运用乘法公式的几种变换技巧

初中数学乘法公式的应用技巧乘法公式是数学中非常重要的概念，广泛应用于初中数学的各个领域。

学好乘法公式的应用技巧，可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。

下面是一些乘法公式的应用技巧，希望能帮助到你：1.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c乘法分配律是一个非常重要的乘法公式，可以用来化简复杂的乘法运算。

例如：2×(3+4)=2×3+2×4=6+8=142.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法结合律可以用于改变乘法的顺序，将三个数相乘的顺序进行调整。

例如：(2×3)×4=6×4=242×(3×4)=2×12=243.乘法交换律：a×b=b×a乘法交换律可以用于改变乘法运算的顺序，可以使计算更加简单。

例如：3×4=4×3=124.乘法的分解当我们遇到较大的乘法运算时，可以通过乘法的分解来进行化简计算。

例如：24×5=(20+4)×5=20×5+4×5=100+20=1205.乘法计算中的零任何数乘以零都等于零。

这是乘法的一个特性，可以帮助我们快速计算结果。

例如：5×0=06.乘法计算中的一任何数乘以一都等于这个数本身。

这是乘法的一个特性，也可以用来快速计算结果。

例如：5×1=57.乘法计算中的十的幂当一个数乘以十的幂时，可以通过将这个数字向左移动相应的位数来进行计算。

5×10=507×100=7008.乘法计算中的双位数当计算两个双位数相乘时，可以通过将每个位置上的数相乘，再进行求和来进行计算。

例如：23×45=(20+3)×(40+5)=(20×40)+(20×5)+(3×40)+(3×5)=920+10 0+120+15=1155。

整式的乘除—乘法公式1整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳⼩结公式的变式，准确灵活运⽤公式：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦连⽤公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧逆⽤公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

2 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x 2-z 2的值。

简便运算方法技巧随着现代社会的发展，数学在我们的生活中扮演着越来越重要的角色。

无论是在学校还是在工作中，我们都需要进行各种各样的数学运算。

然而，对于一些繁琐的运算，我们往往希望能够找到一些简便的方法和技巧来快速解决问题。

本文将介绍一些常见的简便运算方法技巧，帮助大家提高运算效率。

一、巧用数学公式和等价变换1.乘法口诀表乘法口诀表是我们在小学时就学习的一种简便的乘法运算方法。

通过记忆乘法口诀表，我们可以快速计算两个数的乘积。

例如，如果要计算7乘以8等于多少，我们可以找到乘法口诀表中7对应的行和8对应的列，交叉点的数字就是结果，即56。

2.因式分解在进行一些复杂的数学运算时，我们可以尝试将一个数或者一个式子进行因式分解，以简化计算过程。

例如，要计算24乘以36等于多少，我们可以将24分解为2的平方乘以3，36分解为2的平方乘以3的平方，然后再进行运算，即(2^2 * 3) * (2^2 * 3^2) = 2^4 * 3^3 = 20736。

