江苏省常熟中学2019_2020学年高一数学六月质量检测试题

江苏省常熟中学2019-2020学年度高一年级第二学期六月质量检测数学试题一、单项选择题1．角α的终边在直线3y x =上，则sin α=（ ）A B ．± C D ．3±2．已知m 、n 是不重合的两条直线，,αβ是不重合的两个平面，下列条件中，能推出αβ的是（ ） A ．m n ，m α⊂，n β⊂ B ．m n ⊥，m α，n β C ．m n ，m α⊥，n β⊥ D ．m n ⊥，m α⊥，n β⊥3．若直线1:60l x ay ++=和()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 和2l 的距离为（ ）A B ．3 C D ．34．已知集合{}1,3M =，{}1,3,5,7,9N =，若从集合M 、N 中各取一个数x 、y ，则()3log xy 为整数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．455．一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1，则该圆锥的体积为（ ）A ．B ．3C ．3D ．6．已知直线:22l y mx m =+-和圆22:9C x y +=关于A 、B 两点，则使得弦长AB 为整数的直线l 的条数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，则ω的范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦ D ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．如图，某景区欲在两山顶A 、C 间修建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高1AB =(km)，3CD =(km)，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30︒，山顶C 的仰角为60︒，120BED ∠=︒，则两山顶A 、C 间距离为（ ）A ．B C D ．二、多项选择题9．下列说法错误的是（ ）A ．sin y x =在第一象限是增函数B ．cos y x =的最小正周期为2πC ．tan y x =是增函数D ．tan y x =的所有对称中心坐标为(),0k π，k Z ∈10．已知圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ） A ．两圆有两条公切线B ．直线AB 的方程为24y x =+C ．线段ABD ．所有过点A 、B 的圆系的方程可以记为()()()222244240,1x y x y x y R λλλ+-++-++=∈≠-11．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sin cos a B A =，3a =.若点D 在边BC 上，且2BD DC =，O 是ABC △的外心.则下列判断正确的是（ ）A ．30A =︒B ．ABC △ C ．1OD = D ．AD 的最大值为212．四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C '--，则下列结论正确的是（ ）A ．A C BD '⊥B ．90BAC '∠=︒ C ．CA '和平面A BD '所成的角为45︒D ．四面体A BCD '-的体积为12三、填充填 13．为了了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[]50,150中，其频率分布直方图如图所示，已知在[)50,100中的频数为160，则n 的值为______.14．已知棱锥P ABC -的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，2PA =，3PB =，4PB =，则它的外接球的面积为______.15．函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+的振幅为______；将函数()f x 的图像右移()0ϕϕ>个单位长度后，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小正值为______.16．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点()2,4T -，从原点O 向圆M 作两条切线OP 、OQ ，切点分别为P 、Q ，若切线OP 、OQ 的斜率1k ，2k 满足121k k =-，则TM 的范围是______.四、解答题17．一机器可以按各种不同的速度运转，其生产的产品会有一定的次品率，每小时生产的次品数随机器运转速度而变化.用x （单位：转/秒）表示转速，用y 表示每小时生产的次品数.现试验得到(),x y 的4组观测值分别为(8,5)，(12,8)，(14,9)，(16,11).（1）假定y 和x 具有线性相关关系，求y 和x 之间的回归直线方程；（2）若实际生产中所允许的每小时次品数不超过10，则机器的速度不得超过多少转/秒？（精确到1）()()()1122211n ni i i ii i n n ii i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-18．已知sin cos t αα+=.（1）13t =，0απ<<，求sin cos αα-的值； （2）0απ<<，求函数sin 2sin cos y ααα=++的值域.19．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，D 、E 分别为1BB 和1A C 的中点.（1）证明：DE 平面111A B C ；（2）求点E 到平面ACD 的距离.（提示：第（2）题可以在传统法、等体积法、向量法中选择一种方法完成，如果用向量法，首先要建系，并在图中标出坐标系.以后不再提示）20．已知四边形ABCD 是由ABC △和ACD △拼接而成的，且在ABC △中，2222AC AB BC AB BC AB+--=. （1）求角B 的大小；（2）若3BAD π∠=，56ADC π∠=，1AD =，2BC =，求AC 的长.21．如图，四棱锥P ABCD -中，面PAD ⊥面ABCD ，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AB CD ，AB BC ⊥，12PD CD BC AB ===，E 为AB 的中点. （1）求证：AD PE ⊥；（2）求直线PE 和平面PBD 所成角的正弦值.（提示：第（2）题可以在传统法和向量法中选择方法完成，以后不再提示）22．已知平面直角坐标系xOy 中，()3,4A -，()9,0B ，C 、D 分别为线段OA 、OB 上的异于端点的动点，且AC BD =.（1）若4AC =，求直线CD 的方程；（2）证明：OCD △的外接圆恒过一个异于原点O 的定点.23．。

江苏省常熟市2019—2020学年高一下学期期中测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．直线20x +-=的倾斜角为A ．﹣30°B ．60°C ．120°D ．150° 2．已知x ∈(2π，π)且cos2x ＝725，则cos x 的值是 A ．45-B ．35-C ．35D ．453．已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋2＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0平行，则实数a 的值为A ．﹣1或2B ．﹣1C ．2D ．0或24．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为A ．7B ．8C ．9D ．105．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P(m ，n ) 的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝10内部的概率是 A ．13 B ．16 C ．19 D ．296．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，B ＝45°，若△ABC 的面积S ＝2，则△ABC 的外接圆直径为A ．B ．5C ．D ．7．样本a ，3，4，5，6的平均数为b ，且不等式x 2﹣6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是A B ．1 C D ．28．已知直线l ：(a ﹣1)x ＋(2a ＋1)y ﹣7a ﹣2＝0(a ∈R)和圆C ：x 2＋y 2﹣4x ﹣2y ﹣11＝0，给出下列说法：①直线l 和圆C 不可能相切；②当a ＝﹣1时，直线l 平分圆C 的面积；③若直线l 截圆C 所得的弦长最短，则a ＝14；④对于任意的实数d (d ＜8)，有且只有两个a 的取值，使直线l 截圆C 所得的弦长为d ．其中正确的说法个数是 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．在下列四个命题中，错误的有A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)C ．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α10．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是 A ．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B ．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C ．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D ．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件11．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是 A ．若tanA ＋tanB ＋tanC ＞0，则△ABC 是锐角三角形 B ．若a cosA ＝b cosB ，则△ABC 是等腰直角三角形 C ．若b cosC ＋c cosB ＝b ，则△ABC 是直角三角形 D ．若cos A cos B cosCa b c==，则△ABC 是等边三角形 12．已知圆M ：22(cos )(sin )1x y αα-++=，直线l ：y ＝kx ，以下结论成立的是 A ．存在实数k 与α，直线l 和圆M 相离B ．对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点C ．对任意实数k ，必存在实数α，使得直线l 和圆M 相切D ．对任意实数α，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 ． 14．若三点A(﹣2，12)，B(1，3)，C(m ，﹣6)共线，则实数m 的值为 ．15．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设B ＝2A ，则角A 的取值范围是 ；ba的取值范围是 ． 16．