江苏省南通市2019届高三第二次高考模拟测试数学试卷与答案(Word版)

2019届江苏南通高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{13}=A a ，，，{45}=B ，．若A B =I {4}，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】4 2． 复数2i2i z =+（i 为虚数单位）的实部为 ▲ ． 【答案】23． 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为 49，则该单位行政人员的人数为 ▲ ． 【答案】354. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为 ▲ ． 【答案】235． 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ ．【答案】306.函数y 的定义域为 ▲ ．【答案】[2)+∞，7. 将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f 的值为 ▲ ．【答案】8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 b 的值为 ▲ ． 【答案】29． 在△ABC 中，已知C = 120°，sin B = 2 sin A ，且△ABC 的面积为，则AB 的长为 ▲ ．【答案】10．设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A = 2 m ，PB = 3 m ，PC = 4 m ，则球O 的表面积为 ▲ m 2． 【答案】29π11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，， 则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ． 【答案】512．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>( a ，b ，c ∈R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则25c a b++的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且AB =，点P （3，-1），()16PO PA PB ⋅+=uu u r uu r uu r，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为 ▲ ．【答案】115， 14．已知集合{|21}{|88}N N A x x k k B x x k k **==-∈==-∈，，，，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T ．若967S T +≤，则n m 2+的 最大值为 ▲ ． 【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =(cos sin )αα，，b = ()ππsin()cos()66αα++，，其中π02α<<．（1）若a ∥b ，求α的值； （2）若1tan 27α=-，求⋅a b 的值．【解】（1）因为a ∥b ，所以ππcos cos()sin sin()0αααα+-+=，……………………………………………2分所以πcos(2)06α+=． …………………………………………………………………4分。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题. 2．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．3．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B= A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先解A 、B 集合，再取交集。

【详解】()2002x x x -<⇒<<,所以B 集合与A 集合的交集为{}1，故选A【点睛】一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

绝密★启用前江苏省南通、泰州、扬州及苏北四市2019届高三毕业班第二次模拟联合考试数学试题(满分160分,考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．1. 已知集合A ＝{1,3,a},B ＝{4,5},若A ∩B ＝{4},则实数a 的值为________．2. 复数z ＝2i 2＋i(i 为虚数单位)的实部为________． 3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况,现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49,则该单位行政人员的人数为________．4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动,则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为________．i ←1S ←2While i<7S ←S ×ii ←i ＋2End WhilePrint S6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图象,则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0)的右顶点A(2,0)到渐近线的距离为2,则b 的值为________．9. 在△ABC 中,已知C ＝120°,sin B ＝2sin A,且△ABC 的面积为23,则AB 的长为________．10. 设P,A,B,C 为球O 表面上的四个点,PA,PB,PC 两两垂直,且PA ＝2m ,PB ＝3m ,PC ＝4m ,则球O 的表面积为________m 2.11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x ),且在区间[2,4)上,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________．12. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a,b,c ∈R ) 的解集为{x |3<x <4},则c 2＋5a ＋b 的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点A,B 在圆x 2＋y 2＝4上,且AB ＝22,点P(3,－1),PO →·(PA →＋PB →)＝16,设AB 的中点M 的横坐标为x 0,则x 0的所有值为________．14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1,k ∈N *},B ＝{x |x ＝8k －8,k ∈N *},从集合A 中取出m 个不同元素,其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素,其和记为T .若S ＋T ≤967,则m ＋2n 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题,共计90分．解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中,设向量a ＝(cos α,sin α),b ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6,其中0<α<π2. (1) 若a ∥b ,求α的值；(2) 若tan2α＝－17,求a ·b 的值．16. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,侧面BCC 1B 1为正方形,A 1B 1⊥B 1C 1.设A 1C 与AC 1交于点D,B 1C 与BC 1交于点E.求证：(1) DE ∥平面ABB 1A 1；(2) BC 1⊥平面A 1B 1C.。

南通市2019届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．【答案】{}13x x -<≤．2． 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 【答案】18．3． 复数i z =（其中i 为虚数单位）的模为 ▲ ．．4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的 方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则 该样本中产品的最大编号为 ▲ ． 【答案】76．5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】48．6． 若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()4+∞，． 7． 若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-则b 的值为 ▲ ． 【答案】3-．8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个） 【答案】充要．9． 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲．（第5题）10y +=．10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 【答案】－36．11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ．【答案】3415．12．设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为▲ ． 【答案】14π313． 若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ▲ ．【答案】114．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ． 【答案】12-．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求： （1）AB 的值； （2）sin()sin A B C-的值．【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分 所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()25AB AC CB +=，亦即225AB =，故5AB =． …………………………… 7分 （方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分 两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分 （方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，PABCDE （第16题）PABCDE（第16题）FM 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分 由余弦定理得()()2222221191622b c a c a b +-=+-=，，两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分 （2）sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A BC C--=………………………… 10分 由正弦定理得sin()cos cos sin A B a B b A C c--=22cos cos 169725ac B bc A c c --===． ………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点． 求证：（1）CE ∥平面P AD ；（2）平面PBC ⊥平面P AB ．【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分 EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分 （方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ， 所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ． 因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分 （2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥．因为AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分 因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面P AB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面P AB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分17．