年上海市春考数学试卷(含答案)

2020年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = ． 2．（4分）不等式13x>的解集为 ． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 ．4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 ． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = ． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = ． 7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l 的距离为 ．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 ．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = ． 10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 种．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为 ．12．（5分）已知()f x =其反函数为1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n n n n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．514．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( )A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =． （1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质； （2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围； （3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．2020年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = 3 ． 【解析】3A ∈，且A B ⊆，3B ∴∈，3a ∴=，故答案为：3． 【评注】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题． 2．（4分）不等式13x >的解集为 1(0,)3． 【解析】由13x >得130x x ->，则(13)0x x ->，即(31)0x x -<，解得103x <<， 所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．【评注】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 2π． 【解析】函数tan 2y x =的最小正周期为2π，故答案为：2π． 【评注】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 2 ．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈．复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+， 可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．【评注】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = 1arccos 3．【解析】3sin22sin x x =，6sin cos 2sin x x x =，(0,)x π∈，sin 0x ∴≠，1cos 3x ∴=，故1arccos 3x =． 故答案为：1arccos 3．【评注】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = 1 ． 【解析】根据题意，函数133x x y a =+为偶函数，则()()f x f x -=，即()()113333x xx xa a --+=+， 变形可得：(33)(33)x x x x a ---=-，必有1a =；故答案为：1．【评注】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l【解析】直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，当12//l l 时，210a -=，解得1a =±；当1a =时1l 与2l 重合，不满足题意；当1a =-时12//l l ，此时1:10l x y --=，2:10l x y -+=；则1l 与2l 的距离为d =．【评注】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【解析】41435(2)10C x x =，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10． 【评注】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = 194． 【解析】在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯，∴111124162AB AC =⨯⨯=，且D 是BC 的中点，∴21111119()()(4)22224AD AB AB AC AB AB AB AC =+=+=⨯+=．故答案为：194． 【评注】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 18 种． 【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种，故共有：2464218++++=．故答案为：18．【评注】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为． 【解析】设12||A A x =，则232||A A x =，344538||,||23x A A A A x==，设1(0,0)A ，如图，求15||A A 的最小值，则：2(,0)A x ，3422(,),(,)2x A x A x x -，52(,)23x A x--，∴2222152242||()()23493x x A A x x=-+-=+，当且仅当22449x x=，即x =15||A A ∴． 【评注】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．12．（5分）已知()f x =1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 3[,)4+∞ ． 【解析】因为1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，若1()y f x a -=-与()y f x a =+有实数根，则()y f x a =+与y x =有交点，x ，即221331()244a x x x =-+=-+，故答案为：3[,)4+∞．【评注】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n nn n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．5【解析】111133()5355limlim 5335()15n n nn n n n n ---→∞→∞-++==++．故选：D ． 【评注】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题． 14．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】（1）若αβ=，则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=，∴“αβ=“是“22sin cos 1αβ+=“的充分条件；（2）若22sin cos 1αβ+=，则22sin sin αβ=，得不出αβ=，∴“αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件，∴“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件．故选：A ．【评注】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，22sin cos 1αα+=，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【解析】2AB ，2CD ∴，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设(,)A m t ，(,)D t n ，所以(,)P m n ，因为2212m t +=，2212t n +=，消去t 可得：22212m n -=，故选：B ．【评注】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题． 16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123nn n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( ) A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =【解析】行列式131223nn n n n n n n aa a a a a c a a ++++++=-=，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，∴2122123n n n n n n a a a ca a a c +++++⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 作差整理得：1n n a a +=（常数列，0c =），或120n n n a a a ++++=，当120n n n a a a ++++=，则12n n n a a a +++=-及212n n na a a c ++=-， ∴方程220n nx a x a c ++-=有两根1n a +，2n a +，∴△2224()430n n n a a c c a =--=->，因为B 错，故选：B ． 【评注】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．【解析】（1）PD ⊥平面ABCD ，PD DC ∴⊥．3CD =，5PC ∴=，4PD ∴=，2134123P ABCD V -∴=⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为12．（2）ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，BC PD ∴⊥，BC CD ⊥，又PD CD D =，BC ∴⊥平面PCD ， BC PC ∴⊥，异面直线AD 与PB 所成角为60︒，//BC AD ，∴在Rt PBC ∆中，60PBC ∠=︒，3BC =，故PC =Rt PDC ∆中，3CD =，PD ∴=【评注】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =． （1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．【解析】（1）数列{}n a 为公差为d 的等差数列，1070S =，11a =，可得110109702d +⨯⨯=，解得43d =，则4411(1)333n a n n =+-=-；（2）数列{}n a 为公比为q 的等比数列，418a =，11a =，可得318q =，即12q =，则11()2n n a -=，111()122()1212nn n S --==--，100n nS a >，即为11112()100()22n n --->， 即2101n >，可得7n ，即n 的最小值为7．【评注】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2ω）的距离， 所以60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，60(95)|12095|25f =-=， 由题意得，60(){|60|,|120|}min f x x x =--， 则当|60||120|x x --，即90x 时，60()|60|f x x =-；当|60||120|x x ->-，即90x >时，60()|120|f x x =-； 综上60|60|,90()|120|,90x x f x x x -⎧=⎨->⎩；（2）由题意得(){||,|120|}t min f x t x x =--，所以||,0.5(120)()|120|,0.5(120)t t x x t f x x x t -+⎧=⎨->+⎩，则()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以222113(120)603600244S t t t t =+-=-+，由题意，(60)S S <，即2360360027004t t -+<，解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利． 【评注】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M，求M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．点M，∴点M的横坐标22M x ==，2y x =，12p ∴=， M ∴与焦点的距离为192244M p MF x =+=+=． （2）证明：设200(,)M y y ，直线0201:1(1)1y PM y x y --=--，当1x =-时，0011A y y y -=+， 直线0201:1(1)1y QM y x y ++=--，1x =-时，0011By y y --=-，1A B y y ∴=-，A B y y ∴⋅为常数1-． （3）解：设200(,)M y y ，(,)A A t y ，直线200020:()A y y MA y y x y y t--=--， 联立2y x =，得22220000000A A y t y t y y y y y y y y ---+-=--，2000p A y t y y y y -∴+=-，即00A P Ay y t y y y -=-，同理得00B Q By y t y y y -=-，1A B y y ⋅=，2200200()()1A B P Q A B y ty y y t y y y y y y -++∴=-++， 要使P Q y y 为常数，即1t =，此时P Q y y 为常数1，∴存在1t =，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数1．【评注】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质； （2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围； （3）当{2,}A m =-，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值． 【解析】（1）()f x x =-为减函数，()(1)f x f x ∴<-，()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x =为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，∴1()()f x x x a x=+为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得1a ，当1a 时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立， 综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞． （3）D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，当0m 时，取单调递减函数()f x x =-，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数； 当m 为正偶数时，取()0,1,n f x n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正奇数时，根据对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，可得()()()(1)(1)()f x m f x f x m f x f x f x m -++--，则()(1)f x f x =+，所以()f x 为常值函数， 综上，m 为正奇数．【评注】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．。