已知点P(0，2)为圆C ：222()()2x a y a a -+-=外一点，若圆C 上存在点Q ，使得∠CPQ ＝30°，则正数a 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小完全相同的小球． （1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率；（2）从盒中任取一球，记下该球的编号a ，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b ，求事件“2a b -≥”发生的概率．18．（本小题满分12分）已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 136f x x x x ππ=-+-+-．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若α∈[4π，2π]且()5f α=，求cos2α的值．19．（本小题满分12分）已知两直线l 1：ax ﹣by ＋4＝0，l 2：(a ﹣l)x ＋y ＋b ＝0．求分别满足下列条件的a ，b 的值．（1）直线l 1过点(﹣3，﹣1)，并且直线l 1与l 2垂直；（2）直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 20．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ＝3sinB＋sinA ＝（1）求角A 的大小；（2）求边长c ．21．（本小题满分12分）某校高一实验班N 名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如图，已知分数在100到110分的学生数有21人．（1）求总人数N 和分数在110到115分的人数n ；（2）现准备从分数在110到115分的n 名学生（其中女生占13）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少?附：线性回归方程$y bxa =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．22．（本小题满分12分）已知圆O ：221x y +=与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ．（1）若过点C(12，2)的直线l 被圆O ，求直线l 的方程；（2）若在以点B 为圆心，r 为半径的圆上存在点P ，使得PA PO （ O 为坐标原点），求r 的取值范围；（3）设M(1x ，1y )，Q(2x ，2y )是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线QM 1、QM 2与y 轴分别交于点(0，m )和(0，n )，问：m ·n 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。

江苏省苏州市常熟中学2019-2020学年高一数学下学期六月质量检测试题（含解析）一、单项选择题1. 角α的终边在直线3y x =上，则sin α=（ ）A.B. 10±C.10D. 3±【答案】B 【解析】 【分析】利用tan k α=，求出正切值，再利用同角三角函数的基本关系即可得到结论. 【详解】由角α的终边在直线3y x =上得tan 3α=，又22sin cos 1sin tan cos ααααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 当α在第一象限时，sin α=当α在第三象限时，sin α=故选：B.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系.属于较易题.2. 已知m ，n 为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出//αβ的是（ ）A. //m n ，m α⊂，n β⊂B. //m n ，m α⊥，n β⊥C. m n ⊥，//m α，//n βD. m n ⊥，m α⊥，n β⊥【答案】B【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理、线面垂直的性质判定． 【详解】只有一对直线平行，不能得出两平面平行，A 错，由//m n ，m α⊥可得n α⊥，再由线面垂直的性质可得//αβ，B 正确； C 中两平面,αβ，没有任何关系，不能得出平行，C 错；由m n ⊥，m α⊥，n β⊥可以得出αβ⊥，不能得出平行，D 错． 故选：B ．【点睛】本题考查面面平行的判定，掌握面面平行的判定定理是解题关键．3. 若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为（ ）A.B.3C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行，3=. 故选：B【点睛】此题考查根据两直线平行求参数的取值，需要注意讨论直线重合的情况，根据距离公式求平行线之间的距离.4. 已知集合{}1,3M =，{}1,3,5,7,9N =，若从集合M 、N 中各取一个数x 、y ，则()3log xy 为整数的概率为（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】 基本事件总数2510n，利用列举法求出()3log xy 为整数包含的基本事件有6个，再利用古典概率模型的概率计算公式即可求解.【详解】已知集合{}1,3M =，{}1,3,5,7,9N =，若从集合M 、N 中各取一个数x 、y ， 基本事件总数2510n，()3log xy 为整数包含的基本事件有()()()()()()1,1,1,3,1,9,3,1,3,3,3,9，共有6个，故()3log xy 为整数的概率为63105p ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查了古典概率模型的概率计算公式以及列举法求基本事件个数.属于较易题.5. 一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，且内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ）A. 83πB.233πC.833πD. 43π【答案】C 【解析】 【分析】在旋转体的轴截面中讨论两个几何体的高之间的关系，求出圆锥的高后可求圆锥的体积.【详解】圆锥与内接圆柱的轴截面如图所示：其中S 为圆锥的顶点，O 为底面的圆心，H 为内接圆柱的上底面的圆心.设内接圆柱的高为1h ，则2113h ππ⨯⨯=，故13h = 设圆锥的高为h ，则112h h EH h BO -==，故3h = 所以圆锥的体积为18342333V π=⨯⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查几何体的内接圆柱以及圆锥的体积的计算，注意旋转体的侧面积、表面积、体积等计算问题，一般需要考虑几何体的轴截面，因为轴截面包含了几何体的几何量.6. 已知直线:22l y mx m =+-和圆22:9C x y +=关于A 、B 两点，则使得弦长AB 为整数的直线l 的条数为（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】先计算出弦长AB 的最大值和最小值，从而可得弦长AB 可取哪些整数值，从而可得所求的条数.【详解】直线:22l y mx m =+-过定点()2,2Q ，该点在圆22:9C x y +=内，则弦长AB 的最大值为6，满足弦长AB 为6的直线有1条.当CQ l ⊥时，弦长AB最小，且最小值为2=，满足弦长AB 为2的直线有1条. 若弦长AB 为整数，则整数为2,3,4,5,6，其中满足弦长AB 为3,4,5各有两条直线. 故使得弦长AB 为整数的直线l 的条数为23118⨯++=.故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，解题中注意含参数的直线一般经过定点，本题属于基础题. 7. 已知函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】根据正弦函数的单调性，结合在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【详解】函数()sin()(0)3f x xπωω=+>在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当63x ππ-<<时，63333x πωπππωπω-+<+<+，当0x =时，33x ππω+=，由于函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以，632332πωπππωππ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得12ω≤，0ω>，所以，102ω<≤，因此，ω的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A ．【点睛】本题考查了正弦函数的图象及性质、单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中等题．8. 如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高1()AB km =，3()CD km =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为60°，120BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为( )A. 22()kmB.10()kmC.13()kmD.33(km)【解析】 【分析】根据题意可得1,AB =3CD =，30,AEB ∠=︒60,CED ∠=︒120BED ∠=︒，利用正切函数的定义求得BE ，DE ；在BED 中，利用余弦定理求得BD ，然后利用勾股定理求解. 【详解】1,AB =3CD =，30,AEB ∠=︒60,CED ∠=︒120BED ∠=︒，tan 303AB BE ∴===︒tan 60CD DE ===︒； 在BED 中，由余弦定理得：2222cos BD BE DE BE DE BED =+-⨯⨯⨯∠13322⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭9=，所以3BD =； 所以AC ===即两山顶A ，C . 故选：C.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、多项选择题9. 下列说法错误的是（ ） A. sin y x =在第一象限是增函数 B. cos y x =的最小正周期为2π C. tan y x =是增函数D. tan y x =的所有对称中心坐标为(),0k π，k Z ∈【答案】ACD 【解析】 【分析】通过举反例可得A 不正确．根据余弦函数的性质判断B ,根据正切函数的性质判断CD ； 【详解】由于39030︒>︒，且都是第一象限角，1sin390sin302︒=︒=，故函数sin y x =在第一象限不是增函数，故A 不正确．cos cos y x x ==其最小正周期为2π，故B 正确；tan y x =的单调递增区间为,22k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，故C 错误；由于函数tan y x =的图象的对称中心是,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π，k Z ∈，故D 不正确． 