（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中 释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x xy x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之 和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.11.4）． 【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度644048()4202410x x f x y x x ⎧-⎪-==⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．则当04x ≤≤时，由64448x--≥，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤．…………………… 3分 当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分 （2）设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天，浓度()1161616()25110(14)428(6)1414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤=-+-=-+-=-+--⎢⎥----⎣⎦．…… 10分因为14[48]x -∈，，而14a ≤≤，所以[48]，，故当且仅当14x -=y有最小值为4a -.令44a -≥，解得244a -≤，所以a的最小值为24 1.6-．……… 14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x ya b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为曲线C 1上的点到原点O．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．【解】（1）由题意得2ab ⎧=⎪= 又0a b >>，解得28a =，21b =．因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． ………………………… 4分（2）①设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，， 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ………………………8分因为点()A m n ，在椭圆C 2上，所以2218m n +=，即()()222182y x+=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=． ………………………10分②（方法1）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 2上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+= （i ）又2288x y += （ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+， ………………………13分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. ………………………16分 （方法2）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)． 解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+，所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k+==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．…………… 12分（解法1）由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． …………… 15分当k ＝0，S △AMB 1161=⨯=；当k 不存在时，S △AMB 116229=⨯=>．综上所述，△AMB 面积的最小值为169． …………… 16分（解法2）因为22222211118(1)8(1)18+8k k OA OMk k +=++++22218+898(1)8k k k ++==+， 又22112OA OM OA OM +⋅≥，于是169OA OM ⋅≥， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立．（后同方法1）19．(本小题满分16分)设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2r t SrS t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列； （3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑． 【解】（1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t SrS t=，得21nSn S=，即21n S a n =．… 2分当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立．故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． …………… 5分（2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2．依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==， ……… 7分 于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分 （3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． ……… 12分 于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------． ……… 15分 所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑． ……… 16分20．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABC 为等腰直角三角形，t ，求(1)(1)a t -- 的值．【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．……………………… 2分 所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数； 于是当ln x a =时，()f x 取得极小值． ……………………… 4分 因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)，所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围. ……………………………… 6分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x xf s x x s++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………… 8分 设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而12e02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<． ………………………………………… 11分（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122ex x +=ABC 中，显然C = 90°，…………………… 13分所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以2100x x y -+=，即122112e ()022x x x xa x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a -+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t ，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， …………………………………… 15分即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= …………………………………… 16分南通市2019届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）（第21—A 题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分21B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则由 1 111ab cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=⎧⎨-=-⎩，． 再由1311⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b c d ，得31a b c d +=⎧⎨+=⎩．，联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……………………… 10分 21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ， 求d 的取值范围．【解】由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分 于是PQ 的中点M ()1cos cos2sin sin 2αααα+++，． ………………………… 4分 从而()()2222cos cos2sin sin222cos d MA ααααα==+++=+ ………………………… 6分 因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， ………………………… 8分 于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分21D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分ABCDD 1A 1B 1C 1E（第22题）又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥．…………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．【证】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． 不妨设AD =AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AEEB ＝λ，所以()2101E λλ+，，，于是()112111D E A D λλ=-=+，，，(－1，0，－1)． 所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．故D 1E ⊥A 1D ． ……… 5分 （2）因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)． 又()21201CE λλ=+，-，，1CD =(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·()220CE x y λλ=+-=，n 2·120CD y z =-+=，所以向量n 2的一个解为()22121λλ-+，．因为二面角D 1—EC —D 的大小为π4，则1212⋅=n n．解得λ=±233－1． 又因E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1． ……… 10分23.（本小题满分10分）数学试卷设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有 {}11122i i a a +∈，，． （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）；（2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数．【解】（1）当3n =时，131a a ==． 因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，， 所以212a =或21a =或22a =． 故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1112，，； 1，1，1； 1，2，1． ……… 3分 （2）令b i ＝a i +1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件： 77181111i ii i i a a b a a +=====∏∏，且b i ∈{}1122，， (1≤i ≤7)． 