材料力学第6章

材料力学(柴国钟、梁利华)第6章材料力学(柴国钟、梁利华)第6章6.1用积分法求图示各梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角，设梁的刚度EI 为常数。

解：（a ）()[]a x Fx x M ,0,111∈= ()()[]a a x x a F x M 2,,2222∈-= 由()()x M x w EI =''，可得 当[]a x ,01∈时，()11Fx x w EI =''，()12112C Fx x EI +=θ，()1113116D x C Fxx EIw ++= 当[]a a x 2,2∈时，()()222x a F x w EI -=''，()()2222224C x ax F x EI +-=θ，()()2223222266D x C x ax F x EIw ++-=边界条件：当01=x 时，()()000==w θ，代入，即得011==D C 连续性条件：当a x x ==21时，()()a a 21θθ=，()()a w a w 21=，代入22222232Fa C C Fa Fa -=⇒+=；3656322233FaD D a C Fa Fa =⇒++= 因此，梁的挠曲线方程为：()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+-=∈=a a x EI a x a ax x F x w a x EI Fx x w 2,,6266,0,62322223221311梁的转角为：()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-=∈=a a x EI a ax x F x a x EI Fx x 2,,224,0,22222221211θθ自由端的挠度和转角为： EI Fa w B3=，EIFaB2=θ （b ）()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--=∈--=a a x x a q x M a x ax a q x M 2,,221,0,232122221121由()()x M x w EI =''，可得 当[]a x ,01∈时，2Fax2B Aa C x 1x 2x 1aAaq()()112321x a qa x w EI --=''，()()1111321C x a qax x EI +--=θ，()()111121129121D x C x a qax x EIw ++--=当[]a a x 2,2∈时，()()222221x a q x w EI --=''，()()22222226612C x ax a qx x EI ++--=θ，()()222222222224824D x C x ax a qx x EIw +++--=边界条件：当01=x 时，()()000==w θ，代入，即得011==D C 连续性条件：当a x x ==21时，()()a a 21θθ=，()()a w a w 21=，代入66732233qaC C qa qa =⇒+-=-；2424171274222244qa D D x C qa qa -=⇒++-=- 因此，梁的挠曲线方程为：()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+--=∈--=a a x EI a x a x a ax x q x w a x EIx a qax x w 2,,244248,0,122924232223242211211梁的转角为：()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+--=∈--=a a x EI a x ax x a q x a x EI x a qax x 2,,6612,0,232332222221111θθ自由端的挠度和转角为：EI qa w B24414-=，EIqaB673-=θ （c ）()()lx l q x M 361--=由()()x M x w EI =''，可得()()lx l q x w EI 361--=''，()()C lx l q x EI +-=4241θ，()()D Cx lx l q x EIw ++--=51201边界条件：当0=x 时，()()000==w θ，代入，即得 243l q C -=，1204lq D =因此，梁的挠曲线方程为：xlBA q()()[]lEIl x l x l q x EIw 12055450-+--=梁的转角为：()()[]lEIl x l q x EI 2444--=θ 自由端的挠度和转角为： EI l q w B304-=，EIlq B243-=θ （d ）()[]()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-=∈-=a a x qa qax x M a x qx x M 2,,23,0,2122221211由()()x M x w EI =''，可得当[]a x ,01∈时，()21121qx x w EI -=''，()131161C qx x EI +-=θ，()111411241D x C qxx EIw ++-=当[]a a x 2,2∈时，()22223qa qax x w EI +-=''，()2222222321C x qa qax x EI ++-=θ()2222223224361D x C x qa qax x EIw +++-=边界条件：当a x 22=时，()()022==a w a θ，代入，即得32qa C -=，4231qa D = 连续性条件：当a x x ==21时，()()a a 21θθ=，()()a w a w 21=，代入，即得3161qa C =，41245qa D -= 因此，梁的挠曲线方程为：()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+-=∈-+-=a a x EI a x a ax x qa x w a x EI a x a x q x w 2,,1241292,0,24542322223221413411梁的转角为：aBAaqqa 2x 2x 1()()[]()()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈---=∈-=a a x EI a x a x qa x a x EI x a q x 2,,22,0,6222213131θθ自由端的挠度和转角为：EI qa w B2454-=，EIqaB63=θ6.2用积分法求图示各梁的挠曲线方程、截面A 和截面B 的转角、跨度中点C 的挠度以及外伸端的挠度与转角，设梁的刚度EI 为常数。

第6章圆轴的扭转6.1扭转的概念扭转是杆件变形的一种基本形式。

在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多 的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆， 两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用； 图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。

这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。

这种形式的变形称为扭转变形（见图 6-4）。

以扭转变形为主的直杆件称为轴。

若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。

图6— 46.2扭矩和扭矩图6.2.1外力偶矩作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。

它们的关系式为其中：PM = 9550（ 6-1）nM外力偶矩（N • m ）;P ――轴所传递的功率（KW ）;n 轴的转速（r / min ）。

外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。

方向相反、且作用平面与杆图6 — 1图6—2 图6— 3L622扭矩圆轴在外力偶的作用下， 其横截面上将产生连续分布内力。

根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶， 从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。

由分布内力组成的合力偶的力偶矩， 称为扭矩，用M n 表示。

扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N 巾或kN m 。

当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内 的扭矩。

如图6-5 (a )所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为 M 的外力偶作用。

为求杆任一截面 m-m 的扭矩，可假想地将杆沿截面 m-m 切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图 6-5 (b )中所示的左端。