故选：ACD【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，属于基础题.10. 已知圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ） A. 两圆有两条公切线B. 直线AB 的方程为24y x =+C. 线段AB 的长为5D. 所有过点A 、B 的圆系的方程可以记为()()()222244240,1xy x y x y R λλλ+-++-++=∈≠-【答案】ABC 【解析】【分析】A. 根据圆O 与圆M 的位置关系判断；B. 圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=的方程相减判断；C. 先求得圆心O 到直线AB 的距离，再利用弦长公式求解判断；D.根据 ,1R λλ∈≠-判断方程是否过AB 两点，再判断方程是否表示过A 、B 的所有圆.【详解】A. 因为圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A 、B 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；B. 圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=的方程相减得：24y x =+，所以直线AB 的方程为24y x =+，故正确；C. 圆心O 到直线AB 的距离为：5d ==，所以线段AB 的长为AB === D. 因为,1R λλ∈≠-，所以2222404240x y x y x y ⎧+-=⎨+-++=⎩恒成立，即过AB 两点，方程可化为2242440111x y x y λλλλλλ-+-++=+++， 而()22224244416401111λλλλλλλλ-+⎛⎫⎛⎫-+-=> ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭+恒成立， 所以方程()()()222244240,1x y x y x y R λλλ+-++-++=∈≠-表示圆，但此圆系不包括圆M ，故不正确. 故答案为：ABC【点睛】本题主要考查两圆的位置关系，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 11. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sin cos a B A =，3a =.若点D 在边BC 上，且2BD DC =，O 是ABC 的外心.则下列判断正确的是（ ）A. 30A=︒ B. ABC 的外接圆半径为3 C. 1OD= D. AD的最大值为2【答案】BC【解析】【分析】先利用正弦定理求出tan3,3A Aπ==，判定出选项A错误；再利用2sinaRA=，求出外接圆半径，选项B正确；画出图像，在Rt BOM中，计算出OD，选项C正确；再由由AD AO OD≤+得出选项D错误.【详解】在ABC中，0,,A B Cπ<<,sin3cosa Bb A=，sin sin3sin cosA B B A∴=，又sin0B>，tan3,3A Aπ∴==，故选项A错误；又3a=，所以223sin3aRA===，故3R=，选项B正确.取BC的中点M，如图所示：在Rt BOM 中，()22221333,3222BM BC OM OB BM ⎛⎫===-=-=⎪⎝⎭， 在Rt DOM 中，2222131,1222DM BD BM OD OM DM ⎛⎫⎛⎫=-==+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选项C 正确；由31AD AO OD R OD ≤+=+=+， 当且仅当圆心O 在AD 上时取等号， 所以AD 的最大值为31+，故选项D 错误. 故选：B C.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用以及在外接圆内求最值问题.属于中档题. 12. 四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C '--，则下列结论正确的是（ ）A. A C BD '⊥B. 90BA C '∠=︒C. CA '和平面A BD '所成的角为45︒D. 四面体A BCD '-的体积为12【答案】BC 【解析】 【分析】先证明CD ⊥平面A BD '、A B '⊥平面CA D '，再逐项判断即可.【详解】因为二面角A BD C '--是直二面角，所以平面A BD '⊥平面BCD ， 而平面A BD'平面BCD BD =，CD BD ⊥，CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面A BD '.因为BA '⊂平面A BD '，所以CD ⊥BA '. 因为1A B A D ''==，BD =，所以222BD A B A D ''=+，所以A B A D ''⊥，因为CD A D D ⋂'=，所以A B '⊥平面CA D '. 因为CA '⊂平面CA D '，故A B A C ''⊥即90BA C '∠=︒，故B 正确. 若A C BD '⊥，因为A B A C ''⊥，A B BD B '⋂=，故A C '⊥平面A BD '， 但CD ⊥平面A BD '，故//D A C C '，矛盾，故A 错误.因为CD ⊥平面A BD '，故CA D '∠为直线CA '和平面A BD '所成的角， 在Rt A CD '△中，1A D DC '==，故45CA D '∠=︒，故C 正确. 又111111326A BCD C BA D V V ''--==⨯⨯⨯⨯=，故D 错. 故选：BC.【点睛】本题考查线面垂直的证明、线面角的计算以及三棱锥体积的计算，在垂直关系的证明过程中，注意线线垂直与线面垂直关系的转化，而体积的计算，注意选择合适的顶点和底面. 三、填空题13. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[]50,150中，其频率分布直方图如图所示，已知在[)50,100中的频数为160，则n 的值为_____．【答案】400 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出[)50,100的频率，再由在[)50,100的频数，能求出n ． 【详解】由频率分布直方图得：[)50,100的频率为：()0.0040.012250.4+⨯=， 在[)50,100中的频数为160，1604000.4n ∴==． 故答案为：400．【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、总数的问题，属于基础题.14. 已知棱锥P ABC -的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，2PA =，3PB =，4PC =，则它的外接球的表面积为______. 【答案】29π 【解析】【分析】根据棱锥P ABC -的结构特征，可补成一个相邻三边为2，3，4的长方体，再根据棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球求解.【详解】因为棱锥P ABC -的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，2PA =，3PB =，4PC =， 所以可补成一个相邻三边为2，3，4的长方体，如图所示：所以棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球， 长方体的体对角线的长为222223429l R =++=解得29R =， 所以外接球的表面积为2429S R ππ==， 故答案为：29π【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.15. 函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+的振幅为______；将函数()f x 的图象右移()0ϕϕ>个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小正值为______.【答案】 (1). 2 (2). 6π【解析】 【分析】先利用二倍角和辅助角公式整理()f x 得到振幅，再利用左加右减得到()g x ，又利用()g x 为偶函数得出k =-23ππϕ-，对k 取值即可得结论.【详解】()2cos 2cos 2cos 22sin 26π⎛⎫=-+-=-⎪⎝⎭f x x x x x x x ， 故振幅为2；函数()f x 的图象右移()0ϕϕ>个单位长度，()()2sin 2=2sin 2266ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x x x ，又函数()g x 为偶函数， 所以()-2-=k 62k Z ππϕπ+∈，k =-23ππϕ-， 当1k =-时，=6πϕ即为ϕ的最小正值.故答案为：2；6π. 【点睛】本题主要考查利用二倍角和辅助角公式化简三角函数，求振幅和ϕ的问题.属于较易题.16. 已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则||TM 的取值范围为________．【答案】4] 【解析】 【分析】先根据题意得到直线OP ，OQ 的方程，再根据直线与圆的位置关系得到12k k ，结合121k k =-，即可求得圆心M 的轨迹方程，最后数形结合可得||TM 的取值范围． 【详解】由题意可知，直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =，因为直线OP ，OQ 与圆M 相切，==，两边同时平方整理可得()2221010008280k x k x y y -++-=，()2222020008280k x k x y y -++-=，所以1k ，2k 是方程()2220008280(0)kx kx yy k -++-=≠的两个不相等的实数根，所以2122088y k k x -=-．又121k k =-， 所以202818y x -=--，即220016x y +=．又||TO ==， 所以||4||||4TO TM TO -≤≤+，即4||4TM -≤≤．故答案为：4]【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题. 四、解答题17. 一机器可以按各种不同的速度运转，其生产的产品会有一定的次品率，每小时生产的次品数随机器运转速度而变化.用x （单位：转/秒）表示转速，用y 表示每小时生产的次品数.现试验得到(,)x y 的4组观测值分别为()()(8,512,814,9161()1),，，， （1）假定y 和x 具有线性相关关系，求y 和x 之间的回归直线方程；（2）若实际生产中所允许每小时次品数不超过10，则机器的速度不得超过多少转/秒？（精确到1）()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-【答案】（1）0.730.875y x =-，（2）15 【解析】 【分析】（1）先求样本中心点(,)x y ，再代入系数公式求b 和a 可得线性回归方程； （2）回归直线方程看作一次函数，10y =代入回测可得机器运转速度. 【详解】（1）8+12+14+16255+8+9+1133,4244x y ====. 