反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．………7分记符合条件的数列{b n }的个数为N ． 显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1． 当k 给定时，{b n }的取法有77C C k k k -种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故1122337675741C C C C C C 393N =+++=．因此，符合条件的数列{a n }的个数为393． ……… 10分。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-， 所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.2．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【详解】由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点， 故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =；代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2A b y a=，故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将B 点坐标代入椭圆方程得225a c =，所以离心率为5故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题. 4．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12log 21c ==-设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；()f x Q 在[]1,2上是减函数；12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；12()()f x f x ∴<；()f x ∴在[]0,1上是增函数；所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=∴()()()f b f a f c <<故选：C【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.5．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的最大值求出A ，根据周期求出ω，由五点画法中的点坐标求出ϕ，进而求出sin()y A x ωφ=+的解析式，与sin (R)y x x =∈对比结合坐标变换关系，即可求出结论. 【详解】由图可知1,A =T π=，2ω∴=，又2()6k k πωϕπ-+=∈z ，2()3k k πϕπ∴=+∈z ，又02πφ<<，3πϕ∴=，sin 23y x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上的所有向左平移3π个长度单位， 得到sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可.故选:A 【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.6．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.7．若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84C ．57D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 8．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【详解】若32a b >， 0b >，则3log 2a b >，可得3log a b >； 若3log a b >，可得3a b >，无法得到32a b >， 所以“32a b >”是“3log a b >”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：① 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ② 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③ 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④ 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系. 9．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）【答案】B 【解析】，，∴．故选．10．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】x y <，不能得到1x y <， 1xy<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】 因为x ，y R ∈，当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y=>，故x y <时，1xy<不成立， 当1xy<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1xy<”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.11．已知函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，则“()f x 在(3,)+∞上是单调函数”是“01a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先求出复合函数()f x 在(3,)+∞上是单调函数的充要条件，再看其和01a <<的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案. 【详解】()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，由20x a -->得2x a <-或2x a >+，即()f x 的定义域为{2x x a <-或2}x a >+，（0,a >且1a ≠） 令2t x a =--，其在(,2)a -∞-单调递减，(2,)a ++∞单调递增，()f x 在(3,)+∞上是单调函数，其充要条件为2301a a a +≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩即01a <<. 故选：C. 【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.12．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{13}=A a ，，，{45}=B ，．若A B =I {4}，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】4 2． 复数2i2i z =+（i 为虚数单位）的实部为 ▲ ． 【答案】253． 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为 49，则该单位行政人员的人数为 ▲ ． 【答案】354. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为 ▲ ． 【答案】235． 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ ．【答案】306.函数y 的定义域为 ▲ ．【答案】[2)+∞，7. 将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f 的值为 ▲ ．【答案】8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 b 的值为 ▲ ． 【答案】29． 在△ABC 中，已知C = 120°，sin B = 2 sin A ，且△ABC 的面积为，则AB 的长为 ▲ ．【答案】10．设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A = 2 m ，PB = 3 m ，PC = 4 m ，则球O 的表面积为 ▲ m 2． 【答案】29π11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，， 则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ． 【答案】512．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>( a ，b ，c ∈R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则25c a b++的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且AB =，点P （3，-1），()16PO PA PB ⋅+=uu u r uu r uu r，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为 ▲ ．【答案】115， 14．已知集合{|21}{|88}N N A x x k k B x x k k **==-∈==-∈，，，，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T ．若967S T +≤，则n m 2+的 最大值为 ▲ ． 【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =(cos sin )αα，，b = ()ππsin()cos()66αα++，，其中π02α<<．（1）若a ∥b ，求α的值； （2）若1tan 27α=-，求⋅a b 的值．【解】（1）因为a ∥b ，所以ππcos cos()sin sin()066αααα+-+=，……………………………………………2分所以πcos(2)06α+=． …………………………………………………………………4分 因为π02α<<，所以ππ7π2666α<+<．于是ππ262α+=， 解得π6α=． ………………………………………………………6分 （2）因为π0α<<，所以02πα<<，又1tan 20α=-<，故π2πα<<．因为sin 21tan 2cos 27ααα==-，所以cos 27sin 20αα=-<， 又22sin 2cos 21αα+=，解得sin 2cos2αα=．……………………………………………………10分 因此，⋅a b πππcos sin()+sin cos()sin(2)666ααααα=++=+ …………………………12分ππsin 2cos cos2sin 66αα=+(12⋅． ……………………………………14分16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1．设A 1C 与AC 1交于 点D ，B 1C 与BC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面ABB 1A 1；（2）BC 1⊥平面A 1B 1C ．【证明】（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1 A 1为平行四边形．又A 1C 与AC 1交于点D ，所以D 为AC 1的中点，同理，E 为BC 1的中点．所以DE ∥AB ．………………3分 又AB ⊂平面ABB 1 A 1，DE ⊄平面ABB 1 A 1，所以DE ∥平面ABB 1A 1． ………………………………………………………………6分 （2）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1．ABCA 1B 1C 1ED（第16题）又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1B 1． ………………………………………8分 又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1 = B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1． ……………………………………………………………10分 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BC 1．………………………………………12分 又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ． 又A 1B 1∩B 1C = B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，所以BC 1⊥平面A 1B 1C ．