2020年上海市春季高考数学试卷2020.1一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）：1、集合{}3,1=A ，{}a B ,2,1=，若B A ⊆，则_______=a ；2、不等式31>x的解集为____________；3、x 2tan 的最小正周期为______________；4、已知复数i z z +=-62，则z 的实部为__________；5、已知()π,0,sin 22sin 3∈=x x x ，则________=x ；6、函数xxa y 313+⋅=为偶函数，则_______=a ；7、已知直线1:1=+ay x l ，1:2=+y ax l ，21//l l ，则1l 与2l 的距离为________；8、已知二项式()52x x +，则3x 的系数为__________；9、三角形ABC 中，D 是BC 中点，3,4,2===AC BC AB ，则=________AD AB ⋅；10、已知{}3,2,1,0,1,2,3---=A ，a 、A b ∈，则b a <有__________种情况；11、已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，向量1120n n n n A A A A +++⋅=，1121n n n n A A A A n +++⋅=+ ，则15A A的最小值为_________；12、已知()1-=x x f ，()a x f a x f +=--)(1有实数根，则a 的取值范围为______；二、选择题（每题5分）：13、=++--∞→115353lim n n n n n （）A、3B 、51C、31D、514、“βα=”是“1cos sin 22=+βα”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件15、已知椭圆1222=+y x ，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且CD AB =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是（）A、椭圆B、双曲线C、圆D、抛物线16、对于数列{}n a 有n n a a =+3，且行列式c a a a a n n n n =+++321，下列选项中不可能的是（）A、1,11==c aB、2,21==c aC、4,11=-=c a D、0,21==c a 三、解答题（14+14+14+16+18=76分）17、已知底面ABCD 为正方形，底面边长为3，⊥PD 面ABCD .（1）若4=PD ，求ABCD P -的体积；（2）若AD 与BP 夹角为60，求PD 的长.18、已知数列{}n a ，{}n S 是数列{}n a 的和，首项11=a .（1）已知7010=S ，{}n a 成等差数列，求n a 的通项；（2）814=a ，{}n a 是等比数列，当n n a S 100>时，求n 的最小值；19、有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点()0,x B ，现要建设另一座垃圾投放点()0,2t ω，函数()x f t 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离.（1）若60=t ，求()()()95,80,10606060f f f ，并写出()x f 60的函数解析式；（2）定义：将()x f t 与坐标轴围成的面积估计为仍垃圾的便利程度，面积越小越便利，问：垃圾投放点2ω要建立在何处才能比建在中点时更加便利？20、抛物线x y =2上的动点()00,y x M ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线t x =于A 、B 两点.（1）若点M 纵坐标为2，求M 与焦点距离；（2）若1-=t ，())1,1(,1,1-Q P ，求证：B A y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使1=⋅B A y y 且Q P y y ⋅为常数，若存在，求出t 的所有结果；若不存在，说明理由.21、函数()x f 的定义域为D ，A 为D 的非空子集，若对于任意A t ∈且D x ∈，满足()()t x f x f +≤，则称()x f 具有“A 性质”.（1）若{}1-=A ，判断函数()x x f -=1，()x x g 2=是否具有“A 性质”；（2）已知()[)0,,,1>+∞∈+=a a x xx x f 具有“A 性质”，且()1,0=A ，求a 的取值范围；（3）{}m A ,2-=，若定义域为整数集，且具有“A 性质”的所有函数均为常值函数，求m 的值.2020年春考——参考答案一、填空题：1、3；2、⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0；3、2π；4、6-；5、31arccos；6、1；7、2；8、10；9、45；10、18；11、36；12、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43；二、选择题：13、D ；14、A ；15、B ；16、B ；三、解答题：17、（1）12；（2）23；18、（1）314-=n a n ；（2）7；19、（1）501060)10(60=-=f ，()2060808060=-=f ,2595120)95(60=-=f ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-=12090,120900,60)(60x x x x x f ；（2）圾投放点2ω建立点()0,20和()0,60之间时，比在中点时更便利；20、（1）49；（2）1-；（3）存在，1=t ；21、（1）()x f 具有“A 性质”，()x g 不具有“A 性质”；（2）1≥a ；（3）()*∈-=Nk k m 12.。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共11小题，共53.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若直线2x +y −1=0是圆(x −a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =( )A. 12B. −12C. 1D. −12. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：y =kx +m ，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =( )A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±33. 已知圆M:x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l:2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为( )A. 2x −y −1=0B. 2x +y −1=0C. 2x −y +1=0D. 2x +y +1=0 4. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为( )A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√555. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1D. y =12x +126. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A. 4B. 5C. 6D. 77. 直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则ΔABP 面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]8. 下列函数是偶函数的是( ) A. y =sinxB. y =cosxC. y =x 3D. y =2x9. 根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小10. 如图，P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边A 1C 1上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11. 已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

2022届上海市春季高考数学试卷一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z =2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 3. 不等式10x x-<的解集为 4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+=5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为 6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=7. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 8. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为10. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为 11. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是12. 已知()f x 为奇函数，当[0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A . 1y x -=B . 12y x -= C . 13y x = D . 12y x = 14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个 时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次A . 0B . 2C . 4D . 1216. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； （2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（2）当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m ²）20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程； （2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.21. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.参考答案一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z = 【答案】2i z =-2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 【答案】AB =(1,2) 3. 不等式10x x-<的解集为 【答案】(0,1)4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+= 【答案】2-5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为【答案】4m =6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=【答案】37. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 【答案】668. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为【答案】1710. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为【答案】7811. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ， 满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是【答案】1a ≥12. 已知()f x 为奇函数，当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 【答案】2二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A . 1y x -=B . 12y x-= C . 13y x = D . 12y x = 【答案】C14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >【答案】B15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个 时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次A . 0B . 2C . 4D . 12【答案】B16. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）arctan2；（2）侧面积24rh ππ=，体积22r h ππ=18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； （2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.【答案】（1）4；（2）[0,1]d ∈19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（长度精确到0.1m ）（2）当AE 多长时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m ²）【答案】（1）23.3EF ≈m ；（2）最大面积为2254503255.142-≈m ² 20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程； （2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.【答案】（1）2214x y +=； （2）交点为34(,)55a ，在椭圆上； （3）621. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）2x =；（2）(,(1][(12),)t t -∞++∞；（3）证明略。

上海春季高考数学试卷选择题：1. 若函数f(x) = 2x + 5，g(x) = x^2 - 3x，则f(g(2))的值为：A. 1B. 3C. 5D. 72. 若正方形的对角线长为6根号2，则其边长是：A. 3B. 4C. 5D. 63. 绝对值函数y = |x - 2|的图象与x轴交点的横坐标是：A. 0B. 1C. 2D. 34. 若sin(x) = 0.6，cos(y) = -0.8，且x与y为锐角，则tan(x+y)的值为：A. 4/3B. -4/3C. 3/4D. -3/45. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f^-1(2)的值：A. 0B. 1C. 2D. 3填空题：6. 三角形的一个内角为80°，另一个内角是50°，求第三个内角的度数是__________°。

7. 若方程2x + 3y = 12的解为x = 3，则相应的y值为__________。

8. 已知等差数列的公差为4，前5项的和为30，求这个等差数列的首项是__________。

9. 若函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 5，求f(-1)的值为__________。