22222148121416660,ii x==+++=∑4185+128+149+1611=438i ii x y==⨯⨯⨯⨯∑设回归直线方程为y bx a =+于是可得：12214253344384240.7325256604422i ii iii x yx y b xx ==-⋅-⨯⨯==≈-⨯⨯-∑∑； 33250.730.87542a y bx =-=-⨯=-. 因此，所求线性回归方程为：0.730.875y x =-.（2）根据上面求得的线性回归方程，当每小时次品数不超过10时，100.730.875x ≥-，14.89x ≤ ，即机器的速度不得超过15转/秒.【点睛】本题考查求回归直线方程及利用回归方程进行预测. 回归直线方程中系数的两种求法: (1)公式法：利用公式，求出回归系数,b a(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(,)x y 求系数．回归分析的两种策略:(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值． (2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b . 18. 已知sin cos t αα+=. （1）13t =，0απ<<，求sin cos αα-的值； （2）0απ<<，求函数sin 2sin cos y ααα=++的值域.【答案】（1；（2）5,14⎡-+⎢⎣【解析】 【分析】（1）由已知利用同角三角函数关系式得82sin cos 9αα=-，sin 0α>，cos 0α<，由此能求出sin cos αα-．（2）首先求出t 的取值范围，将函数sin 2sin cos y ααα=++转化为关于t 的函数，利用二次函数的性质计算可得； 【详解】解：（1）1sin cos 3αα+=，0απ<<， 112sin cos 9αα∴+=，82sin cos 9αα∴=-，sin 0α∴>，cos 0α<，217(sin cos )12sin cos 9αααα∴-=-=，sin cos αα∴-．（2）因为sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为0απ<<，所以5444πππα<+<，所以2sin ,142πα⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，即(1,2t ⎤∈-⎦ 因为()22sin cos 12sin cos t αααα=+=+所以22sin cos 1t αα=-所以2215sin 2sin cos 124y t t t ααα⎛⎫=++=-+=+- ⎪⎝⎭，(1,2t ⎤∈-⎦ 所以5,124y ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数值的求法，解题时要认真审题，注意同角三角函数性质的合理运用，换元法的应用，属于中档题．19. 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，D 、E 分别为1BB 和1A C 的中点.（1）证明：//DE 平面111A B C ； （2）求点E 到平面ACD 的距离. 【答案】（1）见解析；（26【解析】 【分析】（1）取11A C 的中点为F ，连接1,EF FB ，可证1//FB ED ，从而可得//DE 平面111A B C ； （2）可证ED ⊥平面11AC CA 且2ED =D EAC V -，利用等积法可求点E 到平面ACD 的距离.【详解】（1）取11A C 的中点为F ，连接1,EF FB . 因为111,A E EC A F FC ==，故1//EF CC ，112EF CC =. 因为D 为1BB 的中点，故1112B D BB =. 又由直三棱柱111ABC A B C -可得1111//,,BB CC BB CC =，故//,EF BD EF BD =， 所以四边形1EFB D 为平行四边形，故1//FB ED ，因为1FB ⊂平面111A B C ，DE ⊄平面111A B C ，所以//DE 平面111A B C . （2）设点E 到平面ACD 的距离为d .2AB BC ==且90ABC ∠=︒，所以ABC 为等腰直角三角形，故111A B C △也为等腰直角三角形，因为F 为11A C 的中点，所以111B F AC ⊥， 且12B F =因为111ABC A B C -为直棱柱，故1CC ⊥平面111A B C ， 而1B F ⊂平面111A B C ，故11B F CC ⊥，因为1111AC CC C =，故1B F ⊥平面11AC CA ，因四边形1EFB D 为平行四边形，故11//,FB ED FB ED =， 所以ED ⊥平面11AC CA 且2ED =故112221112222332323A AC D EAC EAC S V DE S -⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=△， 又直角三角形DBC 中，1,2DB BC ==，故5DC =，同理5DA =，而22AC =，故1225262ACD S =⨯⨯-=△， 因为E ACD D EAC V V --=，故12633d ⨯⨯=，故6d =. 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 点到平面的距离的计算，可利用题设中的线面垂直，也可以利用已知的面面垂直构建线面垂直，还可以利用等积转换来计算.20. 已知四边形ABCD 是由ABC 和ACD △拼接而成的，且在ABC 中，2222AC AB BC AB BC AB+--=.（1）求角B 的大小；（2）若3BAD π∠=，56ADC π∠=，1AD =，2BC =，求AC 的长. 【答案】（1）3π；（27. 【解析】【分析】（1）题设中的边的关系可化为222AB BC AC AB BC +-=⨯，从而可用余弦定理求得角B 的大小.（2）设DCA α∠=，则在ACB △和ACD △中分别利用正弦定理构建关于,AC α的方程组，解方程后可得AC 的长.【详解】（1）因为2222AC AB BC AB BC AB +--=，故222AB BC AC AB BC +-=⨯， 故2221cos 22AB BC AC B AB BC +-==⨯，而()0,B π∈，故3B π=. （2）因为3BAD π∠=，56ADC π∠=，3B π=，故2DCB π∠=. 设DCA α∠=，则2ACB πα∠=-，所以6CAB πα∠=+. 在ACD △中，由正弦定理可得125sin sin 6AC AC πα==， ACB △中，由正弦定理可得2233sin sin 36AC AC ππα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以sin 632sin παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，整理得到3tan α=，因α为锐角， 故37sin 84α==，故7AC =. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，注意当题设条件分散在不同的三角形中时，我们应利用两个三角形共有的边、相关的角来沟通不同三角形中的边角关系.21. 如图，四棱锥P ABCD -中，面PAD ⊥面ABCD ，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//AB CD ，AB BC ⊥，12PD CD BC AB ===，E 为AB 的中点.（1）求证：AD PE ⊥；（2）求直线PE 和平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】【分析】（1）取AD 中点O ，连接OP ，OE ，再证明AD OE ⊥，PO AD ⊥得AD ⊥平面OPE ，进而得AD PE ⊥；（2）先根据平面PAD ⊥平面ABCD 得PO ⊥平面ABCD ，结合（1）建立空间直角坐标系，利用法向量求解线面角即可.【详解】（1）如图，取AD 中点O ，连接OP ，OE ，∵ PA PD =，∴ PO AD ⊥，又∵ OE 是ABD △的中位线，∴ //OE BD ，设112PD CD BC AB ====，则2AD BD == ∴ 222AD BD AB +=，即：AD BD ⊥∴AD OE ⊥，又∵ OP OE O ⋂=，OP ，OE ⊂平面OPE ，∴ AD ⊥平面OPE ，又∵ PE ⊂平面OPE ，∴ AD PE ⊥（2）∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ∴ PO ⊥平面ABCD ，故如图，建立空间直角坐标系20,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛ ⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,02B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 2222PE ⎛=- ⎝⎭，()0,2,0DB =，2222DP ⎛= ⎝⎭设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z = 则00n DB n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即：00y x z =⎧⎨+=⎩ ，得()1,0,1n =- 直线PE 和平面PBD 所成角的正弦值为：212sin cos ,22n PE n PE n PEθ⋅====【点睛】本题考查线面垂直的判定与线面所成角的求解，考查学生空间想象能力，运算能力，逻辑推理能力，是中档题.22. 已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD =（1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．【答案】（1）750x y +-=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求直线CD的方程，只需确定C，D坐标即可：34 (,)55C-，(5,0)D，直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD的方程为750x y+-=．（2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：22+0x y Dx Ey F+++=设(3,4)(01)C m m m-<≤，则D(5+4,0)m，从而()()2220,{916340,54540.Fm m mD mE Fm m D F=+-++=++++=解之得(54),0D m F=-+=,103E m=--,整理得22435(2)0x y x y m x y+---+=，所以△OCD的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A-，所以22(3)45OA=-+=，1分又因为4AC=，所以1OC=，所以34(,)55C-，3分由4BD=，得(5,0)D，4分所以直线CD的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，5分所以直线CD的方程为1(5)7y x=--，即750x y+-=．6分（2）设(3,4)(01)C m m m-<≤，则5OC m=．7分则55AC OA OC m=-=-，因为AC BD=，所以5+4OD OB BD m=-=，所以D点的坐标为(5+4,0)m8分又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=， 则有()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++= 10分 解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--, 所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 12分 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=， 令2243=0,{+2=0x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==- 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分 考点：直线与圆方程。

