课题十：二倍角公式的应用，推导万能公式
教学第一环节：衔接阶段
回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。
了解家长的反馈意见
通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪
了解学生上次学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据 教学第二个环节：教学内容
一、解答本章开头的问题：
令AOB = , 则AB = a cos OA = a sin ∴S 矩形ABCD = a cos ×2a sin = a 2sin2
≤a 2 当且仅当 sin2 = 1， 即2 = 90， = 45时, 等号成立。 此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2
2 二、半角公式：在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的
例一、求证：α
+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1在 α-=α2sin 212cos 中，以代2，2
α代 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2
cos 12sin 2α-=α 2在 1cos 22cos 2-α=α 中，以代2，2
α代 即得： 12
cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3以上结果相除得：α
+α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1左边是平方形式，只要知道2
α角终边所在象限，就可以开平方。 2公式的“本质”是用角的余弦表示2
α角的正弦、余弦、正切 3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin
4
还有一个有用的公式：α
α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证）
三、万能公式 B C a A O D
例二、求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：12
tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 2
22α+α=α+ααα=α=α 22
tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=α=α 32
tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=αα=α 注意：1上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆）
2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
即：)2
(tan αf 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 可以使解题过程简洁
3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 教学第三个环节：知识总结
万能公式：2
tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2
222α-α=αα+α-=αα+α=α 教学第四个环节：知识应用环节
已知5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ，求3cos 2 + 4sin 2 的值。 解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ ∴cos 0 (否则 2 = 5 ) ∴53tan 1tan 2-=-θ+θ 解之得：tan = 2 ∴原式572
122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(3222222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 教学第五个环节：布置作业
1、若、、为锐角，求证： + + = 4
π 2、求函数x x x f sin cos )(2+=在]4,4[ππ-上的最小值。
