材料力学第6章
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材料力学(柴国钟、梁利华)第6章材料力学(柴国钟、梁利华)第6章6.1用积分法求图示各梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角,设梁的刚度EI 为常数。
解:(a )()[]a x Fx x M ,0,111∈= ()()[]a a x x a F x M 2,,2222∈-= 由()()x M x w EI ='',可得 当[]a x ,01∈时,()11Fx x w EI ='',()12112C Fx x EI +=θ,()1113116D x C Fxx EIw ++= 当[]a a x 2,2∈时,()()222x a F x w EI -='',()()2222224C x ax F x EI +-=θ,()()2223222266D x C x ax F x EIw ++-=边界条件:当01=x 时,()()000==w θ,代入,即得011==D C 连续性条件:当a x x ==21时,()()a a 21θθ=,()()a w a w 21=,代入22222232Fa C C Fa Fa -=⇒+=;3656322233FaD D a C Fa Fa =⇒++= 因此,梁的挠曲线方程为:()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+-=∈=a a x EI a x a ax x F x w a x EI Fx x w 2,,6266,0,62322223221311梁的转角为:()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-=∈=a a x EI a ax x F x a x EI Fx x 2,,224,0,22222221211θθ自由端的挠度和转角为: EI Fa w B3=,EIFaB2=θ (b )()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--=∈--=a a x x a q x M a x ax a q x M 2,,221,0,232122221121由()()x M x w EI ='',可得 当[]a x ,01∈时,2Fax2B Aa C x 1x 2x 1aAaq()()112321x a qa x w EI --='',()()1111321C x a qax x EI +--=θ,()()111121129121D x C x a qax x EIw ++--=当[]a a x 2,2∈时,()()222221x a q x w EI --='',()()22222226612C x ax a qx x EI ++--=θ,()()222222222224824D x C x ax a qx x EIw +++--=边界条件:当01=x 时,()()000==w θ,代入,即得011==D C 连续性条件:当a x x ==21时,()()a a 21θθ=,()()a w a w 21=,代入66732233qaC C qa qa =⇒+-=-;2424171274222244qa D D x C qa qa -=⇒++-=- 因此,梁的挠曲线方程为:()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+--=∈--=a a x EI a x a x a ax x q x w a x EIx a qax x w 2,,244248,0,122924232223242211211梁的转角为:()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+--=∈--=a a x EI a x ax x a q x a x EI x a qax x 2,,6612,0,232332222221111θθ自由端的挠度和转角为:EI qa w B24414-=,EIqaB673-=θ (c )()()lx l q x M 361--=由()()x M x w EI ='',可得()()lx l q x w EI 361--='',()()C lx l q x EI +-=4241θ,()()D Cx lx l q x EIw ++--=51201边界条件:当0=x 时,()()000==w θ,代入,即得 243l q C -=,1204lq D =因此,梁的挠曲线方程为:xlBA q()()[]lEIl x l x l q x EIw 12055450-+--=梁的转角为:()()[]lEIl x l q x EI 2444--=θ 自由端的挠度和转角为: EI l q w B304-=,EIlq B243-=θ (d )()[]()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-=∈-=a a x qa qax x M a x qx x M 2,,23,0,2122221211由()()x M x w EI ='',可得当[]a x ,01∈时,()21121qx x w EI -='',()131161C qx x EI +-=θ,()111411241D x C qxx EIw ++-=当[]a a x 2,2∈时,()22223qa qax x w EI +-='',()2222222321C x qa qax x EI ++-=θ()2222223224361D x C x qa qax x EIw +++-=边界条件:当a x 22=时,()()022==a w a θ,代入,即得32qa C -=,4231qa D = 连续性条件:当a x x ==21时,()()a a 21θθ=,()()a w a w 21=,代入,即得3161qa C =,41245qa D -= 因此,梁的挠曲线方程为:()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+-=∈-+-=a a x EI a x a ax x qa x w a x EI a x a x q x w 2,,1241292,0,24542322223221413411梁的转角为:aBAaqqa 2x 2x 1()()[]()()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈---=∈-=a a x EI a x a x qa x a x EI x a q x 2,,22,0,6222213131θθ自由端的挠度和转角为:EI qa w B2454-=,EIqaB63=θ6.2用积分法求图示各梁的挠曲线方程、截面A 和截面B 的转角、跨度中点C 的挠度以及外伸端的挠度与转角,设梁的刚度EI 为常数。