实验一马鞍面绘制实验

实验一特殊函数与图形一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景与实验目的著名的Riemann函数大家都很熟悉了，但是关于它的图像你是否清楚呢除了最上面那几点，其他都很难画吧你想不想看看下面那些“挤在一起”的点是怎样分布的呢还有几何中的马鞍面、单叶双曲面等是怎样由直线生成的，是不是也想目睹一下呢这些，都离不开绘图．实际上绘图一直是数学中的一种重要手段，借助图形，往往可以化繁为简，使抽象的对象得到明白直观的体现．比如函数的基本性质，一个图形常可以使之一目了然，非常有效．它虽不能代替严格的分析与证明，但在问题的研究过程中，可以帮助研究人员节约相当一部分精力．此外，它还可以使计算、证明、建模等的结果得到更明白易懂的表现，有时，这比科学论证更有说服力．同时，数学的教学与学习过程也离不开绘图．借助直观的图形，常可以使初学者更容易接受新知识．如数学分析中有不少函数，其解析式着实让人望而生畏，即使对其性质作了详尽的分析，还是感到难明就里；但如果能看到它的图形，再配合理论分析，则问题可以迎刃而解．又如在几何的学习中，会遇到大量的曲线与曲面，也离不开图形的配合．传统的手工作图，往往费力耗时，效果也不尽理想．计算机恰恰弥补了这个不足，使你可以方便地指定各种视角、比例、明暗，从各个角度进行观察．本实验通过对函数的图形表示和几个曲面（线）图形的介绍，一方面展示它们的特点，另一方面，也将就Matlab软件的作图功能作一个简单介绍．大家将会看到，Matlab 的作图功能非常强大．二、相关函数（命令）及简介1．平面作图函数：plot，其基本调用形式：plot(x,y,s)以x作为横坐标，y作为纵坐标．s是图形显示属性的设置选项．例如：x=-pi:pi/10:pi;y=sin(x);plot(x,y,'--rh','linewidth',2,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','g')图1在使用函数plot时，应当注意到当两个输入量同为向量时，向量x与y必须维数相同，而且必须同是行向量或者同是列向量．绘图时，可以制定标记的颜色和大小，也可以用图形属性制定其他线条特征，这些属性包括：linewidth 指定线条的粗细．markeredgecolor 指定标记的边缘色markerfacecolor 指定标记表面的颜色．markersize 指定标记的大小．若在一个坐标系中画几个函数，则plot的调用格式如下：plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,……)2．空间曲线作图函数：plot3，它与plot相比，只是多了一个维数而已．其调用格式如下：plot3(x,y,z,s)．例如：x=0:pi/30:20*pi;y=sin(x);z=cos(x);plot3(x,y,z)得到三维螺旋线：图23．空间曲面作图函数：（1）mesh函数．绘制彩色网格面图形．调用格式：mesh(z)，mesh(x,y,z)和mesh(x,y,z,c)．其中，mesh(x,y,z,c)画出颜色由c指定的三维网格图．若x、y均为向量，则length(x)=n，length(y)=m，[m,n]=size(z)．（2）surf在矩形区域内显示三维带阴影曲面图．调用格式与mesh类似．（3）ezmesh用符号函数作三维曲面网格图．调用格式：ezmesh(x,y,z)其中x = x(s,t), y = y(s,t),z = z(s,t)．画图区域默认为： -2*pi < s < 2*pi 且-2*pi < t < 2*pi.或者用格式：ezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])（4）ezsurf用符号函数作三维曲面图．调用格式与ezmesh类似．（5）sphere画球体命令．4．meshgrid，调用格式：[x,y]=meshgrid(m,n)，这里的m，n为给定的向量，可以定义网格划分区域和划分方法．矩阵x和矩阵y是网格划分后的数据矩阵．5．图像的修饰与其他函数：（1）axis equal 控制各个坐标轴的分度，使其相等；（2）colormap设置绘图颜色．调用格式：colormap([r g b])其中r,g,b都是0-1之间的数．或者用格式：colormap(s)s颜色映像相应的颜色系颜色映像相应的颜色系autumn红黄色系hsv色调饱和色系gray线性灰色系hot黑红黄白色系cool青和洋红色系pink柔和色系（3（4）find找出符合条件的元素在数组中的位置．调用格式：y=find(条件)例如：输入：a=[4 5 78 121 4 665 225 4 1];b=find(a>7)输出： b =3 4 6 7三、实验内容数学分析中，特别是积分部分，我们接触了不少有趣的函数，由于其中有的不是一一对应的，用上面的方法无法画出它们的图像，这时就只能用参数了．此外还有些图形只能用参数来画，比如空间曲线，在计算机上不接受“两个曲面的交线”这种表示，所以也只能用参数来实现．用参数方式作图的关键在于找出合适的参数表示，尤其是不能有奇点，最好也不要用到开方．所以要找的参数最好是有几何意义的．当然这也不可一概而论，需要多积累经验．1．利用函数plot在一个坐标系中画以下几个函数图像，要求采用不同颜色、不同线形、不同的符号标记．函数为：．程序如下：t=0:pi/20:2*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=sin(2*t);plot(t, x, '--k*', t, y, '-rs', t, z, ':bo')图像如下：图32．绘制类似田螺线的一条三维螺线(方程自己设计)．程序如下：t=0:.1:30;x=2*(cos(t)+t.*sin(t));y=2*(sin(t)-t.*cos(t));z=*t;plot3(x,y,-z) %取–z 主要是为了画图看起来更清楚axis equal图像如下：图43．利用函数，绘制一个墨西哥帽子的图形．程序如下：[a,b]=meshgrid(-8:.5:8); %先生成一个网格c=sqrt(a.^2+b.^2)+eps;z=sin(c)./c;mesh(a,b,z)axis square图像如下：图5思考：这里的 eps 是什么其作用是什么4．利用surf绘制马鞍面图形（函数为：）．程序如下：[x,y]=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25);z=x.^2/9-y.^2/4;surf(x,y,z)title('马鞍面')grid off图像如下：图65．分别用ezmesh和ezsurf各绘制一个圆环面，尝试将两个圆环面放在一个图形界面内，观察它们有什么不同之处．提示：圆环面的方程为：，而圆环面的参数方程为：程序参见附录1．图像如下：图76．绘制黎曼函数图形，加深对黎曼函数的理解．说明：黎曼函数的定义为程序参见附录2．图像如下：图8四、自己动手1．作出下图所示的三维图形：图9提示：图形为圆环面和球面的组合.2．作出下图所示的墨西哥帽子及其剪裁图形：图103．画出球面、椭球面、双叶双曲面、单叶双曲面．4．若要求田螺线的一条轴截面的曲边是一条抛物线：时．试重新设计田螺线的参数方程，并画出该田螺线．5．