2020年河南省许昌市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一

绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b>”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππU 大致的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ）A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦L =（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．已知函数()()e exx af x a =+∈R 在区间[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B 2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos 2cos 0222x xxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）复数41−√3i等于（ ） A ．1+√3i B ．﹣1+√3i C ．1−√3iD ．﹣1−√3i【解答】解：41−√3i =221−√3i=2√3i)(1−√3i)(1+√3i)=−4(1+√3i)4=−1−√3i ．故选：D ．2．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin （π6x +φ）+k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【解答】解：由题意可得当sin （π6x +φ）取最小值﹣1时， 函数取最小值y min ＝﹣3+k ＝2，解得k ＝5， ∴y ＝3sin （π6x +φ）+5，∴当当sin （π6x +φ）取最大值1时，函数取最大值y max ＝3+5＝8， 故选：C ．3．（5分）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →=a →，CA →=b →，|a →|＝1，|b →|＝2，则CD →=（ ） A ．13a →+23b → B ．23a →+13b → C ．35a →+45b → D ．45a →+35b →【解答】解：∵CD 为角平分线， ∴BD AD=BC AC=12，∵AB →=CB →−CA →=a →−b →，∴AD →=23AB →=23a →−23b →，∴CD →=CA →+AD →=b →+23a →−23b →=23a →+13b →故选：B ．4．（5分）干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f （x ）＝sin 2x 3+cos3x 的最小正周期为（ ） A ．15πB ．12πC ．6πD ．3π【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x 3+cos3x 的最小正周期相当于函数y ＝sin 23x 的最小正周期2π23=3π与函数y ＝cos3x 的最小正周期2π3的最小公倍数．故答案为6π． 故选：C ．5．（5分）如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A ．q =N MB ．q =M NC ．q =NM+ND ．q =MM+N【解答】解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入q =MM+N． 故选：D ．6．（5分）设函数f （x ）={log 2(x 2+x +12)，x ＞0log 12(x 2−x +12)，x ＜0，若f （a ）＞f （﹣a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1−√32，0）∪（√3−12，+∞） B ．（﹣∞，1−√32）∪（√3−12，+∞） C ．（1−√32，0）∪（0，√3−12） D ．（﹣∞，1−√32）∪（0，√3−12） 【解答】解：①当a ＞0时，﹣a ＜0，由f （a ）＞f （﹣a ）得：log 2(a 2+a +12)＞log 12(a 2+a +12)，∴log 2(a 2+a +12)＞−log 2(a 2+a +12)， ∴log 2(a 2+a +12)＞0， ∴a 2+a +12＞1，又a ＞0， ∴解得：a ＞√3−12，②当a ＜0时，﹣a ＞0，由f （a ）＞f （﹣a ）得：log 12(a 2−a +12)＞log 2(a 2−a +12)，∴log 2(a 2−a +12)＜0， ∴0＜a 2−a +12＜1，又a ＜0， 解得：1−√32＜a ＜0，故选：A ． 7．（5分）若直线xa +y b=1（a ＞0，b ＞0）过点（2，1），则2a +b 的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．6【解答】解：由题意可得，2a+1b =1，则2a +b ＝（2a +b ）（2a+1b）＝5+2b a +2ab≥5+4＝9， 当且仅当2b a=2a b且2a+1b=1，即a ＝b ＝3时取等号，此时取得最小值9．故选：B ．8．（5分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【解答】解：由题意可设F （﹣c ，0），A （﹣a ，0），B （a ，0）， 设直线AE 的方程为y ＝k （x +a ），令x ＝﹣c ，可得M （﹣c ，k （a ﹣c ）），令x ＝0，可得E （0，ka ）， 设OE 的中点为H ，可得H （0，ka 2），由B ，H ，M 三点共线，可得k BH ＝k BM ，即为ka 2−a=k(a−c)−c−a ，化简可得a−c a+c=12，即为a ＝3c ，可得e =ca =13．另解：由△AMF ∽△AEO ， 可得a−c a=MF OE，由△BOH ∽△BFM ， 可得a a+c =OH FM=OE 2FM，即有2(a−c)a=a+c a即a ＝3c ，可得e =c a =13． 故选：A ．9．（5分）对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当{a =1b 2=1c 2=b 时，b +c +d 等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．i【解答】解：由题意，可取a ＝1，b ＝﹣1，c 2＝﹣1，c ＝i ，d ＝﹣i ，或c ＝﹣i ，d ＝i ，所以b +c +d ＝﹣1+i +﹣i ＝﹣1， 故选：B ．10．（5分）在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝1，CD ＝2．沿BD 将ABCD 折成60°的二面角A ﹣BD ﹣C ，则折后直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值为（ ） A ．√24B ．√34C ．√64D ．14【解答】解：取BD ，CD 的中点分别为O ，E ，连接OE ，取OE 的中点F ，连接CF ，AF ， 由AB ＝AD ，且O 为BD 中点可知OA ⊥BD ，又在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝1，CD ＝2， ∴BD =√2，AO =√22，BC =√2，OE =√22， ∴BD 2+BC 2＝CD 2，则BC ⊥BD ， ∴OE ⊥BD ， 又OA ⊥BD ，∴∠AOE即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，则∠AOE＝60°，又OA=OE=√2 2，∴△AOE为正三角形，∴AF⊥OE，又BD⊥OA，BD⊥OE，OA∩OE＝O，∴BD⊥平面AOE，∴BD⊥AF，又OE∩BD＝O，∴AF⊥平面BCD，∴∠ACF为直线AC与平面BCD的所成角，又AF=√64，CF=(22)2+(324)2=√264，∴AC=√2，∴sin∠ACF=√642=√34．故选：B．11．（5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．54【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33＝18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22＝3×2×3×2＝36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22＝72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72＝126种， 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝x ﹣ln （x +1）对任意x ∈[0，+∞）有f （x ）≤kx 2成立，则k 的最小值为（ ） A ．1B ．12C ．eD ．e2【解答】解：①当k ≤0时，取x ＝1，有f （1）＝1﹣ln 2＞0，故k ≤0不符合题意， ②当k ＞0时，令g （x ）＝f （x ）﹣kx 2，即g （x ）＝x ﹣ln （x +1）﹣kx 2， ∴g '（x ）＝1−1x+1−2kx =−x[2kx−(1−2k)]x+1， 令g '（x ）＝0，可得x 1＝0，x 2=1−2k2k＞−1， （i ）当k ≥12时，1−2k 2k≤0，g '（x ）＜0在（0，+∞）上恒成立，g （x ）在[0，+∞）上单调递减，∴g （x ）≤g （0）＝0，∴对任意的x ∈[0，+∞），有f （x ）≤kx 2成立， （ii ）当0＜k ＜12时，x 2=1−2k2k ＞0， 在（0，1−2k 2k）上，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增；在（1−2k 2k，+∞）上，g '（x ）＜0，g（x ）单调递减， 因此存在x 0∈(0，1−2k2k) 使得g （x 0）≥g （0）＝0， 可得x 02−ln(x 0+1)≥kx 02，即f （x 0）≥kx 02，与题矛盾， ∴综上所述，k ≥12时，对x ∈[0，+∞）有f （x ）≤kx 2成立， 则k 的最小值为12，故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在区域{（x ，y ）|x ∈[0，1]，y ∈[0，1]}内任取一点P （x ，y ），能满足y ≤√2x −x 2的概率为π4．【解答】解：其构成的区域如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1＝1，满足y ≤√2x −x 2所表示的平面区域是以（1，0）为圆心，以1为半径的半圆，其面积为S 2=π4，∴在区域内随机取一个点P ，则能满足y ≤√2x −x 2的概率P =π4， 故答案为：π414．（5分）在△ABC 中，2a sin A ＝（2b +c ）sin B +（2c +b ）sin C ，其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则角A 的大小为2π3．【解答】解：∵2a sin A ＝（2b +c ）sin B +（2c +b ）sin C ， ∴由正弦定理，角化边得：2a 2＝（2b +c ）b +（2c +b ）c ， 整理得：a 2＝b 2+c 2+cb ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =−12， 又∵A ∈（0，π）， ∴A =2π3， 故答案为：2π3．15．（5分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py （p ＞0）交于点O ，A ，B ，且△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为32；如果C 1与C 2在第一象限内有且只有一个公共点，且a =√5，那么C 2的方程为 x 2＝4y ．【解答】解：由题意可得抛物线的焦点F （0，p2），双曲线的渐近线的方程为：y =±ba x ，{x 2=2py y =−b ax，可得x =−2pb a ，y =2pb2a 2， 设交点A （−2pb a，2pb 2a 2），B （2pb a，2pb 2a 2），因为△OAB 的垂心为C 2的焦点，所以AF ⊥OB ，即AF →⋅OB →=0， 即（2pb a，p2−2pb 2a ）•（2pb a，2pb 2a ）＝0，整理可得：4b 2＝5a 2，即b 2=54a 2，所以离心率e =c a =√1+b 2a2=√1+54=32；联立双曲线与抛物线的方程可得：{x 2=2py b 2x 2−a 2y 2=a 2b 2，a =√5，所以b 2=54a 2=254整理可得：4y 2﹣10py +25＝0，由题意可得△＝100p 2﹣4×4×25＝0，p ＞0，解得p ＝2， 所以抛物线的方程为：x 2＝4y ， 故答案分别为：32，x 2＝4y ．16．（5分）设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为8π3．【解答】解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ， 则当圆锥体积最小时，如图，由△AOE ～△ACF 可得：1r=√(ℎ−1)2−12ℎ，即r =√ℎ−2ℎ，∴圆锥的体积V =13πr 2h =πℎ23(ℎ−2)=π3[（h ﹣2）+4ℎ−2+4]≥8π3．当且仅当h ﹣2＝2即h ＝4时取等号． ∴该圆锥体积的最小值为8π3．故答案为：8π3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n }满足a n +1＝3a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2，n ∈N *），且a 1＝1，a 2＝3． （1）求证：数列{a n +1﹣a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）记b n ＝（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解答】（1）证明：依题意，当n ≥2时，由a n +1＝3a n ﹣2a n ﹣1，可得 a n +1﹣a n ＝2a n ﹣2a n ﹣1＝2（a n ﹣a n ﹣1）． ∵a 2﹣a 1＝3﹣1＝2，∴数列{a n +1﹣a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n +1﹣a n ＝2•2n ﹣1＝2n ，n ∈N *．