2018年上海市春考数学试卷(含答案)

2018年上海高考春考卷（精确回忆版）（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共7题，每题4分，满分28分）1. （）（4分）2. （）（4分）3. （）（4分）4. （）（4分）5. （）（4分）6. （）（4分）7. （）（4分）二、填空题（共7题，每题4分，满分28分）1. （）（4分）2. （）（4分）3. （）（4分）4. （）（4分）5. （）（4分）6. （）（4分）7. （）（4分）三、解答题（共3题，每题10分，满分30分）1. （10分）2. （10分）3. （10分）四、分析题（共2题，每题10分，满分20分）1. （10分）2. （10分）五、论述题（共1题，满分14分）1. （14分）一、选择题A. 力是改变物体运动状态的原因B. 物体在没有外力作用下，总保持静止或匀速直线运动状态C. 两个物体之间的作用力和反作用力大小相等，方向相反D. 物体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积A. 氧B. 氢C. 钠D. 硫A. 温故知新B. 不耻下问C. 三思而行D. 一日千里A. 美国B. 德国C. 日本D. 中国A. 北京B. 上海C. 广州D. 深圳A. 秦朝B. 汉朝C. 唐朝D. 宋朝A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 波尔D. 海森堡二、填空题1. 一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的解为 x1 = ______，x2 = ______。

2. 我国第一部纪传体通史是《______》。

3. 在化学反应中，______是指物质在反应过程中失去电子。

4. 地球自转的方向是______。

5. “民为贵，社稷次之，君为轻”出自______。

6. 人体内最大的消化腺是______。

7. 我国四大发明包括：______、______、______、______。

三、解答题2. 请简述三国演义中赤壁之战的主要过程。

3. 请解释光合作用的过程及其意义。

四、分析题1. 请分析我国近年来经济发展迅速的原因。

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+__________． 3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为 __________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11A C 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________． 10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x = 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________． 12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度 从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ）（A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x -= （D ）3y x = 14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC异面的直线条数为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）（A ）36 （B ）60 （C ）81 （D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标； （2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2图320．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a >，函数1()12x f x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m n m n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。