作出下图所示的马鞍面（颜色为灰色，并有一个标题：“马鞍面”）：图116．绘制图8所示的黎曼函数图形，要求分母的最大值的数值由键盘输入（提示：使用input语句）．回目录下一页实验二定积分的近似计算一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容1．矩形法2．梯形法3．抛物线法4. 直接应用Matlab命令计算结果四、自己动手一、问题背景与实验目的利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用．二、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字．（注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式： quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即 .*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun）例：计算x=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在一个函数文件：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：把数据写入指定文件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('','w'); %打开文件fprintf(fid,'% %\n',y); %写入fclose(fid) %关闭文件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f关于v积分，积分区间由a到b．11．subs(f，'x'，a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．若简单地使用subs(f)，则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值．三、实验内容1．矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同，我们以为例（取），（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取，，理论值，此时计算的相对误差（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取，，理论值，此时计算的相对误差（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取，，理论值，此时计算的相对误差如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式．下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物．2．梯形法等分区间，相应函数值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，，即，称此式为梯形公式．仍用的近似计算为例，取，，理论值，此时计算的相对误差很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多．3．抛物线法由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大．若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．仍用的近似计算为例，取，=，理论值，此时计算的相对误差4. 直接应用Matlab命令计算结果（1）数值计算方法1：int('1/(1+x^2)','x',0,1) (符号求积分)方法2：quad('1./(1+x.^2)',0,1) （抛物线法求数值积分）方法3：x=0::1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y) （梯形法求数值积分）（2）数值计算方法1：int(int('x+y^2','y',-1,1),'x',0,2) （符号求积分）方法2：dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1) （抛物线法二重数值积分）四、自己动手1．实现实验内容中的例子，即分别采用矩形法、梯形法、抛物线法计算，取，并比较三种方法的精确程度．2．分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．3．试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗为什么）4．将的近似计算结果与Matlab中各命令的计算结果相比较，试猜测Matlab中的数值积分命令最可能采用了哪一种近似计算方法并找出其他例子支持你的观点．5．通过整个实验内容及练习，你能否作出一些理论上的小结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），用某种近似计算方法所得结果更接近于实际值6．学习的程序设计方法，尝试用函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环．上一页回目录下一页实验三求代数方程的近似根（解）一、问题背景和实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景和实验目的求代数方程的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程．当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间，或给出某根的近似值．在实际问题抽象出的数学模型中，可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况．通过本实验希望你能：1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；2. 求代数方程（组）的解．二、相关函数（命令）及简介1．abs( )：求绝对值函数．2．diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式．diff(f, 'a')：对变量a求微分，f 为符号表达式．diff(f, 'a', n)：对变量 a 求 n 次微分，f 为符号表达式．例如：syms x tdiff(sin(x^2)*t^6, 't', 6)ans=720*sin(x^2)3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多项式的所有根．例如：求解：．p = [1 -6 -72 -27];r = roots(p)r =4．solve('表达式')：求表达式的解．solve('2*sin(x)=1')ans =1/6*pi5．linsolve(A, b)：求线性方程组 A*x=b 的解．