2017高三数学一轮复习 第1篇 命题及其关系、充分条件与必要条件学案 理

高考数学（理科）一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p．四种命题间的关系四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．自我检测．下列命题中的假命题是A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1c．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0答案 c解析对于c选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x ∈R，x3>0是假命题．2．“a>0”是“|a|>0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．“x>0”是“x≠0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s 是p的逆命题t的A．逆否命题B．逆命题c．否命题D．原命题答案 c解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．与命题“若a∈m，则bm”等价的命题是A．若am，则bmB．若bm，则a∈mc．若am，则b∈mD．若b∈m，则am答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．实数的平方是非负数；等底等高的两个三角形是全等三角形；弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1 有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．p：x－2＝0；q：＝0.p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．解∵x－2＝0⇒＝0；而＝0x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m<－2.∴p是q的充分不必要条件．∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp.∴p是q的充分不必要条件．变式迁移2 下列各小题中，p是q的充要条件的是①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：f－xfx＝1；q：y＝f是偶函数；③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A；q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③c．③④D．①④答案 D解析①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4>0⇔q：m<－2或m>6⇔p；②当f＝0时，由qp；③若α，β＝kπ＋π2，k∈Z时，显然cosα＝cosβ，但tanα≠tanβ；④p：A∩B＝A⇔p：A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB.故①④符合题意．探究点三充要条件的证明例3 设a，b，c为△ABc的三边，求证：方程x2＋2ax ＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0，两式相减可得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即＝0.故两方程有公共根x＝－．所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.变式迁移3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.证明必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝－＝＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即＝0.又ab≠0，∴a≠0且b≠0.∵a2－ab＋b2＝2＋34b2>0.∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.转化与化归思想的应用例已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.[2分]另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，两方程都要有实根，∴Δ1＝161－m≥0，Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，解得m∈[－54，1]．[6分]∵两根为整数，故和与积也为整数，∴4m∈Z4m∈Z4m2－4m－5∈Z，∴m为4的约数，[8分]∴m＝－1或1，当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数，而当m＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.[12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．一、选择题．给出以下四个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABc中，若sinA＝sinB，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是A．①B．②c．③D．④答案 c解析对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．设0<x<π2，则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵0<x<π2，∴0<sinx<1.∴xsinx<1⇒xsin2x<1，而xsin2x<1xsinx<1.故选B.3．“α＝π6＋2kπ”是“cos2α＝12”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2kπ可得到cos2α＝12.由cos2α＝12得2α＝2kπ±π3．∴α＝kπ±π6．所以cos2α＝12不一定得到α＝π6＋2kπ．4．关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是A．都真B．都假c．否命题真D．逆否命题真答案 D解析本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4，a>4a>5，但a>5⇒a>4.故选B.二、填空题6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________条件．答案充要7．已知p：＝0，q：2＋2＝0，则p是q的____________条件．答案必要不充分解析由＝0得x＝1或y＝2，由2＋2＝0得x＝1且y ＝2，所以由q能推出p，由p推不出q,所以填必要不充分条件．8．已知p：x2＋2x－m>0，如果p是假命题，p是真命题，则实数m的取值范围为________．答案[3,8)解析因为p是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又因为p是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.三、解答题9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；若ab＝0，则a＝0或b＝0；若x2＋y2＝0，则x、y全为零．解逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．0．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且綈p 是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．解设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴綈q⇒綈p，且綈p綈q.则{x|綈q}{x|綈p}，而{x|綈q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}，{x|綈p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0}，∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a或x≥a，a<0}，则3a≥－2，a<0或a≤－4，a<0.综上，可得－23≤a<0或x≤－4.1．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.证明充分性：当q＝－1时，a1＝S1＝p＋q＝p－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1．当n＝1时也成立．于是an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p，即数列{an}为等比数列．必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1．∵p≠0，p≠1，∴an＋1an＝pnp－1pn－1p －1＝p.∵{an}为等比数列，∴a2a1＝an＋1an＝p，即pp－1p＋q ＝p，即p－1＝p＋q.∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．。