………………………………………………………………14分 17. (本小题满分14分)图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构 成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全 等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M ．已知HM = 5 m ，BC = 10 m ， 梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH = θπ(0)4θ<<．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k （k 为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k ．现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为 何值时，总造价最低？【解】（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ． …………2分 在Rt △FHM 中，HM = 5，FMH θ∠=， 所以5cos FM θ=．……………………………………4分因此△FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=．①（第17题）②ABC DE F HMθ A BC DE F HMθ从而屋顶面积22=+V 梯形FBC ABFE S S S 252516022 2.2cos cos cos θθθ=⨯+⨯⨯=．所以S 关于θ的函数关系式为160cos S θ=(π04θ<<)． ………………………………6分（2）在Rt △FHM 中，5tan =FH θ，所以主体高度为65tan =-h θ． ……………8分 所以别墅总造价为16=⋅+⋅y S k h k160(65tan )16cos =⋅+-⋅k k θθ16080sin 96cos cos =-+k k k θθθ()2sin 8096cos -=⋅+k k θθ…………………………………………10分记2sin ()-=f θθθ，π0θ<<，所以2sin 1()cos f θθθ-'=2， 令()0'=f θ，得1sin 2=θ，又π04θ<<，所以π6=θ．………………………………12分列表：所以当π6=θ时，()f θ有最小值．答：当θ为π6时该别墅总造价最低． …………………………………………………14分18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)y x a b a b+=>>，C 2与C 11，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PA PB为定值；② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b =，因此椭圆C 2的标准方程为221y x +=． ……………………………3分（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，1PA，1PB，则3PA PB ==- ……………………………4分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y=代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22(41)4k x +=， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．………6分所以222P A x x =，由题意，P A x x 与同号，所以P x 从而||||3||||PA P A PB P A x x x x PA PB x x x x --====--+所以3PA PB =- ……………………………………………………………8分②设00()P x y ，，所以直线1l 的方程为010()y y k x x -=-，即1100y k x k y x =+-， 记100t k y x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22211(41)8440k x k tx t +++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=V ，即221410k t -+=，将100t k y x =-代入上式，整理得，222010010(4)210x k x y k y --+-=， ……………12分 同理可得，222020020(4)210x k x y k y --+-=，所以12k k ，为关于k 的方程2220000(4)210x k x y k y --+-=的两根， 从而20122014y k k x -⋅=-．……………………………………………………………………14分（第18题）又点在00()P x y ，椭圆C 2：22182y x +=上，所以220012y x =-，所以2012201211444x k k x --⋅==--为定值． ………………………………………………16分 19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 【解】（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=， 令()f x '0=得，1x =或2x =． ………………………………………………………2分 列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-． ………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>， 从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>， 记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数， 所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立， 即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立． …………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立 ，所以002x x =，又00x >，所以0x = ………………………………………………10分法二：变形得0022x x ++≥在()0+∞，上恒成立 ，因为2x x +=≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =10分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，， 不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩， ………………………………………………14分 消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，， 记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t -'=--=-<， 所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=． 从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个 不同的切点． ……………………………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均不为零．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，数列{}2n a 的前n 项和为T n ，且2340n n n S S T -+=，n *∈N ． （1）求12a a ，的值；（2）证明：数列{}n a 是等比数列；（3）若1()()0n n na na λλ+--<对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的所有值． 【解】（1）因为2340n n n S S T -+=，*n ∈N ．令1n =，得22111340a a a -+=，因为10a ≠，所以11a =． 令2n =，得()()()22222314110a a a +-+++=，即22220a a +=，因为20a ≠，所以212a =-．……………………………………………………………3分 （2）因为2340n n n S S T -+=， ① 所以2111340n n n S S T +++-+=， ② ②-①得，()21111340n n n n n S S a a a +++++-+=，因为10n a +≠，所以()11340n n n S S a +++-+=，③ …………………………………5分 所以()1340(2)n n n S S a n -+-+=≥， ④当2n ≥时，③-④得，()1130n n n n a a a a ++++-=，即112n n a a +=-，因为0n a ≠，所以112n n a a +=-． 又由（1）知，11a =，212a =-，所以2112aa =-，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列． ……………………………8分 （3）由（2）知，()112n n a -=-．因为对任意的*n ∈N ，()()10n n na na λλ+--<恒成立， 所以λ的值介于()112n n --和()12nn -之间．因为()()111022n nn n --⋅-<对任意的*n ∈N 恒成立，所以0λ=适合． ……………10分 若0λ>，当n 为奇数时，()()11122n n n n λ--<<-恒成立，从而有12n n λ-<恒成立．记2()(4)2n n p n n =≥，因为22211(1)21(1)()0222n n n n n n n p n p n +++-+++-=-=<， 所以()(4)1p n p =≤，即212n n ≤，所以12nn n ≤（*）， 从而当25n n λ≥且≥时，有122n n n λ-≥≥，所以0λ>不符． ………………………13分若0λ<，当n 为奇数时，()()11122nn n n λ--<<-恒成立，从而有2nn λ-<恒成立．由（*）式知，当15n n λ≥且≥-时，有12nn n λ-≥≥，所以0λ<不符．综上，实数λ的所有值为0． ………………………………………………………………16分 21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m ，n ∈R ，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵12m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．【解】由题意得，3=，M αα即11132123m m n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2 1.m n ==，即矩阵1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦=M . …………………………………………………5分 矩阵M 的特征多项式()212()14021f λλλλ--==--=--， 解得矩阵M 的另一个特征值为1λ-=.…………………………………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x t y t=+⎧⎨=⎩，( t 为参数)，椭圆C 的参数方程为)(sin cos 2为参数，θθθ⎪⎩⎪⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】由题意得，直线l 的普通方程为10x y --=．①椭圆C 的普通方程为2212x y +=．② …………………………………………………4分由①②联立，解得A (01)，-，B ()4133，， ……………………………………………8分 所以AB =10分 C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均是正实数，且，164222=++z y x 求证：6x y z ++≤． 【证】由柯西不等式得，()()()222222212112x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥ ……………5分因为222416x y z ++=，所以()2916364x y z ++⨯=≤， 所以，6x y z ++≤，当且仅当“2x y z ==”时取等号．…………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分． 22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，AB = 1，AP = AD = 2. （1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且⊥MN 平面PCD ，试确定点M ，N 的位置． 【解】（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．