-=22.1155x yB-=22.1128y xC-=22.1155y xD-=2.已知双曲线221259x y-=上有一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为（）A.2B.22C.7或17D.2或223.双曲线2288kx ky-=的焦点是（0,3），那么实数k的值是（）A.1 B.-1C. 653D .653-4.椭圆22214x ya+=与双曲线2212x ya-=有相同的焦点，则a的值是5.求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）两焦点F1（-5,0）F2（5,0），且过3(5,2)2P.(2)过点15(3,)4P ，16(,5)3Q -且焦点在坐标轴上。

教案普通高中课程标准选修2-12.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。

（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。

）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。

二、教学目标 （一）知识与技能1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。

2、理解双曲线的渐近线。

（二）过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。

（三）情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。

三、 教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。

四、 教学过程 (一)课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。

） 今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。

【板书】：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的性质2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。

）3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。

（讨论）（二）双曲线的性质 1、范围：把双曲线方程12222=-by a x 变形为22221b y a x +=。

因为022≥b y ，因此122≥a x ，即22a x ≥，所以a x a x ≥-≤或。

又因为022≥by ，故R y ∈。

【板书】：1、范围：a x a x ≥-≤或，R y ∈。

2、对称性：下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线12222=-by a x 的标准方程，判断它的对称性？在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的。

2.3.2（一）编写：夏亚勤【学习目标】1.能类比椭圆的几何性质的研究方法，探究并掌握双曲线的简单几何性质；2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚轴、焦点、离心率、渐近线. 【知识线索】1.2.双曲线方程的设法（1）实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线.其方程可设为 . （2）与双曲线 有相同的渐近线的双曲线系方程为 .（3）以x nm y ±=为渐近线的双曲线方程可设为 .高二选修2-1：第二章 圆锥曲线与方程课时目标呈现课前自主预习22221x y a b -=【知识建构】探究：双曲线简单的几何性质以方程12222=-by a x 为例研究双曲线的简单几何性质. 问题1 类比椭圆，由双曲线方程如何研究其范围？问题2 类比椭圆，能否证明其对称性？问题3 双曲线的顶点有几个？坐标是什么？问题4 如何理解双曲线的渐近线？问题5 双曲线的离心率范围？问题6 椭圆的离心率刻画了椭圆的圆扁程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性呢？【典例透析】例1求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长，顶点坐标，焦点坐标，离心率及渐近线方程.例2 求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；(2)离心率e =，经过点(5,3)M -；(3)渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．课中师生互动【课堂检测】1.双曲线14522=-y x 与）（04522≠=-k k y x 始终有相同的（ ） A .焦点 B .焦距 C .渐近线 D .离心率2.对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，则它的标准方程为 ；渐近线方程是 ．【课堂小结】课时训练A 组1．双曲线2241x y -=的离心率等于 ；其渐近线方程是 ．2.求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程是 ．3.双曲线的渐近线 方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________. B 组4.经过点(3,1)A -并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．5．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ． 6.已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22221x y a b-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程是 ．C 组7．以椭圆2212516x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A. 2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或221927x y -= D. 以上都不对【纠错·感悟】课后训练提升。