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第八章 单位根检验由于非平稳过程可能存在严重的伪回归问题，所以在对序列进行估计之前，需要检验序列的平稳性。
本章介绍了严格的平稳性的统计检验方法--单位根检验。
在简要介绍四种主要的非平稳随机过程以产输出单位根检验原理之后，文章主要介绍ADF 检验及PP 检验法，以及介结构突变和单位根检验。
8.1 四种典型非平稳过程简介前面我们知道，若一个时间序列含有某种变动趋势，即该序列的均值或自协方差函数随时间而改变，则称该序列为非平稳序列。
下面介绍四种典型的非平稳过程。
8.1.1随机游走过程t t t y y ξ+=-1，t=1，2，．．． （8.11）若}{t ξ为独立随机分布，即()0=t E ξ，()∞<=2σξt D 。
则称}{t y 为随机游走过程（Random Walk Process ）。
随机游动过程是单位根过程的特例。
在现实经济社会中，如股票价格的走势便是随机游走序列。
下图是t t t y y ξ+=-1，()1,0∈t ξ生成的序列。
图8.11 随机游走过程t t t y y ξ+=-1，()1,0∈t ξ生成的序列图8.1.2随机趋势过程t t t y y ξα++=-1，),0(2σξIID t ∈， （8.12）其中α称为漂移项，由于序列一阶差分后便趋于平稳，又称随机趋势过程为差分平稳过程。
图8.12 t t t y y ξ++=-11.0，()1,0∈t ξ生成的序列8.1.3趋势平稳过程t t t y ξβα++= ，其中t t t νρξξ+=-1，1<ρ，),0(2σν∈t （8.13）由于t t t y ξαβ+=-，即当减去退势后为平稳过程，故趋势平稳过程又称为退势平稳过程。
由t t t y ξβα++=，t t t νρξξ+=-1知：11)1(--+-+=t t t y ξβα （8.14）将（4）两边同时乘以ρ，与（3）两边同时相减，整理可得：t t t y t y νρβα+++=-1'' ， ),0(2σν∈t （8.15）其中，ρβρααα+-='，ρβρβ-=' 这样便得出趋势平稳过程的另一种形式。
时间序列的结构变化和单位根检验伴随着经济结构的变化、社会发展的变革,大多经济变量的运行路径表现出结构变动特征。
如宏观时间序列由于外部冲击或者体制变化引起的趋势变动;股市或其他资产价格市场由于政策因素或者过度投机行为导致的大起大落。
当考虑到此类结构变化因素时,传统单位根检验,如ADF、PP检验,往往会带来关于数据平稳性特征错误的结论。
因此,近来的单位根文献研究大都在结构变化的框架下进行。
这一方面可以更有效地对时序过程的单位根特征进行检验,另一方面也可以更好地洞察研究对象背后的变化特征,以更清楚地认识其运行机制。
对于时序过程Yt = a +u 而言,结构变化可能体现在确定性趋势项a + bc上,也可能体现在随机趋势项ut上,以Perron为代表的结构突变单位根文献主要关注的是确定性趋势的结构变化,相关文献也已形成了一个较为系统的体系。
随机趋势结构变动的文献则多见于资产市场上的价格行为分析,如最近较为流行的SADF和BSADF检验,结合单位根向爆炸根的结构变化模拟并检测资产市场的“价格泡沫”,在现实研究中得到了广泛的应用。
除此以外,经济问题应用中还有一类重要的、从平稳转移角度刻画时序结构变化的非线性STAR模型,部分学者(如Kapetanios et al.,2003)对其框架下的单位根检验问题也给予了关注。
在如上背景下,本博士论文从确定性趋势变化、随机趋势变化、非线性STAR模型三个角度对结构变化框架下的单位根检验进行系统性整理,并对相关问题进行了进一步的深化研究。
主要工作可以概括为如下几部分:1,在确定性趋势结构突变的单位根问题研究中,现有理论从各种角度提出了不同的突变位置确定方法,本文细化地对各估计方法进行了解析和梳理,并以有限样本的估测性质为出发点,通过蒙特卡罗仿真实验考察比较了不同数据生成情形下各种突变点估计方法的优劣,以期为实证工作者在结构突变问题研究时提供有益的帮助。
突变次数的确定是确定性趋势突变框架下的另外一个研究热点,将没有突变的数据过程误判成含有结构突变,或者将结构突变数据过程的具体突变次数误判都会在很大程度上带来最终单位根检验的错误。