2018年上海卷春季高考真题数学试卷-学生用卷一、填空题（1~6每小题4分，7~12每小题5分，共54分）1、【来源】 2018~2019学年10月上海闵行区上海市七宝中学高一上学期月考第1题2018年1月高考真题上海卷第1题4分不等式|x|>1的解集为．2、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第2题4分计算：limn→∞3n−1n+2=．3、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第3题4分设集合A={x|0<x<2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=．4、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第4题4分若复数z=1+i（i是虚数单位），则z+2z=．5、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第5题4分已知{a n}是等差数列，若a2+a8=10，则a3+a5+a7=．6、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第6题4分已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(−1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹方程为．7、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第7题5分如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5，O是A1C1的中点，则三棱锥A−A1OB1的体积为．8、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第8题5分某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为．9、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第9题5分设a∈R，若(x2+2x )9与(x+ax2)9的二项展开式中的常数项相等，则a=．10、【来源】 2020~2021学年上海徐汇区高一下学期期末第9题2018年1月高考真题上海卷第10题5分设m∈R，若z是关于x的方程x2+mx+m2−1=0的一个虚根，则|z|的取值范围是．11、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第11题5分设a>0，函数f(x)=x+2(1−x)sin⁡(ax)，x∈(0,1)，若函数y=2x−1与y=f(x)的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是．12、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第12题5分2019~2020学年12月上海闵行区上海市七宝中学高二上学期月考第12题5分如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中．已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为秒．（精确到0.1）二、选择题（每小题5分，共20分）13、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第13题5分下列函数中，为偶函数的是（）．A. y=x−2B. y=x13C. y=x−12D. y=x314、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第14题5分2019~2020学年广东深圳罗湖区深圳市美术学校高一下学期开学考试第7题5分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线条数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 415、【来源】 2018~2019学年10月上海宝山区上海市吴淞中学高三上学期月考第15题5分 2018年1月高考真题上海卷第15题5分记S n 为数列{a n }的前n 项和．“{a n }是递增数列”是“{S n }为递增数列”的（ ）．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第16题5分已知A 、B 为平面上的两个定点，且|AB →|=2．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足|AP →|⩽5，AP →⋅AB →=6，AQ →=−2AP →，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）．A. 36B. 60C. 81D. 108三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题16分，第21题18分）17、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第17题14分2017~2018学年上海嘉定区高一下学期期末第18题8分已知y =cos⁡x ．(1) 若f(α)=13，且α∈[0,π]，求f(α−π3)的值． (2) 求函数y =f(2x)−2f(x)的最小值．18、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第18题14分已知a ∈R ，双曲线Γ:x 2a 2−y 2=1．(1) 若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标．(2) 若a=1，直线y=kx+1与Γ相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值．19、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第19题14分利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB=3米，OC=4.5米．(1) 求抛物线的焦点到准线的距离．(2) 在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．20、【来源】 2020~2021学年上海杨浦区上海复旦大学附属中学高一上学期期末第20题16分2018年1月高考真题上海卷第20题16分设a>0，函数f(x)=11+a⋅2x．(1) 若a=1，求f(x)的反函数f−1(x)．(2) 求函数y=f(x)⋅f(−x)的最大值（用a表示）．(3) 设g(x)=f(x)−f(x−1)．若对任意x∈(−∞,0]，g(x)⩾g(0)恒成立，求a的取值范围．21、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第21题18分若{c n}是递增数列，数列{a n}满足：对任意n∈N∗，存在m∈N∗，使得a m−c na m−c n+1⩽0，则称{an}是{c n}的“分隔数列”．(1) 设c n=2n，a n=n+1，证明：数列{a n}是{c n}的“分隔数列”．(2) 设c n=n−4，S n是{c n}的前n项和，d n=c3n−2，判断数列{S n}是否是数列{d n}的分隔数列，并说明理由．(3) 设c n=aq n−1，T n是{c n}的前n项和，若数列{T n}是{c n}的分隔数列，求实数a、q的取值范围．1 、【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞);2 、【答案】3;3 、【答案】(0,1);4 、【答案】2;5 、【答案】15;6 、【答案】x24+y23=1;7 、【答案】5;8 、【答案】180;9 、【答案】4;10 、【答案】(√33,+∞) ;11 、【答案】(11π6,19π6];12 、【答案】4.4;13 、【答案】 A;14 、【答案】 C;15 、【答案】 D;16 、【答案】 B;17 、【答案】 (1) 1+2√66．;(2) −32．;18 、【答案】 (1) (±√3,0)．;(2) √5−1．2;19 、【答案】 (1) 1米．4;(2) 9.59°．;(0<x<1)．20 、【答案】 (1) f−1(x)=log21−xx;(2) 1．1+2a+a2;(3) (0,√2]．;21 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 不是，理由见解析．;(3) a>0且q⩾2．;。