则a 2﹣a 1＝2， a 3﹣a 2＝22， …a n ﹣a n ﹣1＝2n ﹣1．各项相加，可得 a n ﹣a 1＝2+22+…+2n ﹣1，∴a n ＝1+2+22+…+2n ﹣1=1−2n1−2=2n ﹣1． ∴a n ＝2n ﹣1，n ∈N *．（2）由（1）知，b n ＝（n +1）a n ＝（n +1）（2n ﹣1）＝（n +1）•2n ﹣（n +1）． 构造数列{c n }：令c n ＝（n +1）•2n ，设数列{c n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝c 1+c 2+…+c n ＝2•21+3•22+…+（n +1）•2n ，2T n＝2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，两式相减，可得﹣T n＝4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝4+22−2n+11−2−（n+1）•2n+1＝﹣n•2n+1．∴T n＝n•2n+1．∵b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）＝c n﹣（n+1），∴S n＝b1+b2+…+b n＝（c1﹣2）+（c2﹣3）+…+[c n﹣（n+1）]＝（c1+c2+…+c n）﹣[2+3+…+（n+1）]＝T n−n(2+n+1)2＝n•2n+1−n(n+3)2．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BB1的中点．（1）求证：截面AEC1⊥侧面AC1；（2）若AA1＝A1B1＝1，求B1到平面AEC1的距离．【解答】（1）证明：设O，O1分别为AC，A1C1的中点，AC1与A1C相交于F．∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴侧面A1C⊥底面ABC．∵O是正三角形ABC边AC的中点，∴OB⊥AC．∴OB⊥侧面AC1．∵OO1∥BB1，OO1＝BB1，E，F是中点，∴EBOF是平行四边形．∴EF∥OB，∴EF⊥侧面AC1．又EF⊂平面AEC1，∴截面AEC1⊥侧面AC1；（2）解：∵AA 1＝A 1B 1＝1，∴AE =EC 1=√12+(12)2=√52，AC 1=√12+12=√2，∴△AEC 1的面积为12×√32×√2=√64． 又∵A 到平面B 1BCC 1的距离为√32，△B 1EC 1的面积为12×12×1=14． 设B 1到平面AEC 1的距离为d ， ∵V B 1−AEC 1=V A−B 1EC 1， ∴13×d ×√64=13×√32×14，∴d =√24．即，B 1到平面AEC 1的距离为√24．19．（12分）一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为12，且能否找到其它宝藏相互独立．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q 币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q 币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q 币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q 币个数X 的数学期望（收益＝收入﹣支出）．【解答】解：（1）记闯关成功为事件A ，事件A 共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B ，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C ，那么A ＝B +C ．∵P(B)=124×122=164，P(C)=C43124×124=164，∴P(A)=P(B)+P(C)=1 32．（2）记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{﹣1，1，5}．∵由（1）知P(X=5)=1 32，又P(X=1)=124×(1−122)+C43124×(1−124)=932．∴X的概率分布为：X﹣115P1116932132因此，EX=−1×1116+1×932+5×132=−14．20．（12分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B（﹣1，0），长为4√6的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当x轴是∠PBQ 的角平分线时，求直线PQ的方程．【解答】解：（1）A（4，0），设圆心C（x，y），线段MN的中点为E，则由圆的性质得：ME=MN2，CA2＝CM2＝ME2+EC2，∴（x﹣4）2+y2＝4+x2，即y2＝8x．（2）设P（x1，y1），Q（x1，y1），由题意可知y12=8x1，y22=8x2．（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，y1+y2≠0，y1•y2＜0，由x轴平分∠PBQ，得y1x1+1=−y2x2+1，∴y1y1+8+y2y2+8=0，∴（y1+y2）（8+y1•y2）＝0，∴8+y1•y2＝0．设直线PQ：x＝my+n，代入C的方程得：y2﹣8my﹣8n＝0．∴8﹣8n＝0，即n＝1．由于，|PQ|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2⋅√64m2+32=4√6，∴m2=1 2，因此，直线PQ的方程为x±√22y−1=0．（ⅱ）当PQ与x轴垂直时，|PQ|=4√6，可得直线PQ的方程为x＝3．综上，直线PQ的方程为x±√22y−1=0或x＝3．21．（12分）设函数f（x）＝αx+1+lnx（a∈R为常数）．（1）讨论函数f（x）可能取得的最大值或最小值；（2）已知x＞0时，f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+1x=ax+1x．（ⅰ）当a≥0，由f'（x）＞0可得f（x）是增函数，这时函数f（x）没有最大值也没有最小值，（ⅱ）当a＜0，函数f（x）在区间(0，−1a)上是增函数，在区间(−1a，+∞)上是减函数，所以，x=−1a时，f（x）取得最大值f(−1a)=−ln(−a)，且f（x）无最小值；（2）由已知可得，a≤e x−1+lnxx对x＞0时恒成立，令F(x)=e x−1+lnx x，则F′(x)=e x+lnxx2=x2e x+lnxx2，令G（x）＝x2e x+lnx，则G′(x)=(x2+2x)e x+1x＞0，所以G（x）是增函数，又∵当x→0时，G（x）→﹣∞，G（1）＝e＞0，因此，方程x2e x+lnx＝0有唯一解x0∈（0，1），所以当x∈（0，x0）时，G（x）＜0，函数F（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，函数F（x）单调递增，所以，函数F（x）在x＝x0时取得最小值，由于x02e x0+lnx0=0，所以x0e x0=−lnx0x0=1xln1x=e ln1x0ln1x0，构造函数φ（x）＝xe x，易证φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x 0=ln 1x 0，即lnx 0＝﹣x 0，所以，F(x 0)=1x 0−1+lnx 0x 0=−lnx 0x 0=1， 因此，a ≤1，所以a 的取值范围为：（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =4t 1−t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=√102cos(θ+π4)．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设l 与C 相交于A ，B 两点，定点M （√5，0），求1|MA|−1|MB|的值．【解答】解：（1）∵x =1+t 21−t 2，∴t 2=x−1x+1≥0，∴x ＜﹣1或x ≥1．∵4x 2−y 2=4[(1+t 21−t 2)2−4t 2(1−t 2)2]=4，∴C 的直角坐标方程为x 2−y 24=1(x ≠−1)．∵ρ=√102cos(θ+π4)，∴√2ρ(cosθ−sinθ)=√10，∴x −y =√5， ∴直线l 的直角坐标方程为x −y −√5=0． （2）由（1）可设l 的参数方程为{x =√5+√22ty =√22t （t 为参数），代入C 的方程得：32t 2+4√10t +16=0，其两根t 1，t 2满足t 1+t 2=−8√103，t 1t 2=323． ∴1|MA|−1|MB|=1−t 1−1−t 2=t 1−t 2t 1t 2=±√(t 1+t 2)2−4t 1t 2t 1t 2=±12．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f （x ）＝|ax |（x 2﹣4）﹣|x ﹣2|（x +1）． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若∃x ∈（2，+∞），使得不等式f （x ）＜0成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，原不等式可化为|x |（x 2﹣4）﹣|x ﹣2|（x +1）＜0．（*） （ⅰ）当x ＜0时，（*）化为，（x ﹣2）（x 2+x ﹣1）＞0， 所以，−1−√52＜x ＜0；（ⅱ）当0≤x ≤2时，（*）化为（x ﹣2）（x 2+3x +1）＜0， 所以，0≤x ＜2；（ⅲ）当x ＞2时，（*）化为（x ﹣2）（x 2+x ﹣1）＜0， 所以，无解；综上，a ＝1时，不等式f （x ）＜0的解集为{x|−1−√52＜x ＜2}． （2）当x ∈（2，+∞），原不等式f （x ）＜0化为：|a |x （x ﹣2）（x +2）﹣（x ﹣2）（x +1）＜0，∴|a|＜x+1x(x+2)． 由于函数φ(x)=x+1x(x+2)=1(x+1)−1x+1在x ∈（2，+∞）上是减函数，∴φ(x)＜φ(2)=38．∴∃x ∈（2，+∞），使得不等式f （x ）＜0成立，必须使|a|＜38． 因此，−38＜a ＜38．。

2020年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题1-12BDACB CBCDB DA 二、填空题13.10;x y -+=14.4;15.;53016.{}.66,2,0--三、解答题17.解析：(I)222(sinsin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sinsin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.a c b ac +-=……3分∴2221cos .22a c b B ac+-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b c B C=,3sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，6cos 3C =……9分3613323sin sin()sin().323236A B C C π+=+=+=⋅+⋅=……12分18.解析：（I ）如图所示：连接OM ，在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒，OB AC ⊥.……2分在MAC ∆中：2M A M C A C ===O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且 6.O M ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB =222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM⊥,AC OM 相交于O ，故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系 㜠Ꮉ婈Ӭ如图所示．因为2M A M B M C A C ====,2AB BC ==则(0,2,0),(2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC = 所以，222(,33N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z = ，则252252(,,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅==⎩ 令3y =(53,3,1)m =-- ……10分因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB = 为平面AMC 的法向量，所以(53,3,1)m =-- 与(2,0,0)OB = 所成角的余弦为5653cos ,79279m OB < 所以二面角的正弦值为253279|sin ,|1(797979m OB -<>=-= .……12分19．（I ）由题意知1b =，22c a =.……1分又因为222a b c =+解得，2a =.……3分所以椭圆方程为2212y x +=.……4分（Ⅱ）设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆.则12212212,918616,918y y y t y t t ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =- ，()221,CB x y =- ，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以C A C B ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分20.