例如：A= [9 0; -1 8]; b=[1; 2];linsolve(A, b)ans=[ 1/9][19/72]6．fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解．其中fun为一个定义的函数，用“@函数名”方式进行调用．例如：fzero(@sin, 3)ans=7．subs(f, 'x ', a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．例如：subs('x^2 ', 'x ', 2)ans = 4三、实验内容首先，我们介绍几种与求根有关的方法：1．对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．设在上连续，，即，或，．则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点，使．下面的方法可以求出该根：(1)令，计算；(2)若，则是的根，停止计算，输出结果．若，则令，，若，则令，；．……，有、以及相应的．(3) 若 (为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果；反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根．当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有以上公式可用于估计对分次数．分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同．由于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值．2. 迭代法1)迭代法的基本思想：由方程构造一个等价方程从某个近似根出发，令，可得序列，这种方法称为迭代法．若收敛，即，只要连续，有即可知，的极限是的根，也就是的根．当然，若发散，迭代法就失败．以下给出迭代过程收敛的一些判别方法：定义：如果根的某个邻域中，使对任意的，迭代过程，收敛，则称迭代过程在附近局部收敛．定理1：设，在的某个邻域内连续，并且，，则对任何，由迭代决定的序列收敛于．定理2：条件同定理 1，则定理3：已知方程，且(1) 对任意的，有．(2) 对任意的，有，则对任意的，迭代生成的序列收敛于的根，且．以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难，实用时常用以下不严格的标准：当根区间较小，且对某一，明显小于1时，则迭代收敛(参见附录3)．2) 迭代法的加速：a) 松弛法：若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速．迭代方程是：其中，令，试确定：当时，有，即当，时，可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：，松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．b) Altken方法：松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：，是它的根，是其近似根．设，，因为，用差商近似代替，有，解出，得由此得出公式；；，这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法）1) 牛顿法的基本思想：是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．记：是一次多项式，用作为的近似方程．的解为记为，一般地，记即为牛顿法公式.2) 牛顿法的收敛速度：对牛顿法，迭代形式为：注意分子上的，所以当时，，牛顿法至少是二阶收敛的，而在重根附近，牛顿法是线性收敛的．牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值要求较严，要求相当接近真值．因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度．4. 求方程根(解)的其它方法(1) solve('x^3-3*x+1=0')(2) roots([1 0 -3 1])(3) fzero('x^3-3*x+1', -2)(4) fzero('x^3-3*x+1',(5) fzero('x^3-3*x+1',(6) linsolve([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0], [1, 2, 3]')体会一下，(2)(5) 用了上述 1 3 中的哪一种方法以下是本实验中的几个具体的实验，详细的程序清单参见附录．具体实验1：对分法先作图观察方程：的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．输入以下命令，可得的图象：f='x^3-3*x+1';g='0';ezplot(f, [-4, 4]);hold on;ezplot(g, [-4, 4]); %目的是画出直线 y=0，即 x 轴grid on;axis([-4 4 -5 5]);hold off请填写下表：实根的分布区间该区间上根的近似值在某区间上求根的近似值的对分法程序参见附录1．具体实验2：普通迭代法采用迭代过程：求方程在附近的根，精确到第 4 位小数．构造等价方程：用迭代公式：，用 Matlab 编写的程序参见附录2．请利用上述程序填写下表：分析：将附录2第4行中的分别改为以及，问运行的结果是什么你能分析得到其中的原因吗看看下面的“具体实验3”是想向你表达一个什么意思．用 Matlab 编写的程序参见附录3．具体实验3：收敛/发散判断设方程的三个根近似地取，和，这些近似值可以用上面的对分法求得．迭代形式一：收敛 (很可能收敛，下同)不收敛 (很可能不收敛，下同)不收敛迭代形式二：收敛不收敛不收敛迭代形式三：不收敛收敛收敛具体实验4：迭代法的加速1——松弛迭代法，，迭代公式为程序参见附录4．具体实验5：迭代法的加速2——Altken迭代法迭代公式为：，，程序参见附录5．具体实验6：牛顿法用牛顿法计算方程在-2到2之间的三个根．提示：，迭代公式：程序参见附录6 （牛顿法程序）．具体实验7：其他方法求下列代数方程（组）的解：（1）命令：solve('x^5-x+1=0')（2）命令：[x, y]=solve('2*x+3*y=0', '4*x^2+3*y=1')(3) 求线性方程组的解，已知，命令：for i=1:5for j=1:5m(i, j)=i+j-1;endendm(5, 5)=0;b=[1:5]'linsolve(m, b)思考：若，或是类似的但阶数更大的稀疏方阵，则应如何得到四、自己动手1．对分法可以用来求偶重根附近的近似解吗为什么2．对照具体实验2、4、5，你可以得出什么结论3．选择适当的迭代过程，分别使用：（1）普通迭代法；（2）与之相应的松弛迭代法和 Altken 迭代法．求解方程在附近的根，精确到4位小数，请注意迭代次数的变化．4．分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程的正的近似根，．(建议取．时间许可的话，可进一步考虑的情况．)上一页回目录下一页。

