微元法及定积分的几何应用

教案教学目的与要求：1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想；2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题；3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想教学内容与教学组织设计（45分钟）：第6.5节：定积分的几何应用1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟定积分的概念⎰badx x f )(01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑.教学安排 课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源多媒体、板书授课题目（章、节） 第6.5节：定积分的几何应用通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤: (1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；(2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值：()U f x dx ∆≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 )则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =；(3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()baU f x dx =⎰.这个方法叫做微元法。

微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。

3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟类型一：D1型区域 （教师主导并详细讲解）如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴所围成的曲边梯形面积A. 讲解：（板书）(1) 选变量：选x 为积分变量(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1 (3) 列积分：()baA f x dx =⎰练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解）如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。

第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。

3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。

现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。

复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。

设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 A i 的 近 似 值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、 取近似、求和、取极限”即: 1、分割 将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限 取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。

二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线 伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。

定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 什么是定积分中微元法及其应用研究定积分中微元法是微积分学中的重要概念，它通过将被积函数分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整个函数的定积分值。

微元法在定积分中的应用非常广泛，可以解决各种形式的积分计算问题，同时也可以帮助我们更好地理解积分的几何意义。

微元法在实际问题中的应用也非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有重要的应用价值。

通过微元法，我们可以更准确地描述和分析各种现实问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。

虽然微元法在定积分中有着重要的作用，但它也存在一定的局限性，例如在处理复杂函数或高维度的积分问题时会比较困难。

我们在使用微元法时需要结合具体情况，选择合适的方法和技巧来求解问题。

定积分中微元法是微积分学中的重要工具，它不仅可以简化积分计算的过程，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。

在未来的研究中，我们可以进一步探讨微元法在更复杂问题中的应用，以及不同类型积分的求解方法，从而拓展微元法在定积分中的应用范围。

2. 正文2.1 定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，是对曲线下面积的一种计算方法。

在定积分中，我们将给定的区间分成许多小区间，并在每个小区间内取一个点，然后求出这些小区间上的面积之和，最后取极限得到整个区间的面积。

在进行定积分运算时，我们通常利用微元法来计算。

微元法是一种运用微小部分求和的方法，将函数进行分割，然后在每个微小的部分上进行计算，最后将所有微小部分相加得到整体的结果。

在定积分中，微元法能够帮助我们将曲线下的面积分解成无穷个微小的长方形或梯形，进而求得整个区间的面积。

需要注意的是，定积分的基本概念中还包括对积分上下限的理解和确定，以及对被积函数的理解和计算。

通过对定积分的基本概念的理解和掌握，我们可以更好地应用微元法进行定积分的计算，并进一步应用到实际问题的求解中。

2.2 微元法在定积分中的应用微元法在定积分中的应用是定积分中非常重要和常见的方法之一。

定积分中微元法及其应用研究定积分是微积分学中的重要内容，而微元法是研究定积分的一种求解方法。

微元法也称为微分法，其基本思想是将被积函数进行分割，然后对每个小区间进行近似计算，再将所有小区间的结果求和，最终得到定积分的结果。

微元法在定积分的求解中起到了至关重要的作用。

通过将函数进行分割，我们可以将被积函数在每个小区间上近似看作是常数函数，这样就可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题。

通过逐步累加每个小区间的结果，最终得到的就是原函数在整个区间上的定积分。

微元法的应用非常广泛，其中最经典的应用之一是求曲线下的面积。

通过将曲线进行分割，我们可以得到多个矩形的面积，再将这些矩形的面积求和，最终得到的结果就是曲线下的面积。

这个应用非常有实际意义，例如在物理学中，可以用微元法求解物体的质量、压力等物理量。

另一个常见的应用是求弧长。

通过将曲线进行分割，我们可以得到多个小线段，再求出每个小线段的长度，最终将这些长度求和，就可以得到整个曲线的弧长。

这个应用在几何学中常见，可以用来求解曲线的长度、曲率等问题。

微元法还可以用来求解旋转体体积和曲面旋转体积。

通过将旋转体或曲面进行分割，我们可以得到多个圆柱体或圆锥体的体积，再将这些体积求和，最终得到整个旋转体或曲面旋转体的体积。

这个应用在几何学和物理学中非常常见。

微元法是定积分中一种重要的求解方法，其应用非常广泛。

通过将函数进行分割，我们可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题，从而求解各种与曲线、曲面相关的物理量。

微元法在实际应用中具有重要的意义，为数学建模和实际问题的求解提供了有力的数学工具。

定积分中微元法及其应用研究定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学理论中有着广泛的应用。

微元法是定积分的核心思想之一，通过微元法可以对不定积分进行求解，从而解决各种实际问题。

本文将围绕定积分中的微元法及其应用展开研究，深入探讨其原理和应用方法，并结合实际案例进行分析，以期更好地理解和掌握这一重要数学概念。

一、定积分和微元法的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下的面积、物体的体积、质心、转动惯量等。

在数学上，定积分的概念最早由牛顿和莱布尼兹提出，并在此后得到了深入的发展。

在实际应用中，定积分可以用来解决各种问题，比如求解曲线下的面积、求解物体的质心、求解转动惯量等。

微元法是定积分的核心方法之一，其基本思想是将被积函数分成一系列微小的部分，然后对这些微小部分进行求和，从而得到整体的结果。

具体来说，微元法可以将被积函数看成是一系列微小矩形的面积之和，然后通过对这些微小矩形的面积进行求和，最终得到整体的结果。

微元法的核心思想是将整体问题进行分解，然后用微积分的方法进行求解，从而得到准确的结果。

二、微元法在定积分中的应用微元法还可以用来求解转动惯量和其他相关的物理量。

在这种情况下，可以将物体分成许多微小的部分，然后对这些微小部分进行求和，从而得到整体的结果。

具体来说，可以将物体分成许多微小的质量元，然后对这些微小的质量元进行求和，最终得到整体的结果。

通过微元法可以很方便地解决转动惯量和其他相关的物理量问题。

在实际问题中，微元法可以用来解决各种问题，下面通过一个具体的案例来分析微元法的应用。

案例：求解曲线y=x^2在区间[0,1]上的面积。

假设将曲线分成n个微小的矩形，每个矩形的宽度为Δx，高度为f(xi)，其中xi是该矩形的横坐标。

则该矩形的面积为f(xi)Δx。

将所有矩形的面积进行求和，即可得到整体的面积。

根据微元法的原理，可以得到整体的面积为lim(n→∞)Σf(xi)Δx，其中Δx→0。