七年级数学下册乘法公式的灵活运用

初中数学乘法公式教案教学目标：1. 理解乘法公式的含义和运用。

2. 掌握乘法公式的计算方法和步骤。

3. 能够灵活运用乘法公式解决实际问题。

教学重点：1. 乘法公式的含义和运用。

2. 乘法公式的计算方法和步骤。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾加法、减法、乘法、除法的定义和运算规律。

2. 提问：我们已经学习了加法、减法、乘法、除法，那么有没有一种方法可以快速计算两个数的乘积呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍乘法公式的含义：乘法公式是一种用来计算两个数乘积的方法，它将乘法运算转化为加法运算。

2. 讲解乘法公式的计算方法和步骤：a. 将两个数写成加数的形式。

b. 将加数按照一定的顺序相加。

c. 得出结果。

3. 举例讲解乘法公式的运用：以2x3为例，将其写成加数的形式为2+2+2+2，然后按照顺序相加得到结果6。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固乘法公式的计算方法和步骤。

2. 引导学生相互讨论，解决练习题中的问题。

四、总结与拓展（5分钟）1. 总结乘法公式的含义和运用，强调乘法公式的计算方法和步骤。

2. 提问：乘法公式可以用来计算两个数的乘积，那么能不能用来计算三个数或者更多数的乘积呢？五、课后作业（布置作业）1. 根据课堂练习的情况，布置适量的作业，让学生巩固乘法公式的计算方法和步骤。

教学反思：本节课通过讲解乘法公式的含义和运用，让学生掌握了乘法公式的计算方法和步骤，并能够灵活运用乘法公式解决实际问题。

在教学过程中，注意引导学生相互讨论，解决练习题中的问题，提高了学生的合作意识和解决问题的能力。

同时，通过提问和拓展，激发了学生的思考和探究欲望，为后续的学习打下了基础。

数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用乘法在初中代数中是一个常见的运算方式，通过掌握乘法公式和灵活运用，可以更好地解决数学问题。

在本文中，我们将介绍一些常见的乘法公式以及它们的应用。

一、基础乘法公式1. 同底数乘法公式当两个数的底数相等时，指数相加。

例如：aⁿ * aᵐ= a^(ⁿ+ᵐ)2. 平方乘法公式任何数的平方都可以表示为底数相同，指数为2的形式。

例如：(a * b)² = a² * b²3. 一次多项式的乘法公式两个一次多项式相乘的结果可以用分配律展开。

例如：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd二、常见的乘法公式应用1. 多项式的乘法在解决多项式相乘的问题中，可以运用分配律进行展开，并根据指数相加的规则进行合并。

例如：(2x + 3)(x + 5) = 2x * x + 2x * 5 + 3 * x + 3 * 5 = 2x² + 10x + 3x + 15 = 2x² + 13x + 152. 平方差公式平方差公式可以帮助我们快速求解两个数的平方差的形式。

例如：(a + b)(a - b) = a² - b²3. 立方差公式立方差公式可以帮助我们快速求解两个数的立方差的形式。

例如：(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³4. 特殊乘法公式有一些特殊的乘法公式，经常出现在代数问题中，例如：- (a + b)² = a² + 2ab + b²- (a - b)² = a² - 2ab + b²- a² - b² = (a + b)(a - b)- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这些特殊乘法公式在解答问题时非常有用，通过熟练掌握可以提高解题速度和准确性。

乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。

灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。

本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。

乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。

乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。

在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。

例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。

这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。

乘法公式还可以用于因数分解。

因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。

例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。

因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。

乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。

例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。

如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。

此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。

例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。

苏科版数学七年级下册《9.4 乘法公式》说课稿3一. 教材分析乘法公式是数学中的一种基本公式，广泛应用于各个领域。

苏科版数学七年级下册《9.4 乘法公式》这一节主要介绍了平方差公式和完全平方公式。

平方差公式可以帮助我们简化计算，快速求出两个数的平方差；而完全平方公式则可以帮助我们求出一个数的平方，或者两个数的乘积的平方。

这两个公式在解决实际问题中具有重要的作用。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了有理数的乘法、乘方等基础知识，对于公式有一定的认识。

但乘法公式较为抽象，需要学生在理解的基础上进行记忆。

同时，学生需要掌握如何将实际问题转化为乘法公式的形式，从而解决问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握平方差公式和完全平方公式，并能够灵活运用这两个公式解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生主动探究、合作学习的意识，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生自信心，使学生能够积极主动地参与到数学学习中。