10. 设直线L过点A(-1, 3)且与y轴垂直，其方程为x = ________。

应用题：11. 甲、乙两人同时从A、B两地相向出发，相遇后继续直线行驶，若甲比乙提前出发1小时，他们相遇时行驶的时间是4小时，求甲、乙的行驶速度。

12. 一个等差数列的首项是3，公差是4，求第10项的值。

13. 一条铁链长120米，两端固定在两个水平地面上，如果将铁链恰好放在地面上，形成一个正方形，正方形的面积是多少平方米？14. 某商品原价800元，商家打9折促销后售价为多少元？15. 甲、乙两地相距200公里，两车同时从两地相向出发，甲车速度为60km/h，乙车速度为80km/h，问几小时后两车相遇？。

2025届高三数学一模暨春考数学试卷2时间：120分钟满分：150一.填空题：1.已知集合{1,4}A =，{5,7}B a =-.若{4}A B = ，则实数a 的值是______.2.已知i 是虚数单位.若3i i(,R)a b a b =+∈，则a b +的值为______.3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是______.4.函数y =的定义域是______.5.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______.6.已知双曲线2221(0)2x y a a-=>，则该双曲线的渐近线为______.7.如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =______.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若284a a +=，227332a a -=，则10S 的值为______.9.已知函数22,2()11,22x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的不等式()(1)f x f x -<-的解集为______.10.如图，在ABC △中，12AD AB = ，13AE AC = ，CD 与BE 交于点P ，2AB =，4AC =，2AP BC ⋅= ，则AB AC ⋅ 的值为______.11.圆22640x y x y ++-=与曲线243x y x +=+相交于A ，B ，C ，D 点四点，O 为坐标原点，则||OA OB OC OD +++= ______.12.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则22sin sin A B +的最大值为______.二.选择题：13.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论：（1）月接待游客量逐月增加；（2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳。

2022届上海市春季高考数学试卷一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z =2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 3. 不等式10x x-<的解集为 4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+=5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为 6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=7. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 8. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为10. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为 11. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是12. 已知()f x 为奇函数，当[0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A . 1y x -=B . 12y x -= C . 13y x = D . 12y x = 14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个 时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次A . 0B . 2C . 4D . 1216. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； （2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（2）当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m ²）20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程； （2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.21. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.参考答案一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z = 【答案】2i z =-2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 【答案】AB =(1,2) 3. 不等式10x x-<的解集为 【答案】(0,1)4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+= 【答案】2-5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为【答案】4m =6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=【答案】37. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 【答案】668. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为【答案】1710. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为【答案】7811. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ， 满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是【答案】1a ≥12. 已知()f x 为奇函数，当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 【答案】2二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A . 1y x -=B . 12y x-= C . 13y x = D . 12y x = 【答案】C14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >【答案】B15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个 时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次A . 0B . 2C . 4D . 12【答案】B16. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）arctan2；（2）侧面积24rh ππ=，体积22r h ππ=18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； （2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.【答案】（1）4；（2）[0,1]d ∈19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（长度精确到0.1m ）（2）当AE 多长时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m ²）【答案】（1）23.3EF ≈m ；（2）最大面积为2254503255.142-≈m ² 20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程； （2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.【答案】（1）2214x y +=； （2）交点为34(,)55a ，在椭圆上； （3）621. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）2x =；（2）(,(1][(12),)t t -∞++∞；（3）证明略。

2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝　2　．【答案】见试题解答内容【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝2．故答案为：2．2．（4分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝　（1，0）　．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．故答案为：（1，0）．3．（4分）不等式|x﹣1|≤2的解集为：　[﹣1，3]　．（结果用集合或区间表示）【答案】见试题解答内容【解答】解：不等式|x﹣1|≤2即为﹣2≤x﹣1≤2，即为﹣1≤x≤3，则解集为[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]．4．（4分）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为　1　．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，故答案为：1．5．（4分）已知事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝　0.5　．【答案】见试题解答内容【解答】解：事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝1﹣0.5＝0.5．故答案为：0.5．6．（4分）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：正实数a、b满足a+4b＝1，则ab＝，当且仅当a＝，时等号成立．故答案为：．7．（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为　7　．【答案】见试题解答内容【解答】解：极差为186﹣154＝32，组距为5，且第一组下限为153.5，＝6.4，故组数为7组，故答案为：7．8．（5分）设（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4＝　17　．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4＝＝17．故答案为：17．9．（5分）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为　x＝3　．【答案】见试题解答内容【解答】解：当x≥0时，g（x）＝2⇔log2（x+1）＝2，解得x＝3；当x＜0时，g（x）＝f（﹣x）＝2x+1＝2，解得x＝0（舍）；所以g（x）＝2的解为：x＝3．故答案为：x＝3．10．（5分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为　0.5　．【答案】见试题解答内容【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为，恰有1名男生2名女生的事件个数为，则恰有1名男生2名女生的概率为．故答案为：0.5．11．（5分）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为　[0，]　．【答案】见试题解答内容【解答】解：设z1﹣1＝cosθ+i sinθ，则z1＝1+cosθ+i sinθ，因为z 1＝i•，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），所以|z1﹣z2|＝＝＝，显然当＝时，原式取最小值0，当＝﹣1时，原式取最大值2，故|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．故答案为：[0，]．12．（5分）已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设，，，，不妨设x，y，z＞0，则||＝x2+y2+z2＝1，因为|•|≤|•|≤|•|，所以，可得，z≥y，所以，解得，故＝y．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13−14题每题4分，第15−16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（4分）下列函数是偶函数的是（ ）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x3D．y＝2x【答案】B【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sin x为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y＝cos x为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数．故选：B．14．（4分）如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B．从2018年开始，进出口总额逐年增大C．从2018年开始，进口总额逐年增大D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小【答案】C【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确．故选：C．15．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）A．DD1B．AC C．AD1D．B1C【答案】B【解答】解：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．16．（5分）已知无穷数列{a n}的各项均为实数，S n为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|S k|＞|S k+1|，则下列各项中可能成立的是（ ）A．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等差数到，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列B．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列C．a1，a2，a3，⋯，a2022为等差数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等比数列D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等差数列【答案】C【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n不可能为等差数列，因为若d＜0，当n→+∞，an→﹣∞，Sn→﹣∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＝0，a n＝0，则|S k|＝|S k+1|，矛盾；若d＝0，a n＜0，当n→+∞，S n→﹣∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＝0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；所以选项B中的a2，a4，a6，⋯，a2n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D中的a2022，a2023，a2024，⋯，a n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A中的a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取即可．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数是偶函数的是( )A. y=sinxB. y=cosxC. y=x3D. y=2x2.根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小3.如图，P是正方体ABCD−A1B1C1D1边A1C1上的动点，下列哪条边与边BP始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C4.已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。