解析：(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分(II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.其分布列如下，2ξ246p 64811681181可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.其分布列如下，4ξ15p 64811781可求得方案四的期望为46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=.比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分(ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3η25p3p 31p -3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54η15p4p 41p -4444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<.故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分21解析：(I)()ln x e f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=，由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1x f x x bx x++-≥e e ln e 1x x x x x x bx x x⇔-+-++-≥ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x x b x --+⇔≥min e ln 1(,x x x x b x--+⇔≥……6分令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e x x xϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分22.解析：(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=,极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分(Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()(00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23.解：(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2).……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

2020年河南省许昌、新乡、平顶山三市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z1=﹣1+3i，z2=1+i，则=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．1﹣i D．﹣1+i2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.453．如图所示的程序框图，当输入n=50时，输出的结果是i=（）A．3 B．4 C．5 D．64．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．f（x）的递增区间是（2kπ﹣，2kπ+），k∈ZB．函数f（x﹣）是奇函数C．函数f（x﹣）是偶函数D．f（x）=cos（2x﹣）5．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．726．经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=2 C．（x﹣1）2+（y+1）2=4 D．（x+1）2+（y﹣1）2=47．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣78．设函数f（x）对x≠0的实数满足f（x）﹣2f（）=3x+2，那么f（x）dx=（）A．﹣（+2ln2）B． +2ln2 C．﹣（+ln2）D．﹣（4+2ln2）9．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使e＜x0+1成立B．a，b，c∈R，a3+b3+c3=3abc的充要条件是a=b=cC．对∀x∈R，使2x＜x2成立D．a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件10．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=011．在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（）A．372 B．180 C．192 D．30012．设x∈（1，+∞），在函数f（x）=的图象上，过点P（x，f（x））的切线在y轴上的截距为b，则b的最小值为（）A．e B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分.共20分．13．若x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是_______．14．如图，△ABC中，=2，=m，=n，m＞0，n＞0，那么m+2n的最小值是_______．15．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，其前n项和为S n，则_______．16．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的范围是_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）若a=2，b=，求c；（2）若sin（2A﹣）﹣2sin2（C﹣）=0，求A．18．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息生物化学物理数学技术周一周三周五根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）试问线段PB上是否存在点F，使二面角C﹣DE﹣F的余弦值为？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．20．设A1（﹣2，0），A2（2，0），P是动点，且直线A1P与A2P的斜率之积等于﹣．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设轨迹E的左右焦点分别为F1，F2，作两条互相垂直的直线MF1和MF2与轨迹E的交点分别为A，B和C，D，求证： +恒为定值．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的单调区间；（2）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．[选修4-1；几何证明选讲]22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）（1）当α=时，求C1被C2截得的线段的长；（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[选修4-5；不等式选讲]24．选修4﹣5：不等式选讲（Ⅰ）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（Ⅱ）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．2020年河南省许昌、新乡、平顶山三市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z1=﹣1+3i，z2=1+i，则=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．1﹣i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z1=﹣1+3i，z2=1+i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=﹣1+3i，z2=1+i，∴==．故选：C．2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p 的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．3．如图所示的程序框图，当输入n=50时，输出的结果是i=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=57时满足条件S＞50，退出循环，输出i的值为6．【解答】解：模拟执行程序，可得n=50，S=0，i=1第一次执行循环体，S=1，i=2不满足条件S＞50，执行循环体，S=4，i=3不满足条件S＞50，执行循环体，S=11，i=4不满足条件S＞50，执行循环体，S=26，i=5不满足条件S＞50，执行循环体，S=57，i=6满足条件S＞50，退出循环，输出i的值为6．故选：D．4．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．f（x）的递增区间是（2kπ﹣，2kπ+），k∈ZB．函数f（x﹣）是奇函数C．函数f（x﹣）是偶函数D．f（x）=cos（2x﹣）【考点】余弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，结合所给的选项，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象，可得•=+，求得ω=2．再根据五点法作图可得，2•+φ=0，求得φ=﹣，故f（x）=cos（2x﹣）．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得f（x）的递增区间是（kπ﹣，kπ+），k∈Z，故A错误．∵f（x﹣）=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣），是非奇非偶函数，故B错误．f（x﹣）=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣）=sin2x，是奇函数，故C错误．故选：D．5．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．72【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．故选：B．6．经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=2 C．（x﹣1）2+（y+1）2=4 D．（x+1）2+（y﹣1）2=4【考点】圆的标准方程．【分析】设出圆心坐标与半径，根据题意列出方程组，解方程组求出圆心与半径即可．【解答】解：设圆心的坐标为（a，b），则a2+b2=r2①，（a﹣2）2+b2=r2②，=1③；由①②③组成方程组，解得a=1，b=﹣1，r2=2；故所求圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+1）2=2．故选：A．7．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D8．设函数f（x）对x≠0的实数满足f（x）﹣2f（）=3x+2，那么f（x）dx=（）A．﹣（+2ln2）B． +2ln2 C．﹣（+ln2）D．﹣（4+2ln2）【考点】定积分；函数解析式的求解及常用方法．【分析】先将x代换成，求出f（x），再求定积分的值．【解答】解：设函数f（x）对x≠0的实数满足f（x）﹣2f（）=3x+2，让x和互换得，联立求得f（x）=﹣x﹣﹣2f（x）dx==（）=﹣（）故答案为：A9．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使e＜x0+1成立B．a，b，c∈R，a3+b3+c3=3abc的充要条件是a=b=cC．对∀x∈R，使2x＜x2成立D．a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据特称命题的定义进行判断，B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，C．根据全称命题的定义进行判断，D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：A．设f（x）=e x﹣x﹣1，则f′（x）=e x﹣1，当f′（x）＞0时，x＞0，当f′（x）＜0时，x＜0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（0）=1﹣0﹣1=0，即f（x）≥f（0）=0，即e x﹣x﹣1≥0，则e x≥x+1恒成立，故A错误，B．a3+b3+c3﹣3abc=（a+b）3﹣3ab（a+b）+c3﹣3abc=[（a+b）3+c3]﹣3ab（a+b+c）=（a+b+c）[（a+b）2﹣c（a+b）+c2]﹣3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）=0，则a+b+c=0，或a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=0，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴只有（a﹣b）2=0，（a﹣c）2=0，（b﹣c）2=0，∴a=b=c．故a3+b3+c3=3abc的充要条件是a=b=c或a+b+c=0，故B错误，C．当x=0时，2x＜x2不成立，故C错误，D．