竭诚为您提供优质文档/双击可除dem实验报告篇一：Dem实验《gIs原理与应用》实验报告课程代码(0341552)姓名xxx学号xxx指导教师xxx目录实验一................................................. ..4第一部分实验目的 (4)1.1实验背景.................................................41.2通过本次实习需要掌握的内容 (4)1.3实习的具体内容 (4)第二部分实验流程 (5)2.1实验工具................................................. (5)2.11实习环境 (5)2.2实验内容 (5)第三部分实验总结 (9)3.1实验完成任务 (9)3.2实验小结 (1)5实验二................................................. .17第一部分实验目的 (17)1.1实验背景 (1)71.2通过本次实习需要掌握的内容 (19)1.3实习的具体内容 (19)第二部分实验流程 (19)2.1实验工具 (1)92.2实验内容 (1)9第三部分实验总结 (21)3.1实验完成任务 (21)3.2实验小结 (2)7实验三................................................. .28第一部分实验目的 (28)1.1实验背景 (2)8第二部分实验流程 (29)2.1实验工具 (2)92.2实验内容 (2)9第三部分实验总结 (31)3.1实验完成任务 (31)3.2实验小结 (3)4实验四................................................. .35第一部分实验目的 (35)1.1实验背景 (3)51.2通过本次实习需要掌握的内容 (35)1.3实习的具体内容 (35)第二部分实验流程 (35)2.1实验工具 (3)5(:dem实验报告)2.2实验内容 (3)6第三部分实验总结 (38)3.1实验完成任务 (38)3.2实验小结 (4)1实验五................................................. .42第一部分实验目的 (42)1.1实验背景 (4)21.2通过本次实习需要掌握的内容 (42)1.3实习的具体内容 (42)第二部分实验流程 (43)2.1实验工具 (4)32.2实验内容 (4)3第三部分实验总结 (44)3.1实验完成任务 (44)3.2实验小结 (4)7实验一—地形指标的提取第一部分实验目的1.1实验背景地形指标是最基本的自然地理要素，也是对人类的生产和生活影响最大的自然要素。