a ab 2a b 上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分 048 分）1. 计算： lim 3n - 2= .n →∞ 4n + 32. 方程log 3 (2x - 1) = 1的解 x = .3. 函数 f (x ) = 3x + 5, x ∈[ 0, 1]的反函数 f -1 (x ) = .4. 不等式1 - 2x> 0 的解集是.x + 15. 已知圆C : (x + 5) 2 + y 2 = r 2(r > 0) 和直线l : 3x + y + 5 = 0 . 若圆C 与直线l 没有公共 点，则 r 的取值范围是.6. 已知函数 f (x ) 是定义在 ( - ∞, + ∞ ) 上的偶函数. 当 x ∈ ( - ∞, 0 ) 时， f (x ) = x - x 4 ， 则当x ∈ ( 0, + ∞ ) 时， f (x ) = .7. 电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为 3，则其体积为 .9. 在△ ABC 中，已知 BC = 8,AC = 5 ，三角形面积为 12，则cos 2C = .10. 若向量 、b 的夹角为150， = 3, = 4 ，则 + = .11. 已知直线l 过点 P ( 2, 1) ，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为.12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为： 若有限数列a 1 , a 2 , , a n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤ ≤ a n ，则（结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分 016 分）13. 抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为( ) （A ） ( 0, 1) . （B ） (1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) . （D ） ( 2, 0 ) . 14. 若 a 、b 、c ∈ R , a > b ，则下列不等式成立的是( )（A ） 1 < 1 . （B ） a 2 > b 2 . （C ） a > b.（D ） a | c |> b | c |.a b x 2 y 2c 2 + 1 c 2 + 115. 若 k ∈ R ，则“ k > 3”是“方程 k - 3 - k + 3= 1表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.⎧⎪1⎪⎫ ⎧ 1 ⎫ 16. 若集合 A = ⎨ y y = x 3,-1≤ x ≤ 1⎬ , B = ⎨ y y = 2 - , 0 < x ≤ 1⎬ ，则 A ∩B 等于()⎪⎩ ⎪⎭⎩ x ⎭ （A ） ( - ∞, 1].（B ） [ - 1, 1 ].（C ） ∅ . （D ）{1}.三．解答题（本大题满分 086 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分 12 分)在长方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，已知 DA = DC = 4, DD 1 = 3 ，求异面直线 A 1 B 与B 1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分 12 分) 已知复数 w 满足 w - 4 = (3 - 2w ) i( i 为虚数单位）， z = 5+ | w - 2 |，求一个以 z 为根的实系数一元二次方程.w19. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分.已知函数 f (x ) = ⎛ + π⎫ - 2 cos x ,x ∈ ⎡π,π⎤ .2 sin x ⎪⎝6 ⎭ ⎢⎣ 2 ⎥⎦（1）若sin x = 4，求函数 f (x ) 的值；（2）求函数 f (x ) 的值域.520. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的 x 2 + y 2= 轨迹方程为 1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、100 25⎛ M 0, 64 ⎫ ⎪ 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 D ( 8, 0 ) . 观测点 A ( 4, 0 )、B ( 6, 0 ) 同时跟踪航天器.⎝7 ⎭ （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.设函数 f (x ) = x 2 - 4x - 5 .（1）在区间[ 2, 6 ]上画出函数f (x) 的图像；20 21 30 30 31 40（2）设集合 A = {x f (x ) ≥ 5 }, B = (- ∞, - 2 ] [ 0, 4 ] [ 6, + ∞ ) . 试判断集合 A 和 B 之间的关系， 并给出证明；（3）当 k > 2 时，求证：在区间[ - 1, 5 ] 上， y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x ) 图像的上方.22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分. 第 3 小题满分 6 分.已知数列 a 1 , a 2 , , a 30 ，其中 a 1 , a 2 , , a 10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； a 10 , a 11 , , a 20 是公差为 d 的等差数列； a , a , , a 是公差为 d 2 的等差数列（ d ≠ 0 ）. （1）若 a 20 = 40 ，求 d ；（2）试写出 a 30 关于 d 的关系式，并求 a 30 的取值范围；（3）续写已知数列，使得 a , a , , a 是公差为 d 3 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案及评分标准一．（第 1 至 12 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分.⎪1. 3 .2. 2.3.41(x - 5), 3x ∈[5, 8 ]. 4. ⎛ - 1, 1 ⎫ ⎝2 ⎭ 5. (0, 10 ) . 6. - x - x 4 . 7. 48.8.16 . 39.7. 10. 2. 11. 4. 2512. a 1 + a 2 + + a m ≤ a 1 + a 2 + + a n(1 ≤ m < n ) 和 m na m +1 + a m +2 + + a n ≥a 1 + a 2 + + a n(1 ≤ m < n ) n - m n二．（第 13 至 16 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分.题 号 13141516代 号BCAB三．（第 17 至 22 题）17. [解法一] 连接 A 1 D ，A 1 D //B 1C , ∴ ∠BA 1D 为异面直线 A 1 B 与 B 1C 所成的角.……4 分连接 BD ，在△ A 1 DB 中， A 1 B = A 1 D = 5,BD = 4 ，……6 分则cos ∠BA 1 D = A 1 B 2 + A 1 D 2- BD 2 2 ⋅ A B ⋅ A D = 25 + 25 - 32 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 9 .