江苏省常熟市2019—2020学年高一下学期期中测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.直线20x -=的倾斜角为（ ）A. 30-︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒ 【答案】D【解析】【分析】把直线方程化为斜截式：23y x =-+ 【详解】Q化简后，直线方程为2y x =+， ∴直线的斜率为 ∴直线的倾斜角为150︒故选：D【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于简单题2.已知,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭且7cos 225x =，则cos x 值是（ ） A. 45- B. 35- C. 35 D. 45【答案】A【解析】【分析】 利用倍角公式，令27cos 22cos 125x x =-=，又由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0x <，可得答案 【详解】由27cos 22cos 125x x =-=得，216cos 25x =，又由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0x <，所以， 的4cos 5x =- 故选：A【点睛】本题考查倍角公式的应用，属于简单题3.已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为A. －1或2B. 0或2C. 2D. －1【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -－a+2－=0，即a 2-a -2=0，解得a=2或-1－经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．－a=-1－故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：， 若直线12122112211221000l l A B A B AC A C B C B C ⇔-=-≠-≠P 且（或）； 4. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人. 考点：本小题主要考查分层抽样应用. 点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.5.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点()P m n ,的坐标，那么点P 在圆2210x y +=内部的概率是（ ） A. 13 B. 16 C. 19 D. 29【答案】C【解析】【分析】连续掷两次骰子，以先后得到点数结果有36种，构成的点的坐标有36个，把这些点列举出来，检验是否满足2210x y +<，满足这个条件的点就在圆的内部，数出个数,根据古典概型个数得到结果.【详解】这是一个古典概型，由分步计数原理知：连续掷两次骰子，构成的点的坐标有36个， 而满足2210x y +<，的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共有4个,94136P == 故选：C【点睛】本题将数形结合的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，不仅能直观的感受到对象的总数，难点在于列举的时候做到不重不漏，属于简单题6.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==o ，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆直径为（ ）A. B. 5 C. D. 【答案】C【解析】11sin 122224ABC S ac B c c ∆==⨯⨯⨯==,c =,2222cos 132338252b a c ac B =+-=+-=-= ,5b = ,2sin b R B === ，选C. 7.一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( ) A. 1B.C. D. 2【答案】B【解析】的由题意得a －3－4－5－6－5b －a －b －6－解得a －2－b －4，所以样本方差s 2－15[(2－4)2－(3－4)2－(4－4)2－(5－4)2－(6－4)2]－2 . 故答案为B.8.已知直线l ：()()()12172a x a y a a R -++--=∈和圆C ：2242110x y x y +---=，给出下列说法：①直线l 和圆C 不可能相切；②当1a =-时，直线l 平分圆C 的面积；③若直线l 截圆C 所得的弦长最短，则14a =；④对于任意的实数()8d d ≤<，有且只有两个a 的取值，使直线l 截圆C 所得的弦长为d .其中正确的说法个数是（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 【答案】B【解析】【分析】①直线l 的方程可以变形为()()2720a x y x y +-+-+-=g ，可得直线l 的必过定点A （1，3），然后利用圆C 的圆心为点（1，3），然后算出CA 即可判断是否相切，即可判断①②当1a =-时，直线250x y +-=经过圆心（2，1），明显地，直线l 平分圆C 的面积，这样就可以判断②③由①得，直线l 的必过定点A （1，3），直线l 被圆C 截得的弦长的最小值时，弦心距最大，然后解出a 即可判断③；④当210a +≠，即12a ≠-时，直线l 的斜率为1131212422a a a --=--≠-++，利用反证法，即可判断④ 【详解】①圆C 的标准方程为22(2)(1)16x y -+-=,圆心坐标（2，1）,半径4r =，直线l 的方程可以变形为()()2720a x y x y +-+-+-=g ，可得直线l 的必过定点（1，3），又Q 4<，所以点（1，3）在圆C 内，所以直线l 和圆C 相交，不可能相切故：①正确②当1a =-时，直线l 的方程为250x y --+=，即250x y +-=，又由直线250x y +-=经过圆心（2，1），所以当1a =-时，直线l 平分圆C 的面积，故：②正确③由①得，直线l 的必过定点A （1，3），直线l 被圆C 截得的弦长的最小值时，弦心距最大，此时，对于圆心C 与A 连成的直线CA ，必有CA l ⊥，又Q CA 的斜率为2-，∴l 的斜率为12，则有11212a a -=+，解出14a = 故：③正确④当210a +≠，即12a ≠-时，直线l 的斜率为1131212422a a a --=--≠-++， 过点（1，3）且斜率为12-的直线方程为13(1)2y x -=--，即270x y +-=，圆心（2，1)到直线270x y +-=的距离d '==所以直线270x y +-=截圆C 所得的弦长d ==，满足8d ≤<，但直线l 的斜率不可能为12-，从而直线l 的方程不可能为270x y +-=，若d =，则只存在一个a 的取值，使得直线l 截圆C 所得的弦长为d故：④不正确故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于简单题二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.在下列四个命题中，错误的有（ ）A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B. 直线的倾斜角的取值范围是[)0,pC. 若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD. 若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α【答案】ACD【解析】【分析】A 中，直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在B 中，直线倾斜角的取值范围是[)0,pC 中，直线的斜率为tan α时，它的倾斜角不一定为αD 中，直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在【详解】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在，A 错误对于B ，直线倾斜角的取值范围是[)0,p ，B 正确对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如y x =的斜率为5tan 4π，它的倾斜角为4π，C 错误 对于D ，一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在，D 错误故选：ACD【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的概念，属于基础题10.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案【详解】对于A ，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A 错误 对于B ，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B 正确 对于C ，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C 错误对于D ，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确故选：BD【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题11.已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC V 是锐角三角形B. 若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰直角三角形C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是直角三角形D. 