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每 题5分）1.不等式 lxl>1的解集为3n -1 2.计算： lim -------- =.n—厂 n 23.设集合 A={xl0cx£2}，B={xl —1cxc1}，则 AC B = .4.若复数2Z =1 • i （ i 是虚数单位），则z ■z5•已知｛a .｝是等差数列，若a 2 a^ 10，则a 3 a s a 7 =6 .已知平面上动点P 到两个定点（1,0）和（-1,0）的距离之和等于 4，则动点P 的轨迹为7•如图，在长方形 ABCD —ABQU 中，AB=3，BC =4，AA =5， O 是 A 1C 1 的中点，则三棱锥A-AOB 1的体积为 ______________10.设m • R ，若z 是关于x 的方程x 2 mx m 20的一个虚根, 是 __________ .11.设 a 0，函数 f (x) =x 2(1 -x)sin( ax)，x (0,1)，若函数 y =2x T 与 y = f (x)四辩.若其中学生{ 229.设 a R ，若 I x< x与X •刍 的二项展开式中的常数项相等, x 2则|z|的取值范围第12题图的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是 ___________ .12•如图，正方形 ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段 AD 、CB 上，若线段PQ 与圆0有公共点，则称点Q 在点P 的盲区”中•已知点P 以1. 5米/秒的速度从 A 出发向D 移动，同时，点 Q 以1米/秒的速 度 从C 出发向B 移动，则在点 P 从A 移动到D 的过程中，点 Q 在点P 的盲区中的时长约为 _____________ 秒（精确到0. 1）15.记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.｛a n ｝是递增数列"是 S 为递增数列"的（）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件T16.已知A 、B 为平面上的两个定点， 且| AB | =2 .该平面上的动线段 PQ 的端点P 、Q ,满足| AP F 5, AP A^ 6, AQ = -2AP ,则动线段PQ 所形成图形的面积为（）(A) 36 (B) 60 (C) 81三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~佃题每题14分，20题16分,21题18分）17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）二、选择题（本大题共有 4题，满分20分，母题5分）13•下列函数中，为偶函数的是（）2(A ) y =x1(B ) y = x 3 1(C ) y=x^3(D ) y =x14•如图，在直三棱柱 ABC-ABG 的棱所在的直线中，与直线 BG异面的直线条数为（ )(A ) 1(B ) 2 (C ) 3(D ) 4(D) 108已知y =cosx .⑴若f(»3，且一[°C，求(巧)的值;(2)求函数y二f (2x)-2f(x)的最小值.18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)2X 2已知a • R，双曲线-I, -讨=1.a(1)若点(2,1)在丨上，求-的焦点坐标；(2)若a =1，直线y =kx • 1与丨相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1, 求实数k 的值.19.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)利用平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥视为圆锥) 在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC_AB于C , AB=3米，0C =4.5米.(1)求抛物线的焦点到准线的距离;圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0. 01°.(2)在图3中，已知0C平行于圆锥的母线SD , AB、DE是圆锥底面的直径，求图3设a -0,函数f(x)二20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)(1) 若a =1，求f (x)的反函数f J (x);(2) 求函数y 二f(x) ・f(-x)的最大值(用a 表示)；(3) 设 g(x) =f (x) -f (x -1).若对任意 x (-：：,0] , g(x)_g(O)恒成立，求 a 的 取值范围.21. (本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分)若｛C n ｝是递增数列，数列｛a n ｝满足：对任意n • N *，存在m • N *，使得 為一 C n< 0 ,am -C n 卅则称｛a n ｝是｛q ｝的分隔数列”(1) 设C n =2n , a n = n ，1，证明：数列 佝｝是G ｝的分隔数列”(2) 设c n = n- 4 , S n 是｛c n ｝的前n 项和，d n =务」,判断数列｛S n ｝是否是数列｛d n ｝ 的分隔数列，并说明理由；n_ ________________________________________(3)设C n =aq , T n 是｛C n ｝的前n 项和，若数列｛人｝是｛q ｝的分隔数列，求实数a 、 q 的取值范围.、填空题；0 :: ax :: a 11 二12. 4.4提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则P(0,1.5t),Q(20, 20-t),0岂t 乞403，化简得(8—t)x —8y+12t=020-020—t —1.5t、选择题16. BP(x, y)的轨迹为线段 x =3,-4乞y 空4 , AP 扫过的三角形面积为12,则利用相似三角形可知AQ 扫过的面积为48，因此和为60参考答案1. (」：，-1)U(1,2. 33.(0,1)4. 25. 156.2 2x y ‘ 1437. 5 8. 180 9. 411.11二 19二提示：2x -1—X = 2(1-x)sin( ax)—1 x -1 二 2(1 -x)sin( ax) = sin(ax)二 27 二 11二 7二11■:11 ■:ax , , 2-, 2二，4二，4 二，||( 6 6 6 6 6 6 x -0y —1.5t 则 I PQ :点0(10,10)到直线PQ 的距离|(8-t)10-80 创胡，化简得 3t 2 愀-128_0 .(8 -1)2 83即于『3，则0十邑旦1=心二J:4.413. A 14. C15. D提示：建系 A(0,0), B(2,0)，则三、解答题32a —,(t =2X (0,1]) 22 a t 3at因为-a<0，所以当X=0,t=1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值,(3)a 0q _2【a A 0 ②当q .1时，G18.(1) (_ .3,0) ； (2)19.(1) 1 1 ; (2) 9.59 420.(1) 1 1 f —(x)Jog ? —.x(0 ::： X ：：： 1) ；( 2)y1 2 ( x = 0时取最值)；1 2a a 2提示：g(X )=1 y 2X「1 a 2X」-a=__X__2a 2 2X X . 3a2X21. (1)证明：存在m = 2n ，此时一 n N ,c n = 2n ：： a m = 2n 1 ：： c n2n 2 证毕(2)不是•反例:n =4时，m 无解;提示：因为｛aq n4｝为递增数列，因此a 0或者…q 10 ：：①当a 0时,0 cq v1~n N *,c n <0，因此 IH ::: T2 ：：：可=q ：：： 9C 3111因此不存在C 2 ^T m ::.C3，不合题意。