adf单位根检验法ADF单位根检验法（Augmented Dickey-Fuller test）是一种经济学和计量经济学领域常用的统计检验方法，用于判断一个时间序列数据是否具有单位根（unit root）。
单位根存在指示时间序列数据具有非平稳性，即呈现随机漫步（random walk）的性质，不具备长期平稳的趋势。
本文将详细介绍ADF检验的理论基础、检验过程和应用场景，并对其进行更加深入的探讨。
首先，我们来看看ADF检验的理论基础。
ADF检验是以经济学家Dickey和Fuller的名字命名的，旨在解决单位根存在导致回归分析中的问题。
单位根存在意味着时间序列数据具有非平稳性的特征，该非平稳性可能使得回归模型中的OLS（Ordinary Least Squares）估计出现偏误，导致虚假回归（spurious regression）的问题。
为了解决这个问题，Dickey和Fuller提出了ADF检验方法，通过在回归方程中引入差分变量来检验单位根的存在。
从统计学的角度来看，ADF检验是对一个自回归模型（Autoregressive model）的残差序列进行检验，并基于t统计量来判断序列是否具有单位根。
ADF检验的原假设（null hypothesis）是序列具有单位根，即存在非平稳性；备择假设（alternative hypothesis）是序列具有平稳性。
检验统计量的定义如下：ADF检验统计量：t = (β1 - 1) / SE(β1)其中，β1是线性回归方程中单位根存在与否的系数估计值，SE(β1)是其标准误。
根据统计学理论，如果序列具有单位根，则t统计量其实应该服从一个标准正态分布。
因此，我们可以利用标准正态分布的临界值来判断t统计量的显著性，从而对原假设的成立与否进行判断。
接下来，我们来看看ADF检验的实际操作过程。
ADF检验的步骤如下：1.提取时间序列数据。
首先，我们需要选择一个时间序列数据来进行检验。
单位根检验与结构突变的理论、方法及应用南开大学经济学院数量经济学专业博士生导师中国数量经济学会常务理事张晓峒1．典型随机过程简述。
在介绍单位根检验之前，先认识一下各种随机过程的表现形式。
（1）白噪声过程（white noise ，如图1）。
属于平稳过程。
y t = u t , u t ~ IID(0, σ2)图2是日元兑美元差分序列（收益序列），近似于白噪声序列。
（2）随机游走过程（random walk ，如图3）。
属于非平稳过程。
y t = y t -1 + u t , u t ~ IID(0, σ2)图4是深圳股票综合价格收盘指数序列，近似于随机游走过程。
随机游走的差分过程是平稳过程（白噪声过程）。
∆y t = u t 。
-3-2-10123100120140160180200220240260280300white noise-2-112240260340360DJPY图1 白噪声序列（σ2=1） 图2 日元兑美元差分序列-10-551020406080100120140160180200y=y(-1)+u12001400160018002000220050100150200250300图3随机游走序列（σ2=1） 图4深圳股票综合指数20406080100400450500550600650700750800-80-60-40-2020100200300400500600700800图5 随机趋势非平稳序列（μ = 0.1） 图6 随机趋势非平稳序列（μ = -0.1）“随机游走”一词首次出现于1905年自然（Nature ）杂志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。
该信件的题目是“随机游走问题”。
文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。
（3）随机趋势非平稳过程（stochastic trend process ）或差分平稳过程（difference- stationary process ）、有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift ）。
见图5和6。
属于非平稳过程。
y t = μ + y t -1 + u t , u t ~ IID(0, σ2)迭代变换，y t = μ + (μ + y t -2 + u t -1) + u t = … = y 0 + μ t +∑-ti iu 1= μ t +∑-ti iu 1因为随机趋势过程是由一个确定性时间趋势μt 和一个随机游走组合而成，所以随机趋势过程由确定性时间趋势所主导，表现出很强的趋势性。