若cos cos cos a b c A B C==，则ABC V 是等边三角形 【答案】AD【解析】【分析】对于A ，化简得0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ++=>，然后即可判断选项A 正确对于B ，通过倍角公式，化简为22sin A sin B =，然后即可判断选项B 错误对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，sin sinB A =，然后即可判断选项C 错误对于D ，利用正弦定理，把cos cos cos a b c A B C==化简为tanA tanB tanC ==，即可判断选项D 正确 【详解】对于A ，()(1)tanA tanB tan A B tanAtanB +=+-Q ，()(1)tanA tanB tanC tan A B tanAtanB tanC++=+-+∴()10tanC tanAtanB tanC tanAtanBtanC =--+=>，又由A ，B ，C 是ABC ∆的内角，故内角都是锐角，故A 正确对于B ，若cos cos a A b B =，则sinAcosA sinBcosB =，则22sinAcosA sinBcosB =，则22sin A sin B =，则A B =或90A B ︒+=，ABC ∆是等腰三角形或直角三角形,故B 错误对于C,cos cos b C c B b +=，sinB =cos sin()sin sinBcosC sinC B B C A +=+=，即A B =，则ABC V 是等腰三角形，故C－正确对于D ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ==，则tanA tanB tanC ==， A B C ==，即ABC V 是等边三角形，故D 正确故选：AD【点睛】本题考查倍角公式、和差公式以及正弦定理使用，属于简单题 12.已知圆M ：()()22cos sin 1x y αα-++=，直线l ：y kx =，以下结论成立的是（ ）A. 存在实数k 与α，直线l 和圆M 相离B. 对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点C. 对任意实数k ，必存在实数α，使得直线l 和圆M 相切D. 对任意实数α，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切【答案】BC【解析】【分析】求出圆心坐标，求出圆心到直线的距离d ，判断d 与R 关系进行判断即可【详解】对于A 选项，圆心坐标为(,)M cos sina α-，半径1R =，则圆心到直线0kx y -=的距离d ==|sin()|1αθ+=…,（θ是参数），即≤d R ，即直线l 和圆M 相交或相切，故A 错误；对于B 选项，Q 直线l 和圆M 相交或相切，∴对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点，故B 正确； 对于C 选项，对任意实数k ，当|()|1sin αθ+=时，直线l 和圆M 相切，故C 正确，对于D 选项，取0α=，则圆M 的方程为：()2211x y -+=,此时y 轴为圆的经过原点的切线，但是不存在k ，不正确，故D 错误故选：BC.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的内容，属于简单题三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为_______. 【答案】50【解析】【分析】由已知中频率分布直方图中，共9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，根据这9个小正方形的面积（频率）和为1，进而求出该组的频率，进而根据频数=频率×样本容量，即可得到中间一组的频数【详解】由于中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，这9个长方形的面积和为1，故中间一个小长方形的面积等于16，即中间一组的频率为16，又由样本容量为300， 故中间一组的频数为1300506⨯=故答案为:50【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知条件结合频率分布直方图中各矩形面积的和为1，求出中间一组的频率，是解答本题的关键14.若三点A (-2，12)，B (1，3)，C (m ，-6)共线，则m 的值为____．【答案】4【解析】【分析】由三点共线的性质可得AB 和AC 的斜率相等，由坐标表示斜率解方程即可得解.【详解】由题意可得k AB =k AC ,∴312612122m ---=++－∴m =4－ 故答案为4.【点睛】本题主要考查了三点共线，斜率的坐标表示，属于基础题. 15.已知ABC V 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设2B A =，则角A 的取值范围是_______；b a的取值范围是_______. 【答案】 (1). 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(2). ()1,2 【解析】【分析】 先由正弦定理把b a 换成角的正弦，利用二倍角公式化简求得2cos b A a =，进而2B A =和三角形的内角和求得A 的范围，进而根据余弦函数的单调性，求得b a 的取值范围 【详解】由正弦定理可知sin 2sin cos 2sin sin b B A A cosA a A A===，180A B C ︒++=Q ，2B A =， 3180A C ∴+=︒，60603C A ︒︒=-<，060A ∴<<︒，0,3A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1cos 12A ∴<<， 则12b a <<，故的b a值域为为()1,2 答案：(1).0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(2).()1,2 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的思路就是通过把边的问题转化成角的问题，然后利 用三角函数的基本性质来解决问题16.已知点()0,2P 为圆()()222:2C x a y a a -+-=外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得30CPQ ∠=o，则正数．．a的取值范围是____________．【答案】11 3a≤<【解析】【分析】求出圆心和半径，结合条件得到1－CTCP≥sin30°，解不等式即可．【详解】由圆C：（x﹣a）2+－y－a－2=2a2－得圆心C（a，a），半径a－－a－0－－设过P的一条切线与圆的切点是T，则a－－当Q为切点时，－CPQ最大，－圆C上存在点Q使得－CPQ=30°－－满足CTCP≥sin30°－12，整理可得3a2+2a－2≥0，解得a或a－又CTCP≤1≤1，解得a≤1－又点 P（0，2）为圆C：（x﹣a）2+－y－a－2=2a2外一点，－a2+－2－a－2－2a2，解得a－1－－a－0－－≤a－1－1a≤<－【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件转化为切线关系是解决本题的关键，是中档题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球. （1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率.（2）从盒中任取一球，记下该球的编号a ，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b ，求||2a b -≥的概率. 【答案】（1）13；（2）38．【解析】 试题分析：－1－－－－－－－－－－－－－－()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4 －－－－.－－－－－－－－－－5－－－－()()2,4,3,4－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2－－－－－－－－－－－16－－－－－－－－－2a b -≥－－6－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－. 试题解析：－－－1－－－－－－－－－－－－－－()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4 －－－－. －－－－－－5－－－－()()2,4,3,4－－－－－ －－－－－－－5－－－－2163=. －2－－－－－－－－－－(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)－16－－－－－－－2a b -≥－－()()()()()()1,3,1,4,2,4,3,1,4,1,4,2 －－6－－－－－－－－2a b -≥－－－－63168=. 18.已知函数f (x )=2sin(2)cos 22cos 136x x x ππ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若α∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,且f (α)=5,求cos2α【答案】（1）π；（2）10-. 【解析】 【分析】（1）化简函数得())4f x x π=+，进而可得周期；（2）由条件可得3sin(2)45πα+=，4cos(2)045πα+=->，进而由cos 2cos[(2)]44ππαα=+-即可得解.【详解】函数f (x )=2sin(2)cos 22cos 136x x x ππ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭11sin 222sin 2cos 222x x x x x =-++ sin 2cos2x x =+)4x π=+，（1）最小正周期为22ππ=； （2）α∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，352[,]444πππα+∈，由f (α，得3sin(2)045πα+=>，所以32[,]44ππαπ+∈， 所以4cos(2)45πα+=-.所以43cos 2cos[(2)]()4455ππαα=+-=-+=. 【点睛】本题主要考查了二倍角公式及给值求值问题，解题的关键是利用终边所在象限确定三角函数的正负，属于中档题.19.已知两直线1l ：40ax by -+=，2l ：()10.a x y b -++=求分别满足下列条件的a ，b 的值．()1直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与2l 垂直；()2直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．【答案】（1）2a =，2b =；（2）2a =，2b =-或23a =，2b =. 【解析】 【分析】()1利用直线1l 过点()3,1--，直线1l 与2l 垂直，斜率之积为1-，得到两个关系式，求出a ，b 的值． ()2类似()1直线1l 与直线2l 平行，斜率相等，坐标原点到1l ，2l 的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a ，b 的值． 【详解】()121l l ⊥Q ，()()110a a b ∴-+-⋅=，即20a a b --=①又点()3,1--在1l 上，340a b ∴-++=②由①②得2a =，2b =．()122//l l Q ，1a a b ∴=-，1a b a∴=-， 故1l 和2l 的方程可分别表示为：()()4110a a x y a--++=，()101aa x y a-++=-， 又原点到1l 与2l 的距离相等．141a a a a -∴=-，2a ∴=或23a =， 2a ∴=，2b =-或23a =，2b =． 