第四章 轴对称问题有限元法在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。
则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。
这种问题就称为轴对称问题。
在离心机械、压力容器、矿山机械、飞行器中经常遇到轴对称问题。
第一节 轴对称问题弹性力学基本方程对于轴对称问题,宜采用圆柱坐标系(,,r z θ）。
如果将y弹性体的对称轴作为Z 轴，则所有应力、应变和位移分量都只是r 和Z 轴的函数，而与θ无关,即不随θ变化。
弹性体内任意一点只有两个位移：即沿r 方向的径向位移u 和沿Z 方向的轴向位移w 。
由于轴对称，沿θ方向的环向（周向）位移v 等于零。
因此轴对称问题是二维问题。
在轴对称弹性体内用相距dr 的两个圆柱面和过轴线互成d θ角的两个铅垂面切割出一个高为dz 的微元体，如图2所示。
（a ）σ(b)沿r 方向作用的正应力r σ称为径向应力 沿θ方向作用的正应力θσ称为环向应力 沿z 方向作用的正应力z σ称为轴向应力 rz 面内的剪应力 zr τ=rz τ 故轴对称弹性体内任意一点的应力分量{}[]Tr z rz θσσσστ=对应的轴对称弹性体内任意一点的应变分量{}[]Tr z rz θεεεεγ=其中r ε ———-—- 沿r 方向径向线应变θε —----— 沿θ方向环向线应变 z ε ---—-- 沿z 方向轴向线应变rz γ-—---— rz 面内的剪应变与平面问题相比,轴对称问题多了一个环向应变θε。
弹性体受载时,点（,,r z θ）产生径向位移u ,使过点(,,r z θ）的周长增加了2()2r u r ππ+-，因而产生相对伸长，即环向应变：2()22r u r u r rθππεπ+-==轴对称问题的几何方程（应变与位移之间的关系)为,,,r z zr u u w w ur r z r zθεεεγ∂∂∂∂====+∂∂∂∂写成矩阵形式{}r z rz u r u rw z u w z r θεεεεγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭==∂∂∂∂∂∂+∂∂根据虎克定律，应力与应变的关系为1()r r z Eθεσμσσ⎡⎤⎣⎦=-+ 1()z r Eθθεσμσσ⎡⎤⎣⎦=-+ 1()z z r Eθεσμσσ⎡⎤⎣⎦=-+ 12(1)rz rz rz r G Eμττ+==由上式得[]10111011(1)(1)(12)101112002(1)r z zr r z rz E θθσσσστμμμμεμμεμμμμμεμμμμγμμ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥---⎪⎪⎢⎥⎨⎬+-⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪--⎩⎭⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=(4—2）这里弹性矩阵［D]为[D ］＝10111011(1)(1)(12)101112002(1)E μμμμμμμμμμμμμμμμμ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-----+-----第二节 三角形截面环单元一、 结构离散化离散化轴对称体时，采用的单元是一些圆环。