……10 分2511∴ 异面直线 A B 与 B C 所成角的大小为arccos 9.……12 分1 125[解法二] 以 D 为坐标原点，分别以 DA 、 DC 、 DD 1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系.……2 分则 A 1 (4, 0, 3)、B (4, 4, 0)、B 1 (4, 4, 3)、C (0, 4, 0) ，得 A 1 B = (0, 4, - 3), B 1C = (-4, 0, - 3) .……6 分设 A 1 B 与 B 1C 的夹角为θ，则cos θ=A 1B ⋅ B 1C A 1 B ⋅ B 1C = 9 ， ……10 分252 .⎩ ⎩b2 2 ∴ A B 与 B C 的夹角大小为 arccos 9，1 1 25即异面直线 A B 与 B C 所成角的大小为arccos 9.……12 分1 12518. [解法一]w (1 + 2 i) = 4 + 3i, ∴ 4 + 3i w == 2 - i ， ……4 分1 + 2i∴ z =52 - i+ | -i |= 3 + i . ……8 分若实系数一元二次方程有虚根 z = 3 + i ，则必有共轭虚根 z = 3 - i .z + z = 6, z ⋅ z = 10 ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是 x 2 - 6x + 10 = 0.……12 分[解法二] 设 w = a + b i (a 、b ∈ R)a +b i - 4 = 3i - 2a i + 2b ，⎧a - 4 = 2b , 得 ∴ ⎧ a = 2,⎨b = 3 - 2a , ⎨ = -1, ∴ w = 2 - i ，……4 分以下解法同[解法一].19. [解]（1） sin x = 4 ,x ∈ ⎡π,π⎤, ∴ cos x = - 3 ，……2 分51⎢⎣ 2 ⎥⎦5⎫ f (x ) = 2x + cos x ⎪ - 2 cos x……4 分⎪⎝ ⎭= 3 sin x - cos x =4 3 + 3. ……8 分 5 5（2） f (x ) = ⎛ - π⎫ ，……10 分2 sin x ⎝π ≤ x ≤ π，⎪6 ⎭∴ π ≤ x - π ≤ 5π，1≤ ⎛ - π⎫≤ 1，23 6 6⎪ 2 ⎝6 ⎭ ∴ 函数 f (x ) 的值域为[1, 2 ] .……14 分20. [ 解 ] （ 1 ） 设 曲 线 方 程 为y = ax 2 + 64 7，由 题 意 可 知 ， 0 = a ⋅ 64 +64 .7∴ a = - 1.……4 分7∴ 曲线方程为 y = - 1 x 2 + 64.……6 分sin x7 7（2）设变轨点为C ( x , y ) ，根据题意可知⎧ x 2 ⎪ ⎨100 + y 2 25= 1, (1) 得 4 y 2 - 7 y - 36 = 0 ， ⎪ y = - 1 x 2 + 64 , (2) ⎩⎪7 7 y = 4或 y = - 9（不合题意，舍去）.4∴ y = 4 . 得 x = 6 或 x = -6 （ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） . ( 6, 4 ) ， ……11 分| AC |= 2 5, | BC |= 4 .答 ： 当 观 测 点 A 、B 测 得 AC 、BC 距 离 分 别 为 2 5 、 4 时 ， 应 向 航 天 器 发 出 变 轨 指令.……14 分21. [解]（1）……4 分（2）方程 f (x ) = 5 的解分别是2 -14, 0, 4和 2 + 14 ，由于 f (x ) 在( - ∞,- 1] 和[ 2, 5 ]上单调递减，在[ - 1, 2 ]和[ 5, + ∞ ) 上单调递增，因此A = (- ∞, 2 - ] [ 0, 4 ] [2 +14, + ∞ ).……8 分 由于 2 + < 6, 2 - > -2, ∴ B ⊂ A .……10 分（3）[解法一] 当 x ∈[ - 1, 5 ] 时， f (x ) = -x 2 + 4x + 5.g (x ) = k (x + 3) - (-x 2 + 4x + 5)= x 2 + (k - 4)x + (3k - 5)= ⎛ x - 4 - k ⎫ 2 ⎪ - k 2 - 20k + 36 ， ……12 分⎝2 ⎭ 4k > 2, ∴4 - k< 1. 又- 1 ≤ x ≤ 5 ， 2 ① 当- 1 ≤ 4 - k < 1 ，即 2 < k ≤ 6 时，取 x = 4 - k，2 2……9 分 ∴ C 点 的 坐 标 为14 14 14⎩ 40 30 10n 10n +1 10 (n +1) 10(n +1)⎨ = -k 2 - 20k + 36= -1 [( -)2- ]g (x ) mink 10 4464 .16 ≤ (k - 10) 2 < 64, ∴ (k - 10) 2 - 64 < 0 ，则 g (x ) m in > 0 .……14 分② 当 4 - k< -1，即 k > 6 时，取 x = -1，2g (x )min＝ 2k > 0.由 ①、②可知，当 k > 2 时， g (x ) > 0 ， x ∈[ - 1, 5 ] .因此，在区间[ - 1, 5 ] 上， y = k (x + 3) 的图像位于函数 f (x ) 图像的上方. ……16 分[解法二] 当 x ∈[ - 1, 5 ] 时， f (x ) = -x 2 + 4x + 5 .⎧ y = k (x + 3),由⎨ y = -x 2+ 4x + 5,得 x 2 + (k - 4)x + (3k - 5) = 0 ，令 ∆ = (k - 4) 2 - 4(3k - 5) = 0 ，解得 k = 2 或 k = 18 ， ……12 分在区间[ - 1, 5 ] 上，当 k = 2 时， y = 2(x + 3) 的图像与函数 f (x ) 的图像只交于一点(1, 8 ) ； 当 k = 18时， y = 18(x + 3) 的图像与函数 f (x ) 的图像没有交点. ……14 分如图可知，由于直线 y = k (x + 3) 过点 ( - 3, 0 ) ，当 k > 2 时，直线 y = k (x + 3) 是由直线 y = 2(x + 3) 绕 点( - 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此，在区间[ - 1, 5 ] 上， y = k (x + 3) 的图像位于函数 f (x ) 图像的上 方.……16 分22. [解]（1） a 10 = 10. a 20 = 10 + 10d = 40, ∴ d = 3. …… 4 分 （2） a 30 = a 20 + 10d 2 = 10(1 + d + d 2) (d ≠ 0) ，…… 8 分⎡ ⎛ 1 ⎫ 2 3 ⎤a 30 = 10⎢ d + 2 ⎪ + ⎥ ，4 ⎢⎣ ⎝ 当 d ∈ ( - ∞, ⎭0 ) ( 0, ⎥⎦+ ∞ ) 时， a 30 ∈[ 7.5,+ ∞ ).…… 12 分（3）所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中 a 1 , a 2 , , a 10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 n ≥ 1 时，数列 a , a , , a 是公差为d n 的等差数列. …… 14 分研究的问题可以是：试写出 a 10 ( n +1) 关于 d 的关系式，并求 a 10 ( n +1) 的取值范围.…… 16 分研究的结论可以是：由 a = a + 10d 3=10(1 + d + d 2 + d 3 )，依次类推可得 a = 10(1 + d + + d n )= ⎧⎪10 ⨯ 1 - d n +11 - d , d ≠ 1, ⎪⎩10(n + 1),d = 1. 当 d > 0 时， a 10(n +1) 的取值范围为(10, + ∞ ) 等.…… 18 分。