一、知识梳理１．命题在数学中，可以判断真假用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．２．四种命题及其关系（１）四种命题间的相互关系（２）四种命题的真假关系１两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；２两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．３．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q错误!pp是q的必要不充分条件p错误!q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!p从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：（１）若A⊆B，则p是q的充分条件；（２）若A⊇B，则p是q的必要条件；（３）若A＝B，则p是q的充要条件；（４）若A B，则p是q的充分不必要条件；（５）若A B，则p是q的必要不充分条件；（6）若A错误!B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．二、教材衍化１．命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是________，是________命题（填“真”或“假”）．解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．答案：若x≤y，则x２≤y２假２．设x∈R，则“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的________条件．解析：２—x≥0，则x≤２，（x—１）２≤１，则—１≤x—１≤１，即0≤x≤２，据此可知：“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的必要不充分条件．答案：必要不充分３．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac２＞bc２”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c＝0时，ac２＝bc２，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac２＞bc２，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有２个．答案：２一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x２＋２x—３<0”是命题．（）（２）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．（）（３）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（）（４）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（５）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）命题的条件与结论不明确；（２）含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；（３）对充分必要条件判断错误．１．命题“若a２＋b２＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a２＋b２≠0．２．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0．３．条件p：x>a，条件q：x≥２．（１）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；（２）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥２}，（１）因为p是q的充分不必要条件，所以A B，所以a≥２；（２）因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a<２．答案：（１）a≥２（２）a<２四种命题的相互关系及真假判断（自主练透）１．命题“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是（）Ａ．若x２≥１，则x≥１或x≤—１Ｂ．若—１<x<１，则x２<１Ｃ．若x>１或x<—１，则x２>１Ｄ．若x≥１或x≤—１，则x２≥１解析：选Ｄ．命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是“若x≥１或x≤—１，则x２≥１”．１“若xy＝１，则x，y互为倒数”的逆命题；２“面积相等的两个三角形全等”的否命题；３“若m≤１，则x２—２x＋m＝0有实数解”的逆否命题；４“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是（）Ａ．１２Ｂ．２３Ｃ．４Ｄ．１２３解析：选Ｄ．１原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝１”，是真命题；２原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；３若m≤１，Δ＝４—４m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；４由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故１２３正确．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４解析：选Ｃ．因为P＝错误!＝错误!{k∈Z}，Q＝错误!，所以P Q，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为２．错误!（１）写一个命题的其他三种命题时需关注２点１对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；２若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．（２）判断命题真假的２种方法１直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；２间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断（师生共研）（１）（２0２0·郑州模拟）已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“错误!>错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0２0·延安模拟）已知p：x＝２，q：x—２＝错误!，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【解析】（１）若错误!>错误!，则错误!—错误!＝错误!>0．当0<a<b时，错误!>错误!成立；当a>0，b<0时，满足错误!>错误!，但0<a<b不成立．故“b>a>0”是“错误!>错误!”的充分不必要条件，故选Ａ．（２）当x—２＝错误!时，两边平方可得（x—２）２＝２—x，即（x—２）（x—１）＝0，解得x１＝２，x２＝１．当x＝１时，—１＝错误!，不成立，故舍去，则x＝２，所以p是q的充要条件，故选Ｃ．【答案】（１）A （２）C错误!判断充要条件的３种常用方法（１）定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．（２）等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（３）利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意３点（１）要分清条件与结论分别是什么．（２）要从充分性、必要性两个方面进行判断．（３）直接判断比较困难时，可举出反例说明．１．（２0１9·高考天津卷）设x∈R，则“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由x２—５x<0可得0<x<５．由|x—１|<１可得0<x<２．由于区间（0，２）是（0，５）的真子集，故“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的必要而不充分条件．２．（２0２0·安徽淮南二模）设λ∈R，则“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．