《机械CAD/CAM》实验指导书机电教研室2012-08《机械CAD/CAM》实验指导书使用说明《机械CAD/CAM》实验指导书适用于机械设计制造及其自动化本科专业和机械设计及制造专科等专业，共有验证型实验0个、综合型实验6个、设计型实验0个。

其中：机械设计制造及其自动化专业实验10 学时，实验/理论学时比为10:26 ，包括＿MasterCAM二维线框建模实验和MasterCAM曲面建模实验等6 个实验项目；机械设计及制造专业实验10 学时，实验/理论学时比为10:26 ，包括MasterCAM二维线框建模实验和MasterCAM曲面建模实验等 6 个实验项目。

本实验现有主要实验设备台（套），每轮实验安排学生人，每组人，每轮实验需要安排实验指导教师1 人。

本实验通过在计算中心上机完成。

实验指导书执笔人：孙磊实验指导书审核人：实验一：MasterCAM二维线框建模实验实验学时：2实验类型：（验证型、综合型、设计型）实验要求：（必修、选修）一、实验目的熟悉MasterCAM工作环境，通过运用MasterCAM基本绘图工具、基本图形编辑、图形转换和图形标注绘制二维图形来掌握线框建模的建模方法。

二、实验仪器与设备1、图形工作站（计算机）；2、MasterCAM软件。

三、实验原理及主要知识点MasterCAM二维绘图主要包括二个方面的内容：构建一般图形功能、构建特殊图形功能。

其中构建一般图形功能，主要有画点、画直线、画圆弧、倒圆角和倒角、画样条曲线、画矩形、画多边形、画椭圆。

构建特殊图形功能，主要有绘制盘旋线、绘制螺旋线、绘制文字、尺寸标注、画边界盒、2D轮廓、画楼梯图形、画门状图形。

四、实验步骤绘制花键零件截面图形：图1-1 二维线框建模图五、实验结果与分析利用分析图素属性对结果进行分析六、实验思考题及实验报告要求1、思考题（1）目前线框建模应用在那些领域？（2）线框建模的优点和缺点？2、实验报告要求（1）实验名称（2）实验目的（3）实验内容（4）实验设备（5）实验原理（6）图形绘制的主要步骤、建模完成的图形（可截图或打印成*.PDF或*.tif）（7）思考题实验二：MasterCAM曲面建模实验实验学时：2实验类型：（验证型、综合型、设计型）实验要求：（必修、选修）一、实验目的通过运用MasterCAM曲面绘图工具、曲面图形编辑、图形转换绘制曲面图形来掌握曲面建模的建模方法。

数学实验报告日期:班级姓名学号实验空间曲面的可视化名称问题背景描述：可视化可将形形色色的方程转换成几何，更能让读者直观的看出其表达的计算，方便了科学研究与数学发展，简化了复杂的空间问题。

实验目的：熟悉Matlab三维曲面绘图命令mesh（）以及高等绘图命令，了解多个图形窗口操作方、掌握矩形区域上二元函数图形绘制方法和圆域上二元函数图形绘制方法。

研究马鞍面的数学特点和性质。

实验原理与数学模型：马鞍面的数学方程式为：z=x2-y2(x,y)∈D.当函数定义域D是矩形区域时，通过以下三步绘图：1、使用命令meshgrid()生产自变量的网格点；2、根据二元函数表达式计算网格点处的函数值；3、利用Matlab绘曲面命令mesh()绘图。

当函数定义域是圆域是，先创建圆域上网格点，然后通过极坐标变换计算将其转换为直角坐标绘图。

马鞍面的数学方程的另一种形式是z=xy (x,y)∈D.实验所用软件及版本：MA TLAB2014a主要内容(要点)：绘制马鞍面实验过程记录(含基本步骤、主要程序、结果以及异常情况记录)：>> x1=linspace(-40,20,40);>> y1=linspace(-40,20,40);>> [xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);>> zz1=xx1.*yy1;>> f2=surf(xx1,yy1,zz1);>> title('马鞍面');>> legend(f2,'z=x^2-y^2','Location','NorthWest')>> xlabel('x轴')>> ylabel('y轴')>> zlabel('z轴')>> axis([-40 20 -40 20 -1000 1500])>> grid on实验结果报告与实验总结：鞍点不是极值点：以模型z=x2-y2为例，级二阶导数为：A=Zxx =2，B=Zxy=0，C=Zyy=-2.由于满足条件AC-B2<0,所以区域D中包括鞍点在内的任何点都不是极值点。