2023年上海市春季高考数学试卷（2023•上海）已知集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B ，则a=2．【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．【解答】解：集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B ，则a=2．故答案为：2．（2023•上海）已知向量a =（3，4），b =（1，2），则a -2b =（1，0）．→→→→【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．【解答】解：因为向量a =（3，4），b =（1，2），所以a -2b =（3-2×1，4-2×2）=（1，0）．故答案为：（1，0）．→→→→（2023•上海）不等式|x-1|≤2的解集为：[-1，3]．（结果用集合或区间表示）【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】运用|x|≤a ⇔-a≤x≤a,不等式|x-1|≤2即为-2≤x-1≤2，解出即可．【解答】解：不等式|x-1|≤2即为-2≤x-1≤2，即为-1≤x≤3，则解集为[-1，3]，故答案为：[-1，3]．（2023•上海）已知圆C 的一般方程为x 2+2x+y 2=0，则圆C 的半径为 1．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】把圆C 的一般方程化为标准方程，可得圆C 的圆心和半径．【解答】解：根据圆C 的一般方程为x 2+2x+y 2=0，可得圆C 的标准方程为（x+1）2+y 2=1，故圆C 的圆心为（-1，0），半径为1，故答案为：1．江南博哥（2023•上海）已知事件A的对立事件为A，若P（A）=0.5，则P（A）=0.5．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：事件A的对立事件为A，若P（A）=0.5，则P（A）=1-0.5=0.5．故答案为：0.5．（2023•上海）已知正实数a、b满足a+4b=1，则ab的最大值为116．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用基本不等式求出结果．【解答】解：正实数a、b满足a+4b=1，则ab=14×a•4b≤14×(a+4b2)2=116，当且仅当a=12，b=18时等号成立．故答案为：116．（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm,最小值为154cm,根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为7．【专题】对应思想；分析法；概率与统计；数学运算．【分析】计算极差，根据组距求解组数即可．【解答】解：极差为186-154=32，组距为5，且第一组下限为153.5，325=6.4，故组数为7组，故答案为：7．（2023•上海）设（1-2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4=17．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4=C 04+C44•(−2)4=17．故答案为：17．（2023•上海）已知函数f（x）=2-x+1，且g（x）=V WX log2(x+1)，x≥0f(−x)，x<0，则方程g（x）=2的解为x=3．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】分x≥0和x＜0分别求解即可．【解答】解：当x≥0时，g（x）=2⇔log2（x+1）=2，解得x=3；当x＜0时，g（x）=f（-x）=2x+1=2，解得x=0（舍）；所以g（x）=2的解为：x=3．故答案为：x=3．（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为0.5．【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据古典概型求解即可．【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为C310=10×9×83×2×1=120，恰有1名男生2名女生的事件个数为C14C26=4×6×52×1=60，则恰有1名男生2名女生的概率为60120=0.5，故答案为：0.5．（2023•上海）已知z1，z2∈C且z1=i z2（i为虚数单位），满足|z1-1|=1，则|z1-z2|的取值范围为[0，2+2]．√【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．【解答】解：设z1-1=cosθ+isinθ，则z1=1+cosθ+isinθ，因为z1=i•z2，所以z2=sinθ+i（cosθ+1），所以|z1-z2|=(cosθ−sinθ+1)2+(sinθ−cosθ−1)2=2[2sin(θ−π4)−1]2=2|2sin(θ−π4)−1|，显然当sin(θ−π4)=22时，原式取最小值0，当sin(θ−π4)=-1时，原式取最大值2+2，√√√√√√√A．y=sinxC．y=x3D．y=2x 故|z1-z2|的取值范围为[0，2+2]．故答案为：[0，2+2]．√√（2023•上海）已知OA、OB、OC为空间中三组单位向量，且OA⊥OB、OA⊥OC，OB与OC夹角为60°，点P为空间任意一点，且|OP|=1，满足|OP•OC|≤|OP•OB|≤|OP•OA|，则|OP•OC|最大值为217．→→→→→→→→→→→→→→→→→→√【专题】综合题；转化思想；分析法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】将问题坐标化，表示出OA，OB，OC的坐标，再设OP=(x,y,z)，代入条件，结合不等式的性质求解．→→→→【解答】解：设OA=(0，0，1)，OB=(32，12，0)，OC=(0，1，0)，OP=(x,y,z)，不妨设x,y,z＞0，则|OP|=x2+y2+z2=1，因为|OP•OC|≤|OP•OB|≤|OP•OA|，所以y≤32x+12y≤z，可得x≥33y，z≥y,所以1=x2+y2+z2≥13y2+y2+y2，解得y2≤37，故OP•OC=y≤217．故答案为：217．→→√→→→→→→→→→√√→→√√（2023•上海）下列函数是偶函数的是（ ）【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y=x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数．故选：B．（2023•上海）如图为2017-2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）A ．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B ．从2018年开始，进出口总额逐年增大D ．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小A ．DD1C ．AD1D ．B 1C【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数据分析．【分析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A 对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B 对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C 错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D 正确．故选：C ．（2023•上海）如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 为边A 1C 1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）【专题】整体思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【分析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．【解答】解：对于A ，当P 是A 1C 1的中点时，BP 与DD 1是相交直线；对于B ，根据异面直线的定义知，BP 与AC 是异面直线；A．a1，a3，a5，⋯，a2n-1，⋯为等差数到，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列B．a1，a3，a5，⋯，a2n-1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等差数列对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．（2023•上海）已知无穷数列{a n}的各项均为实数，S n为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|S k|＞|S k+1|，则下列各项中可能成立的是（ ）【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理．【分析】由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n不可能为等差数列，若d=0，a n=0，则|S k|=|S k+1|，矛盾；若d=0，a n＜0，当n→+∞，S n→-∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d=0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＜0，当n→+∞，a n→-∞，S n→-∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；即可判断．【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n 不可能为等差数列，因为若d＜0，当n→+∞，an→-∞，Sn→-∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d=0，a n=0，则|S k|=|S k+1|，矛盾；若d=0，a n＜0，当n→+∞，S n→-∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d=0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；所以选项B中的a2，a4，a6，⋯，a2n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D中的a2022，a2023，a2024，⋯，a n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A中的a1，a3，a5，⋯，a2n-1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取a1=a2=⋯=a2022=−1，a n=(12)n,n≥2023，n∈N即可．故选：C．