2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 方程2lg lg(2)0x x-+=的解集是.2. =++++∞→nnn212lim.3. 若3cos5α=，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则=2tgα.4. 函数2()f x x=-)]2,((-∞-∈x的反函数=-)(1xf.5. 在△ABC中，若90C∠=，4AC BC==，则BA BC⋅=.6. 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是(结果用最简分数表示).7. 双曲线116922=-yx的焦距是.8. 若()()3,2223≥∈+++++=+nnxcxbxaxx nnn且N，且2:3:=ba，则=n.9. 设数列{}n a的前n项和为n S（N∈n）. 关于数列{}n a有下列三个命题：（1）若{}n a既是等差数列又是等比数列，则)(1N∈=+naann；（2）若()R∈+=banbnaSn、2，则{}na是等差数列；（3）若()nnS11--=，则{}n a是等比数列.这些命题中，真命题的序号是.10. 若集合{}R∈==xxxA x,32cos3π，{}R∈==yyyB,12，则BA = .11. 函数xxy arcsinsin+=的值域是.12. 已知函数2()2log x f x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当 |()2005n f a -取得最小值时，n = . 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13. 已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是 （A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥. （C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .[答] ( ) 14. 在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是 （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形.[答] ( ) 15. 若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ” 的（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.[答] ( ) 16. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；（3）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是（A ）0个. （B ）1个. （C ）2个. （D ）3个.[答] ( )三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.已知z 是复数，izi z -+22、均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.[解] 18. (本题满分12分) 已知αtg 是方程01sec 22=++αx x 的两个根中较小的根，求α的值. [解]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60. （1）证明：BC PA ⊥；（2）求底面中心O 到侧面的距离. [证明]（1）[解]（2）某市2018年底有住房面积1200万平方米，计划从2018年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2018年底和2018年底的住房面积 ；（2）求2184年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [解]（1）（2）21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分， 第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知函数xax x f +=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、. （1）求a 的值；（2）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由； （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值. [解]（1） （2） （3）（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+b y a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. [解]（1）[证明]（2）[解]（3）2018年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1. }2,1{-.2. 0.3.21. 4. ]4,(,--∞∈--x x . 5. 16. 6.2601. 7. 65. 8. 11. 9. （1）、（2）、（3）. 10. {}1.11. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--21sin ,21sin ππ. 12. 110二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. [解] 设R)∈+=y x yi x z 、(，i y x i z )2(2++=+ ，由题意得 2-=y . …… 2分i x x i i x i i x i z )4(51)22(51)2)(2(51222-++=+-=--=-由题意得 4=x . …… 6分 ∴ i z 24-=.∵ 2)(ai z +i a a a )2(8)412(2-+-+=， …… 9分根据条件，可知⎩⎨⎧>->-+0)2(804122a a a ，解得 62<<a ，∴ 实数a 的取值范围是)6,2(. …… 12分 18. [解] ∵ αtg 是方程01sec 22=++αx x 的较小根， ∴ 方程的较大根是αctg . ∵ αtg +αctg =αsec 2-，即αααcos 2cos sin 1-= ∴ 21sin -=α. …… 5分 解得 672ππα+=k ，或Z ∈-=k k ,62ππα. …… 8分 当)(672Z ∈+=k k ππα时，αtg 33=，αctg 3=； 当)(62Z ∈-=k k ππα时，αtg 33-=，αctg 3-=，不合题意. ∴ Z ∈+=k k ,672ππα. …… 12分19. [证明]（1）取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . …… 4分 ∴ BC PA ⊥. …… 6分 [解]（2）如图， 由（1）可知平面⊥PBC 平面APD ，则PDA ∠是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，则OE 就是点O 到侧面的距离. …… 9分设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上， ∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.h BC h OD 4,32=∴=, …… 11分∴ 2234)4(43h h S ABC ==∆， ∵ 3233823431372h h h =⋅⋅=，∴ 3=h . 即底面中心O 到侧面的距离为3. …… 14分 20. [解]（1）2018年底的住房面积为124020%)51(1200=-+（万平方米）, 2018年底的住房面积为128220%)51(20%)51(12002=-+-+（万平方米）∴ 2018年底的住房面积为1240万平方米，2018年底的住房面积约为1282万平方米. …… 6分 （2）2184年底的住房面积为20%)51(20%)51(20%)51(20%)51(1200181920-+--+-+-+ …… 10分 64.252205.0105.120%)51(12002020≈-⨯-+=（万平方米）∴ 2184年底的住房面积约为2522.64万平方米. …… 14分 21. [解]（1）∵ 22222)2(+=+=a f ，∴ 2=a . …… 3分 （2）设点P 的坐标为),(00y x ，则有0002x x y +=，00>x ，由点到直线的距离公式可知：0000||,12||||x PN x y x PM ==-=， 故有1||||=⋅PN PM ，即||||PN PM ⋅为定值，这个值为1. …… 9分 （3）由题意可设),(t t M ，可知),0(0y N .∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=⋅PM k ，即100-=--tx ty ，解得 )(2100y x t +=，又0002x x y +=，∴ 0022x x t +=. ∴22212+=∆x S OPM ，222120+=∆x S OPN ， ∴ 212)1(212020+≥++=+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN ， 当且仅当10=x 时，等号成立.∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+. …… 16分22. [解]（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x ，0>>b a ，∴ 422+=b a ，即椭圆的方程为142222=++b y b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴ 124422=++b b ， 解得 42=b 或22-=b （舍），由此得82=a ，即椭圆的标准方程为14822=+y x . …… 5分（2）设直线l 的方程为m kx y +=， …… 6分 与椭圆C 的交点A (11,y x )、B (22,y x )，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x m kx y ， 解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.则 222221212222212,2ka b mb m kx m kx y y k a b kma x x +=+++=++-=+， ∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b km a . …… 11分∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. …… 13分 （3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心. …… 18分。

