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材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)

材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)

§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2

M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2

材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)

材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)

M
A
0
FRA
A
a
F1
C
F2
D
FRB
B
FRB l F1a F2b 0
MB 0
c
E
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l
b l
FRB
F1a F2b l
第六章
记 E 截面处的剪力为
FRA
A
弯曲内力
a F1 C F2 D B
FSE 和弯矩 ME ，且假设
FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.取左段为研究
E
c b l
F
d
对象。
Fy 0 , M 0,
E
FRA FS E 0
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
第六章
6.1引言
1.弯曲的概念
弯曲内力
工程实例
第六章
工程实例
弯曲内力
第六章
弯曲内力
车刀轴
第六章
弯曲内力
火车轮轴
第六章
弯曲内力
起重机大梁
第六章
弯曲内力
镗刀杆轴
第六章
基本概念
弯曲内力
1.弯曲变形 （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.

材料力学第6章弯曲变形

材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程




(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2

3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl

材料力学-第六章

材料力学-第六章

第15单元第六章 弯曲变形§6-1 引言应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。

挠度()y x ： 横截面形心的位移 转角()θx ：横截面绕中性轴的转角挠曲轴方程：()y y x = (挠曲轴的解析表达式)()tg dy dxy x θ=='()θθ≈='tg y x(通常θ<︒1=0.01745弧度)§6-2 梁变形基本方程目的：求()y x ，()()[]θx y x =' 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程1.中性层曲率表示的弯曲变形公式()1ρ=M x EI(其中M 可以通过弯矩方程表示为x 的函数，ρ为曲率半径，它可由'y 和''y 表示) 2.由数学()11232ρ=±''+'y y3.挠曲轴微分方程()()±''+'=y y M x EI1232(1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形，()'≈<y θ0.0175(弧度)'<<y 21112+'≈y ((1)式分母等于1)正负号确定——确定坐标系：y 向上''>y 0(从数学) ''<y 0M >0(本书规定) M <⇒选正号()∴''=y M x EI二、积分法计算梁的变形()θ='=+⎰y M x EI dx C()y M x EIdx Cx D =++⎰⎰C 、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。

三、位移边界与连续条件边界条件：固定端 y A A ==00,θ 固定铰，活动铰 0,0==F E y y 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左右左右===00θθy y y y B BG G G G 左右左右左右===θθ例1：()M x M =0，()''=y x M EI 0()()θ='=+y x M EI x C 0()y x M EIx Cx D =++022由()()y D y C 00000=='==()()∴==y x M EIxx M EIx022θ例2：求挠曲轴微分方程AB 段： BC 段''=y M EI x l 10 ''=-⎛⎝ ⎫⎭⎪y M EI x l201y M EI x lC xD =++03116 y M EI x l x C x D =-⎛⎝ ⎫⎭⎪++0322262边界和连续条件()y 100= ()y l 20=y l y l 1222⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪(连续条件)'⎛⎝ ⎫⎭⎪='⎛⎝ ⎫⎭⎪y l y l 1222 (光滑条件)四个方程定4个常数()()y x M x lEI x l 1022244=- ()()y x M x l EIl2024=-例3：1.画剪力弯矩图2.列挠曲线的位移和连续条件3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 A ：()y 100= B:()()()()a y a y a y a y 2121'='=,C:()()020232==a y a y ,()()a y a y 2232'=' D:无挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性， +→⋃-→⋂,(2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移§6-3 计算梁位移的奇异函数法奇异函数法仍属积分法。

