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中国科学院大学硕士研究生入学考试
《信号与系统》考试大纲
一、考试科目基本要求及适用范围
本《信号与系统》考试大纲适用于中国科学院大学通信与信息系统、信号与信息处理以及相关专业的硕士研究生入学考试。
信号与系统是电子、通信、控制科学与工程等许多学科专业的基础理论课程，它主要研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法，认识如何建立信号与系统的数学模型，通过时间域与变换域的数学分析对系统本身性能和系统输出信号进行求解与分析，并对所得结果赋予物理解释、物理意义。
要求考生熟练掌握以上基本概念与基本运算，并能加以灵活运用。
二、考试形式和试卷结构
考试采取闭卷笔试形式，考试时间180分钟，总分150分。
试题采用填空、选择、判断对错及计算等形式。
三、考试内容
（一）概论
1.信号的描述、分类及典型示例；
2.信号的运算；
3.系统的模型与分类；
4.系统分析方法。
（二）连续时间系统的时域分析
1.微分方程的建立与求解；
2.零输入响应与零状态响应的定义和求解；
3.冲激响应与阶跃响应；
4.卷积的定义、性质、计算等。
（三）傅里叶变换
1.周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱；
2.傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数；
3.傅里叶变换的性质与运算；
4.周期信号的傅里叶变换；
5.抽样定理、抽样信号的傅里叶变换；
6.连续时间系统的傅里叶分析应用。
（四）拉普拉斯变换
—1—。
帕塞瓦尔等式公式帕塞瓦尔等式公式这玩意儿，对于很多同学来说，可能一开始听着就觉得脑袋发晕。
但别怕，咱们一起来好好琢磨琢磨。
我记得有一次，我去参加一个数学学术交流活动。
在那里，遇到了一位年轻的老师正在讲解帕塞瓦尔等式公式。
当时周围的人，有的一脸茫然，有的皱着眉头努力思考。
我站在一旁，也开始跟着老师的思路走。
老师在黑板上写下了帕塞瓦尔等式公式的表达式：如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上可积，并且其傅里叶级数展开为 \(f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))\) ，那么就有\(\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} |f(x)|^2 dx = \frac{a_0^2}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2 + b_n^2)\) 。
这公式看起来复杂，其实它背后有着很有趣的意义。
咱们先来说说它在信号处理中的应用。
想象一下，你正在听一首好听的歌曲，这个歌曲的声音其实就是一种信号。
通过帕塞瓦尔等式公式，我们可以分析这个声音信号在不同频率上的能量分布。
就好像把这首歌曲拆分成了一个个小部分，然后看看每个小部分贡献了多少“力量”。
在物理学中，帕塞瓦尔等式公式也有大用处。
比如说研究电磁波的传播，它能帮助我们了解电磁波在不同波长下的能量情况。
这就像是给电磁波做了一次“能量体检”，让我们清楚地知道它的“身体状况”。
再从数学角度来看，帕塞瓦尔等式公式是一种非常巧妙的平衡关系的表达。
它告诉我们，一个函数在某个区间上的总能量，可以通过它的傅里叶级数展开中的系数来计算。
对于学习数学的同学们来说，理解帕塞瓦尔等式公式不能只是死记硬背。
要多做一些练习题，从简单的例子入手，逐渐加深对它的理解。
比如说，我们可以先从一些简单的周期函数开始，计算它们的傅里叶级数展开，然后再用帕塞瓦尔等式公式来验证。
帕塞瓦尔定理
帕塞瓦尔定理也称帕塞瓦尔等式，是勾股定理在希尔伯特空间或更广泛的内积空间中的推广。
叙述:在一般的欧氏平面几何中，勾股定理说明直角三角形的两个直角边之长度的平方加起来等于斜边的平方。
从另一种角度来看，若在平面上定义了一个直角坐标系xOy（单位向量分别是），那么一个向量和它在这两个坐标轴方向上的投影构成一个直角三角形，因此，向量的长度的平方等于它在两个坐标轴方向上的投影的长度的平方之和。
赛瓦定理证明【最新版】目录1.赛瓦定理简介2.赛瓦定理的证明方法3.赛瓦定理的应用领域正文一、赛瓦定理简介赛瓦定理，又称赛瓦 - 利曼尼茨基定理，是由法国数学家赛瓦（Cauchy）和俄罗斯数学家利曼尼茨基（Liemann）分别于 1829 年和 1853 年独立发现的一个数学定理。
该定理主要描述了复变函数在单位圆上的取值与泰勒级数的关系，对于复分析领域的许多问题具有重要的指导意义。
二、赛瓦定理的证明方法赛瓦定理的证明方法有多种，其中较为常见的是采用积分和级数两种方法。
以下分别简要介绍这两种证明方法：1.积分法设 f(z) 是一个在单位圆上的解析函数，z0 为单位圆上的一个点，那么根据柯西 (Cauchy) 积分公式，我们有：f(z0) = (1/2πi) ∫[f(z)(1 - z^n)] / (1 - z^n) dn其中，n 为绕单位圆 n 圈的任意整数，积分路径为单位圆。
当 n 趋于无穷大时，上式右侧的积分值为 f(z0)，左侧的积分值为 f(z) 在单位圆上的泰勒级数。
因此，通过比较左右两侧的值，我们可以得到赛瓦定理的结论。
2.级数法我们同样设 f(z) 是一个在单位圆上的解析函数，那么根据泰勒级数的定义，f(z) 可以展开为如下级数形式：f(z) = a0 + a1z + a2z^2 +...+ anz^n +...其中，a0, a1, a2,..., an,...为泰勒级数的各项系数，n 为非负整数。
通过对该级数进行一些变换和求和，我们可以得到：|f(z)| = 1 / (1 + |a1| + |a2| +...+ |an| +...)其中，|f(z)|表示 f(z) 的模，|a1|，|a2|，..., |an|，...分别表示泰勒级数各项系数的绝对值。
显然，右侧的求和式子表示了 f(z) 在单位圆上的泰勒级数的模。
因此，通过比较左右两侧的值，我们可以得到赛瓦定理的结论。
三、赛瓦定理的应用领域赛瓦定理在复分析领域具有广泛的应用，其中最为典型的应用是求解解析函数在单位圆上的泰勒级数。