以{}AB AD AP u u u r u u u r u u u r ，，为正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系A xyz -，则(100)(120)(020)(002)B C D P ，，，，，，，，，，，.从而(102)(122)(022)PB PC PD =-=-=-，，，，，，，，u u r u u u r u u u r 设平面PCD 的法向量()x y z =n ，，，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu u r uu u r，，即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，， 不妨取1y =，则01x z ==，． 所以平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，． ………………………………………3分 （第22题）设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin cos PB PB PB θ⋅=〈〉=⋅n n nuu ruu ruu r， 即直线PB 与平面PCD．……………………………………5分（2）设(00)M a ，，，则(00)MA a =-，，，u u u r设PN PC λ=，u u u r u u u r 则()22PN λλλ=，，-，u u u r而(002)AP =，，，u u u r 所以(222)MN MA AP PN a λλλ=++=--u u u r u u u r u u u r u u u r，，． ……………………………………8分 由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，， 因为MN ⊥平面PCD ，所以MN uuu r∥n ．所以0222a λλλ-=⎧⎨=-⎩，，解得，1122a λ==，．所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点． …………………………………………10分 23.（本小题满分10分）已知*12(4)n a a a n n ∈N ≥，，，，均为非负实数，且122n a a a +++=．证明：（1）当4n =时，12233441+++1a a a a a a a a ≤；（2）对于任意的*4n n ∈N ≥，，122311++++1n n n a a a a a a a a -≤L ．证明：（1）当4n =时，因为1a ，2a ，…，4a 均为非负实数，且12342a a a a +++=， 所以122334412134313124+++=(+)+(+)(+)(+)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =………………………2分 23124(+)+(+)=12a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤．………………………………………………………………4分 （2）①当4n =时，由（1）可知，命题成立； ②假设当(4)n k k =≥时，命题成立，即对于任意的4k ≥，若1x ，2x ，…，k x 均为非负实数，且12+++2k x x x =L ，则122311++++1k k k x x x x x x x x -≤L ．则当+1n k =时，设12+1++++2k k a a a a =…，并不妨设{}+112+1max k k k a a a a a =，，…，，． 令()1122311+k k k k x a a x a x a x a -+====，，，，则12+++2k x x x =…． 由归纳假设，知122311++++1k k k x x x x x x x x -≤．………………………………………8分因为123a a a ，，均为非负实数，且+11k a a ≥， 所以121123112+()()k k x x x x a a a a a a +=+++23111312122311k k k a a a a a a a a a a a a a a +++=+++++≥．所以1212311223113411(+)+(++)()()k k k k k k x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+++++++≥≥，即1223+1+11++++1k k k a a a a a a a a ≤，也就是说，当+1n k =时命题也成立．所以，由①②可知，对于任意的4n ≥，122311++++1n n n a a a a a a a a -…≤．…………10分。

2019年江苏省南通市如皋市高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、填空题（共70分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{0，2，4}，C＝A∩B，则集合C的子集共有个．2．（5分）已知复数z满足为虚数单位），则z的共轭复数＝3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为x+3y＝0，则m＝4．（5分）随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为．5．（5分）为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中随机抽取3所进行污水合格检测，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽测的概率是6．（5分）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为．7．（5分）已知一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6πcm2，则该圆锥的体积是cm3．8．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝2A，则cos C的值为10．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆C的离心率e的取值范围是11．（5分）已知数列{a n}的首项，数列{b n}是等比数列，且b5＝2，若，则a10＝12．（5分）在平面四边形OABC中，已知，OA⊥OC，AB⊥BC，∠ACB＝60°，若＝6，则＝13．（5分）已知正数x，y满足，则的最小值为14．（5分）定义min{a，b}＝，已知函数，若h（x）＝min{f（x），g（x）}恰好有3个零点，则实数m的取值范围是二、解答题（共90分）15．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面P AD，AP＝AD，AB∥CD，CD＝2AB，M是PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：平面PBC⊥平面PCD．16．（14分）如图在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q有右侧），点O为半圆的圆心，已知AB＝2，∠BOP＝θ，∠POQ＝α．（1）若点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，求cosα的值；（2）若PQ＝1，求的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中点，点A，F分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝﹣1，求直线l的方程．18．（14分）如图，矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路MN（宽度不计）经过该矩形区域，其中MN都在矩形ABCD的边界上，已知AB＝8，AD＝6（单位：百米），小路MN将矩形ABCD分成面积为S1，S2（单位：平方百米）的两部分，其中S1≤S2，且点A在面积为S1的区域内，记小路MN的长为l百米．（1）若l＝4，求S1的最大值；（2）若S2＝2S1，求l的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣mx，x∈R，其导函数为f'（x）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x＞0，关于x的不等式f（x）≥x2+1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证：f'（x1）+f'（x2）＞0．20．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n满足2S n﹣na n＝n．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的公差d＞0，设，求证：存在唯一的正整数n，使得a n+1≤b n＜a n+2；（3）若a2＝2，设，求证：数列{c n}中任意一项都可以表示成其他两项的乘积．【选做题】本题包括21、22、23、24四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，A＝，B＝，若直线l依次经过变换T A，T B后得到直线l'：2x+y ﹣2＝0，求直线l的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ，若直线l 与圆C有公共点，求实数a的取值范围．23．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣1，0），F（1，0），若动点P满足＝2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于A，B，与y轴相交于Q，若＝，＝，求证：λ+μ为定值．24．已知A n＝{x＞0|x＝k1•2+k2•22+…+k n•2n}，其中n∈N*，n≥2，k i∈{﹣1，1}（i＝1，2，…n），记集合A n的所有元素之和为S n．（1）求S2，S3的值；（2）求S n．2019年江苏省南通市如皋市高考数学模拟试卷（二）（4月份）参考答案与试题解析一、填空题（共70分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{0，2，4}，C＝A∩B，则集合C的子集共有4个．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{0，2，4}，∴C＝A∩B＝{0，2}，则集合C的子集共有22＝4．故答案为：4．【点评】本题考查交集中子集的个数的求法，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知复数z满足为虚数单位），则z的共轭复数＝﹣3+4i 【解答】解：由，得z＝3i2﹣4i＝﹣3﹣4i，∴．故答案为：﹣3+4i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为x+3y＝0，则m＝9【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为x+3y＝0，可得：x+y＝0，所以＝3，解得m＝9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为2．【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10＝0.2，∴不小于40岁的人的频数是100×0.2＝20；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在[50，60）年龄段抽取的人数为8×＝8×＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．5．（5分）为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中随机抽取3所进行污水合格检测，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽测的概率是【解答】解：为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中，随机抽取3所进行污水合格检测，基本事件总数n＝＝10，在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽到包含的基本事件个数m＝＝3，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽到的概率是p＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为．【解答】解：根据题意，执行程序框图后输出的是分段函数y＝，当输入x＝时，sin＞cos，所以输出的y＝cos＝．故答案为：．【点评】本题考查了选择语句的应用问题，是基础题目．7．（5分）已知一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6πcm2，则该圆锥的体积是3πcm3．【解答】解：一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6πcm2，可得，解得l＝2，所以圆锥的高为：＝3（cm），所以，圆锥的体积为：＝3π（cm3）．故答案为：3π．【点评】利用考查圆锥的体积以及圆锥的侧面积的求法，是基本知识的考查．8．