马鞍面件柔性夹钳多点拉形实验与数值模拟彭赫力;刘纯国;李明哲【摘要】为了扩展柔性夹钳在板材多点拉形中的应用,对马鞍面件进行了柔性夹钳多点拉形实验.实验结果显示,工件被夹持边缘且呈曲线性,验证了柔性夹持技术的可行性.通过标记圆法测量了各标记圆拉形前后的厚度和长度方向的直径；对马鞍面件柔性夹钳多点拉形过程进行数值模拟,通过模拟结果发现离散夹钳实现了柔性夹持,并且成形件的应力、拉伸应变和厚度分布均匀.实验值和模拟值的对比结果表明,各标记圆长度的拉伸率分布趋势一致,最大偏差为0.21％,而且各标记圆厚度减薄率的分布趋势也基本一致,最大减薄量偏差为0.02 mm,从而验证了数值模拟的正确性和柔性夹钳拉形机的实用性.%Flexible clamp stretch forming experiment of saddle part was conducted to widen the applications of flexible clamp to multi-point stretch forming. The edge line of formed part gets curved, which verifies the feasibility of flexible clamping technology. The thickness and diameter along the length direction of marked circles are calculated. The multi-point stretch forming process of saddle part with flexible clamp is simulated, the numerical results show that the discrete clamp is able to realize the goal of flexible clamping, and the stress, stretching strain and thickness of saddle part are uniformly distributed. A comparison between the experimental and numerical results shows that the length stretching ratios of all marked circles trend to distribute similarly, the maximum deviation is 0. 21%) the thickness thinning ratios of all marked circles do so, and the maximum deviation of thickness thinning value is 0. 02 mm.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2012(046)005【总页数】5页(P109-113)【关键词】柔性夹钳;多点拉形;拉伸率;减薄率【作者】彭赫力;刘纯国;李明哲【作者单位】吉林大学无模成形技术中心 130025 长春;吉林大学无模成形技术中心 130025 长春;吉林大学无模成形技术中心 130025 长春【正文语种】中文【中图分类】TG306多点成形［1-2］是一种金属板材三维柔性成形技术，其基本思想是将传统的整体模具离散成一系列排列规则、高度可调的基本体，通过控制基本体高度来形成不同的三维曲面，实现快速、无模、数字化成形.多点拉形［3-6］是在多点成形基础上发展起来的一种新的板料成形技术，多点模具的使用显著减少了模具设计、制造、调试、修复等过程消耗的费用和时间，缩短了新产品的开发周期.随着工业水平的不断提高，对三维曲面件的需求越来越多，曲面形状越来越复杂，对成形质量和生产效率的要求也越来越高.现有拉形机在成形横向曲率较大的工件时不易贴模、出现起皱和拉裂、材料利用率低，而且控制系统复杂、设备价格昂贵［7-8］，为了解决这些缺点，本文研制了多夹钳式柔性拉伸成形设备［9］，实现了多个夹钳的柔性自协调运动，显著提高了成形质量和材料的利用率.本文利用已开发的柔性夹钳拉形机对马鞍面件进行了拉形实验，利用有限元分析软件对拉形过程进行了数值模拟，然后对比分析了模拟和实验结果.1 柔性夹钳拉形机本文针对双曲率工件成形难的问题开发了柔性夹钳拉形机，结构如图1所示.该拉形机主要由离散化的夹钳、万向节和液压缸组成，主要特点是：①传统的整体刚性夹钳被柔性离散夹钳代替，每个离散的独立夹钳通过万向节与一组液压缸连接，拉形过程中，夹钳可以根据模具的形面形状绕万向节自由转动，从而实现了加载和变形的互协调；②每组液压缸由水平缸、垂直缸和倾斜缸组成，这样可以更好地适应不同模具型面的成形，例如，当模具成形面纵向曲率较大时，主要由垂直缸和倾斜缸提供拉形力，当模具成形面纵向曲率较小时，则主要由水平缸和倾斜缸提供拉形力；③柔性夹钳拉形机成功利用了多缸液压系统的帕斯卡定理，以及材料的加工硬化特性和最小阻力定律，例如，当马鞍面件拉形开始时，板料的4个直角部分最先与模具接触，端部夹钳受到模具的反作用力最大，随着变形的进行，最先变形的部分因材料的加工硬化而变形缓慢，其他部分在夹钳顺应模具曲面发生旋转时实现变形，使工件容易贴模，从而提高了拉形件的质量.