设f（x）=x|x|=，则函数f（x）为增函数，则，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件，故D正确，故选：D10．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C11．在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（）A．372 B．180 C．192 D．300【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，用排除法，首先计算所有符合条件的4位数的数目，再计算其中可以被5整除的，即末位数字是0或5的四位数的数目，进而相减可得答案．【解答】解：根据题意，用排除法，不能被5整除实质上是末位数字不是0或5，则可以在全部符合条件的四位数中排除末位数字是0或5的即可；所有4位数有A51•A53=300个，末位为0时有A53=60个，末位为5时有A41•A42=4×12=48个，则不能被5整除的数共有有300﹣60﹣48=192个；故选：C．12．设x∈（1，+∞），在函数f（x）=的图象上，过点P（x，f（x））的切线在y轴上的截距为b，则b的最小值为（）A．e B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，可得切线斜率，由直线的斜率公式可得b=，x＞1．再由导数，求得单调区间和极小值，即为最小值．【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）=，当1＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减．则x=e时，f（x）取得最大值．过点P（x，f（x））的切线斜率为f′（x）=，即有=，化简可得b=，x＞1．b′==，当x＞e2时，b′＞0，函数b递增；1＜x＜e2时，b′＜0，函数b递减．则当x=e2时，函数b取得极小值，也为最小值，且为．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分.共20分．13．若x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣3，0]．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的范围．【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，由解得A（0，3）、由解得B（0，）、由解得C（1，1）；结合函数的图形可知，当直线y=x﹣z平移到A时，截距最大，z最小；当直线y=x﹣z平移到B时，截距最小，z最大所以z=x﹣y在A点取得最小值，在C点取得最大值，最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；所以z=x﹣y的范围是[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]14．如图，△ABC中，=2，=m，=n，m＞0，n＞0，那么m+2n的最小值是3．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用表示出，根据三点共线得出m，n的关系，利用基本不等式得出m+2n的最小值．【解答】解：（）==+．∵D，E，F三点共线，∴．∴m=．∴m+2n====（[3n﹣2）+]+．∵（3n﹣2）+≥2，∴m+2n≥=3．故答案为：3．15．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，其前n项和为S n，则1009．【考点】数列的求和．=4n﹣2．于是a2n+1+a2n 【分析】由a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，可得：a2n+1+a2n=4n，a2n﹣a2n﹣1=2，a2n+2+a2n=8n+2．利用“分组求和”即可得出．﹣1【解答】解：∵a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，∴a2﹣a1=2，可得a2=3．=4n﹣2．a2n+1+a2n=4n，a2n﹣a2n﹣1=2，a2n+2+a2n=8n+2．∴a2n+1+a2n﹣1∴S2020=（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a2020+a2020）+（a2+a4）+…+（a2020+a2020）=1008+（8×1+2）+（8×3+2）+…+（8×1007+2）=1008+8×+2×504=1008×2020，∴==1009．故答案为：1009．16．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的范围是．【考点】函数零点的判定定理．【分析】分别设h（x）=2x+a，g（x）=（x+a）（x+2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：设h（x）=2x+a，g（x）=（x+a）（x+2a），若在x＜1时，h（x）=2x+a与x轴有一个交点，则a＜0，并且当x=1时，h（1）=2+a＞0，﹣2＜a＜0，而函数g（x）=（x+a）（x+2a）有一个交点，所以﹣2a≥1，且﹣a＜1，∴﹣1；当a≤﹣2时，在（﹣∞，﹣1）上，h（x）=2x+a与x轴无交点，函数g（x）=（x+a）（x+2a）在x∈[1，+∞）上有两个交点（﹣2a，0），（﹣a，0）．当a≥0时，函数h（x）=2x+a在x＜1时，与x轴没有交点，函数g（x）=（x+a）（x+2a）在x∈[1，+∞）上与x轴无交点．综上所述a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）若a=2，b=，求c；（2）若sin（2A﹣）﹣2sin2（C﹣）=0，求A．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知等式，利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简可得tanB=，从而可求cosB，利用余弦定理即可解得c的值．（2）由降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式，两角差的正弦函数公式化简等式可得2sin（2A﹣）﹣1=0，及，可得A的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵a=bcosC+csinB，∴sinA=sinBcosC+sinCsinB=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴cosBsinC=sinCsinB，∴tanB=，∴∠B=．∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴c2﹣2c﹣3=0，∴c=3．（2）∵B=．∴sin（2A﹣）﹣2sin2（C﹣）=sin（2A﹣）﹣1+cos（2C﹣）=sin（2A﹣）+cos（﹣2A﹣）﹣1=sin（2A﹣）﹣cos（2A﹣）﹣1=2sin（2A﹣）﹣1，∴由2sin（2A﹣）﹣1=0，及，可得A=．18．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息生物化学物理数学技术周一周三周五根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则有独立事件同时发生的概率公式即可求得；（2）由于题意可以知道随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，利用随见变量的定义及相应的事件的概率公式即可求得随机变量每一个值下的概率，并列出其分布列，再有期望定义求解．【解答】解：（1）设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则P（A）=（1﹣，（2）由题意随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P （ξ=5）=，所以随机变量的分布列为：故Eξ=．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）试问线段PB上是否存在点F，使二面角C﹣DE﹣F的余弦值为？若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）利用线面垂直的性质可得AD⊥PE，利用等边三角形的性质可得：PE⊥AB．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．则PE是四棱锥P﹣ABCD的高．再利用三棱锥的体积计算公式即可得出；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE．又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥AB．因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．所以PE是四棱锥P﹣ABCD的高．由DA=AB=2，，可得BC=1．因为△PAB是等边三角形，可求得．所以．（2）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz．则A（0，1，0），E（0，0，0），B（0，﹣1，0），C（1，﹣1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．设，则．设=（x，y，z）为平面DEF的法向量，，所以．设平面CDE的法向量为=（0，0，1）．．化简得3λ2+2λ﹣1=0．解得．所以存在点F，且．20．设A1（﹣2，0），A2（2，0），P是动点，且直线A1P与A2P的斜率之积等于﹣．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设轨迹E的左右焦点分别为F1，F2，作两条互相垂直的直线MF1和MF2与轨迹E的交点分别为A，B和C，D，求证： +恒为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意得，由此能求出动点P的轨迹E的方程．（2）设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=﹣（x﹣2），与椭圆联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，由韦达定理、弦长公式得到|AB|，同理可得|CD|，由此能证明+恒为定值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设P（x，y），∵A1（﹣2，0），A2（2，0），P是动点，且直线A1P与A2P 的斜率之积等于﹣，∴由题意得，化简得，且x．故动点P的轨迹E的方程为，且x．证明：（2）设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=﹣（x﹣2）．由，消去y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0．由韦达定理得：，，∴|AB|==．同理可得|CD|=．∴=+=．∴+恒为定值．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的单调区间；（2）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）分离参数得到k＜+2，对任意x＞1恒成立，令g（x）=+2，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出k的最大值即可．【解答】解：（1）h（x）=f（x+1）﹣g′（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，所以h′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0，因此，h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．（2）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4，化为k＜+2，所以k＜+2，对任意x＞1恒成立．令g（x）=+2，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2，（x＞1），则h′（x）=1﹣=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以函数g（x）=+2在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以[g（x）]min=g（x0）=+2=+2=x0+2∈（5，6），所以k＜[g（x）]min=x0+2∈（5，6），故整数k的最大值是5．[选修4-1；几何证明选讲]22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC=90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）（1）当α=时，求C1被C2截得的线段的长；（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）联立两个解析式，得到交点，利用两点距离公式得到截得线段的长．（2）由A对应的参数，得到的参数方程，由此得到普通方程．【解答】解：（1）当a=时，C1的普通方程为y=（x﹣1），C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）与（，﹣）．所以，C1被C2截得的线段的长为1．（2）将C1的参数方程代C2的普通方程得t2+2tcosα=0，∴A点对应的参数t==﹣cosα，∴A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα）．故当α变化时，A点轨迹的参数方程为：（α为参数）．因此，A点轨迹的普通方程为（x﹣）2+y2=．故A点轨迹是以（，0）为圆心，半径为的圆．[选修4-5；不等式选讲]24．选修4﹣5：不等式选讲（Ⅰ）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（Ⅱ）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．【考点】绝对值不等式；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）分x＜0、、三种情况，分别去掉绝对值，求出不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）根据|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1，证得结果．【解答】解：（Ⅰ）当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+x＜0，解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在．当时，原不等式可化为﹣2x﹣x＜0，解得x＞0，又∵，∴．当时，原不等式可化为2x﹣1﹣x＜1，解得x＜2，又∵，∴．综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（Ⅱ）∵f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，故|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a ﹣1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．2020年9月8日。