（2023•上海）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=3，AC=4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；（2）求直线ME到平面PAB的距离．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．【分析】（1）连接AM，PM，∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在△PAM中，求解即可；（2）先证明AC⊥平面PAB，可得AE为直线ME到平面PAB的距离．进则求AE的长即可．【解答】解：（1）连接AM，PM，∵PA⊥平面ABC，∴∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在△PAM中，∵AB⊥AC，∴BC=32+42=5，∵M为BC中点，∴AM=12BC=52，∴tan∠PMA=65，即直线PM与平面ABC所成角为arctan65；（2）由ME∥平面PAB，MF∥平面PAB，ME∩MF=M，∴平面MEF∥平面PAB，∵ME⊂平面MEF，∴ME∥平面PAB，∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴AC⊥平面PAB，∴AE为直线ME到平面PAB的距离，∵ME∥平面PAB，ME⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB=AB，∴ME∥AB，∵M为BC中点，∴E为AC中点，∴AE=2，∴直线ME到平面PAB的距离为2．√（2023•上海）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,其中b=2．（1）若A+C=120°，a=2c,求边长c；（2）若A-C=15°，a=2csinA，求△ABC的面积．√【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【分析】（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A，B，C，然后结合锐角三角函数即可求解；（2）由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a,结合三角形面积公式可求．【解答】解：（1）∵A+C=120°，且a=2c,∴sinA=2sinC=2sin（120°-A）=3cosA+sinA，∴cosA=0，∴A=90°，C=30°，B=60°，∵b=2，∴c=233；（2）a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，sinA＞0，∴sinC=22，∵A-C=15°，∴C为锐角，∴C=45°，A=60°，B=75°，∴a sin60°=2sin75°=82+6，∴a=432+6=32−6，∴S△ABC=12absinC=12×432+6×2×22=3-3．√√√√√√√√√√√√√√√√√（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=F0V0，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为f=L 2A，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=f•nT +13n．当f=18，T=10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．√【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可；（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时n的值．【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：F 0=2πRH +πR 2．V 0=πR 2H ，所以S =F 0V 0=πR (2H +R )πR 2H=2H +RHR．（2）由题意可得S=18n 10000+13n =32n 100+13n，n ∈N *，所以S′=32200n -13n2=92n 32−200600n2，令S′=0，解得n=32000081≈6.27，所以S 在[1，6.27]单调递减，在[6.27，+∞）单调递增，所以S 的最小值在n=6或7取得，当n=6时，S=32×6100+13×6≈0.31，当n=7时，S=32×7100+13×7≈0.16，所以在n=6时，该建筑体S 最小．√√√√√√√（2023•上海）已知椭圆Γ：x2m2+y 23=1（m ＞0且m≠3）．（1）若m=2，求椭圆Γ的离心率；（2）设A 1、A 2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E 的纵坐标为1，且EA 1•EA 2=-2，求实数m 的值；（3）过椭圆Γ上一点P 作斜率为3的直线l,若直线l 与双曲线y25m2-x 25=1有且仅有一个公共点，求实数m 的取值范围．√→→√【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）由题意可得a,b,c,可求离心率；（2）由已知得A 1（-m,0），A 2（m,0），设E （p,1），由已知可得p 2=23m 2，p 2-m 2+1=-2，求解即可；（3）设直线y=3x+t,与椭圆方程联立可得t 2≤3m 2+3，与双曲线方程联立可得t 2=5m 2-15，可求m 的取值范围．√【解答】解：（1）若m=2，则a 2=4，b 2=3，∴a=2，c=a2−b2=1，∴e=c a =12；（2）由已知得A 1（-m,0），A 2（m,0），设E （p,1），∴p2m2+13=1，即p 2=23m 2，∴EA 1=（-m-p,-1），EA 2=（m-p,-1），∴EA 1•EA 2=（-m-p,-1）•（m-p,-1）=p 2-m 2+1=-2，∵p 2=23m 2，代入求得m=3；√→→→→（3）设直线y=3x+t,联立椭圆可得x2m2+(3x +t )23=1，整理得（3+3m 2）x 2+23tm 2x+（t 2-3）m 2=0，由△≥0，∴t 2≤3m 2+3，联立双曲线可得(3x +t )25m2-x 25=1，整理得（3-m 2）x 2+23tx+（t2-5m 2）=0，由Δ=0，t 2=5m 2-15，∴5m 2-15≤3m 2+3，∴-3≤m≤3，又5m 2-15≥0，∴m≥3，∵m≠3，综上所述：m ∈（3，3]．√√√√√√√√（2023•上海）已知函数f （x ）=ax 3-（a+1）x 2+x,g （x ）=kx+m （其中a≥0，k,m ∈R ），若任意x ∈[0，1]均有f （x ）≤g （x ），则称函数y=g （x ）是函数y=f （x ）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=g （x ）在x 处取得的最小值记为f （x ）．（1）若a=2，g （x ）=x,试判断函数y=g （x ）是否为函数y=f （x ）的“控制函数”，并说明理由；（2）若a=0，曲线y=f （x ）在x=14处的切线为直线y=h （x ），证明：函数y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数”，并求f （14）的值；（3）若曲线y=f （x ）在x=x 0，x 0∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c ∈[x 0，1]，证明：当且仅当c=x 0或c=1时，f （c ）=f （c ）．【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【分析】（1）设h （x ）=f （x ）-g （x ）=2x 3-3x 2，h′（x ）=6x 2-6x=6x （x-1），当x ∈[0，1]时，易知h′（x ）=6x （x-1）≤0，即h （x ）单调减，求得最值即可判断；（2）根据题意得到f （x ）≤h （x ），即y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数“，代入即可求解；（3）f （x ）=ax 3-（a+1）x 2+x,f′（x ）=3ax 2-2（a+1）x+1，y=f （x ）在x=x 0（x 0∈（0，1））处的切线为t （x ），求导整理得到函数t （x ）必是函数y=f （x ）的“控制函数“，又此时“控制函数“g （x ）必与y=f （x ）相切于x 点，t （x ）与y=f （x ）在x =12a 处相切，且过点（1，0），在(12a，1)之间的点不可能使得y=f （x ）在(12a ，1)切线下方，所以f (c )=f (c )⇒c =12a =x 0或c=1，即可得证．【解答】解：（1）f （x ）=2x 3-3x 2+x,设h （x ）=f （x ）-g （x ）=2x 3-3x 2，h′（x ）=6x 2-6x=6x （x-1），当x ∈[0，1]时，易知h′（x ）=6x （x-1）≤0，即h （x ）单调减，∴h （x ）max =h （0）=0，即f （x ）-g （x ）≤0⇒f （x ）≤g （x ），∴g （x ）是f （x ）的“控制函数“；（2）f (x )=−x 2+x ,f (14)=316，f ′(x )=−2x +1，f ′(14)=12，∴h (x )=12(x −14)+316=12x +116，f (x )−h (x )=−x 2+12x −116=−(x −14)2≤0，∴f （x ）≤h （x ），即y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数“，又f(14)=h(14)=316，且g(14)≥f(14)=316，∴f(14)=316；证明：（3）f（x）=ax3-（a+1）x2+x,f′（x）=3ax2-2（a+1）x+1，y=f（x）在x=x0（x0∈（0，1））处的切线为t（x），t（x）=f′（x0）（x-x0）+f（x0），t（x0）=f（x0），t（1）=0⇒f（1）=0，f′(x0)=3ax02−2(a+1)x0+1⇒f′(x0)(1−x0)=f(1)−f(x0)=(1−x0)[a(1+x0+x02)−(a+1) (1+x0)+1]⇒3a x02−2(a+1)x0+1=a x02−x0⇒(2a x0−1)(x0−1)=0，x0≠1⇒a=12x0∈(12，+∞)⇒x0=1 2a ，f′(x0)=3ax02−2(a+1)x0+1=3a(12a )2−2(a+1)(12a)+1=−14a，f(x0)=a(12a )3−(a+1)(12a)2+12a=2a−18a2，t(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)=−14a (x−12a)+2a−18a2⇒t(x)=−14a(x−1)，f(x)=x(x−1)(ax−1)≤t(x)⇒ax2−x+14a ≥0，(x−12a)2≥0恒成立，函数t（x）必是函数y=f（x）的“控制函数“，∀g(x)=kx+m≥f(x)⇒∀f(x)≥f(x)，f(x)=f(x)，x∈(0，1)是函数y=f（x）的“控制函数“，此时“控制函数“g（x）必与y=f（x）相切于x点，t（x）与y=f（x）在x=12a处相切，且过点（1，0），在(12a ，1)之间的点不可能使得y=f（x）在(12a，1)切线下方，所以f(c)=f(c)⇒c=12a=x0或c=1，所以曲线y=f（x）在x=x0（x0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，当且仅当c=x0或c=1时，f(c)=f(c)．。