上海市教育考试院保留版权2018年春考数学第1页（共4页）2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在指定位置．3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．不等式||1x >的解集为．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B = ．4．若复数1i z =+（i 是虚数单位），则2z z +=．5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为．7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4BC =，15AA =，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A A OB -的体积为．8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为．（结果用数值表示）9．设a ∈R ，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =．10．设m ∈R ，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则||z 的取值范围是．2018年春考数学第2页（共4页）11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．下列函数中，为偶函数的是（）．(A)2y x -=(B)13y x =(C)12y x -=(D)3y x =14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（）．(A)1(B)2(C)3(D)415．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（）．(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB = ，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AP AB ⋅= ，2AQ AP =- ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（）．(A)36(B)60(C)72(D)108三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()cos f x x =．(1)若1()3f α=，且[0,π]α∈，求π3f α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．2018年春考数学第3页（共4页）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a ∈R ，双曲线222:1x y aΓ-=．(1)若点(2,1)在上，求Γ的焦点坐标；(2)若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12x f x a =+⋅．(1)若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；(2)求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；(3)设()()(1)g x f x f x =--，若对任意(,0]x ∈-∞，()(0)g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．图1图3图22018年春考数学第4页（共4页）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，存在*m ∈N ，使得10m n m n a c a c +--≤，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．(1)设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；(2)设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；(3)设1n n c aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。