河南省许昌市数学 2020 届高中毕业班文数第一次模拟试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017·陆川模拟) 若复数 z 满足（1+i）z=2+i，则复数 z 的共轭复数 在复平面内对应的点位 于（ ）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2 分） 定义集合 A 与 B 的运算“*”为：A*B={x|x∈A 或 x∈B，但 x∉A∩B}，按此定义，（X*Y）*Y=（ ）A.XB.YC . X∩YD . X∪Y3. （2 分） 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD=60°，M 为 DC 的中点，若 N 为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（ ）A.3 B.2第 1 页 共 12 页C.6 D.9 4. （2 分） 下列命题中，真命题是（ ） A. B. C. D. 5. （2 分） 如下图所示，程序框图输出的所有实数对 (x，y)所对应的点都在函数（ ）A . y=x+1 的图象上 B . y=2x 的图象上 C . y=2x 的图象上 D . y=2x-1 的图象上 6. （2 分） (2016 高二下·佛山期末) 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单 位：m），则该四棱锥的体积为（ ）m3 ．第 2 页 共 12 页A.4B. C.3 D.27. （2 分） (2016 高一下·天水期末) 函数 y=sin（2x+ ）的单调减区间为（ ）A.（k∈Z）B.（k∈Z）C.（k∈Z）D.（k∈Z）8. （2 分） 设正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 S2012=2012，则 +A.1B.2C.4D.89. （2 分） 函数的零点所在的区间是（ ）A.第 3 页 共 12 页的最小值为（ ）B. C. D. 10. （2 分） 椭圆焦点在 x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点， 的范围是（ ） A.B.， 则该椭圆的离心率 eC.D. 11. （2 分） (2018·江西模拟) 在中，是以-2 为第三项，6 为第七项的等差数列的公差，是以 为第二项，27 为第七项的等比数列的公比，则这个三角形是（ ）A . 钝角三角形B . 锐角三角形C . 等腰直角三角形D . 以上都不对12. （2 分） 己知函数 f（x）= 围为（ ）A . （﹣∞，0] B . [﹣2，2] C . （﹣∞，2] D . [0，2]，若不等式 f（x）+1≥0 在 x∈R 上恒成立，则实数 a 的取值范第 4 页 共 12 页二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2018·如皋模拟) 设变量 满足 14. （2 分） (2018 高二上·浙江期中) 已知直线 ________，两直线之间的距离是________．，则 和的最小值为________. 互相平行，则实数15. （1 分） (2016 高二上·扬州开学考) 设{an}是等比数列，公比 ．设 为数列{Tn}的最大项，则 n0=________．，Sn 为{an}的前 n 项和．记16. （1 分） (2018·郑州模拟) 已知双曲线 线引垂线，垂足为 ，交另一条渐近线于 ，若的右焦点为 ，过点 向双曲线的一条渐近 ，则双曲线的渐近线方程为________.三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） (2020·南昌模拟) 在 .中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足（1） 求 的值；（2） 若，则的面积的最大值.18. （10 分） (2018·山东模拟) 为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中 学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了 人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的 ，男生喜欢看该节目的占男生总人数的 ．随后，该小组采用分层抽样的方法从这 份问卷中继 续抽取了 份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有 人．参考数据：P（K2≥k） 0．050 3．8410．025 5．0240．010 6．6350．005 7．8790．001 10．828，其中．第 5 页 共 12 页(1) 现从重点分析的 人中随机抽取了 人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；【答案】解：记重点分析的 5 人中喜爱看该节目的为 有可能的结果有 的有 3 种，，不爱看的为 ，从 5 人中随机抽取 2 人，所 ，共 10 种，则这两人都喜欢看该节目∴，即这两人都喜欢看该节目的概率为 .（1） 现从重点分析的 人中随机抽取了 人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；（2） 若有的把握认为“爱看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数 至少为多少？19. （10 分） 已知长方体 AC1 中，棱 AB=BC=1，棱 BB1=2，连结 B1C，过 B 点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E，交 AC 于 F．（1） 求证：A1C⊥面 EBD； （2） 求四棱锥 A﹣A1B1CD 的体积．20. （10 分） (2019 高三上·郑州期中) 设是椭圆上的点， ， 是焦点，离心率.（1） 求椭圆的方程；（2） 设，是椭圆上的两点，且，（ 是定数），问线段是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不存在，说明理由.的垂直平分线21. （10 分） (2020·南京模拟) 如图，是一块半径为 4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油第 6 页 共 12 页桶.具体做法是从中剪裁出两块全等的圆形铁皮与做圆柱的底面，剪裁出一个矩形做圆柱的侧面（接缝忽略不计）， 为圆柱的一条母线，点在上，点在的一条直径上，，分别与直线 、 相切，都与内切.（1） 求圆形铁皮半径的取值范围；（2） 请确定圆形铁皮与半径的值，使得油桶的体积最大.（不取近似值）22. （10 分） 在极坐标系中，已知圆 C 经过点（ 轴的交点， ），圆心为直线 ρsin（θ﹣ ）=﹣与极（1） 求圆 C 的圆心坐标；（2） 求圆 C 的极坐标方程．23. （10 分） (2019 高二下·蛟河月考) 已知函数.（1） 解不等式；（2） 设 值范围.，若对任意，都有，使得成立，求实数 的取第 7 页 共 12 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、参考答案14-1、第 8 页 共 12 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、17-2、18-1、18-2、第 9 页 共 12 页19-1、 19-2、第 10 页 共 12 页20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

河南省许昌市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.2．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a < D ．b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【详解】令23abt ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元【答案】D 【解析】 【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x ＝2． 故选D ． 【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题． 4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀≤，2sin x x >”，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故B 错误；若(01)0.4P ξ<<=，则(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x <，得0x <或1x >，故“0x <”是“11x <”的充分不必要条件，D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.5．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r （O 为坐标原点），且12PF =u u u v u u u v，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B 1C ．12D 1【答案】D 【解析】 【分析】利用向量运算可得220OA F P ⋅=u u u v u u u u v，即2OA F P ⊥u u u r u u u u r ，由OA 为12PF F ∆的中位线，得到12PF PF ⊥，所以()222122PF PF c +=，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取2PF 的中点A ，则由()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r 得220OA F P ⋅=u u u v u u u u v，即2OA F P ⊥u u u r u u u u r ；在12PF F ∆中，OA 为12PF F ∆的中位线， 所以12PF PF ⊥， 所以()222122PF PF c +=；由双曲线定义知122PF PF a -=，且12PF =，所以)12c a =，解得1e =， 故选：D 【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.6．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=407．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果． 【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-，∴a 的值可以为2-． 故选：D ． 【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 8．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >【答案】D 【解析】【分析】 根据()()2'f x f x x >的结构形式，设()()2f x g x x =，求导()()()32xf x f x g x x'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=，得到04π<∠<B ，04π<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()2f x g x x=， 所以 ()()()32xf x f x g xx'-'=，因为当0x >时，()()2'f x f x x>， 即()()20xf x f x x'->，所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫∠=+∠⎪⎝⎭C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，所以sin sin 4π⎛⎫∠<+∠⎪⎝⎭B B ， 即cos sin ∠>∠C B ， 所以()()22cos sin s sin f C f B co CB>，即()()22cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题10．