图1 柔性夹钳拉形机结构图2 成形实验马鞍面件拉伸成形的实验设备为柔性夹钳拉形机（见图2），该拉形机的最大拉形力为200t，工作行程为400mm，左右各10个离散夹钳.拉形模具为多点模具，其型面尺寸为1200mm×1200mm，冲头个数为30×30，单个冲头球面半径为30mm，方体截面尺寸为40mm×40mm，最大行程为400mm.图2 基于多点模具的柔性夹钳拉形装置图3为实验工装图，图中的夹钳呈曲线状，说明在马鞍面件的拉形过程中夹钳发生了转动，实现了柔性夹持的目标，获得了成形质量较好的工件，如图4所示.拉伸应变和厚度测量采用标记圆法，根据标记圆拉形前后长度方向的直径来计算拉伸应变，根据标记圆拉形前后的厚度计算减薄量.为了方便实验测量，实验前在板料上标记各标记圆的顺序和位置，并测量各标记圆圆心距工件对称中心的距离，如图5所示.图3 马鞍面件柔性夹钳多点拉形实验工装图图4 马鞍面件实验照片图5 标记圆的位置利用超声波测厚仪、游标卡尺对标记圆区域拉伸前后的厚度、沿拉伸方向的长度进行测量，拉伸前后的马鞍面件标记圆的厚度δ和拉伸方向的长度l的测量数据见表1.表1 标记圆厚度与拉伸方向的长度标记圆δ／mm拉形前拉形后l／mm拉形前拉形后1 3.90 3.84 100.38 102.75 2 3.91 3.86 100.37 101.99 3 3.91 3.86 100.36 102.02 4 3.89 3.83 100.47 102.94 5 3.89 3.84 100.25 101.97 63.88 3.85 100.24 101.58 7 3.90 3.86 100.31 101.82 8 3.91 3.86 100.27 102.073 数值模拟3.1 有限元模型本文采用有限元分析软件ABAQUS对马鞍面件柔性夹钳多点拉形的过程进行数值模拟.模拟用板材料为铝合金5083P-O，尺寸为1800mm×1200mm×3.9mm，密度为2780kg／m3，弹性模量为66.57GPa，泊松比为0.33，屈服强度为145MPa，应力σ-应变ε曲线如图6所示.采用Mooney-Rivlin弹性模型［10］，弹性垫材料为聚氨酯（1 300mm×1200mm×20mm），多点模尺寸为1200mm×1200mm，冲头个数为30×30，单个冲头球面半径为30mm，方体截面尺寸为40mm×40mm，仅对与工件接触的基本体球冠表面部分建模.柔性夹钳的夹料块尺寸为100m m×110mm，为降低建模难度，夹钳仅保留与板料接触的表面，并简化为刚体.图6 5083P-O铝合金板的实际应力-应变曲线目标马鞍面件的双向半径分别为2500mm和4000mm，数值模拟时，考虑到马鞍面件的对称性，为了节约计算时间，只建立1／4有限元模型（见图7），模型由多点模、弹性垫、板料和夹钳4部分组成.多点模和夹钳采用四节点三维四边形刚体单元R3D4来划分网格，弹性垫采用8节点6面体减缩积分实体单元C3D8R 来划分网格，板料采用四边形壳单元S4R来划分网格.多点模、弹性垫、板料和夹钳之间的接触类型为面面接触，弹性垫与多点冲头、弹性垫与板材之间的摩擦系数为0.1，板材与夹钳之间的摩擦系数为0.5，采用位移加载方式，虚拟拉形速度为0.1m／s.图7 柔性夹钳多点拉形有限元模型及模型平面3.2 数值模拟结果图8为马鞍面件柔性夹钳多点拉形应力、拉伸应变和厚度的分布云图，由图8可知，马鞍面件成形区应力的最大值为265MPa，最小值为202.3MPa；成形区拉伸应变εy的最大值为3.332%，最小值为0.99%；成形区厚度的最大值为3.879mm，最小值为3.830mm.在柔性夹钳多点拉形方式下，马鞍面件成形区的应力、拉伸应变和厚度分布均匀，工件被夹钳夹持边缘呈曲线状，夹钳在成形过程中发生了转动，因此实现了柔性夹持的目标.由于文中结果是基于1／4模型的模拟，因此标记圆1与4、2与3、5与8、6与7的数值相同.标记圆1、2、5、6的拉伸应变和厚度的数值模拟结果如表2所示. 表2 标记圆拉伸应变及厚度的数值模拟结果标记圆1 2 5 6 εy／% 2.25 1.52 1.64 1.42 δ／mm 3.86 3.87 3.87 3.87图8 马鞍面件的数值模拟结果4 成形实验与数值模拟的对比分析图9为柔性夹钳多点拉形实验和数值模拟得到的8个标记圆的拉伸应变曲线.由图9可知，实验结果与数值结果趋势基本一致，实验结果普遍大于数值结果，数值模拟和拉形实验的拉伸应变最大值与最大偏差都位于标记圆4，其最大值分别为2.25%和2.46%，实验和数值模拟的最大偏差为0.21%.由于模拟条件比实际拉形条件理想化，例如摩擦条件、板材性能批次差异等，因此这些因素都可能引起数值结果与实验结果的偏差.图10为柔性夹钳多点拉形实验和由数值模拟得到的8个标记圆的板厚减薄率δb曲线.由图10可知，整体上拉形实验得到的板厚减薄率大于数值模拟得到的板厚减薄率，拉形实验的板厚最大减薄率为1.54%，数值模拟的板厚最大减薄率为1.03%，二者的偏差为0.51%，板厚减薄率差值换算成板厚减薄量的差值为0.02mm，但都属于超声波测厚仪的合理误差范围.