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是【解答】解：先画出实数x，y满足可行域如图：因为目标函数表示动点P（x，y）与定点D（0，﹣1）连线斜率k；由图可知；K OA最小；联立可得A（3，1），K DA＝＝，∴则的取值范围：[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝2A，则cos C的值为【解答】解：∵a＝2，b＝3，C＝2A，∴由正弦定理，可得：＝＝，∵可得：cos A＝，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，解得：c2＝10，∴可得：cos C＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆C的离心率e的取值范围是【解答】解：F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，可得AB：bx+ay﹣ab＝0，满足，a2b2≤c2a2+c2b2，可得：（a2﹣c2）2≤（ac）2，可得a2﹣c2≤ac，即e2+e﹣1≥0，e∈（0，1）．解得e∈．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用．11．（5分）已知数列{a n}的首项，数列{b n}是等比数列，且b5＝2，若，则a10＝64【解答】解：因为数列{b n}是等比数列，且b5＝2，设其公比为q，则，所以＝2q n﹣5，所以，，……，等式左右两边相乘，得，即a10＝＝64．故填：64．【点评】本题考查等比数列的通项公式，累乘法计算某一项，属基础题．12．（5分）在平面四边形OABC中，已知，OA⊥OC，AB⊥BC，∠ACB＝60°，若＝6，则＝3【解答】解：如图所示，设|OC|＝a，易求，故＝＝＝，又＝6，所以，解之得a＝3．故答案为3．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题目．13．（5分）已知正数x，y满足，则的最小值为【解答】解：正数x，y满足，可得4x+y++＝+x﹣，由4x+≥2＝4，当且仅当x＝取得等号，y+≥2，当且仅当y＝1取得等号，可得+x﹣≥6，则x﹣≥6﹣＝﹣，即所求最小值为﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14．（5分）定义min{a，b}＝，已知函数，若h（x）＝min{f（x），g（x）}恰好有3个零点，则实数m的取值范围是【解答】解：依题意可得m＞0，令f（x）＝0，得x＝﹣lnm，令g（x）＝0，得x＝1或x＝，又h（x）＝min{f（x），g（x）}恰好有3个零点，由图可知：，解得：或，即实数m的取值范围是（）∪（，1），故答案为：（）∪（，1）．【点评】本题考查了“取小函数”的定义及函数图象间的位置关系，属中档题．二、解答题（共90分）15．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面P AD，AP＝AD，AB∥CD，CD＝2AB，M是PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：平面PBC⊥平面PCD．【解答】证明：（1）取CP的中点N，连接MN．∵M，N分别是PD，PC的中点，∴MN∥CD，MN＝CD，∵AB∥CD，AB＝CD，∴AB∥MN，AB＝MN．∴四边形ABNM是平行四边形，∴AM∥BN，又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC．（2）∵CD⊥平面P AD，AM⊂平面P AD，∴AM⊥CD，∵AP＝AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，又PD∩CD＝D，∴AM⊥平面PCD，由（1）可知AM∥BN，∴BN⊥平面PCD，又BN⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．16．（14分）如图在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q有右侧），点O为半圆的圆心，已知AB＝2，∠BOP＝θ，∠POQ＝α．（1）若点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，求cosα的值；（2）若PQ＝1，求的取值范围．【解答】解：（1）依题意有，半圆O的半径为1，点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，点P在y轴上方，所以cosθ＝，sin（θ+α）＝，所以sinθ＝＝，cos（θ+α）＝＝，因为点Q在点P的左侧，所以cos（θ+α），所以cos（θ+α）＝﹣，故cosα＝cos[（θ+α）﹣θ]＝cos（θ+α）cosθ+sin（θ+α）sinθ＝．（2）因为PQ＝1，所以△POQ为正三角形，所以，所以P（cosθ，sinθ），Q（cos（），sin（）），又A（﹣1，0），B（1，0），所以＝[cos（）+1]（cosθ﹣1）+sin（）sinθ＝＝sin（）﹣，其中θ∈[0，]，又θ∈[0，]，所以，]，所以sin（）﹣∈[0，]，所以∈[0，]．【点评】本题考查了三角函数辅助角公式、平面向量数量积的性质及其运算，属难度较大的题型17．（14分）在平面直角坐标系xOy中点，点A，F分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝﹣1，求直线l的方程．【解答】解：（1）依题意，A（﹣a，0），F（c，0），Q（，0），∵F是AQ的中点，∴，又2c＝2，得c＝1，代入上式可得：a＝2或a＝﹣1（舍）．∴b2＝a2﹣c2＝3，则椭圆C的标准方程为；（2）设直线MN的方程为x＝my+1，M（my1+1，y1），N（my2+1，y2），联立，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．，．∴＝＝＝，又k1+k2＝﹣1，∴﹣m＝﹣1，即m＝1．∴直线l的方程为x＝y+1，即x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．18．（14分）如图，矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路MN（宽度不计）经过该矩形区域，其中MN都在矩形ABCD的边界上，已知AB＝8，AD＝6（单位：百米），小路MN将矩形ABCD分成面积为S1，S2（单位：平方百米）的两部分，其中S1≤S2，且点A在面积为S1的区域内，记小路MN的长为l百米．（1）若l＝4，求S1的最大值；（2）若S2＝2S1，求l的取值范围．【解答】解：由题意，折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．（1）在情形②③中，MN≥6．故当l＝4时，折痕必定是情形①．设AM＝xcm，AN＝ycm．则x2+y2＝16≥2xy，可得xy≤8，当且仅当x＝y＝2时取等号．∴S＝xy≤4，此时最大值为4．（2）由长方形的面积S＝6×8＝48．S2＝2S1，∴S2＝32，S1＝16．（i）当折痕是情形①时．设AM＝xcm，AN＝ycm，可得xy＝16，即y＝．由0≤x≤8，6，可得：≤x≤8．∴l＝＝，≤x≤8．令t＝x2，则≤t≤64．设g（t）＝，g′（t）＝1﹣，令g′（t）＝1﹣＝0，解得t＝32．g（t）min＝g（32）＝64．又g（）＝64，g（64）＝80．∴g（t）∈[64，80]．∴l∈[8，4]．（ii）当折痕是情形②时．设AM＝xcm，DN＝ycm，可得（x+y）×6＝16，即y＝﹣x．由0≤x≤8，0≤﹣x≤8，可得：0≤x≤．∴l＝＝∈．（iii）当折痕是情形③时．设BN＝xcm，AM＝ycm，可得（x+y）×8＝16，即y＝x﹣4．由0≤x≤8，0≤4﹣x≤6，可得：0≤x≤4．∴l＝＝∈[8，4]．综上可得：l∈[6，4]．【点评】本题考查了勾股定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣mx，x∈R，其导函数为f'（x）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x＞0，关于x的不等式f（x）≥x2+1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证：f'（x1）+f'（x2）＞0．【解答】解：（1）依題意，f（x）＝e x﹣mx，x∈R，f′（x）＝e x﹣m．①若m≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，②若m＞0，令f′（x）＝0，得x＝lnm．当x＜lnm时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，当x＞lnm时，f′（x）＞0，函数f′（x）＞0，在（lnm，+∞）上单调递增，综上当m≤0时，函数f（x）在R上单调递增，当m＞0吋，函数f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，在（lnm，+∞）上单调递增．（2）依題意，当x＞0肘，e x﹣mx≥x2+1恒成立，即m≤﹣x﹣対任意実数x＞0恒成立．令g（x）＝﹣x﹣，x＞0．则g′（x）＝﹣1+＝＝，由（1）可知，当m＝1肘，f（x）＝e x﹣x在（0，+∞）上单调递增，故f（x）＞f（0）＝1，即e x﹣x＞l，得e x﹣x﹣l＞0．所以方程g′（x）＝0有唯一解x＝l，且当0＜x＜1吋，g'（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，．当x＞1吋，g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．所以g（x）min＝g（1）＝e﹣2，所以m≤e﹣2．（3）∵x1，x2是f（x）＝e x﹣mx的两个零点，∴＝mx1，＝mx2，故m＝，故f′（x1）+f′（x2）＝﹣m+﹣m＝+﹣2m＝+﹣2•．要证：f′（x1）+f′（x2）＞0，即证：+﹣2•＞0，不妨没x1＞x2即证：（x1﹣x2）（+）﹣2（﹣）＞0，即证（x1﹣x2）（+1 ）﹣2（﹣1）＞0令h（t）＝t（e t+1）﹣2（e t﹣1），即h′（t）＝（t﹣1）e t+1令φ（t）＝h′（t）＝（t﹣1）e t+1，t＞0，所以φ′（t）＝te t＞0，φ（t）＝h′（t）在（0，+∞）上单调递增，故φ（t）＞φ（0）＝0，即h′（t）＞0，所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，所以h（t）＞h（0）＝0，即t（e t+1）﹣2（e t﹣1）＞0对任意实数t＞0恒成立．又x1﹣x2＞0，所以（x1﹣x2）（+）﹣2（﹣）＞0，得证．【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，最值与导数之间的关系，进行转化，利用构造函数研究函数的最值和单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．20．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n满足2S n﹣na n＝n．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的公差d＞0，设，求证：存在唯一的正整数n，使得a n+1≤b n＜a n+2；（3）若a2＝2，设，求证：数列{c n}中任意一项都可以表示成其他两项的乘积．【解答】证明：（1）∵2S n﹣na n＝n，∴2S n+1﹣（n+1）a n+1＝n+1，相减可得：na n﹣（n ﹣1）a n+1＝1，n≥2时，（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝1，相减可得：2a n＝a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．（2）由题意可得：当n＝1时，2S1﹣a1＝1，解得a1＝1．故S n+1＝（n+1）+d，∴＝，若a n+1≤b n＜a n+2；∴1+nd≤＜1+（n+1）d，化为：，解得＜n≤．＞0．∵﹣＝1．故存在唯一的正整数n，使得a n+1≤b n＜a n+2．（3）由（1）可得：数列{a n}是等差数列；又a1＝1，a2＝2，∴公差d＝1，∴a n＝1+n﹣1＝n，∴＝，对于∀n∈N*，设c n＝c k•c l，其中k，l∈∈N*．k≠n，l≠n．故＝•，可得：1+＝（1+）（1+）．∴k＝．取l＝n+1，则k＝n（n+2）．∴数列{c n}中任意一项c n，都存在l＝n+1，k＝n（n+2）．使得c n＝c k•c l．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选做题】本题包括21、22、23、24四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，A＝，B＝，若直线l依次经过变换T A，T B后得到直线l'：2x+y ﹣2＝0，求直线l的方程．【解答】解：设点P（x，y）是直线l上的任意一点，其依次经过变换T A，T B后得到点P′（x′，y′）．则有：＝，整理，得：＝．即：．∵点P′（x′，y′）在直线l'上，∴2x′+y′﹣2＝0．可将代入2x′+y′﹣2＝0，得：2（x+4y）+2y﹣2＝0，整理，得：x+5y﹣1＝0．∴直线l的方程为x+5y﹣1＝0．【点评】本题主要考查一条直线经过一定的变换得到对应的直线，已知其中一条直线方程求另一条直线方程，本题可通过设对应点和变换对应的矩阵找到两个点的坐标的关系表达式来求出．