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈u u u r u u u u r u u u r ，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( ) A ．324B ．5212C ．5312D ．612【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r，求出点()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，因为点P 在双曲线上，及c e a =，代入整理及得241e λμ=，又已知625λμ=，即可求出离心率． 【详解】由题意可知bc bc M c N c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，代入OP OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r 得：()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，， 代入双曲线方程22221x y a b -=整理得：241e λμ=，又因为625λμ=，即可得到e =，故选：D ． 【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于a ，b ，c 的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题． 11．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±= D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.12．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x …时，函数()f x =若111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则,,a b c 大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得[1,)+∞的单调性，再由(2)()f x f x -=-可得()f x 对称性，可求出()f x 在(,1)-∞单调性，即可求出结论. 【详解】对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-， 因为函数()f x 关于点(1,0)对称，当1x ≥时，()f x =所以()f x 在定义域R 上是单调增函数. 因为111232-<-<，所以111232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ， b c a <<.故选:A. 【点睛】本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题.. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省许昌市数学 2020 届高中毕业班理数第一次（3 月)质量检测试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高三上·汉中月考) 复数 满足，则（）A.B.C.D. 2. （2 分） 抛物线 x2=4y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 3. （2 分） 已知集合 A={x|1＜x＜2}，B={x|x≤a}，若 A∩B≠Φ，则实数 a 的集合为（ ） A . {a|a＜2} B . {a|a≥1} C . {a|a＞1} D . {a|1≤a≤2}4. （2 分） (2018·银川模拟) 设A . 有最小值，最大值满足则第 1 页 共 13 页（）B . 有最大值 ，无最小值 C . 有最小值 ，无最大值 D . 有最小值 ，无最大值 5. （2 分） 已知| |=2| |≠0，且 ⊥（ ﹣ ），则 与 的夹角是（ ） A. B. C. D. 6. （2 分） 三棱锥 A-BCD 的三视图为如图所示的三个直角三角形，则三棱锥 A-BCD 的表面积为（ ）A. B.C. D.7. （2 分） 已知 A={y|y=log2x,x 2}B={y|y= ,x 2}，则 A∩B=（ ） A.∅B . （ ， 1）第 2 页 共 13 页C . （0， ）D . （﹣∞， ）8. （ 2 分 ） (2019 高 三 上 · 佳 木 斯 月 考 ) 已 知 正 项 数 列的前 项和为 ，且，，设数列的前 项和为 ，则 的取值范围为（ ）A. B.C. D. 9. （2 分） 从集合{2，3，4， ， }中取两个不同的数 a，b，则 logab＞0 的概率为（ ） A. B. C. D. 10. （2 分） (2017 高二下·广州期中) 设 f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数 y=f′ （x）的图象可能是（ ）第 3 页 共 13 页A. B.C.D.11. （2 分） (2019 高三上·和平月考) 若 A. B. C. D.，则（）12. （ 2 分 ） 若 P 是 双 曲 线：和圆， 其中是双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为（的一个交点且 ）第 4 页 共 13 页A. B. C.2 D.3二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020·重庆模拟) 已知等比数列 的前 n 项和 满足，则________.14. （1 分） 在的展开式中 的系数等于________15. （1 分） (2019 高二下·玉林月考) 给出下列五个命题：①函数 f（x）＝2 x﹣1﹣1 的图象过定点（ ，﹣1）；②已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0时，f（x）＝x（x+1），若 f（a）＝﹣2 则实数 a＝﹣1 或 2．③若1，则 a 的取值范围是（ ，1）；④若对于任意 x∈R 都 f（x）＝f（4﹣x）成立，则 f（x）图象关于直线 x＝2 对称；⑤对于函数 f（x）＝lnx，其定义域内任意都满足 f（ ）其中所有正确命题的序号是________．16. （1 分） 在棱锥 A﹣BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，E 为底面 BCD 上一点，若 E 到三个侧面的距离分 别为 3，4，5，则以线段 AE 为直径的球的表面积为________．三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） (2018·江西模拟) 已知 ， ， 分别为 .的内角 ， ， 的对边，（1） 若，求的值；（2） 设，且，求的面积.18. （10 分） (2018 高三上·山西期末) 如图，在四棱锥平面平面上任意一点，， ，且是等边三角形，已知 .第 5 页 共 13 页中，底面梯形 ，，，，是（1） 求证：平面平面；（2） 试确定 的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的 3 倍.19. （10 分） 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄 录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日昼夜温差 x（℃） 1011131286就诊人数 y（人） 222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取 的 2 组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据 2 至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的线性回归方 程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？20. （10 分） (2017·新课标Ⅲ卷理) 已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 与 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（Ⅱ）设圆 M 过点 P（4，﹣2），求直线 l 与圆 M 的方程．21. （10 分） (2017 高二下·太原期中) 已知函数 f（x）=x3+ （1） 用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；第 6 页 共 13 页，x∈[0，1]．（2） 证明：f（x）≤ ．22. （10 分） (2018 高二上·镇江期中) 已知椭圆 E：的焦距为 2 ，一条准线方程为 x=，A，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，点 P，Q 在的椭圆上，且点 P 在第一象限．（1） 求椭圆 E 的标准方程； （2） 若点 P，Q 关于坐标原点对称，且 PQ⊥AB，求四边形 ABCD 的面积； （3） 若 AP，BQ 的斜率互为相反数，求证：PQ 斜率为定值．23. （10 分） (2019 高三上·沈阳月考) 已知函数.（1） 求不等式的解集；（2） 设函数，若存在 使成立，求实数 的取值范围.第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、 17-2、18-1、 18-2、第 9 页 共 13 页19-1、第 10 页 共 13 页21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、。

河南省许昌市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324 B ．522C ．535D ．578【答案】D 【解析】 【分析】因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.2．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞U B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法设()t f x =，则等价为()0f t =有且只有一个实数根，分0,0,0a a a <=> 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.解：设()t f x = ，则()0f t =有且只有一个实数根.当0a < 时，当0x ≤ 时，()103xfx a ⎛⎫=⋅< ⎪⎝⎭，由()0f t =即13log 0t =，解得1t =，结合图象可知，此时当1t =时，得()1f x = ，则13x =是唯一解，满足题意； 当0a =时，此时当0x ≤时，()103xf x a ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，此时函数有无数个零点，不符合题意； 当0a > 时，当0x ≤ 时，()[)1,3xf x a a ⎛⎫=⋅∈+∞ ⎪⎝⎭，此时()f x 最小值为a ，结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > . 综上所述：0a < 或1a >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.3．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论. 【详解】依题意，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252bc a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题. 4．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.5．已知函数()32cos f x x x =+，若a f =，(2)b f =，2(log 7)c f =,则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得()f x 在R上为增函数，又由222log 4log 73=<<<解：根据题意，函数()32cos f x x x =+，其导数函数()32sin f x x '=-， 则有()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立， 则()f x 在R 上为增函数；又由222log 4log 73=<<< 则b c a <<； 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．6．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ==，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） AB．CD【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ， 过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,Rt ADD DD AA AD AD ∆==∴111cos DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 7． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】 【分析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2510C =，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率. 【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为2510C =，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数21234C C +=， ∴6和28不在同一组的概率1043105P -==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用. 8．