根据拉伸应变越大厚度就越小，即减薄率越大的特性，可知板厚减薄率曲线与拉伸应变曲线的趋势相一致.图9 各标记圆的拉伸应变曲线图10 各标记圆的板厚减薄率曲线5 结论（1）马鞍面件柔性夹钳的多点拉形实验结果表明，柔性夹钳拉伸成形机的离散夹钳在拉形时可以随模具形状进行自动调节，从而满足了夹钳柔性化的设计要求.成形件各标记圆的拉伸应变和厚度测量数据表明，马鞍面件应变和厚度分布都呈均匀性.（2）通过对马鞍面件柔性夹钳的多点拉形进行数值模拟可知，有限元模拟准确地再现了拉形时柔性夹钳的自协调现象，且马鞍面件有效成形区的应力、拉伸应变和厚度分布均匀.（3）马鞍面件柔性夹钳的多点拉形实验结果和数值模拟结果表明，在合理的偏差及测量误差范围内，实验结果与数值模拟结果吻合得较好，从而验证了马鞍面件柔性夹钳的多点拉形数值模拟的正确性，同时也体现了柔性夹钳拉形机的实用性.【相关文献】［1］李明哲，中村敬一.基本的な成形原理の检讨：板材多点成形法の研究第1報［C］∥平成4年度日本塑性加工春季講演会.横浜，日本：日本塑性加工协会，1992：519-522.［2］ LI M Z，CAI Z Y，SUI Z，et al.Multi-point forming technology for sheet metal ［J］.Journal of Materials Processing Technology，2002，129（1／2／3）：333-358. ［3］周朝晖，蔡中义，李明哲.多点模具的拉形工艺和数值模拟［J］.吉林大学学报：工学版，2005，35（2）：287-291.ZHOU Zhaohui，CAI Zhongyi，LI Mingzhe.Stretching process based on multi-point die and its numerical simulation［J］.Journal of Jilin University：Engineering and Technology Edition，2005，35（2）：287-291.［4］ CAI Zhongyi，WANG Shaohui，XU Xudong，et al.Numerical simulation for themulti-point stretch forming process of sheet metal［J］.Journal of Materials Processing Technology，2009，209（1）：396-407.［5］ WANG 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绘制xx面和平面截割平面clc,clear,close allclf, a=-20;eps0=1;[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10);%生成平面网格v=[-10 10 -10 10 -100 100];%设定空间坐标系的范围% colormap(gray)%将当前的颜色设置为灰色z1=(x.^2-2*y.^2)+eps;%计算马鞍面函数z1=z1(x,y)z2=a*ones(size(x));%计算平面z2=z2(x,y)r0=abs(z1-z2)<=eps0;%计算一个和z1同维的函数r0,当abs(z1-z2)<=eps时r0 =1；当abs(z1-z2)>eps0时，r0 =0。

%可用mesh(x,y,r0)语句观察它的图形，体会它的作用，该方法可以套用。

zz=r0.*z2;xx=r0.*x;yy=r0.*y;subplot(2,2,2),%计算截割的双曲线及其对应的坐标%在第2图形窗口绘制双曲线h1=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'+');set(h1,'markersize',2),hold on,axis(v),grid onsubplot(2,2,1),mesh(x,y,z1);grid,%在第一图形窗口绘制马鞍面和平面hold on;mesh(x,y,z2);h2=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'.');set(h2,'markersize',6),hold on,axis(v),for i=1:5%通过循环绘制一系列的平面去截割马鞍面%在这里改变截割平面%画出二者的交线a=70-i*30; z2=a*ones(size(x));r0=abs(z1-z2)<=1;zz=r0.*z2;yy=r0.*y;xx=r0.*x;subplot(2,2,3),mesh(x,y,z1);grid,hold on;mesh(x,y,z2);hidden offh2=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'.');axis(v),gridsubplot(2,2,4),h4=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'o');set(h4,'markersize',2),hold on,axis(v),grid onend。