【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．20.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =3b =sin B A +=.（1）求角A 的大小； （2）求边长c . 【答案】（1）3A π=（2）2c =【解析】 【分析】（1）由正弦定理得3sin sin A B=3sin B A =sin B A +=解即可（2）在ABC V 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2179232c c =+-⨯⨯⨯，求出c 的值后，判断其是否符合题意即可【详解】解：（1）在ABC V 中，由正弦定理sin sin a b A B =得3sin sin A B=3sin B A =，sin B A +=，所以sin A =， 因为ABC V 是锐角三角形，所以3A π=.（2）在ABC V 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2179232c c =+-⨯⨯⨯， 即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时，因为222cos 0214a cb B ac +-==-<，所以角B 为钝角，舍去；当2c =时，因为222cos 0214a cb B ac +-==>，且b c >，b a >，所以ABC V 为锐角三角形，符合题意，所以2c =.【点睛】本题考查解三角形中正弦与余弦定理的运用，属于简单题21.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．（Ⅰ）求总人数N 和分数在110～115分的人数n ; （Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n 名学生（女生占13）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率； （Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x ，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,,n n u v u v u v L 其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,ni i i nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑． 【答案】（Ⅰ）6;（Ⅱ）815P = ;（Ⅲ）115分 【解析】 【分析】(I)由题意结合频率分布直方图的结论可得6n = －(II)利用题意写出所有的事件，结合古典概型公式可得所求的概率为815P =;(III)结合所给数据，求得回归方程为0.550ˆˆyx =+ ，据此估计他的物理成绩大约是115分.【详解】（Ⅰ）分数在100～110内的学生的频率为 ()10.040.0350.35P =+⨯= 所以该班总人数为21600.35N == 分数在110～115内的学生的频率为()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=分数在110～115内的学生的人数600.16n =⨯=（Ⅱ）由题意分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,,A A A A 女生为12,,B B 从6名学生中选出2人的基本事件为()()()()()1213141112,,,,,,,,,,A A A A A A AB A B ()()()()()()()()()()23242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B 共15个 其中恰好含有一名女生的基本事件为()()()()()1112212231,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B()()()324142,,,,,,A B A B A B 共8个所以所求的概率为815P = （Ⅲ）121717880121001007x --+-+++=+=69844161001007y --+-+++=+= 由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到4970.5ˆ,1000.51005099ˆ4ba===-⨯= 所以线性回归方程为0.550ˆˆyx =+ 当130x =时，ˆ115y= 所以估计他的物理成绩大约是115分22.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .－1）若过点12C ⎛ ⎝⎭的直线l 被圆Ol 的方程； －2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P，使得PA =(O 为坐标原点)，求r 的取值范围；－3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】－1）直线l 的方程为12x =或10x +=－－2－0r <≤m n ⋅为定值1.. 【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论直线的斜率是否存在，根据垂径定理，弦心距，弦长及半径的勾股关系解得k 即可求得直线方程；(2) 设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()0,1由PA ==，化简可得()2212x y -+=又点P 在圆B 上，所以转化为点p 轨迹与圆B 有交点即可得解（3）()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y ---，直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++，令x =，则122112x y x y m x x -=+ ， 同理可得()()2212211221221212 x y x y x y x yn mn x x x x ，则-+==--利用()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点即可得定值. 试题解析：（1）1︒ 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为：12x =，符合题意. 2︒ 若直线l 的斜率存在，设l的方程为：122y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即220kx y k --+= ∴点O 到直线l 的距离d =∵直线l 被圆O，∴221d +=⎝⎭∴3k =，此时l 的方程为：10x += ∴所求直线l的方程为12x =或10x -+= （2）设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B的坐标为()0,1 由PA ==()2212x y -+=∵点P 在圆B上，∴r r -≤≤，∴0r <≤∴所求r 的取值范围是0r <≤（3）∵()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y --- ∴直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++令0x =，则122112x y x y m x x -=+ 同理可得122112x y x y n x x +=-∴()()2212211221122122121212x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x --+=⋅=+-- ()()222212212212111x x x x x x ---==-∴m n ⋅为定值1.。

2019年高一下学期6月检测数学试题（解析版）本卷分填空题（共70分）和解答题（共90分）.满分160分，考试时间为120分钟.一、填空题：本大题共l4小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线关于点的对称直线的一般式方程是_____________.答案或提示：设所求直线方程为，点关于点的对称点为，于是，故所求直线方程为.2．在△ABC 中，若，则边AB 的长等于___________. 答案或提示：由向量的数量积定义，得cos cos 2AB AC A AB CB B ⋅=⋅=,即由余弦定理，得222222222b c a a c b bc ca bc ac+-+-⋅=⋅= 22222224,4b c a a c b a b c +-=+-=⇒==,即边AB 的长等于3．等差数列中，已知，，则的取值范围是__▲_____.答案或提示：8898151513152a a d a a ≥ ∴-≤-⇒=-≤-=-，即的取值范围是4．某单位招聘员工，有名应聘者参加笔试，随机抽查了其中名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：分数段人数 １ ３ ６ ６ ２ １ １ 由此可预测参加面试的分数线为 分答案或提示：可预测参加面试的分数线为分5．已知一个算法的伪代码如图所示，则输出的结果为_____.答案或提示：可列表如下I 1 3 5 7S 2 6 30 210由上表可知，输出的结果为.6．已知数列为等差数列，且，则= ___________.答案或提示：数列成等差数列，且212822tan()tantan(2)tan 333a a ππππ∴+==+== 7．点分别在直线0962,043=-+=-+y x y x 上，则线段长度的最小值是___.答案或提示：因为两直线平行，且直线可写为，所以d === 8．已知函数，在区间上随机取一，则使得≥0的概率为____________.答案或提示：考查几何概型的运用.， 选择长度为相应测度，所以概率3221212=--=P9．设是公差不为零的等差数列的前项和，若成等比数列，则_________.答案或提示：数列成等差数列，且成等比数列221111(4)(6)2160a d a a d a d d ∴+=⋅+⇒+=，又101510917510222d S a d ⨯∴=-⇒=+=.10．已知单位向量、的夹角为，那么的最小值是__________.答案或提示：考查向量模的运算.常用这一特性；3)1(2444222222++=++=-+=-x x x b a x b x a a ， 答案：.11．在平面直角坐标系中，已知点在曲线上，点在轴上的射影为.若点在直线的下方，当取得最小值时，点的坐标为 ．答案或提示：设点的坐标为，由题意，点的坐标为，又点在直线的下方，，即. ()222222x y xy OP x y x y OM MP x y x y x y-++∴===-+≥----当且仅当12x x y xy y ⎧=⎪⎧-=⎪⎪⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩时取等号.12．已知数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…}的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推，若，则= ．答案或提示：∵20(120)1123202102n ⨯+-=++++==，..13．已知函数，若，则的取值范围是答案或提示：由题知，2(1)213,((1))(3)36f f f f a =+===+，若， 则9+，即，解得.14．