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是3212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象求出函数()g x 的解析式,再由平移知识得到()f x 的解析式,然后分别找出1()3f x =和32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出. 【详解】设()()sin g x A x ωμ=+,根据图象可知,371,24612A T T πππω⎛⎫==--⇒=⇒= ⎪⎝⎭,再由77sin 211212g ππμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 取3πμ=-, ∴()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 将函数()g x 的图象向右平移34π个单位长度,得到函数()f x 的图象, ∴33()sin 2cos 24433f x g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 11()cos 2333f x x π⎛⎫=⇔-= ⎪⎝⎭,3sin 21263x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令6x πθ=-,则231sin cos 212sin 33θθθ=⇒=-=,显然,13cos 2sin 33θθ=⇒=∴1()3f x =是3212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的必要不充分条件. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.9．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +-='交于M,N 两点,若||6MN =,则MNF V 的面积为( )A ．2 B ．38C ．328D ．32【答案】B 【解析】 【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，3p =， ∴3(,0)F ，11333228FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85 B ．852C ．35D ．352【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，求得1,a d ，由此求得10S . 【详解】设公差为d ，则11522234a d a d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，所以322d =，34d =，178a =，101138510109242S a =+⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题. 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【详解】由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.12．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】 【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D 【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．复数等于（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．103．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+4．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f（x）＝sin+cos3x的最小正周期为（）A．15πB．12πC．6πD．3π5．如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．q＝B．q＝C．q＝D．q＝6．设函数f（x）＝，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（，0）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，0）∪（0，）D．（﹣∞，）∪（0，）7．若直线+＝1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则2a+b的最小值为（）A．10B．9C．8D．68．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）A．1B．﹣1C．0D．i10．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2．沿BD将ABCD折成60°的二面角A﹣BD﹣C，则折后直线AC与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．5412．已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1）对x∈[0，+∞）有f（x）≤kx2成立，则k的最小值为（）A．1B．C．e D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在区域{（x，y）|x∈[0，1]，y∈[0，1]}内任取一点P（x，y），能满足y≤的概率为．14．在△ABC中，2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为．15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，且△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为；如果C1与C2在第一象限内有且只有一个公共点，且a＝，那么C2的方程为．16．设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：60分．17．已知数列{a n}满足a n+1＝3a n﹣2a n﹣1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，a2＝3．（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BB1的中点．（1）求证：截面AEC1⊥侧面AC1；（2）若AA1＝A1B1＝1，求B1到平面AEC1的距离．19．一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为，且能否找到其它宝藏相互独立．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q币个数X的数学期望（收益＝收入﹣支出）．20．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B（﹣1，0），长为的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当x轴是∠PBQ的角平分线时，求直线PQ的方程．21．设函数f（x）＝αx+1+lnx（a∈R为常数）．（1）讨论函数f（x）可能取得的最大值或最小值；（2）已知x＞0时，f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）设l与C相交于A，B两点，定点M（，0），求﹣的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|ax|（x2﹣4）﹣|x﹣2|（x+1）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若∃x∈（2，+∞），使得不等式f（x）＜0成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数等于（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：＝＝．故选：D．2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min＝﹣3+k＝2，解得k＝5，∴y＝3sin（x+φ）+5，∴当当sin（x+φ）取最大值1时，函数取最大值y max＝3+5＝8，故选：C．3．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．4．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f（x）＝sin+cos3x的最小正周期为（）A．15πB．12πC．6πD．3π【分析】直接利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin+cos3x的最小正周期相当于函数y＝sin的最小正周期与函数y＝cos3x的最小正周期的最小公倍数．故答案为6π．故选：C．5．如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．q＝B．q＝C．q＝D．q＝【分析】通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式．解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入q＝．故选：D．6．设函数f（x）＝，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（，0）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，0）∪（0，）D．（﹣∞，）∪（0，）【分析】对a分情况讨论，分别得到对数不等式，再利用对数函数的性质即可得到关于a的不等式，解出a的范围即可．解：①当a＞0时，﹣a＜0，由f（a）＞f（﹣a）得：，∴，∴，∴，又a＞0，∴解得：a＞，②当a＜0时，﹣a＞0，由f（a）＞f（﹣a）得：，∴，∴，又a＜0，解得：，故选：A．7．若直线+＝1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则2a+b的最小值为（）A．10B．9C．8D．6【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解：由题意可得，，则2a+b＝（2a+b）（）＝5+≥5+4＝9，当且仅当且，即a＝b＝3时取等号，此时取得最小值9．故选：B．8．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y＝k（x+a），分别令x ＝﹣c，x＝0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH＝k BM，即为＝，化简可得＝，即为a＝3c，可得e＝＝．另解：由△AMF∽△AEO，可得＝，由△BOH∽△BFM，可得＝＝，即有＝即a＝3c，可得e＝＝．故选：A．9．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）A．1B．﹣1C．0D．i【分析】直接求解比较麻烦，它是选择题可以取特殊值验证．解：由题意，可取a＝1，b＝﹣1，c2＝﹣1，c＝i，d＝﹣i，或c＝﹣i，d＝i，所以b+c+d ＝﹣1+i+﹣i＝﹣1，故选：B．10．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2．沿BD将ABCD折成60°的二面角A﹣BD﹣C，则折后直线AC与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】作出图形，分析可知AF⊥平面BCD，进而得到∠ACF为直线AC与平面BCD 的所成角，由此转化到三角形中求解．解：取BD，CD的中点分别为O，E，连接OE，取OE的中点F，连接CF，AF，由AB＝AD，且O为BD中点可知OA⊥BD，又在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2，∴，∴BD2+BC2＝CD2，则BC⊥BD，∴OE⊥BD，又OA⊥BD，∴∠AOE即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，则∠AOE＝60°，又，∴△AOE为正三角形，∴AF⊥OE，又BD⊥OA，BD⊥OE，OA∩OE＝O，∴BD⊥平面AOE，∴BD⊥AF，又OE∩BD＝O，∴AF⊥平面BCD，∴∠ACF为直线AC与平面BCD的所成角，又，，∴，∴．故选：B．11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．54【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33＝18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22＝3×2×3×2＝36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22＝72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72＝126种，故选：B．12．已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1）对x∈[0，+∞）有f（x）≤kx2成立，则k的最小值为（）A．1B．C．e D．【分析】当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不符合题意，所以k＞0，构造函数g（x）＝f（x）﹣kx2，利用导数求出函数g（x）的最小值小于0即可．