本题属基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ，若直线l 与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：直线l：消去参数t，可得直线l的普通方程为x﹣﹣a＝0，圆C：ρ＝4cosθ，x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，圆心C（2，0），半径r＝2，又直线l与圆C有公共点，所以≤2，解得﹣2≤a≤6，所以实数a的取值范围是[﹣2，6]．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣1，0），F（1，0），若动点P满足＝2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于A，B，与y轴相交于Q，若＝，＝，求证：λ+μ为定值．【解答】解：（1）设动点P（x，y），则＝（x+1，y），＝（2，0），||＝，因为＝2||，所以2（x+1）＝2，整理得：y2＝4x，故动点P的轨迹C的方程为：y2＝4x（2）证明：设Q（0，t），A（，y1），B（，y2），其中y1≠y2，依题意有A，F，B三点共线，则，又＝（1﹣，﹣y1），B（1﹣，﹣y2），则有y1y2＝﹣4，又＝，所以λ＝＝，同理μ＝，故λ+μ＝+＝+＝﹣1，故λ+μ为定值【点评】本题考查了平面向量的性质及其运算及曲线的轨迹方程，属中档题24．已知A n＝{x＞0|x＝k1•2+k2•22+…+k n•2n}，其中n∈N*，n≥2，k i∈{﹣1，1}（i＝1，2，…n），记集合A n的所有元素之和为S n．（1）求S2，S3的值；（2）求S n．【解答】解：（1）当n＝2时，A2＝{x＞0|x＝2k1+4k2}＝{2，6}，所以S2＝2+6＝8，当n＝3时，A3＝{x＞0|}x＝k1•2+k2•22+k3•23}＝{2，6，10，14}，所以S3＝2+6+10+14＝32．（2）若k n＝﹣1，且k1＝k2＝……＝k n﹣1＝1，n∈N*，则x＝2+22+……+2n﹣1﹣2n＝＝﹣2＜0，此时x∉A n．所以k n必然为1，且当k1＝k2＝……＝k n﹣1＝﹣1，n≥2，n∈N*时，x＝﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＝﹣＞0，此时x∈A n，根据乘法原理，使得k i＝﹣1（i＝1，2，3，…n﹣1．n∈N*）的2i共有＝2n﹣1个，使得k i＝1（i＝1，2，3，…n﹣1．n∈N*）的2i共有＝2n﹣1个，所以S n中的所有（i＝1，2，3，…n﹣1．n∈N*）项的和为0，又因为使得k n＝1的x有2n﹣1个，所以S n＝2n﹣1×2n＝22n﹣1．【点评】本题考查了数列求和，计数原理等知识，发现最后一项的系数必须为1，是解决本题的关键，然后用计数原理处理前n﹣1项的和，即可求出S n．本题属中档题．。

南通市2019届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．【答案】{}13x x -<≤．2． 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 【答案】18．3． 复数i z =（其中i 为虚数单位）的模为 ▲ ．．4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的 方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则 该样本中产品的最大编号为 ▲ ． 【答案】76．5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】48．6． 若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()4+∞，． 7． 若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-则b 的值为 ▲ ． 【答案】3-．8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个） 【答案】充要．9． 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲．（第5题）10y +=．10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 【答案】－36．11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ．【答案】3415．12．设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为▲ ． 【答案】14π313． 若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ▲ ．【答案】114．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ． 【答案】12-．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求： （1）AB 的值； （2）sin()sin A B C-的值．【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分 所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()25AB AC CB +=，亦即225AB =，故5AB =． …………………………… 7分 （方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分 两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分 （方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，PABCDE （第16题）PABCDE（第16题）FM 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分 由余弦定理得()()2222221191622b c a c a b +-=+-=，，两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分 （2）sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A BC C--=………………………… 10分 由正弦定理得sin()cos cos sin A B a B b A C c--=22cos cos 169725ac B bc A c c --===． ………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点． 求证：（1）CE ∥平面P AD ；（2）平面PBC ⊥平面P AB ．【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分 EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分 （方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ， 所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ． 因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分 （2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥．因为AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分 因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面P AB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面P AB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分17．（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中 释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x xy x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之 和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.11.4）． 【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度644048()4202410x x f x y x x ⎧-⎪-==⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．则当04x ≤≤时，由64448x--≥，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤．…………………… 3分 当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分 （2）设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天，浓度()1161616()25110(14)428(6)1414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤=-+-=-+-=-+--⎢⎥----⎣⎦．…… 10分因为14[48]x -∈，，而14a ≤≤，所以[48]，，故当且仅当14x -=y有最小值为4a -.令44a -≥，解得244a -≤，所以a的最小值为24 1.6-．……… 14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x ya b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为曲线C 1上的点到原点O．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．【解】（1）由题意得2ab ⎧=⎪= 又0a b >>，解得28a =，21b =．因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． ………………………… 4分（2）①设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，， 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ………………………8分因为点()A m n ，在椭圆C 2上，所以2218m n +=，即()()222182y x+=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=． ………………………10分②（方法1）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 2上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+= （i ）又2288x y += （ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+， ………………………13分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. ………………………16分 （方法2）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)． 解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+，所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k+==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．…………… 12分（解法1）由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． …………… 15分当k ＝0，S △AMB 1161=⨯=；当k 不存在时，S △AMB 116229=⨯=>．综上所述，△AMB 面积的最小值为169． …………… 16分（解法2）因为22222211118(1)8(1)18+8k k OA OMk k +=++++22218+898(1)8k k k ++==+， 又22112OA OM OA OM +⋅≥，于是169OA OM ⋅≥， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立．（后同方法1）19．(本小题满分16分)设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2r t SrS t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列； （3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑． 【解】（1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t SrS t=，得21nSn S=，即21n S a n =．