当λ＝—３时，两条直线的方程分别为6x＋４y＋１＝0，３x＋２y—２＝0，此时两条直线平行；若直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行，则２λ×（１—λ）＝—6（１—λ），所以λ＝—３或λ＝１，经检验，两者均符合．综上，“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的充分不必要条件，故选Ａ．充分条件、必要条件的探求及应用（典例迁移）（１）设集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）Ａ．—１<x≤１Ｂ．x≤１Ｃ．x>—１Ｄ．—１<x<１（２）已知P＝{x|x２—8x—２0≤0}，非空集合S＝{x|１—m≤x≤１＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．【解析】（１）因为集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，又因为“x∈A且x∉B”，所以—１<x<１；又当—１<x<１时，满足x∈A且x∉B，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是“—１<x<１”．故选Ｄ．（２）由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，所以P＝{x|—２≤x≤１0}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则错误!所以0≤m≤３．所以当0≤m≤３时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，３]．【答案】（１）D （２）[0，３]【迁移探究】（变问法）本例（２）条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒P.所以[—２，１0][１—m，１＋m]．所以错误!或错误!所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．错误!根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项（１）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．（２）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．１．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Ａ．a≥9 Ｂ．a≤9Ｃ．a≥１0 Ｄ．a≤１0解析：选Ｃ．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”⇔“对任意的x∈[１，３]，x２≤a”⇔9≤a.则a≥１0是命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选Ｃ．２．若“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x２—x—6>0，解得x<—２或x>３．因为“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<—２或x>３}的真子集，即a≥３，故a的最小值为３．答案：３[基础题组练]１．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p的（）Ａ．逆命题Ｂ．否命题Ｃ．逆否命题Ｄ．否定解析：选Ｂ．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．２．“若x，y∈R，x２＋y２＝0，则x，y全为0”的逆否命题是（）Ａ．若x，y∈R，x，y全不为0，则x２＋y２≠0Ｂ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２＝0Ｃ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２≠0Ｄ．若x，y∈R，x，y全为0，则x２＋y２≠0３．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x ＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．１“若a≤b，则a＜b”的否命题；２“若a＝１，则ax２—x＋３≥0的解集为R”的逆否命题；３“周长相同的圆面积相等”的逆命题；４“若错误!x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为（）Ａ．２４Ｂ．１２３Ｃ．２３４Ｄ．１３４解析：选Ｂ．对于１，逆命题为真，故否命题为真；对于２，原命题为真，故逆否命题为真；对于３，“面积相等的圆周长相同”为真；对于４，“若错误!x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选Ｂ．５．设a，b均为单位向量，则“|a—３b|＝|３a＋b|”是“a⊥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．因为|a—３b|＝|３a＋b|，所以（a—３b）２＝（３a＋b）２，所以a２—6a·b＋9b２＝9a２＋6a·b＋b２，又因为|a|＝|b|＝１，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选Ｃ．6．（２0２0·咸阳模拟）已知p：m＝—１，q：直线x—y＝0与直线x＋m２y＝0互相垂直，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由题意得直线x＋m２y＝0的斜率是—１，所以错误!＝—１，m＝±１．所以p是q的充分不必要条件．故选Ａ．7．（２0２0·郑州模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·（b—c）＝0”是“b＝c”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由b＝c，得b—c＝0，得a·（b—c）＝0；反之不成立．故“a·（b—c）＝0”是“b ＝c”的必要不充分条件．8．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是（）Ａ．a＋b＞0 Ｂ．a—b＞0Ｃ．ab＞１Ｄ．错误!＞１解析：选Ａ．因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a—b＞0，ab ＞１，错误!＞１，故选Ａ．9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．答案：充要１0．在命题“若m>—n，则m２>n２”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝２，n＝３，则２>—３，但２２<３２，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝—３，n＝—２，则（—３）２>（—２）２，但—３<２，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为３．答案：３１１．（２0２0·齐鲁名校调研）给出下列说法：１“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；２“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；３“a＝１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；４命题“若x<—１，则x２—２x—３>0”的否命题为“若x≥—１，则x２—２x—３≤0”．以上说法中正确的是________（填序号）．解析：对于１，“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝错误!”，当x＝0，y＝错误!时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝错误!，故逆命题为假命题，１正确；对于２，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，２正确；对于３，“a＝±１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故３错误；对于４，根据否命题的定义知４正确．答案：１２４[综合题组练]１．（２0２0·抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为6５分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是（）Ａ．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格Ｂ．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分Ｃ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分Ｄ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选Ｃ．根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选Ｃ．２．（２0２0·合肥模拟）若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是（）Ａ．a＝b＝１Ｂ．a，b至少有一个为１Ｃ．a＝b＝２Ｄ．a＞１且b＞１解析：选Ｂ．因为a＋b＞ab，所以（a—１）（b—１）＜１．因为a，b∈N+，所以（a—１）（b—１）∈N，所以（a—１）（b—１）＝0，所以a＝１或b＝１．故选Ｂ．３．若命题“ax２—２ax—３>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax２—２ax—３≤0恒成立，当a＝0时，—３≤0成立；当a≠0时，得错误!解得—３≤a<0，故实数a的取值范围是—３≤a≤0．答案：[—３，0]４．已知命题p：x２＋２x—３＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x２＋２x—３＞0，得x＜—３或x＞１，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥１．答案：[１，＋∞）。