y t 围绕着μt 变化，但不会回到μt 。
趋势的方向完全由μ的符号决定。
μ为正时，趋势向上（见图5）；μ为负时，趋势向下（见图6）。
对y t 做一阶差分，∆y t = μ + u t ，为平稳过程。
差分平稳过程由此得名。
E(∆y t ) = μ。
当y t 表示对数变量时，E(∆y t )表示平均增长率。
随机趋势非平稳过程的差分过程是平稳过程。
∆y t = μ + u t 。
51015202551015202530354045506080100120140160180400450500550600650700750800图7 退势平稳序列（μ =0, α=0.1） 图8 确定性趋势非平稳序列（μ =0.1, α=0.1）（4）趋势平稳过程（trend-stationary process ）或退势平稳过程（见图7）。
属于非平稳过程。
y t = μ + α t + u t , u t ~ IID(0, σ2)因为该过程是由确定性趋势μ + α t 和平稳随机过程u t 组成，所以称为趋势平稳过程。
趋势平稳过程由确定性时间趋势t 所主导。
减去确定性时间趋势项αt 之后，过程变为平稳过程，所以也称退势平稳过程。
趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程。
∆y t = α + u t - u t -1 。
所以应该用退势的方法获得平稳过程。
y t - α t = μ + u t 。
（5）确定性趋势非平稳过程（non-stationary process with deterministic trend ）（如图8）。
属于非平稳过程。
y t = μ + α t + y t -1+ u t , u t ~ IID(0, σ2)确定性趋势非平稳过程中含有随机趋势、确定性趋势并含有单位根成分。
过程由确定性时间趋势所主导。
减去确定性时间趋势项之后，过程仍是非平稳过程。
这种过程的时间趋势性比随机趋势非平稳过程和退势平稳过程更强烈、明显。
y t = μ + α t + y t -1 + u t = μ + α t + (μ + α (t -1) + y t -2 + u t -1) + u t= … = y 0 + μ t + α t 2- α (1+2 +…+ t ) +∑=ti i u 1= y 0 + μ t + α t 2-2α( 1+ t ) t +∑=ti i u 1= (μ -2α) t +2αt 2+∑=ti iu 1(设定y 0=0)含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程实际上是随机游走加上一个时间t 的2次方过程。
这种过程在经济问题中非常少见。
确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程，∆y t = μ + α t + u t 。
确定性趋势非平稳过程的退势过程是非平稳过程，y t - α t = μ + y t -1+ u t 。
只有既差分又退势才能得到平稳过程，∆y t - α t = μ + u t 。
7.07.58.08.59.09.510.05560657075808590Ln(Income)4681012145055606570758085909500Y图9 对数的中国国民收入序列 图10 中国人口序列图9是对数的中国国民收入序列，近似于随机趋势非平稳序列和退势平稳序列。
图10是中国人口序列，近似于确定性趋势非平稳序列。
对于单位根过程（差分平稳），每个随机冲击都具有长记忆性，方差趋于无穷大，其均值概念变得毫无意义；对于退势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，其影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的。
对退势平稳序列，只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期趋势与平稳波动部分的分离。