… 2分当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立．故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． …………… 5分（2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2．依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==， ……… 7分 于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分 （3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． ……… 12分 于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------． ……… 15分 所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑． ……… 16分20．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABC 为等腰直角三角形，t ，求(1)(1)a t -- 的值．【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．……………………… 2分 所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数； 于是当ln x a =时，()f x 取得极小值． ……………………… 4分 因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)，所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围. ……………………………… 6分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x xf s x x s++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………… 8分 设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而12e02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<． ………………………………………… 11分（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122ex x +=ABC 中，显然C = 90°，…………………… 13分所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以2100x x y -+=，即122112e ()022x x x xa x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a -+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t ，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， …………………………………… 15分即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= …………………………………… 16分南通市2019届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）（第21—A 题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分21B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则由 1 111ab cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=⎧⎨-=-⎩，． 再由1311⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b c d ，得31a b c d +=⎧⎨+=⎩．，联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……………………… 10分 21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ， 求d 的取值范围．【解】由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分 于是PQ 的中点M ()1cos cos2sin sin 2αααα+++，． ………………………… 4分 从而()()2222cos cos2sin sin222cos d MA ααααα==+++=+ ………………………… 6分 因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， ………………………… 8分 于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分21D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分ABCDD 1A 1B 1C 1E（第22题）又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥．…………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．【证】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． 不妨设AD =AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AEEB ＝λ，所以()2101E λλ+，，，于是()112111D E A D λλ=-=+，，，(－1，0，－1)． 所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．故D 1E ⊥A 1D ． ……… 5分 （2）因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)． 又()21201CE λλ=+，-，，1CD =(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·()220CE x y λλ=+-=，n 2·120CD y z =-+=，所以向量n 2的一个解为()22121λλ-+，．因为二面角D 1—EC —D 的大小为π4，则1212⋅=n n．解得λ=±233－1． 又因E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1． ……… 10分23.（本小题满分10分）数学试卷设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有 {}11122i i a a +∈，，． （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）；（2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数．【解】（1）当3n =时，131a a ==． 因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，， 所以212a =或21a =或22a =． 故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1112，，； 1，1，1； 1，2，1． ……… 3分 （2）令b i ＝a i +1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件： 77181111i ii i i a a b a a +=====∏∏，且b i ∈{}1122，， (1≤i ≤7)． 反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．………7分记符合条件的数列{b n }的个数为N ． 显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1． 当k 给定时，{b n }的取法有77C C k k k -种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故1122337675741C C C C C C 393N =+++=．因此，符合条件的数列{a n }的个数为393． ……… 10分。

2019届江苏省南通市高考模拟（二）数学（文）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、填空题1．已知集合，则______．【答案】【解析】【分析】求集合和的交集即可【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了集合的交集运算法则，属于基础题。

2．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为______．【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则化简求解即可得到答案【详解】则的共轭复数为【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘法运算，属于基础题。

3．函数的定义域为______【答案】【解析】【分析】根据函数定义域的定义，列出函数有意义的条件，即可求解函数的定义域.【详解】由题意，函数满足，解得，奇函数的定义域为.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中根据函数定义域的定义，列出函数解析式有意义的条件是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为______【答案】36【解析】【分析】根据上述算法，逐项计算即可得到计算的结果.【详解】由题意，可得，，输出的结果．【点睛】本题主要考查了算法的结果输入，其中正确理解题意，明确算法的计算方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5．如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为____．【答案】【解析】试题分析：由于甲、乙两位同学的平均数均为，所以甲、乙两位同学的方差分别为故成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为【考点】方差6．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为______【答案】【解析】分析：先求黑白两个球随机放入编号为的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有，所以黑白两球均不在一号盒的概率为，故答案为.点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.7．在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则的值为______【答案】【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，求解函数，即可求解答案.【详解】由题意得，将函数的图象向右平移个单位，得的图象，所以．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及其应用，其中解答中根据三角函数的图象变换得到函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为______【答案】【解析】【分析】由题意，根据双曲线的几何性质，求得双曲线的一条渐近线与准线的交点，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的一条渐近线与右准线的交点为，其到另一条渐近线的距离为．【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．若，则的值为______【答案】【解析】【分析】根据两角和与差的正切函数的公式，求得，进而利用三角函数的基本关系式，即可求得答案.【详解】由，得．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记两角和与差的三角函数的基本公式以及三角函数的基本关系式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10．已知函数是定义在上的偶函数，且对于任意的都有，，则的值为______．【答案】4【解析】【分析】令，可以求得，从而可得是以为周期的函数，结合，即可求得的值【详解】函数是定义在上的偶函数，，，令，可得，则则，，是以为周期的函数，，则故答案为【点睛】本题主要考查了抽象函数及其基本性质的应用，重点考查了赋值法，求得是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档题。