材料力学第六章

材料力学第六章

§6-1 一、多跨静定梁 3．求解变形：
其它平面弯曲构件的内力与变形
1)宜采用叠加法；
2)先求主梁的变形： 在自身载荷及中间铰处次梁作用力的共同作用 下变形。
3)再求次梁的变形： 主梁变形引起次梁的刚性转动；
简化成简支梁或外伸梁的次梁在自身载荷作用 下的变形；
§6-1
其它平面弯曲构件的内力与变形
a
Fz
B
a
Fy y
10
解：外力沿形心主轴分解： F F y F cosa A点最大拉应力(B点最大压应力) F F sina z F y l | y A | Fz l | z A | sA 60.7 MPa Iz Iy
§6-4
开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
一、产生平面弯曲的条件
)
F
§6-1
a A
F B
其它平面弯曲构件的内力与变形
y
x Fa A B
b
C
F
C
例6-3 作图示刚架内力图，并求A截面的 转角、水平和铅垂位移(抗弯刚度为EI)。 2)求A点转角、水平和铅垂位移： 再将AB刚化，BC解除刚化，F由 A点简化到B点 Fab q B " ( ) EI 2 在B点产生qB"、 Fab xB"为 x B " ( ) 2 EI BC变形引 q A " q B " Fab ( ) EI 2 起A点刚性 Fab ( ) 转动产生的 x A " x B " 2 EI2 qA"、xA"、 Fa b y A " q B "a ( ) yA " EI
y、z为形心主轴，F平行y轴，通过弯心A； Fx 0 ：FN 2 FN1 t 'tdx 0 * * * * F S M z dMM ( M d M ) S M S d M S z z z z zz z z z z Qy FN 2 y d A s d A y d A t t ' 1 A AA I z I z dx I z t I zII t zz

材料力学第六章静不定

材料力学第六章静不定

FN2
FN3
（c） F
材料力学
中南大学土木工程学院
13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大

A
F
材料力学
中南大学土木工程学院
C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） 配应力
——装
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
中南大学土木工程学院
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450

2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联
立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
l1

FN1
2 3
EA
l ，l2

1F.5NE2lA，l3

FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 23 F 0.76F
FN2 3
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
32 2 3 FN3 23 F 1.24F ()
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构

材料力学第六章

材料力学第六章
EI
在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩 M 外还有剪力 FS ，但工程上常用的 梁，当梁的长度大于横截面高度 10 倍时， FS 对梁的位移影响很小，可略去
不计，所以上式仍可应用。但此时， M 和 都是 x 的函数。即
M (x)
(x) EI
从高等数学可知，平面曲线的曲率可写成
d2 y
(x)
1
第六节 简单超静定梁的解法
对梁某方向的位移起限制作用的物体称为约束。在超静定梁中，超过了维持 梁的静力平衡所必需的约束，称为多余约束，相应的约束力（包括约束力偶）， 称为多余约束力。
解超静定梁的方法较多，本书介绍变形比较法，步骤如下。 （1）判断超静定次数。梁上未知约束力的个数与独立的平衡方程数之差， 称为超静定次数。对于给定的梁，解题时首先应判断它是静定的，还是超静定的。 如果是超静定的，要确定超静定的次数。 （2）解除超静定梁的多余约束，并代之以多余约束力，所得系统称为静定 基。在多余约束处寻找变形协调条件。 （3）写出变形协调条件和物理条件，得到补充方程。 （4）将补充方程和平衡方程联立，即可求解。
，
FAy
ql
坐标为 x 的截面上的弯矩为
M (x) qlx 1 ql2 1 qx2 22
列挠曲线近似微分方程并积分，有
EI
d2 y dx2
qlx
1 2
ql 2
1 2
qx2
EI
dy dx
EI
ql
x2 2
1 ql2x 2
q 6
x3
C1
（a）
EIy
ql
x3 6
1 4
ql2 x2
1 qx4 24
C1x
该处的挠度 y 0 ，截面转角 0 ；铰支座处的边界条件，挠度 y 0 。

材料力学课件第六章1 弯曲变形

材料力学课件第六章1 弯曲变形
代入通解得方程组： F (0) 2 Fl (0) C 0
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得： C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率：

1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y

w x
x

3
F
因此有：
2

2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得： 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得：RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担：P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量： （1）截面位移及特点： •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移， 较竖向线位移小许多。
（2）度量变形的基本量： •挠度w： 横截面形心的竖向线位移，向上为正。 •截面转角θ ：横截面绕中性轴的角位移，逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 （1）简化： 认为截面只有竖向位移。 y （2）简化后问题的特点： •挠曲线方程为挠度方程：

河海大学-材料力学-课件-力学-第六章-挠度

河海大学-材料力学-课件-力学-第六章-挠度

2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tgθ=w’(x)——转角方程。顺时针 为正。
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程
1
w

( x )
1 w2
3 2
1 M(x)
<<1
( x) EI z
w M x
EI z
O
x
O
x
M
M
w
M<0
w” > 0
当F作 用 于 梁 中 点C时 ，wmax wc。
当F右移至B点时，b 0，x0 0.577l。
wmax的 位 置 距 梁 中 点 仅 0.077l。
令
b2 0,
wmax