解：①当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不符合题意，②当k＞0时，令g（x）＝f（x）﹣kx2，即g（x）＝x﹣ln（x+1）﹣kx2，∴g'（x）＝1﹣＝﹣，令g'（x）＝0，可得x1＝0，x2＝＞﹣1，（i）当k时，，g'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，g（x）在[0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（0）＝0，∴对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，（ii）当0＜k＜时，x2＝＞0，在（0，）上，g'（x）＞0，g（x）单调递增；在（，+∞）上，g'（x）＜0，g（x）单调递减，因此存在使得g（x0）≥g（0）＝0，可得，即f（x0），与题矛盾，∴综上所述，k时，对x∈[0，+∞）有f（x）≤kx2成立，则k的最小值为，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在区域{（x，y）|x∈[0，1]，y∈[0，1]}内任取一点P（x，y），能满足y≤的概率为．【分析】利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和满足y≤的点构成的区域的面积后再求它们的比值，解：其构成的区域如图所示的边长为1的正方形，面积为S1＝1，满足y≤所表示的平面区域是以（1，0）为圆心，以1为半径的半圆，其面积为S2＝，∴在区域内随机取一个点P，则能满足y≤的概率P＝，故答案为：14．在△ABC中，2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为．【分析】由正弦定理，角化边得a2＝b2+c2+cb，再利用余弦定理即可求出结果．解：∵2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C，∴由正弦定理，角化边得：2a2＝（2b+c）b+（2c+b）c，整理得：a2＝b2+c2+cb，∴cos A＝，又∵A∈（0，π），∴A＝，故答案为：．15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，且△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为；如果C1与C2在第一象限内有且只有一个公共点，且a＝，那么C2的方程为x2＝4y．【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程与抛物线联立求出A，B的坐标，再由三角形OAB的垂心为抛物线的焦点可得AF⊥OB，可得a，b之间的关系，再由a，b，c之间的关系进而求出离心率；两个曲线在第一象限仅有一个交点可得相切，由a的值及a，b的关系求出b的值，用判别式等于0求出p的值，进而写出抛物线的方程．解：由题意可得抛物线的焦点F（0，），双曲线的渐近线的方程为：y＝x，，可得x＝，y＝，设交点A（，），B（，），因为△OAB的垂心为C2的焦点，所以AF⊥OB，即＝0，即（，）•（，）＝0，整理可得：4b2＝5a2，即b2＝，所以离心率e＝＝＝＝；联立双曲线与抛物线的方程可得：，a＝，所以b2＝＝整理可得：4y2﹣10py+25＝0，由题意可得△＝100p2﹣4×4×25＝0，p＞0，解得p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y，故答案分别为：，x2＝4y．16．设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为．【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则当圆锥体积最小时，如图，由△AOE～△ACF可得：，即r＝，∴圆锥的体积V＝πr2h＝＝[（h﹣2）++4]≥．当且仅当h﹣2＝2即h＝4时取等号．∴该圆锥体积的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：60分．17．已知数列{a n}满足a n+1＝3a n﹣2a n﹣1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，a2＝3．（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】本题第（1）题对递推数列进行变形之后可得a n+1﹣a n＝2（a n﹣a n﹣1），即可发现数列{a n+1﹣a n}是等比数列．且可计算出a n+1﹣a n＝2n，然后运用累加法可得数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用错位相减法和分组求和法可计算出数列{b n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：依题意，当n≥2时，由a n+1＝3a n﹣2a n﹣1，可得a n+1﹣a n＝2a n﹣2a n﹣1＝2（a n﹣a n﹣1）．∵a2﹣a1＝3﹣1＝2，∴数列{a n+1﹣a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴a n+1﹣a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．则a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝22，…a n﹣a n﹣1＝2n﹣1．各项相加，可得a n﹣a1＝2+22+…+2n﹣1，∴a n＝1+2+22+…+2n﹣1＝＝2n﹣1．∴a n＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝（n+1）a n＝（n+1）（2n﹣1）＝（n+1）•2n﹣（n+1）．构造数列{c n}：令c n＝（n+1）•2n，设数列{c n}的前n项和为T n，则T n＝c1+c2+…+c n＝2•21+3•22+…+（n+1）•2n，2T n＝2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，两式相减，可得﹣T n＝4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝4+﹣（n+1）•2n+1＝﹣n•2n+1．∴T n＝n•2n+1．∵b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）＝c n﹣（n+1），∴S n＝b1+b2+…+b n＝（c1﹣2）+（c2﹣3）+…+[c n﹣（n+1）]＝（c1+c2+…+c n）﹣[2+3+…+（n+1）]＝T n﹣＝n•2n+1﹣．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BB1的中点．（1）求证：截面AEC1⊥侧面AC1；（2）若AA1＝A1B1＝1，求B1到平面AEC1的距离．【分析】（1）设O，O1分别为AC，A1C1的中点，AC1与A1C相交于F．由已知证明EF⊥侧面AC1．可得截面AEC1⊥侧面AC1；（2）由已知求解△AEC1的面积与△B1EC1的面积，再由A到平面B1BCC1的距离为，然后利用等积法求B1到平面AEC1的距离．【解答】（1）证明：设O，O1分别为AC，A1C1的中点，AC1与A1C相交于F．∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴侧面A1C⊥底面ABC．∵O是正三角形ABC边AC的中点，∴OB⊥AC．∴OB⊥侧面AC1．∵OO1∥BB1，OO1＝BB1，E，F是中点，∴EBOF是平行四边形．∴EF∥OB，∴EF⊥侧面AC1．又EF⊂平面AEC1，∴截面AEC1⊥侧面AC1；（2）解：∵AA1＝A1B1＝1，∴，，∴△AEC1的面积为．又∵A到平面B1BCC1的距离为，△B1EC1的面积为．设B1到平面AEC1的距离为d，∵，∴，∴．即，B1到平面AEC1的距离为．19．一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为，且能否找到其它宝藏相互独立．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q币个数X的数学期望（收益＝收入﹣支出）．【分析】（1）记闯关成功为事件A，事件A共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C，那么A＝B+C．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．（2）记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{﹣1，1，5}．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布和数学期望．解：（1）记闯关成功为事件A，事件A共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C，那么A＝B+C．∵，，∴．（2）记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{﹣1，1，5}．∵由（1）知，又．∴X的概率分布为：X﹣115P因此，EX＝．20．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B（﹣1，0），长为的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当x轴是∠PBQ的角平分线时，求直线PQ的方程．【分析】（1）设出圆心的坐标，利用圆的性质得：，CA2＝CM2＝ME2+EC2，求解即可．（2）设P（x1，y1），Q（x1，y1），（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，y1+y2≠0，y1•y2＜0，由x轴平分∠PBQ，得，设直线PQ：x＝my+n，代入C的方程得：y2﹣8my﹣8n＝0．求出n，然后求解，得到直线PQ的方程．（ⅱ）当PQ与x 轴垂直时，推出直线PQ的方程．解：（1）A（4，0），设圆心C（x，y），线段MN的中点为E，则由圆的性质得：，CA2＝CM2＝ME2+EC2，∴（x﹣4）2+y2＝4+x2，即y2＝8x．（2）设P（x1，y1），Q（x1，y1），由题意可知，．（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，y1+y2≠0，y1•y2＜0，由x轴平分∠PBQ，得，∴，∴（y1+y2）（8+y1•y2）＝0，∴8+y1•y2＝0．设直线PQ：x＝my+n，代入C的方程得：y2﹣8my﹣8n＝0．∴8﹣8n＝0，即n＝1．由于，，∴，因此，直线PQ的方程为．（ⅱ）当PQ与x轴垂直时，，可得直线PQ的方程为x＝3．综上，直线PQ的方程为或x＝3．21．设函数f（x）＝αx+1+lnx（a∈R为常数）．（1）讨论函数f（x）可能取得的最大值或最小值；（2）已知x＞0时，f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．再对a分情况讨论，分别求出函数f（x）的最值情况即可；（2）由已知可得，对x＞0时恒成立，令，则只需a ≤F（x）min即可，利用导数得到函数F（x）在x＝x0时取得最小值，其中x0∈（0，1），且，所以a≤1．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（ⅰ）当a≥0，由f'（x）＞0可得f（x）是增函数，这时函数f（x）没有最大值也没有最小值，（ⅱ）当a＜0，函数f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以，时，f（x）取得最大值，且f（x）无最小值；（2）由已知可得，对x＞0时恒成立，令，则，令G（x）＝x2e x+lnx，则，所以G（x）是增函数，又∵当x→0时，G（x）→﹣∞，G（1）＝e＞0，因此，方程x2e x+lnx＝0有唯一解x0∈（0，1），所以当x∈（0，x0）时，G（x）＜0，函数F（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，函数F（x）单调递增，所以，函数F（x）在x＝x0时取得最小值，由于，所以，构造函数φ（x）＝xe x，易证φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴，即lnx0＝﹣x0，所以，，因此，a≤1，所以a的取值范围为：（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）设l与C相交于A，B两点，定点M（，0），求﹣的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）∵，∴，∴x＜﹣1或x≥1．∵，∴C的直角坐标方程为．∵，∴，∴，∴直线l的直角坐标方程为．（2）由（1）可设l的参数方程为（t为参数），代入C的方程得：，其两根t1，t2满足，．∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|ax|（x2﹣4）﹣|x﹣2|（x+1）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若∃x∈（2，+∞），使得不等式f（x）＜0成立，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入，分类讨论解不等式即可；（2）变形可得，构造函数即可得解．解：（1）当a＝1时，原不等式可化为|x|（x2﹣4）﹣|x﹣2|（x+1）＜0．（*）（ⅰ）当x＜0时，（*）化为，（x﹣2）（x2+x﹣1）＞0，所以，；（ⅱ）当0≤x≤2时，（*）化为（x﹣2）（x2+3x+1）＜0，所以，0≤x＜2；（ⅲ）当x＞2时，（*）化为（x﹣2）（x2+x﹣1）＜0，所以，无解；综上，a＝1时，不等式f（x）＜0的解集为．（2）当x∈（2，+∞），原不等式f（x）＜0化为：|a|x（x﹣2）（x+2）﹣（x﹣2）（x+1）＜0，∴．由于函数在x∈（2，+∞）上是减函数，∴．∴∃x∈（2，+∞），使得不等式f（x）＜0成立，必须使．因此，．。