[教学设计]《两角和与差的余弦公式》精品教案

3.1.1两角和与差的余弦自主预习两角和与差的余弦公式cos()________________________________.αβ-= 简记为_____________cos()________________________________.αβ+= 简记为_____________注：该公式是整章三角函数公式的基础。

公式的应用要讲究一个“活”字，即正用，逆用，变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：()βαβα=+-，+22αβαββ-=-等。

例题讲解一、运用公式求值例1 求cos105cos15及的值。

变式：1．sin 45cos13sin13sin 47⋅-⋅；2．cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)αααα-⋅++-⋅+；3．2cos15sin1522+ 二、给值（式）求值例2已知4cos (),cos(),cos()5266πππααπαα=-<<-+求。

【变式：1． 已知αβ，为锐角，且11sin )14ααβ=+=-，求cos β的值。

【12】【互动探究】将本题中“11cos()14αβ+=-”改为“sin()14αβ+=”其他条件不变，再求cos β的值。

【12】2． 已知αβ，均为锐角，且cos αβ==αβ-的值。

【4π-】三、求三角函数的取值范围1．已知2sin sin 3x y +=，求cos cos x y +的求值范围。

【[33-】变式：已知1sin sin 3αβ-=，求cos cos αβ-的求值范围。

【[】。

3.1.1两角差的余弦公式一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。

本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。

通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。

三、教学重点难点重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。

难点 探索过程的组织和引导。

四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。

五、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课时安排：2课时 七、教学过程（一）创设情景，揭示课题以文峰塔高度测量为背景素材（见课件）引入问题。

并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。

问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15（2）0cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？(3)如何用450和300求0cos15?设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。

（二）、研探新知 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。

两角和与差的余弦公式
一、教材地位和作用分析：
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。

二、学情分析：
本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

三、教学目标：
1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。

2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

四、教学重点和难点：
教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。

教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。

五、教学工具：多媒体
六、教学方法：讲授法，探究法
七、教学过程：
图1
的三角比表示A 、B 两点坐标吗？角度能用α、β表示吗？
AOB 的三角比，必须要把∠O
A
)sin αsin ,(cos βB x
β
α
图2 ：这两个图中，出现了α、β及αβ-的三角比，观察两图，
旋转过程中哪些量不变，两图中哪些量与我们的研究目标有关，能否找到数量关系从而确定这些三角比之间的关系？|||B A ''=是难点，教师进行了适时点拨，
)0,1(B '(cos(βα-'A y O
x。

《2.1.1 两角和与差的余弦公式》教学设计 一、课程标准 引导学生通探索导出公式，并了解它们的内在联系，运用它们进行简单的三角恒等变形、求值.二、教学目标1．理解用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系．2．由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式，理解化归思想在三角变换中的作用．3．掌握用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．三、教学重点：两角和与差的余弦公式的推导与应用．四、教学难点：两角和与差的余弦公式的证明.五、教学过程（一）创设情境，引入新课我们会求一些特殊角的三角函数值，比如 30、 45、 60角的三角函数值。

对于一些非特殊角的三角函数值怎么算呢，比如cos15°＝cos （45°－ 30°）=cos45°－cos30°，正确吗?那么如何用α、β的正余弦表示cos(α-β) 呢？（二）自主学习，熟悉概念1.要求：学生阅读P67-692.思考：（1）如何利用向量推导两角差的余弦公式？（2）如何利用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式？（三）检验自学，强化概念1. 两角差的余弦公式：如图，在直角坐标系中，取角α、β，在这两个角的终边上分别取两个单位向量,,则就是与的夹角，根据前面所学的向量知识可知，与的数量积为由平面向量基本定理知,当时， 所以（简记为()αβ-C ）2.两角和的余弦公式：在两角差的余弦公式中，用β-代替β，就可以得到()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin αβαβ=-+-cos cos sin sin αβαβ=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- （简记为()αβ+C ）注意：①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意α、β都适用3.例题讲解例1．求75º和15º的余弦值.设计意图：熟悉公式的正用，复习特殊角三角函数值.例2. 求下列各式的值.(1)cos 20cos 40sin 20sin 40-；(2)sin5sin 40cos85cos 40+.设计意图：熟悉公式的逆用，复习诱导公式和特殊角三角函数值.例 3.已知45sin ,cos 513αβ==.且角αβ、分别是第二、四象限的角，求cos()cos()αβαβ+-、的值.设计意图：熟悉两角和与差的余弦公式，复习巩固同角三角函数基本关系式和三角函数在各象限的符号.(三)课堂练习及检测P69 1,2,3(四)归纳小结1.两角和与差的余弦公式：2.公式的正用、逆用等技巧：（五）作业1.习题2.1 2,3,2.预习2.1.2两角和与差的余弦公式：六、教学反思（酌情写一些）七、板书设计。