四. 说教学重难点1.重点：平方差公式和完全平方公式的记忆与运用。

2.难点：如何将实际问题转化为乘法公式的形式，以及如何在复杂问题中灵活运用乘法公式。

五. 说教学方法与手段1.采用启发式教学，引导学生主动探究、发现规律，培养学生的数学思维能力。

2.利用多媒体课件，生动形象地展示乘法公式的推导过程，帮助学生理解记忆。

3.小组合作、讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。

4.创设实际问题情境，引导学生运用乘法公式解决问题，提高学生的应用能力。

六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的乘法、乘方等基础知识，引出本节课的主题——乘法公式。

2.讲解：讲解平方差公式和完全平方公式的推导过程，让学生理解并记忆这两个公式。

3.练习：布置一些简单的练习题，让学生运用平方差公式和完全平方公式进行计算，巩固所学知识。

4.应用：创设一些实际问题情境，让学生运用乘法公式解决问题，培养学生的应用能力。

幂的乘方、积的乘方知识点：幂的乘方法则细节剖析（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.知识点：积的乘方法则通过上述计算结果，你有什么发现？.(())=m n p mnp a a 0≠a ,,m n p ()()nmmnm n aaa ==细节剖析（1）公式的推广： (为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点：注意事项（1）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（2）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （3）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （4）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】【考点 幂的乘方运算】例题：计算：()322a a --⋅=___________．【变式训练】计算：（1）23523()()x x x x ⋅+--． （2）()()322323a a a a a ⋅⋅++【考点 幂的乘方的逆用】例题：若3m a =，5n a =，则2m n a +=______． 【变式训练】1．若23m =，325n =，则532n m +=___________ 2．若104x =，103y =，则210x y +=___________．【考点 积的乘方运算】例题：计算：4342··2a a a a -+-（）（）．【变式训练】1．计算：273342x x x x x．()=⋅⋅n n n n abc a b c n ()nn n a b ab =1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．计算：(1)26243(2)(3)xy x y -+-； (2)4574482()5()()x x x x x -+-；【考点 积的乘方的逆用】例题：计算：(1)已知2528322n n ⋅⋅=，求 n 的值；(2)已知 n 是正整数，且32n x =，求3223(3)(2)n n x x +-的值．【变式训练】1．（1）算一算，再选“<、>或=”填空：①2(35)⨯_________2235⨯；②[]2(2)3-⨯_________22(2)3-⨯．（2）想一想：()n ab =____________． （3）利用上述结论，求20222021(8)0.125-⨯．2．若(0,1,m n a a a a m n =>≠、都是正整数），则m n =，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果32232x ⋅=，求x 的值； (2)如果212216x x ++-=，求x 的值；(3)若53,25m m x y =-=-，用含x 的代数式表示y ．【当堂检测】1．在下列运算中，计算正确的是（ ） A ．（﹣a ）2•（﹣a ）3＝﹣a 6 B ．（ab 2）2＝a 2b 4C ．a 2+a 2＝2a 4D ．（a 2）3＝a 52. 下列运算中，正确的有（ ）（1）210.2()15⨯-=；（2）445222+=（3）2(3)9--= （4）200720081()101010-⨯=-． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．计算（﹣0.2）2021×52021的结果是（ ） A ．﹣0.2B ．﹣1C ．1D ．﹣54．已知4n ＝3，8m ＝5，则22n +3m ＝（ ） A ．1B ．2C ．8D ．155．已知3m +2n ﹣3＝0，则23m ×4n 的值是（ ）A ．−18B ．18C ．﹣8D ．86．计算﹣（3x 3）2的结果是（ ） A ．9x 5B ．9x 6C ．﹣9x 5D ．﹣9x 67．若（x a y b ）3＝x 6y 15，则a ，b 的值分别为（ ） A ．2，5B ．3，12C ．5，2D ．12，38．已知443a =，552b =，334c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>二、填空题9．﹣x •（﹣x ）4＝ ，（﹣3a 2b 3）3＝ ． 10．若k 为正整数，则(k +k +⋯+k ︸k 个k)k = ．11．已知x ＝2n +3，y ＝4n +5，用含字母x 的代数式表示y ，则y ＝ ． 12．已知2m ＝a ，32n ＝b ，m ，n 为正整数，则25m +10n ＝ ． 13．已知3x ＝m ，3y ＝n ，用m 、n 表示33x +4y ﹣5×81x +2y 为 ． 14. 已知3x﹣3•9x ＝272，则x 的值是 ___．15. 定义：三角形＝ab •ac ，五角星＝z •（xm •yn ），若＝4，则的值＝三、解答题 16．计算：（1）（﹣x ）9•x 5•（﹣x ）5•（﹣x ）3． （2）()()()332222223x x x x -+-+⋅ （3）()()423424()()2a a a a a -⋅⋅--+-17．根据已知求值：（1）已知a m ＝2，a n ＝5，求a 3m +2n 的值； （2）已知3×9m ×27m ＝321，求m 的值．18．（1）若10x ＝3，10y ＝2，求代数式103x +4y 的值． （2）已知：3m +2n ﹣6＝0，求8m •4n 的值．【思维拓展】 阅读材料，解决问题． 材料一：比较223和114的大小． 解：因为()1111222422==，而32>，所以222232>，即122134>．小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较82和28的大小．解：因为()2236822==，而86>，所以8622>，即8228>．小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． （1）比较443，334，225的大小： （2）比较3181，4127，619的大小．2. 探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（）23﹣22＝ ＝2（）， 24﹣23＝ ＝2（）， ……（1）请仔细观察，写出第4个等式； （2）请你找规律，写出第n 个等式； （3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．【课后巩固】1.若53x =，32y =，则156用,x y 表示为（ ） A ．xyB ．1515x yC ．53x yD ．35x y2. 计算（0.5×105）3×（4×103）2的结果是（ ） A ．13210⨯ B ．140.510⨯C ．21210⨯D ．21810⨯3. 20192019×(−12019)2020= ． 4. 若a m ＝6，a n ＝2，则a m +2n 的值为 ． 5. 若()23310a b +++=，则20212020a b ⋅=______．6. 已知2,32,,m n a b m n ==为正整数，则4102=m n +_____ 7．计算：（1）（﹣2x 2）3+（﹣3x 3）2+（x 2）2•x 2 （2）（m ﹣1）3•（1﹣m ）4+（1﹣m ）5•（m ﹣1）28. ①若2m a =，3n a =，求2m n a +的值． ②已知22n x =，求3222(3)4()n n x x -的值．9.（1）已知430m n +-=，求216m n 的值．（2）已知n 为正整数，且24n x =，求3222()2()n n x x -的值．10. 某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据a m =b ，知道a 、m 可以求b 的值.如果知道a 、b 可以求m 的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a m =b ，那么T (a,b )=m.例如34=81，那么T (3,81)=4． (1)填空：T (2,64)= ； (2)计算：T (13,27)+T (−2,16)；(3)探索T (2,3)+T (2,7)与T (2,21)的大小关系，并说明理由．11. 规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）：如果a c＝b ，那么（a ，b ）＝c ． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（﹣2，﹣8）＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x ，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n ∴3x ＝4，即（3，4）＝x ， ∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． （4，5）+（4，6）＝（4，30）。