大量的实证研究显示，不变价格的宏观经济序列为退势平稳过程的可能性远大于名义价格的宏观经济序列。
中国的GDP 、固定资产投资和居民消费等序列均为退势平稳序列。
这意味着，改革开放以来，中国的经济增长虽然因为受到各种冲击因素的影响而出现不同程度的偏离趋势的上下波动，但这种偏离是暂时的，从较长时期来看，经济增长总体上沿着确定的均衡增长路径平稳运行。
而随机趋势过程虽然也有长期‘引力线’，但其数据生成过程含有单位根，随机冲击对它具有持续的长期影响。
只有通过差分才能使其平稳，属于差分平稳过程。
例：给出对数的中国GDP 序列如下。
无论采取线性退势，还是2次退势，所得序列都是平稳序列。
7891011LNGP7891011556065707580859095LNGP7.3127+0.0677t7891011LNGP7.8693+0.0014t^2线性趋势 2次趋势-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8556065707580859095ADF= -3.05 < ADF (0.05) = -1.95 ADF= -4.36 < ADF (0.05) = -1.952．单位根检验步骤。
单位根检验做得不好常常会把退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程（隐性趋势）和确定性趋势非平稳（显性趋势）过程。
检验时间序列中是否含有单位根时常会碰到如下几种问题：（1）当被检验过程（d.g.p.）的形式未知时，应该考虑到其中是否含有随机的或确定性的时间趋势成分。
（2）被检验过程（d.g.p.）的形式通常要比AR(1) 形式复杂，可能是高阶自回归过程或含有移动平均成分。
（3）当被检验随机过程接近含有单位根但实为平稳过程（特征根小于1，但接近1）时，在有限样本、特别是小样本条件下的单位根检验结果容易接受原假设，误判为单位根过程，即检验功效降低。
（4）应该注意的是当被检验过程中含有未发现的突变点时，常导致单位根检验易于接受零假设（非平稳过程）。
（5）对于季节随机过程除了检验零频率单位根外，还要检验季节单位根（不讲）。
检验单位根通常有3种方法。
（1）DF （ADF ）检验法（Dickey-Fuller,1979）、（2）CRDW（cointegration regression DW ）检验法（Sargan-Bhargava,1983）、（3）PP （或Z ）检验法（Phillips,1987）。
最常用的是DF （和ADF ）检验法。
DF 检验式的一种形式是y t = β y t -1 + u t , u t ~ IID(0, σ2) (1.a)H 0：β =1，H 1：β <1。
检验统计量DF =)ˆ()1ˆ(ββs -或 ∆ y t = ρ y t -1 + u t , u t ~ IID(0, σ2) (1.b)其中ρ = β -1。
H 0：ρ = 0，H 1：ρ < 0。
检验统计量DF =)ˆ(ˆρρs =)ˆ(ˆβρs 。
其中βˆ和ρˆ分别表示β 和ρ 的OLS 估计量。
检验式(1.b)更常用。
尽管DF 计算公式与t 统计量相同，但在H 0：ρ = 0成立（y t 非平稳）条件下，DF 不服从t 分布，而服从DF 分布。
以β = 1的（1）式为数据生成系统（d.g.p.），DF 分布百分位数用蒙特卡罗模拟的方法得到（见表1第1部分）。
检验用临界值从中查取（摘自Fuller （1976））。
用（1）式检验单位根等价于先验认定被检验过程y t 是一个零均值、无趋势项的AR(1)过程。
因为只有当一个含有单位根的随机过程中不含有确定性变量，那么该过程的均值完全由初始值决定，所以y 0 = 0。
可见，只有在一个过程的均值为零时，使用（1）式检验单位根才是正确的。
换句话说，如果被检验的过程的均值非零，就应该首先减去这个均值，然后再用（1）式检验单位根。
但实际中，被检验过程的均值一般是不知道的。
所以，当不知被检验过程的均值是否为零，或不知其初始值y 0是否为零时，应该用下式检验单位根。
y t = μ + β y t -1 + u t , u t ~ IID(0, σ2) (2.a)H 0：β =1，H 1：β <1。
检验统计量DF =)ˆ()1ˆ(ββs -或 ∆ y t = μ +ρ y t -1 + u t , u t ~ IID(0, σ2) (2b)其中ρ = β -1。