第三章 三角恒等变换 第1节 两角和与差的余弦 一、三维目的： 1、知识与技能：（1）、理解两角和与差的余弦公式的推导过程； （2）、掌握两角和与差的余弦公式初步应用（公式的正用和逆用）； （3）、着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。 2、过程与方法：启发、讲练结合，合作交流，突破难点。 3、情感、态度与价值观：培养学生的探索与创新意识，激发学生学习兴趣，提高学生解题的灵活性。 教学重点:余弦的差角公式的推导和应用. 教学难点:余弦的差角公式的推导. 二、教学过程： （一）问题情境 (问题一)我们已经知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，不查表如何求诸如cos75°、cos15°的值呢？ 设问（1）cos75°＝cos（45°＋30°）与cos45°＋cos30°是否相等？ （2）cosl5°＝cos（45°－30°）与cos45°－cos30°是否相等？ cos（45°±30°）≠cos45°±cos30°，那么cos（45°±30°）＝？，今天我们就来研究这个问题。（板书课题）

[问题二]：一般地, )cos(coscos, 那么cos能否

用的三角函数与的三角函数来表示?如何表示? 我们可以把)cos(看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。 在直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边分别作角,,其终边分别与

单位圆交于sin,cos1P,sin,cos2P,则21OPP ,

设向量1OPa ； 2OPb

则 cos•baba

= ；

2121yyxxba•= ；

二、建构数学： 1、两角差的余弦公式

sinsincoscoscos C 〖思考〗在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于

0P,以Ox为始边分别作出角,,,其终边分别和

两角和与差的余弦教案-许秋云一、教学目标1. 理解两角和与差的余弦概念。

2. 掌握两角和与差的余弦公式。

3. 能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：两角和与差的余弦概念及公式的理解和运用。

2. 教学难点：两角和与差的余弦公式的推导和灵活运用。

三、教学准备1. 教师准备：讲解稿、PPT、例题及练习题。

2. 学生准备：笔记本、笔、计算器。

四、教学过程1. 导入：通过复习单一角余弦的概念，引导学生思考两角和与差的余弦概念。

2. 讲解：讲解两角和与差的余弦概念，引导学生理解并掌握两角和与差的余弦公式。

3. 例题：给出例题，引导学生运用两角和与差的余弦公式进行计算，巩固知识点。

4. 练习：让学生自主完成练习题，检测学习效果。

五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对两角和与差的余弦概念的理解程度。

2. 例题解答：评价学生对两角和与差的余弦公式的运用能力。

3. 练习题完成情况：评价学生对知识点的掌握程度。

六、教学拓展1. 引导学生思考：除了两角和与差的余弦公式，还有哪些相关的公式？2. 介绍二倍角公式、和差化积公式等与余弦相关的公式，让学生自主学习并尝试运用。

七、实际应用1. 给出实际问题，让学生运用两角和与差的余弦公式进行解决。

2. 引导学生思考：余弦公式在现实生活中的应用场景有哪些？八、课堂小结1. 让学生总结本节课所学的主要内容和知识点。

2. 强调两角和与差的余弦公式的运用方法和注意事项。

九、作业布置1. 让学生完成课后练习题，巩固本节课所学知识。

2. 鼓励学生自主寻找相关的实际问题进行练习，提高运用能力。

十、教学反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，思考哪些地方讲解得清晰，哪些地方需要改进。

2. 学生对本节课的学习效果进行反思，总结自己的学习收获和需要加强的地方。

十一、课程标准1. 了解两角和与差的余弦概念及公式。

2. 能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。

两角和与差的余弦公式【教学三维目标】1.知识目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。

【知识链接】诱导公式平面向量的数量积一、产生对公式的需求引入新课首先让学生通过具体实例消除对“cos(α-β)=cosα-cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。

并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。

二、自主探究引发思考层层深入得出结论独立思考以下问题：(1)向量的数量积则（2）单位圆上的点的坐标表示由图可知：( ) ,( )则问题1 ：问题2 ：由出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？问题3 ：两角和与差的余弦公式推导（一）两角差的余弦公式设如果，那么故实际上，当为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化，使。

综上所述，，对于任意的角都成立。

根据两角差的余弦公式，你可以猜猜提示：令（二）两角和的余弦公式结论：注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中α、β是任意的。

4 式子的逆用，变形用正因为α、β的任意性，所以赋予C(α+β)公式的强大生命力三．互相交流，小组活动公式应用闯关第一关：小试身手请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？（选择的特殊角可以是30°60°45°等）(1)；(2)；(3)；……问题预测：学生动笔自由尝试、主动探索。

课题：两角和与差的余弦公式
授课教师：北京市陈经纶中学黎宁
授课时间：2007年11月21日
教学目标：
1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。

2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与
一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等
变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。

3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：两角和与差的余弦公式
教学难点：两角和与差的余弦公式的探究
教学方式：发现式、探究式
教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪
教学基本流程：。