3.化简式子当我们遇到一些复杂的数学式子时，可以尝试化简式子来简化计算过程。

例如，要计算(2 + 3) * (4 + 5)，我们可以先进行括号内的加法运算，得到5 * 9，然后再进行乘法运算，即45。

二、巧用近似值和估算1.四舍五入在进行除法运算时，如果我们只需要一个大致的结果，可以使用四舍五入的方法来简化计算。

例如，要计算253除以17，我们可以先将253四舍五入到最近的十位数250，将17四舍五入到最近的十位数20，然后进行除法运算，即250除以20等于12.5。

2.估算在进行一些复杂的加减乘除运算时，我们可以使用估算的方法来快速得到一个近似的结果。

例如，要计算37乘以26，我们可以将37估算为40，将26估算为30，然后进行乘法运算，即40乘以30等于1200。

三、巧用特殊数字性质1.0的性质任何数与0相乘都等于0，任何数与0相加都等于该数本身。

因此，在进行一些复杂的运算时，我们可以巧妙地利用0的性质来简化计算。

数学这门学科非常有趣，既有趣味性，也有挑战性。

数学加减乘除中，乘法的变化最奇妙，可以和加法、减法以及除法进行联系。

大部分数学乘法可以应用简便运算，简便运算归根结底就是通过对数字的变换，是运算变得简单，更快更准确的算出答案。

常见的运算技巧有三种：一、乘法结合律乘法结合律的写法是(ab)c=a(bc)、(a·b)·c=a·(b·c)。

乘法结合律是乘法运算的一种，也是众多简便方法之一。

三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。

叫做乘法结合律。

交换律严格意义来说，和结合律相似。

乘法结合律的使用前提是几个数相乘，其中有一个数尾数是5，另一个数尾数是偶数，把这两个数放一起先乘，然后再乘以其他的数字，这样使计算变得更简便。

例如75x49x8=75x8x49=600x49=29400。

这个题目如果先算75乘以49就会变得很繁琐，而根据乘法结合律，计算起来就很简便，计算速度也变快。

严格来说，一般尾数是25,75的乘以4的倍数的数放在一起计算，要记住常见的数字，4x25,4x75,8x25,8x75,8x125,8x375,4x625,8x625,16x625这些是常见的放在一起运算，可以通过乘法得出整百的数字。

例如8x387x125=8x125x387=1000x387=387000。

二、乘法分配律：一般在有理数乘法中，一个数分别乘以两个或多个数，可以变成这个公共的乘数，乘以其他几个数的和，乘法分配律公式a×c+b×c=(a+b)×c。

例如25x38+25x62=25x(38+62)=25x100=250038x67+38x129+38x4=38x(67+129+4)=38x200=7600。

乘法分配律根据初一的数学知识，可以理解为提取公因式法，就是从几个数相乘的计算中，提取一个公因式，有时候在乘法计算中可能直接看不出公因式，需要进行灵活的变化。

带你了解乘法分配律的实际应用场景和计算技巧乘法分配律是数学中的重要概念之一，它在实际应用场景中发挥着重要作用。

本文将带领你了解乘法分配律在实际生活中的应用场景，并介绍一些计算技巧，让你更好地掌握这个概念。

一、乘法分配律的定义和概念乘法分配律是数学中的一个基本原理，它说明了两个乘法因子与一个乘法因子的和（或差）相乘，等于分别乘以这两个因子再相加（或相减）的结果。

具体表述为：对于任意实数a、b、c来说，有乘法分配律成立：a × (b + c) = a × b + a × c乘法分配律的概念非常简单明了，但在实际应用中却能发挥巨大的作用。