命题及其关系、充分条件与必要条件[考试要求] 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．[常用结论]1．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．( )(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”． ( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材习题衍生1．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2＞0, 则x＞1”的逆否命题A[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．]2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”C[根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．故选C ．]3．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B ．]4．命题“若α＝π3，则sin α＝32”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)假 假 [若α＝π3，则sin α＝32的逆命题为“若sin α＝32，则α＝π3”是假命题；否命题为“若α≠π3，则sin α≠32”是假命题．]考点一 命题及其关系判断命题真假的两种方法A ．若x ≠y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2＝0B ．若x ＝y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0C ．若x ≠0且y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0D ．若x ≠0或y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0D [x 2＋y 2＝0的否定为x 2＋y 2≠0，x ＝y ＝0的否定为x ≠0或y ≠0，因此逆否命题为“若x ≠0或y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0，”故选D ．]2．给出命题：若a ＞－3，则a ＞6.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0B[原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题．其逆命题“若a＞6，则a＞－3”是真命题，则其否命题为真命题，因此真命题的个数为2，故选B．]3．下列命题为假命题的是()A．命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的否命题C．命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题D．命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题D[对于A，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题．对于B，逆命题“若x＞|y|，则x＞y”为真命题，从而否命题也为真命题．对于C，由Δ＝4－4m≥0知，原命题正确，从而逆否命题正确．对于D，由A∩B＝B知，B⊆A，则原命题错误，从而逆否命题错误，故选D．]点评：在判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假时，只需判断原命题和它的逆命题的真假即可．考点二充分、必要条件的判定判断充分、必要条件的三种方法A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·浙江高考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)设a ，b ∈R ，则“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)B (2)A (3)B [(1)p ：x <3，q ：－1<x <3，可得q ⇒p ，而p 推不出q .则q 是p 成立的充分不必要条件．故选B ．(2)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A ．(3)(等价转化法)问题转化为判断“a ＋b ＝3”是“a ＝1且b ＝2”的什么条件．由a ＋b ＝3a ＝1且b ＝2，反之，a ＝1且b ＝2⇒a ＋b ＝3，因此“a ＋b ＝3”是“a ＝1且b ＝2”的必要不充分条件，从而“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的必要不充分条件，故选B ．]点评：判断充要条件时，要双向推导，说明推不出时，可恰当取特殊值作反例．[跟进训练]1．已知a ，b 都是实数，那么“3a ＞3b ”是“a 3＞b 3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [3a ＞3b ⇒a ＞b ⇒a 3＞b 3，反之a 3＞b 3⇒a ＞b ⇒3a ＞3b ，因此3a ＞3b 是a 3＞b 3的充要条件，故选C ．]2．设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由⎪⎪⎪⎪x －12＜12得0＜x ＜1，由x 3＜1得x ＜1， 因为0＜x ＜1⇒x ＜1，但x ＜10＜x ＜1，所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件，故选A ．] 考点三 充分条件、必要条件的探求与应用1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．2．利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．[典例2－1]不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是()A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D ．x∈(1,3)B[解不等式x(x－2)＜0得0＜x＜2，因此x∈(0,2)是不等式x(x－2)＜0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x|0＜x＜2}，故选B．]利用充分、必要条件求参数的取值范围[典例2－2]已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，则m的取值范围为________．[0,3] [由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.又S为非空集合，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.即所求m的取值范围是[0,3]．][母题变迁]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．[解]由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m，1－m≤－2，1＋m≥10，解得m≥9，即所求m的取值范围是[9，＋∞)．[跟进训练]1．命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10C [由题意知，a ≥x 2对x ∈[1,3]恒成立，则a ≥9.因此a ≥10是命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C ．]2．使a ＞0，b ＞0成立的一个必要不充分条件是( )A ．a ＋b ＞0B ．a －b ＞0C ．ab ＞1D ．a b ＞1 A [a ＞0，b ＞0⇒a ＋b ＞0，但a ＋b ＞0a ＞0，b ＞0.因此a ＋b ＞0是a ＞0，b ＞0的一个必要不充分条件，故选A ．]3．设p ：1＜x ＜2；q ：(x －a )(x －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [由题意知{x |1＜x ＜2}{x |(x －a )(x －1)≤0}，则a ＞1，即{x |1＜x ＜2}{x |1≤x ≤a }，从而a ≥2.]。