Fbl 2 9 3 EI
0.0642 Fbl 2 。 EI
wc

Fbl 2 16 EI
0.0625 Fbl 2 。 EI
ql
qx 2
θA
M(x) x
wmax θB
Bx
l
2
2w
2o 梁的挠曲线微分方程为
EIw ql x qx2
2
2
积 分 EIw ql x2 qx3 C 2 2 23
ql x3 qx4
EIw
Cx D
2 23 234
边界条件Βιβλιοθήκη qx0: w0 xl: w0

w
xl
Fl 2 2 EI
Fl 3 wmax w xl 3EI
F
Bx
θmax
wmax
l
例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程 和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。

《材料力学》第六章-弯曲变形

《材料力学》第六章-弯曲变形

当载荷P处于梁中点，即ｂ=l／２时，ｘl=0.5l；
当载荷Ｐ移至支座B,即ｂ→０时
x1
l2 0.577l 3
即使在这种极端的情况下，最大挠度的位置距中 点只有0.077l，也就是说点的位置影响甚小，最大挠 度总是发生在梁跨中点的附近。可以认为在工程中 当有一集中力作用在简支梁上时，梁的最大挠度发 生在梁的中点，其结果误差不超过3％。
§6.1 工程中的弯曲变形问题
工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度 要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证 构件的正常工作，成为弯曲变形问题。
出现“爬坡”现象
使齿轮啮合力沿齿宽分布极 不均匀，加速齿轮的磨损。
一、挠度和转角
构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。
梁在横向力作用下发生弯曲变形， y
§6.3 用积分法求弯曲变形
一、积分法求弯曲变形 w Mx
EI
积分
挠曲线近似微分方程
w E 1IM xd x C
积分
转角方程
w E 1IM xd x CD x 挠曲线方程
式中C和D是待定的积分常数，可根据梁的具体条件来确定。
积分法计算梁的变形的步骤： 1.建立梁截面的弯矩方程式M(x)； 2.代人挠曲线近似微分方程式，并积分； 3.确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式； 4.求梁任一截面的转角和挠度。
令
w1 10 F 2lx b12-F 6lb l2-b2 0
当ａ>ｂ时，x1<a，wmax发生在AC段内。
得： x1
l2 -b2 3
wm若求最大转角，求θA、θB，比较大小，取其大者。
当
x1
l2 -b2 3
wmax-
Fb 9

材料力学性能第六章-金属的应力腐蚀和氢脆

材料力学性能第六章-金属的应力腐蚀和氢脆

a
18
1Cr18Ni9Ti：固溶处理 氯离子环境下应力腐蚀断口。用10%HCl水ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ液浸蚀后，用扫描电镜观察断口。 断口上有许多正方形腐蚀坑，图中间区域三角形晶面上有三角形腐蚀坑。 图中的两种形状蚀坑说明开裂主要沿｛100｝晶面和｛111｝晶面。
a
19
五、应力腐蚀抗力指标
➢①光滑试样 ➢应力腐蚀断裂是一种与时间有关的延滞断裂
当时正在谢菲尔德大学研究部工作的中国学者李熏通 过大量研究工作，在世界上首次提出钢中的“发裂” 是由于钢在冶炼过程中混进的氢原子引起的。
a
41
3.氢化物致脆
• 对于纯铁、α－钛合金、镍、钒、锆、铌及其合金，由于它们与氢 有较大的亲和力，极易生成脆性氢化物，使金属脆化。
• 例如，在室 温下，氢在α－钛合金中的溶解度较小，钛与氢又具有 较大的化学亲和力，因此容易形成氢化钛（TiHx）而产生氢脆。
a
33
氢在金属中的存在形式
a
34
• 在一般情况下，氢以间隙原子状态固溶在金属中，对于大多数工业 合金，氢的溶解度随温度降低而降低。
• 氢在金属中也可通过扩散聚集在较大的缺陷(如空洞、气泡、裂纹等) 处以氢分子状态存在。
• 氢还可能和一些过渡族、稀土或碱土金属元素作用生成氢化物，或 与金属中的第二相作用生成气体产物，如钢中的氢可以和渗碳体中 的碳原子作用形成甲烷等。
a
6
钢丝应力腐蚀与通常拉应力断裂比较
a
7
二、应力腐蚀产生的条件
• （1）只有在拉伸应力作用下才能引起应力腐蚀开裂(近年来，也发现 在不锈钢中可以有压应力引起)。 这种拉应力可以是外加载荷造成的应力，但主要是各种残余应 力，如焊接残余应力、热处理残余应力和装配应力等。 据统计，在应力腐蚀开裂事故中，由残余应力所引起的占80% 以上，而由工作应力引起的则不足20%。