2018年上海市春考数学试卷(含答案)2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式1>x 的解集为______________；2、计算：_________213lim =+-∞→n n n ； 3、设集合{}20<<=x x A ，{}11<<-=x x B ，则________=B A I；4、若复数i z +=1（i 是虚数单位），则______2=+z z ；5、已知{}na 是等差数列，若1082=+a a，则______753=++a a a；6、已知平面上动点P 到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为_________；7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，O是11C A 的中点，则三棱锥11OB A A -的体积为_________；第7题图 第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。

9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫⎝⎛+x x 与92⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；10、设R m ∈，若z 是关于x 的方程0122=-++m mx x 的一个虚根，则-z 的取值范围是________；11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ，若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________；12、如图，在正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）.二．选择题（20分）13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A 2-=x y B 31x y = C 21-=x y D 3x y =14. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ）A 1B 2C 3D 415. 若数列}{na 的前n 项和，“}{na 是递增数列”是“}{nS 是递增数列”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 即不充分也不必要条件16、已知A 、B 是平面内两个定点，且2=→AB ，该平面上的动线段PQ 的两个端点P 、Q 满足：5≤→AP ，6=⋅→→AB AP ，→→-=AP AQ 2，则动线段PQ 所围成的面积为（ ）A 、50B 、60C 、72 D 、108三、解答题（14+14+14+16+18=76分） 17、已知x x f cos )(=（1）.若31)(=αf ，且],0[πα∈，求)3(πα-f 的值； （2）.求函数)(2)2(x f x f y -=的最小值；18、已知R a ∈，双曲线1:222=-Γy ax（1）.若点)1,2(在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）.若1=a ，直线1+=kx y 与Γ相交于B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为1，求k 的值；19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，AB OC ⊥于C ，3=AB 米，5.4=OC 米. （1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到ο01.0）.20.20.设0>a ，函数xa x f 211)(⋅+= （1）.若1=a ，求)(x f 的反函数)(1x f-（2）求函数)()(x f x f y -⋅=的最大值，（用a 表示） （3）设=)(x g )1()(--x f x f ，若对任意)0()(],0,(g x g x ≥-∞∈恒成立，求a的取值范围？21.若}{nc 是递增数列，数列}{na 满足：对任意*,N m R n ∈∃∈，使得01≤--+n mnm c a aa ，则称}{na 是}{nc 的“分隔数列”（1）设1,2+==n a n cn n，证明：数列}{na 是}{nc 的分隔数列；（2）设nnS n c,4-=是}{nc 的前n 项和，23-=n nc d，判断数列}{nS 是否是数列}{nd 的分隔数列，并说明理由； （3）设nn nT aq c,1-=是}{nc 的前n 项和，若数列}{nT 是}{nC 的分隔数列，求实数q a ,的取值范围？2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案：一、填空题：1、()()+∞-∞-,11,Y ；2、3；3、()1,0；4、2；5、15；6、13422=+y x ；7、5；8、180；9、4；10、⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，33；11、⎥⎦⎤⎝⎛619611ππ，；12、4.4； 二、选择题：13、A ；14、C ；15、D ；16、B ； 三、解答题：17、（1）6621+；（2）23-； 18、（1）()()0,30,3-，；（2）215-；19、（1）41；（2）ο59.9； 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x；（2）()()xxxxx a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x，则()111222+++=+++=ata at a t a at t y ，因为0>a ，所以a ta at 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a a t a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ；（3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=x xxx a t a a a a x g ，设tx=2，因为()0,∞-∈x ， 所以()1,0∈t ，则()att a at g 322++-=，若at tt a 222=⇒=，1°当12≥a时，即20≤<a ，a tt a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ，则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意； 2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa tt a y 322322322+=+⋅≥++=，则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2ming a g x g ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，故不符合题意，舍去；综上：(]2,0∈a 。