接下来，我们将介绍几个乘法分配律的应用场景，帮助你更好地理解和运用它。

二、乘法分配律的实际应用场景1. 购物打折在商场购物时，常常会遇到打折的情况。

假设某商场打折商品的原价为a元，打折力度为b，同时还有c元的满减优惠。

我们可以利用乘法分配律来计算最终需要支付的金额。

应用乘法分配律可得：最终支付金额 = a × (1 - b) - c通过这个公式，我们可以快速计算出最终需要支付的金额，避免繁杂的手工计算过程。

2. 分配资源或任务在团队或组织中，常常需要按比例分配资源或任务。

假设某个项目的资源总量为a，需要分配给b个人共同完成。

根据每个人的工作能力，可以将每个人分配到不同数量的资源。

此时，乘法分配律可以帮助我们计算每个人所分配到的资源数量。

应用乘法分配律可得：每个人分配到的资源数量 = a × (1/b)通过这个公式，我们可以公平地按照每个人的能力和需求进行资源或任务的分配。

3. 计算商品价格在购物中，我们通常会遇到多种商品组合销售的情况。

假设有a种商品，每种商品的售价分别为b1、b2、b3...bn元，我们可以利用乘法分配律计算出购买一定数量的每种商品的总价。

应用乘法分配律可得：总价 = a × (b1 + b2 + b3...+ bn)通过这个公式，我们可以快速计算出购买商品组合的总价，为我们的消费决策提供参考。

乘法公式的常用方法和技巧乘法公式是数学中常用且重要的计算方法之一，它能够帮助我们在进行乘法运算时更加高效和准确。

下面，将为大家详细介绍乘法公式的常用方法和技巧。

一、乘法公式的基本原理乘法公式是指两个或多个数相乘的计算规则。

在进行乘法运算时，我们往往需要根据这些基本原理进行计算。

1.乘法的交换律：a×b=b×a交换律可以帮助我们改变两个数的位置，使乘法运算更加方便。

例如，3×2=2×3=62.乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)结合律指的是，当多个数相乘时，它们的乘积不受括号的位置影响。

例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c分配律适用于当一个数与多个数的和相乘时，可以先将这个数与每个加数分别相乘，再将乘积相加。

例如，2×(3+4)=2×3+2×4=14二、基本的乘数口诀为了在进行乘法运算时更加快速和准确，我们可以掌握一些基本的乘数口诀。

下面列举了几个常用的口诀：1.小学生口诀：小学生口诀是一种简单易记的乘法口诀，通常用于计算两个一位数相乘的结果。

例如，2×3=6，可以快速记忆为“脸上三毛”。

2.九九口诀：九九口诀是指九九乘法口诀表，其中列举了所有1-9的乘法结果。

学习并熟记九九口诀可以帮助我们快速计算两个一位数相乘的结果。

三、乘法的近似计算在实际应用中，我们有时候需要对两个较大的数进行乘法运算，这时候我们可以使用一些近似计算的方法，以减小计算量和提高计算速度。

1.精确数的近似：当两个数中至少有一个数很大时，我们可以对其中一个数取舍近似的值，以减小计算量。

例如，计算142×8时，我们可以近似后计算140×8=1120。

2.分割数的近似：对于两个较大的数相乘，我们可以将其中一个数分解成较小的数的和，再进行计算。

（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a^2-b^2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x^2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)^2＝(y-x)^2，(x-y)^3＝-(y-x)^3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

专训1 活用乘法公式进行计算的六种技巧名师点金：乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧．巧用乘法公式的变形求式子的值1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和的值．2．已知x＋＝3，求x4＋的值．巧用乘法公式进行简便运算3．计算：(1)2 0172－2 016×2 018；(2)×××…××；(3)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.巧用乘法公式解决整除问题4．对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)是不是10的倍数？为什么？应用乘法公式巧定个位数字5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1的个位数字．巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)6．计算的值．巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想)7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换图形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？答案1．解：(a＋b)2＝a2＋2＋b2＝7，(a－b)2＝a2－2＋b2＝4，所以a2＋b2＝×(7＋4)＝×11＝，＝×(7－4)＝×3＝.2．解：因为x＋＝3，所以＝9，所以x2＋＝7，所以＝49，所以x4＋＝47.3．解：(1)原式＝2 0172－(2 017－1)×(2 017＋1)＝2 0172－(2 0172－12)＝2 0172－2 0172＋1＝1.(2)原式＝××××××…××××＝××××××…××××＝×＝.(3)原式＝＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＝5 050.4．解：对任意正整数n，整式(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)(3＋n)是10的倍数，理由如下：(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2)＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1)．∵对任意正整数n，10(n2－1)是10的倍数，∴(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)·(3＋n)是10的倍数．5．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝…＝(264－1)＋1＝264＝(24)16＝1616.因此个位数字是6.6．解：设20 182 017＝m，则原式＝＝＝＝.7．解：总人数可能为(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2人，(5n＋3)2人，(5n＋4)2人．(n为正整数) (5n)2＝5n·5n；(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1；(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4；(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4；(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.由此可见，无论哪一种情况总人数按每组5人分，要么不多出人数，要么多出的人数只可能是1人或4人，不可能是3人．。