材料力学第六章

材料力学第六章

解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
wC 2
ql 4 48EI
ql 4 wC3 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
wC1
wC2 wC3
3）进行变形比较，列出变形协调
条件
wB 0
4）叠加法
wB (wB )F (wB )FBy 0
MA A
MFAAy A
FAy A
A
MA A FA y
MA A AA
MA A A
F
B
C
2a (a) B
aF C
2a
Ba C
((ba))
B B (b)
F C
C
(c)
FBy F
B
FF C
BB
(c)
FBy
CC
B12 a
Fa 2l 3EI
w1 wB11 wB12
w2
B2a
Fl 2a 16 EI
w w1 w2
用叠加法求跨度中点挠度
解： wc wc1 wc2
由于 wc wc2
=
故
wc
1 2
wc1
1 5q0l 4 5q0l 4 2 384EI 768EI
-
解： wc wc1 wc2
当 d w 0 时，w为极值
dx
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
E I 2
Fb 2l
x22

材料力学PPT课件

材料力学PPT课件
动荷载：随时间做急剧变化的荷载，以及作加速运动或 转动的系统中构件的惯性力。 在动荷载作用下，构件内部各点均有加速度。
动应力：构件中因动荷载而引起的应力。
实验证明，在动荷载作用下，如构件的应 力不超过比例极限，胡克定律仍然适用。
目录
3
§6.2 构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算
I、构件作等加速直线运动时的动应力
P
Q
l
PQ
Q Q
M (PQ)l 4
绳子：
st
Q A
目录
5
I、构件作等加速直线运动时的动应力
2. 物体匀速地向上提升 与第一个问题等价
?
目录
6
I、构件作等加速直线运动时的动应力
3. 物体以加速度a向上提升
F Nd
按牛顿第二定律，或者说，
按达朗贝尔原理（动静法）：
质点上所有力同惯性力形成平
a
衡力系。
4. 物体匀速地向上提升中改为以加速度a匀减速
F Nd
a Q
FNd
QaQ0 g
a
FNd
(1
)Q g
a
Kd
(1
) g
目录
9
I、构件作等加速直线运动时的动应力
5. 物体以匀速向下中改为以加速度 a 匀减速
F Nd
Q FNd(gaQ)0
a
FNd
(1
a)Q g
Q
Kd
(1
a) g
目录 10
I、构件作等加速直线运动时的动应力
Kd
(1
a) g
动荷因数
则 FNdKdFNst，d Kdst
强度条件： dKdst[]
目录 13
§6.2 构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算

材料力学第四版课件 第六章 弯曲变形

材料力学第四版课件 第六章 弯曲变形
)F
ql
3
()
2
24 EI
Fl ()
(q
A
16 EI
3
q
A

ql

Fl
2
( )
24 EI
16 EI
例6.5：图示外伸梁，其抗弯刚度为EI,求B截 面的转角和C截面的挠度.
2
2
l
EIw 2 M 2 F
x F ( x a)
2
转角方程
b x F ( x a) C2 l 2 2
3 3
b x F ( x a) C 2x D 2 挠度方程 EIw 2 F l 6 6
F A a l C b B
(3)确定积分常数 边界条件： 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w2 0 C点的连续条件： 在 x = a 处， w1 w2 , w1 w2 再将边界条件和连续条件分别代入 AC与CB的转角方程与闹曲轴方程中。
F B
当 x 0 时 ： q 0， w 0
q
w 1 EI
1 EI
( FLx
1 2
2
1 2
Fx
2
C)
3
(
FLx