在平面直角坐标系中，不等式组02030y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩表示的区域为M ，表示的区域为N ，若，则M 与N 公共部分面积的最大值为 ．答案或提示：不等式组表示的平面区域是一个三角形，当时，区域如图所示，其面积为2231131345(2)(2)2()222242436t S t t t t t t =-⋅⋅--⋅-=-+-=--+ 当时，M 与N 公共部分面积的最大值为.二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）设满足不等式组00,2x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩求点表示的平面区域的面积. 答案或提示：令22,24a b x x y a x y b a b y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎪⎩且00,2x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩得 02000438038224a b a b b a a b a b b a a b b a a b a b +⎧≥⎪+≥≥-⎧⎧⎪-⎪⎪⎪≥⇒-≥⇒≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-≤≤-+⎩⎩+-⎪+≤⎪⎩作出可行域如右图所示，得于是1118||||||||(24)82223AOB BOC AOC B A S S S OC y OC y =+=⋅+⋅=⋅⋅+=,因此，点表示的平面区域的面积是8.16．（本小题满分14分）将容量为100的样本拆分为10组，若前7组频率之和为0.79，而剩下的三组的频数成等比数列，其公比为整数且不为1，求剩下的三组中频数最大的一组的频率.答案或提示：设三组数分别为2,,(,,1)a aq aq a q N q *∈>，则 2221(1)21a aq aq a q q ++=⇒++=，又因为，所以是整数 是的正约数，故或，当时，2121(4)(5)04q q q q q ++=⇒-+=⇒=，舍去！频数最大的一组是，频数最大的一组的频率是.17．（本小题满分14分）过点的直线与轴、轴正半轴交于两点，求满足下列条件的直线的方程，为坐标原点，（1）面积最小时；（2）最小时；（3）最小时.答案或提示：解一：由题意，设(,0),(0,),0,0A a B b a b >>，直线方程为.又直线过点，得（1）2112222(1)2(1)2a b ab a b ab a b b a b+= ∴+=⇒+--=-⇒-+-=- (2)(1)20,2,1a b a b ⇒--=>>>当面积最小时，即最小,得111(2)[(2)2(1)]224222S ab a b a b ==+=-+-+≥= 当且仅当即时取等号，此时直线的方程为，即（2）||||(2)(1)33OA OB a b a b +=+=-+-+≥+当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为，即.（3）||||PA PB ⋅===4≥=当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为，即.解二：设直线的倾斜角为（），则1212a ,b tan tan αα=-=- （1）1111(2)(12tan )2(2tan )422tan 2tan S ab αααα==--=++-≥- 当且仅当，即（舍去！）时取等号，此时直线 的方程为，即.（2）1||||212tan 322tan OA OB a b αα+=+=-+-≥+ 当且仅当，即（舍去！）时取等号，此时直线 的方程为，即.（3）1244||||sin()cos()2sin cos sin 2PA PB παπαααα⋅=⋅==---⋅- 当且仅当，即时取等号，此时直线 的方程为，即.18．（本小题满分16分）设的内角，，的对边长分别为，，，且(1)求角的余弦值的取值范围；(2)若，求角的大小.答案或提示：(1)由余弦定理，得22212cos 22cos 2b ac a c ac B ac ac B ==+-≥- ,又因为中，，所以(2) cos()cos()2sin sin 1A C A C A C ∴--+==又 2111sin sin sin sin 242B AC B ∴==⇒=±，由（1）知 为锐角，故角的大小为.19．（本小题满分16分）因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即=50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验，一般顾客的眼睛到地面的距离(cm)在区间[140,180]内.设支架高为(0<<90)cm ，=100cm,顾客可视的镜像范围为（如图所示），记的长度为().(1)当=40cm 时，试求关于的函数关系式和的最大值；(2)当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系(不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求的取值范围.答案或提示：(1)909000~10090GD GE GD ABD EGD GD AD AB GD x x ∴=⇒=⇒=+- 404000~10040GC FGC BAC GC GC x x ∴=⇒=+-290004000500050009040(90)(40)1303600x x y GD GC x x x x x x ∴=-=-==-----+ 即25000,[140,180]1303600x y x x x =⨯∈-+ 2150005000,[140,180]36001303600130x y x x x x x=⨯=⨯∈-++- 当时，是增函数，因此时，.(2)100100(50)5050GD x h GD GD h x h ++=⇒=+-- 1100100100100(50)10050GC x h h h GC AG AG GC h x h x h x h ++=⇒= = ∴<----≤ 对恒成立 2502x h x h ⎧⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩≤≥对恒成立，即所求的取值范围是.20．（本小题满分16分）已知α，β是方程x 2－x －1=0的两个根，且α＜β．数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=β， a n +2=a n +1+a n ，b n =a n +1－αa n (n ∈N *).（1）求b 2－a 2的值；（2）证明：数列{b n }是等比数列；（3）设c 1=1，c 2=-1，c n +2+c n +1=c n （n ∈N *），证明：当n ≥3时，a n =(-1)n －1（αc n -2+βc n ）．答案或提示：因为α，β是方程x 2－x －1=0的两个根，所以α+β=1，α·β=-1，β2=β+1.（1）由b 2= a 3－αa 2= a 1+a 2－αa 2=1+ a 2－αβ=2+ a 2，得b 2－a 2=2.（2）因为b n +1b n= a n +2－αa n +1 a n +1－αa n = a n +1+a n －αa n +1 a n +1－αa n = (1－α)a n +1+a n a n +1－αa n = βa n +1+a n a n +1－αa n = βa n +1－αβa n a n +1－αa n =β， 又b 1= a 2－αa 1=β－α≠0，所以{b n }是首项为β－α，公比为β的等比数列．（3）由（2）可知 a n +1－αa n =（β－α）βn －1． ①同理， a n +1－βa n =α（a n －βa n-1）．又a 2－βa 1=0，于是a n +1－βa n =0． ②由①②，得 a n =β n －1.下面我们只要证明：n ≥3时， (-1) n －1（αc n -2+βc n ）= β n －1．因为(-1)n (αc n -1+βc n +1) (-1)n -1(αc n -2+βc n )=－αc n -1－βc n +βc n -1 αc n -2+βc n =－c n -1－βc n αc n -2+βc n =－c n -2－c n －βc n αc n -2+βc n=－c n-2－(1+β)c nαc n-2+βc n=－－αβc n-2－β2c nαc n-2+βc n=β．又c1=1，c2=-1，c3=2，则当n=3时，(-1)2(αc1+βc3)=(α+2β)=1+β=β2，所以{(-1) n－1 (αc n-2+βc n)}是以β2为首项，β为公比的等比数列．(-1) n－1 (αc n-2+βc n)是它的第n－2项，所以(-1) n－1 (αc n-2+βc n)=β2·βn－3=βn－1= a n.>24568 5FF8 忸34838 8816 蠖k29311 727F 牿28864 70C0 烀40196 9D04 鴄!G27609 6BD9 毙P36901 9025 逥1}。

江苏省常熟中学六月份学业水平质量检测数学试题一、单项选择题1．若数列{}n a 为等比数列，则“2a ，4a 是方程2310x x -+=的两根”是“31a =±”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．为了认真贯彻落实关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2,3)，[3,4)，[4,5)，...，[8,9)，[9,10)（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5,6)的概率为（ ） A ．110B ．16C ．15D ．143．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ） A ．“宫、商、角”的频率成等比数列 B ．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C ．“商、羽、角”的频率成等比数列D ．“徵、商、羽”的频率成等比数列4．已知点()1,0A -，()1,0B ，过A 的直线与抛物线24y x =相交于,P Q 两点.若P 为AQ 中点，则PB QB=（ ）A ．13B ．12C ．23D ．35．已知双曲线E 的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为,M N ，点P 在E 的渐近线上，120PF PF ⋅=，3MPN π∠=，则E 的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．53D 6．若,a b 为正实数，直线()22320x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．32B ．98C ．94D ．47．已知圆()22:12C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为DC 中点，F 在线段11D C 上运动，则三棱锥F ADE -的外接球的表面积最小值为（ ） A ．14πB ．9πC ．54564π D ．52564π 二、多项选择题9．已知:p x y >，则下列条件中是p 成立的必要条件的是（ ）A ．22x y >B ．33x y>C ．11x y>D ．332x y-+>10．原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势。