2018上海春考D的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B 移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为秒（精确到0.1）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A.2y x -= B. 13y x = C. 12y x -= D. 3y x =14. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 415. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}nS 是递增数列”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件16. 已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AP AB ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）A. 36B. 60C. 72D. 108三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知cos y x =.（1）若1()3f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值.18. 已知a R ∈，双曲线222:1x y a Γ-=.（1）若点(2,1)在上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a=，直线1y kx=+与Γ相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值.19. 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）.（图1） （图2） （图3）20. 设0a >，函数1()12xf x a =+⋅. （1）若1a =，求()f x 的反函数1()fx -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--，若对任意(,0]x ∈-∞，()(0)g x g ≥恒成立，求a 取值范围.21. 若{}n c是递增数列，数列{}n a满足：对任意*∈，m N∈，存在*n N使得1m nmn a ca c +-≤-，则称{}na 是{}nc 的“分隔数列”.（1）设2ncn=，1nan =+，证明：数列{}na 是{}nc 的分隔数列；（2）设4ncn =-，nS 是{}nc 的前n 项和，32nn dc -=，判断数列{}nS 是否是数列{}nd 的分隔数列，并说明理由； （3）设1n ncaq -=，nT 是{}nc 的前n 项和，若数列{}nT 是{}nc 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围.参考答案一. 填空题1. (,1)(1,)-∞-+∞ 2. 3 3.(0,1)4. 25. 156.22143x y += 7. 5 8. 180 9. 410. )+∞11. 1119(,]66ππ 12. 4.4二. 选择题13. A 14. C 15. D 16. B三. 解答题17.（1）16+；（2）32-. 18.（1），(；（219.（1）14；（2）9.59°. 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x；（2）()()xxxxx a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x，则()111222+++=+++=ata at a t a at t y ，因为0>a ，所以a ta at 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a at a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ；（3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=x xxx a t a a a a x g ，设tx=2，因为()0,∞-∈x ，所以()1,0∈t ，则()att a a t g 322++-=，若at tt a 222=⇒=，1°当12≥a时，即20≤<a ，a tt a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ，则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意；2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa t t a y 322322322+=+⋅≥++=，则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2ming a g x g ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，故不符合题意，舍去；综上：(]2,0∈a 。

2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式1>x 的解集为______________；2、计算：_________213lim=+-∞→n n n ；3、设集合{}20<<=x x A ，{}11<<-=x x B ，则________=B A ；4、若复数i z +=1（i 是虚数单位），则______2=+zz ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ；6、已知平面上动点P 到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为_________；7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，O 是11C A 的中点，则三棱锥11OB A A -的体积为_________；第7题图 第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。