1 6
Fx
Cx D )
4.根据边界条件确定积分常数
当 x 0 时 ： q 0， w 0
解得
C 0; D 0
5.得到转角方程和挠度方程，计算B截面的 挠度和转角
B
(4) 根据边界条件求积分常数 当x=0 和 x=l 时, w = 0
EIq EIw
EIw ql 12 x
3
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杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的]=0.001
弧度,试核此杆的刚度。
=+ =+
L=400mm a=0.1mP
A
D
B
C
A
D
B
200mm P1=1kN
A
D
B
C P2=2kN
C
P2
a
B
C
P2
P1=1kN
P2 M
A
D
B
C
A
D
B
C
.
P2=2kN
L=400mm a=0.1mP
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
.
第三节 用叠加法求弯曲变形
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
PA
Pa 2 4 EI
f PC
Pa 3 6 EI
q
A
B
qA
qa 3 3 EI
5 q L4 f qC 24 EI
.
P
q
A
B
C
a
a
PA
Pa 2 4 EI
qA
qa 3 3 EI
f PC
Pa 3 6 EI
f
qC
5 q L4 24 EI
=
P 叠加
A
B
APAqA
+
a2 (3P4qa) 12EI
q
A
P(xa) (0xa)
M (x) 0
(axL)
a
P
L
x
f 写出微分方程的积分并积分
EfI 0 P(ax)
(0xa) (axL)
EIfΒιβλιοθήκη 1 2P(ax)2
C1
D1
EIf16P(ax)3 C1xC2 D1xD2
.
应用位移边界条件求积分常数
EI(f0)1 6P3 aC20
EI(0)1 2P2aC10
a
. dx
(1
第二节 挠曲线的微分方程及用积分法求弯曲变形
一、挠曲线近似微分方程
x M>0 f(x)0 f
1 M z (x)
EI z
1(1ff(x2))32小变形 f(x)
M<0
f
f(x)0
x
f (x) Mz(x) EIz
f(x ) M (x ) … … （ 2 ）
E I
式（2）就是挠曲线近似微分方程。 .
P
L
x
f
(a)(a) C1 D1
f(a)f(a)
C 1aC 2D 1aD 2
C 1D 11 2P2a ;C 2D 21 6P3a .
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)66P P E EII3(aa2xx)3a33a2xa3
(0xa) (axL)
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求.出较精确； 缺点：计算较繁。
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1 EIf1 6P(Lx)3C1xC2 .
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
P x 2.转角：横截面绕其中性轴转
v
动的角度。用 表示，顺时
f
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系： tg df f
B
.
fC25q4Ea4I6PEa3I
例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。
L1
L2
P
A
C
f
Bx f
f f1f2
=
L1 A 刚化AC段C
L1
+
L2
P 等价
B
L2
P 等价
L2
P
C
Bx
f1
f
L1
P L2
A
C
B
A
C
M Bx
刚化BC段
f
.
f2
第四节 梁的刚度校核
fm La x L f (对土 : L f建 (2 1 工 5 ~1 0 程 1 0)0 )
第六章 弯曲变形
➢工程中的弯曲变形问题 ➢挠曲线的微分方程及用积分法求弯曲变形 ➢用叠加法求弯曲变形 ➢梁的刚度校核 ➢弯曲超静定
.
第一节 工程中的弯曲变形问题
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变. 形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量
f ( P 1 P 2 P n ) f 1 ( P 1 ) f 2 ( P 2 ) f n ( P n )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
.
P
q 例4 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
P
=
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+
EI(f0)1 6P3LC20
E(I0)Ef(I0)1 2P2L C 10
C11 2P2L;C21 6P3L
P L
x
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)P(Lx)33L 2xL 3 6EI
最大挠度及最大转角
max(L)
PL2 2EI
PL3
fmax
f
(L)
3EI
.
解：建立坐标系并写出弯矩方程
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分
EfI(x)M (x) Ef(Ix)( M (x)d )x C 1
E ( x ) I f( ( M ( x )d x ) ) d x C 1 x C 2
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
.
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件：
fC fC
光滑条件：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
max
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件
进行如下三种刚度计算：
、校核刚度：
fmax L
f L
max
、设计截面尺寸； (但：对于土建工程，强度常处于主要地位，
、设计载荷。
刚度常处于从属地位。特殊构件例外） .
例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，
x
A
D
B
C
f 200mm P1=1kN P2=2kN
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
图3
叠加求复杂载荷下的变形
B1P61LE2IP32ELIa
fC1P1L6E2aIP 32Ea3IP32aE2LI
I (D 4d 4) 64
3.14 (80 4 40 4 )10 12 64