2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。

这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。

通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。

二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。

但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。

因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。

2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。

五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。

2.准备一些实际问题，让学生进行练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。

学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。

4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。

5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。

第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(22=--+；（4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A ．M>NB ． M<NC ． M=ND ．无法确定思路点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小． 【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．(江苏省赛试题)思路点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式yx xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题)(2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2ba +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小．注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等． 完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数． 证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数．思路点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观察下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ； (x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1． 根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题)2．已知052422=+-++b a b a ，则ba ba -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ；(3)2199919991999199719991998222-+ ． 4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题)6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )． A ．一15 B ．一2 C ．一6 D ．6(扬州市中考题)7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222---- 等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001(重庆市竞赛题)8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x+的值是( )．A ．4B ．20022C ． 22002D ．420029．若01132=+-x x ，则441x x +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=- B ．2222)(b ab a b a ++=+ C ．2222)(b ab a b a +-=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+(陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，试判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观察：2514321=+⋅⋅⋅ 21115432=+⋅⋅⋅ 21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)． (黄冈市竞赛题)14．你能很快算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论． (1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ． (3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．(天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ． (2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 ． (全国初中数学联赛试题)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ． 一2 19．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )． A ．x ≤y B ．x ≥y C ．x<y D ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2000，b ＝1999x+2001，c ＝1999x+2002，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值．(河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x +=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表示第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表示十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观察： 222233*********,335112225,351225,525====写出表示一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗? 注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即 (a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．参考答案。

七年级数学下册乘法公式6种解题方法一、对号a、b，正确运用【例题】计算(-2+3x)(-2-3x)．【分析】两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用【例题】计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．【分析】两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用【例题】计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．【分析】前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用【例题】计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．【分析】从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用【例题】计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2【分析】若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．【例题】已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。