初中十字相乘法公式技巧
极简学习法——初中十字相乘法
一、什么是十字相乘法？
十字相乘法也叫“初中口算金字塔法”，是十进制乘法的一种快速计算方法。

它的算法可以将一道数学乘法题用及其简洁的文字表示，大大减少了乘法计算量，是算术学习中重要的技巧之一。

二、十字相乘法的算法原理
十字相乘法的算法主要是建立在十进制乘法的原理上的，它用于计算两个数字的乘积，其算法操作可以总结为以下三步：
（1）先进行相乘内层计算：将被乘数每一位与乘数每一位进行相乘；
（2）在进行相加外层计算：将相乘结果的每一位的结果进行叠加。

（3）最后进行进位处理：将叠加结果的每一位的结果与上一位相加，完成整体的进位处理。

三、十字相乘法的实现技巧
（1）使用倒着乘法的方法：当被乘数与乘数的位数不定时，可以采用
倒着乘法的做法，从末位开始，先进行低位相乘，然后依次向前计算；
（2）使用分治法的思想：在计算比较大的数字的乘积时，可以采用分
治法思想，将乘数分成两段，然后分别计算每一段的乘积，最后叠加
即可；
（3）使用原地进位的技巧：对于比较大的乘法题，可以在计算的过程
中进行原地的进位操作，而不再回头重复计算，以提高计算效率。

四、十字相乘法的总结
十字相乘法是一种快速计算乘法题的技巧，它可以快速准确地计算两
个任意位数的数字的乘积，具有很好的实用价值。

但是，由于它的计
算方式略显费力和繁琐，因此在实际的计算过程中，还要学习能快速
高效的使用它的一些技巧。

只有掌握了正确的算法思想，把握好做乘
法的实用技巧，才能够熟练应用十字相乘法，提高乘法计算的效率。

小数乘小数速算技巧简介小数乘法是数学中的一种基本运算，但对于一些复杂的小数计算，我们可能需要使用一些速算技巧来简化计算过程，提高计算效率。

本文将介绍一些小数乘小数速算技巧，帮助我们更快地进行小数乘法运算。

1. 保留小数点后几位在小数乘法中，我们可以根据需要保留小数点后几位，以简化计算过程。

例如，如果我们只需要计算结果的整数部分，可以将小数点后的位数舍去，只保留整数部分进行计算。

这样可以大大简化计算过程，减少计算错误的可能性。

2. 移动小数点移动小数点是一种常用的小数乘法速算技巧。

当两个小数相乘时，我们可以通过移动小数点来简化计算。

具体步骤如下： - 将两个小数中较大的数的小数点向左移动，使其成为整数。

- 同时将另一个小数的小数点向右移动，使其成为整数。

- 计算两个整数的乘积。

- 最后将结果的小数点恢复到原来的位置，得到最终结果。

3. 调整小数位数在小数乘法中，如果两个小数的小数位数相加超过了我们想要的精度，我们可以通过调整小数位数来简化计算。

具体步骤如下： - 对于两个小数，先将小数位数调整为相等。

- 然后进行普通的小数乘法运算。

- 最后根据需要，将结果的小数位数调整为原来的精度。

4. 利用近似值当我们需要进行一些近似的小数乘法计算时，可以利用近似值来简化计算。

例如，我们可以将小数近似为最接近的整数，然后进行整数乘法运算，最后根据需要将结果调整为小数形式。

这种方法可以大大简化计算过程，适用于一些精度要求不高的场景。

5. 使用乘法公式在一些特殊的小数乘法计算中，我们可以利用乘法公式来简化计算。

例如，对于两个小数a和b，如果它们的小数位数之和为10的幂（如0.01和0.1），我们可以利用乘法公式(a * 10^n) * (b * 10^m) = (a * b) * 10^(n + m)来简化计算。

这样可以将两个小数的乘法转化为整数的乘法，大大简化计算过程。

6. 实例演算为了更好地理解和应用小数乘小数速算技巧，下面通过实例演算来展示具体的计算过程。