第二课时 命题及其关系、充分条件与必要条件课前预习案1.理解命题的概念；2.了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1.命题的概念在数学中用语言、符合或式子表达的，可以 的语句叫做命题．其中 的语句叫真命题， 的语句叫假命题．2.四种命题及其关系（1）四种命题（2）四种命题间的逆否关系（3）四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 ．3．充分条件与必要条件（1）如果p q ⇒，则p 是q 的 ，q 是p 的 ；（2）如果p q ⇒，q p ⇒，则p 是q 的 ．1．（2011年陕西）设a ，b 是向量，命题“若a=-b ，则||||a b =”的逆命题是（ ）A ．若a b ≠-，则||||a b ≠B ．若a b =-，则||||a b ≠C ．若||||a b ≠，则a b ≠-D ．若||||a b =，则a b =-2．设集合{}|03M x x =<≤，{}|02N x x =<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件课堂探究案考点一 命题的关系及命题真假的判断【典例1】（2012年湖南卷）命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ） A ．若4πα≠，则tan 1α≠B ．若4πα=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则4πα≠ D ．若tan 1α≠，则4πα=【变式1】（1）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．①面积相等的两个三角形是全等三角形．②若1q <，则方程220x x q ++=有实根．③若220x y +=，则实数x 、y 全为零．（2）（2012年江西卷）下列命题中，假命题为（ ）A ．存在四边相等的四边形不．是正方形 B ．1212,,z z C z z ∈+为实数的充分必要条件是12,z z 为共轭复数C ．若,x y ∈R ，且2,x y +>则,x y 至少有一个大于1D ．对于任意01,n n n nn N C C C +∈+++都是偶数考点2 充分条件与必要条件的判断【典例2】（2013宁波模拟）给出下列命题：①“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}1n n a a +为等比数列”的充分不必要条件；②“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数”的充要条件；③“3m =”是“直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,a b ==30A =︒是60B =︒的必要不充分条件．其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）【变式2】（1）(2011年福建理科)若a R ∈，则2a =是(1)(2)0a a --=的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件（2）设集合{}1,2M =，{}2N a =，则“1a =”是 “N M ⊆”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点3 充分条件与必要条件的应用【典例3】已知p ：1|1|23x --≤，q ：22210x x m -+-≤(0)m >，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．【变式3】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的负根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根．求“p q ∨为真，p q ∧为假命题”的充要条件．1.下列命题是真命题的为（ ）A ．若11x y=,则x y = B ．若21x =,则1x =C ．若x y =,．若x y <,则 22x y <2．命题“若B b A a ∈∉则,”的否命题是（ ）A ．若B b A a ∉∉则, B ．若B b A a ∉∈则,C ．若A a B b ∉∈则,D ．若A a B b ∈∉则,3． 设””是“则“x x x R x ==∈31,的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件课后拓展案组全员必做题1．（2012年山东）设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2012年北京）设,a b R ∈，则“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则x ，y 不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题；④“若123x -是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④ 4．(2011年天津)设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的（ ）A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．(2011年安徽理)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（ ） A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数组提高选做题1．（2013安徽模拟）下列命题是假命题的是（ ）A ．命题“若2230x x --=,则3x =”的逆否命题为:“若3x ≠,则2230x x --≠”;B ．若02x π<<，且sin 1x x <,则2sin 1x x <; C ．互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线;D ．“2x >”是“3101x -≤+”的充分不必要条件; 2．（2011年陕西）设*n N ∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = ．3．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负实数根的充要条件是 ．参考答案1.D2.B【典例1】C【变式1】（1）①逆命题：两个三角形全等，则它们的面积相等．（真命题）否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形．（真命题）逆否命题：两个三角形不全等，则面积不相等．（假命题）②逆命题：若方程220x x q ++=有实根，则1q <．（假命题）否命题：若1q ≥，则方程220x x q ++=无实根．（假命题）逆否命题：若220x x q ++=无实根，则1q ≥．（真命题）③逆命题：若x 、y 全为零，则220x y +=．（真命题）否命题：若220x y +≠，则x 、y 不全为零．（真命题）逆否命题：若x 、y 不全为零，则220x y +≠．（真命题）（2）B【典例2】 ①④【变式2】（1）A （2）A【典例3】解：由1|1|23x --≤，得210x -≤≤， 即:210p x -≤≤．由22210(0)x x m m -+-≤>，得11m x m -≤≤+，即:11q m x m -≤≤+．∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴12,110.m m -≤-⎧⎨+≥⎩解得9m ≥．经检验知m 的取值范围为9m ≥．【变式3】解：∵210x mx ++=有两个不相等的负根， ∴2121240,0,10.m x x m x x ⎧∆=->⎪+=-<⎨⎪⋅=>⎩解得2m >．∴:2p m >．又216(2)160m ∆=--<，解得13m <<．∴:13q m <<．∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴p 、q 一真一假．①p 真q 假时，3m ≥；②p 假q 真时，12m <≤．综上知，“p q ∨为真，p q ∧为假”的充要条件为3m ≥或12m <≤．1.答案：A 解析：由11x y=得x y =,而由21x =得1x =±,由x y =,而x y <得不到22x y < 故选A.2．答案：B 解析：命题“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.3．答案： A 解析：因为1,1,0,3-==x x x 解得，所以，“x=1”是x x =3的充分不必要条件。