9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 与92⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；10、设R m ∈，若z 是关于x 的方程0122=-++m mx x 的一个虚根，则-z 的取值范围是________；11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ，若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________；12、如图，在正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）. 二．选择题（20分）13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A 2-=x y B 31x y = C 21-=xy D 3x y =14. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 415. 若数列}{n a 的前n 项和，“}{n a 是递增数列”是“}{n S 是递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件16、已知A 、B 是平面内两个定点，且2=→AB ，该平面上的动线段PQ 的两个端点P 、Q 满足：5≤→AP ，6=⋅→→AB AP ，→→-=AP AQ 2，则动线段PQ 所围成的面积为（ ）A 、50B 、60C 、72D 、108三、解答题（14+14+14+16+18=76分） 17、已知x x f cos )(=（1）.若31)(=αf ，且],0[πα∈，求)3(πα-f 的值； （2）.求函数)(2)2(x f x f y -=的最小值；18、已知R a ∈，双曲线1:222=-Γy ax（1）.若点)1,2(在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）.若1=a ，直线1+=kx y 与Γ相交于B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为1，求k 的值；19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，AB OC ⊥于C ，3=AB 米，5.4=OC 米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到01.0）.20.设0>a ，函数xa x f 211)(⋅+=（1）.若1=a ，求)(x f 的反函数)(1x f -（2）求函数)()(x f x f y -⋅=的最大值，（用a 表示）（3）设=)(x g )1()(--x f x f ，若对任意)0()(],0,(g x g x ≥-∞∈恒成立，求a 的取值范围？21.若}{n c 是递增数列，数列}{n a 满足：对任意*,N m R n ∈∃∈，使得01≤--+n m nm c a a a ，则称}{n a 是}{n c 的“分隔数列”（1）设1,2+==n a n c n n ，证明：数列}{n a 是}{n c 的分隔数列；（2）设n n S n c ,4-=是}{n c 的前n 项和，23-=n n c d ，判断数列}{n S 是否是数列}{n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设n n n T aq c ,1-=是}{n c 的前n 项和，若数列}{n T 是}{n C 的分隔数列，求实数q a ,的取值范围？2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案：一、填空题：1、()()+∞-∞-,11, ；2、3；3、()1,0；4、2；5、15；6、13422=+y x ；7、5；8、180； 9、4；10、⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，33；11、⎥⎦⎤⎝⎛619611ππ，；12、4.4； 二、选择题：13、A ；14、C ；15、D ；16、B ； 三、解答题：17、（1）6621+；（2）23-； 18、（1）()()0,30,3-，；（2）215-； 19、（1）41；（2）59.9； 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x ； （2）()()xx x x x a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x， 则()111222+++=+++=a taat at a at ty ，因为0>a ，所以a taat 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a a t a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ； （3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=xx x x a t a a a a x g ，设t x=2，因为()0,∞-∈x ， 所以()1,0∈t ，则()att a a t g 322++-=，若a t t t a 222=⇒=，1°当12≥a 时，即20≤<a ，a t t a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ， 则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意；2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa t t a y 322322322+=+⋅≥++=， 则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2ming a g x g ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，故不符合题意，舍去； 综上：(]2,0∈a 。

上海市普通高等学校2018年高三春季招生考试数 学 试 题考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数)2lg(-=x y 的定义域为__________________。

2．若集合}4|{},1|{2≤≥=x x B x x A ，则B A ⋂=_____________。

3．在△ABC 中，32tan =A ，则A sin =_______________。

4．若行列式02142=x，则x =____________。

5．若]2,2[,31sin ππ-∈=x x ，则x =____________。

（结果用反三角函数表示） 6．6)1(xx +的二项展开式的常数项为_______。

7．两条直线023:1=+-y x l 与02:2=+-y x l 的夹角的大小是________。

8．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S =_________________。

9．若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线14522=-y x 的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是_____________。

10．若点O 和点F 分别为椭圆1222=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||PF OP +的最小值为___________。

11．根据如图所示的程序框图，输出结果i =___________。

12．2018年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为____________。

13．有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB 与CD 所成的角的大小是_______________。

2018年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟. 一、填空题（本大题满分48分,本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分） 1. 计算:∞→n lim3423+-n n = .2. 方程log 3(2x-1)=1的解x= .3. 函数f(x)=3x+5,x∈[0,1] 的反函数f 1-(x)= .4. 不等式121+-x x＞0的解集是 . 5. 已知圆C ：(x+5)2+y 2=r 2（r ＞0）和直线l ：3x+y+5=0.若圆C 与直线l 没有公共点，则r的取值范围是 .6. 己知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数，当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4,则当x∈(0,+∞)时，f(x)= . 7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .9. 在⊿ABC 中，已知BC=8,AC=5,三角形面积为12,则cos2C= .10. 若向量、的夹角为150°,││=3,││=4,则│2+│= . 11. 己知直线l 过点P （2，1），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高，这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a 1,a 2…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n ,则 （结论用数学式于表示）.二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结沦是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。