上海市2022届春季高考数学试卷12题，满分54分，第1~6题每题4分，第题每题5分） (共12题；共54分)1．（4分）已知z=2+i，则z̅=【答案】2-i【解析】【解答】解：∵z=2+i，∴z=2−i故答案为：2-i【分析】根据共轭复数的定义求解即可.2．（4分）已知A=(−1，2)，B=(1，3)，则A∩B=【答案】(1，2)【解析】【解答】解：∵A=(−1，2)，B=(1，3)∴A∩B=(1，2)故答案为：(1，2)【分析】根据交集的定义求解即可.3．（4分）不等式x−1x<0的解集为【答案】(0，1)【解析】【解答】解：由题意得x−1x<0等价于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集为(0，1).故答案为：(0，1).【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可.4．（4分）已知tanα=3，则tan(α+π4)=【答案】-2【解析】【解答】解：由题意得tan(α+π4)=tanα+11−tanα=3+11−3=−2故答案为：-2【分析】根据和角的正切公式求解即可.5．（4分）已知方程组{x+my=2mx+16y=8有无穷解，则m的值为【解析】【解答】解：∵方程组 {x +my =2mx +16y =8 有无穷解， ∴两直线重合 ∴1m =m 16=28 解得m=4 故答案为：4【分析】根据方程组解的个数与直线的位置关系直接求解即可.6．（4分）已知函数 f(x)=x 3 的反函数为 y =f −1(x) ，则 f −1(27)= 【答案】3【解析】【解答】解：∵函数 f(x)=x 3 的反函数为 y =f −1(x) ，∴令x 3=27，得x=3 即 f −1(27)=3 故答案为：3【分析】根据反函数的定义直接求解即可.7．（5分）在 (x 3+1x)12 的展开式中，含 1x 4 项的系数为【答案】66【解析】【解答】解：由题意得 (x 3+1x )12的通项公式为T r+1=C 12r (x 3)12−r(x −1)r=C 12r x36−4r (0≤r≤12，r∈N) 令36-4r=-4，得r=10，则T 11=C 1210x−4=66x −4， 则1x4 项的系数为66.故答案为：66【分析】根据二项式定理直接求解即可.8．（5分）在∈ABC 中， ∠A =π3 ， AB =2 ， AC =3 ，则∈ABC 的外接圆半径为【答案】√213【解析】【解答】解：设AB=c ，AC=b ，BC=a ，则c=2，b=3，则由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA 得a 2=22+32−2×2×3×cos π3=7则由正弦定理得2R =a sinA =√7√32=2√213，则R= √213故答案为： √213【分析】根据余弦定理与正弦定理求解即可.9．（5分）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为 【答案】17【解析】【解答】解：由题意知符合要求的四位数分成三类，①千位数为3或4的四位数，共有C 21A 33=12个；②千位数为2且百位数是3或4的四位数，共有C 21A 22=4个；③千位数为2且百位数是1的四位数，只有一个数：2143. 根据分类加法计数原理得所求四位数的个数为12+4+1=17 故答案为：17【分析】根据分类加法计数原理与根据分步加法计数原理，结合排列组合求解即可.10．（5分）在∈ABC 中， ∠C =π2， AC =BC =2 ，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为【答案】78【解析】【解答】解：由题意知，可以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，2)，B(2，0)，C(0，0)，M(0，1)， 由题意可设P(x ，2-x)，则MP →=(x ，1−x )，CP →=(x ，2−x )， 则MP →·CP →=(x ，1−x )·(x ，2−x )=2x 2−3x +2=2(x −34)2+78≥78(0≤x ≤2)则当x =34时， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为78 故答案为：78【分析】根据平面向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求解即可.11．（5分）已知双曲线 x 2a2−y 2=1(a >0) ，双曲线上右支上有任意两点 P 1(x 1，y 1) ， P 2(x 2，y 2) ，满足 x 1x 2−y 1y 2>0 恒成立，则a 的取值范围是【答案】a ≥1【解析】【解答】解：如图所示，取点P 1关于x 轴对称的点P 3，则P 3(x 2，-y 2)，分别在渐近线上取点M ，N则由 x 1x 2−y 1y 2>0恒成立，得OP 1→·OP 3→>0恒成立， 则∈P 1OP 3恒为锐角， 即∈MON≤90°，则其中一条渐近线y =1a x 的斜率1a ≤1，则 a ≥1故答案为： a ≥1【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.12．（5分）已知 f(x) 为奇函数，当 x ∈[0，1] 时， f(x)=lnx ，且 f(x) 关于直线 x =1 对称，设 f(x)=x +1 的正数解依次为 x 1 、 x 2 、 x 3 、 ⋅⋅⋅ 、 x n 、 ⋅⋅⋅ ，则 lim n→∞(x n+1−x n )= 【答案】2【解析】【解答】解：因为 f(x) 为奇函数，所以f(x)关于原点对称， 又 f(x) 关于直线 x =1 对称， 则函数f(x)的周期为T=4(1-0)=4， 又因为 当 x ∈[0，1] 时， f(x)=lnx ， 作出函数f(x)的图象，如图所示，则由题意知， lim n→∞(x n+1−x n )的几何意义是相邻两条渐近线之间的距离2，即 lim n→∞(x n+1−x n )=2. 故答案为：2【分析】根据函数的图象与性质，结合极限的几何意义，运用数形结合思想求解即可.4题，每题5分，共20分） (共4题；共20)13．（5分）下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A ．y =x −1B ．y =x −12C ．y =x 13D ．y =x 12【答案】C【解析】【解答】解：对于A ， y =x −1的定义域为{x|x≠0}，故A 错误；对于B ， y =x −12的定义域为{x|x>0}，故B 错误； 对于C ， y =x 13的定义域为R ，故C 正确； 对于D ， y =x 12的定义域为{x|x>0}，故D 错误. 故答案为：C【分析】根据函数的定义域，结合幂函数的定义求解即可.14．（5分）已知 a >b >c >d ，下列选项中正确的是（ ）A ．a +d >b +cB ．a +c >b +dC ．ad >bcD ．ac >bd【答案】B【解析】【解答】解：对于A ，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d<b+c ，故A错误；对于B ，因为 a >b >c >d ，即a>b ，c>d ，则根据不等式的性质得 a +c >b +d ，故B 正确； 对于C ， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad<bc ，故C 错误；对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac<bd，故D错误.故答案为：B【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.15．（5分）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A．0B．2C．4D．12【答案】B【解析】【解答】解：根据直线与平面垂直的性质定理易知当相邻两个时钟在3时和9时的时候，时针相互垂直.故答案为：B【分析】根据直线与平面垂直的性质定理求解即可.16．（5分）已知{a n}为等比数列，{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项中正确的是（）A．若S2022>S2021，则数列{a n}单调递增B．若T2022>T2021，则数列{a n}单调递增C．若数列{S n}单调递增，则a2022≥a2021D．若数列{T n}单调递增，则a2022≥a2021【答案】D【解析】【解答】解：对于A，设a n=12n，显然有S2022>S2021，但数列{a n}单调递减，故A错误；对于B，设a n=-2n，显然有T2022>T2021，但数列{a n}单调递减，故B错误；对于C，设a n=12n，显然有数列{S n}单调递增，但a2022<a2021，故C错误；对于D，若数列{T n}单调递增，则T n>T n-1>0，则a n>1，q≥1，则a2022≥a2021，故D正确.故答案为：D【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.5题，共14+14+14+16+18=76分） (共5题；76分)17．（14分）如图，在圆柱 OO 1 中，底面半径为1， AA 1 为圆柱母线.（1）（7分）若 AA 1=4 ，M 为 AA 1 中点，求直线 MO 1 与底面的夹角大小； （2）（7分）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）根据直线与平面所成角的定义，易知 直线MO 1与底面的夹角为∈MO 1A 1 则由题意得tan∠MO 1A 1=A 1MO 1A 1=2，则∈MO 1A 1= arctan2 ；（2）设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ， 则因为圆柱的轴截面为正方形， 所以h=2r=2所以圆柱的侧面积为2πrℎ=2π×1×2=4π 圆柱的体积为 πr 2ℎ=π×12×2=2π【解析】【分析】根据直线与平面所成角的定义，以及圆柱的侧面积与体积公式求解即可. 18．（14分）已知数列 {a n } ， a 2=1 ， {a n } 的前n 项和为 S n .（1）（7分）若 {a n } 为等比数列， S 2=3 ，求 lim n→∞S n ； （2）（7分）若 {a n } 为等差数列，公差为d ，对任意 n ∈N ∗ ，均满足 S 2n ≥n ，求d 的取值范围.【答案】（1）设等比数列的公比为q ，则由题意得a 1=2， 则q =12则S n =a 1(1−q n )1−q =4(1−12n ) 则 lim n→∞S n =lim4n→∞(1−12n )=4（2）由题意得S2n=2n·(a2+a2n−1)2=2dn2+(2−3d)n⩾n则(3-2n)d≤1当n=1时，d≤1；当n≥2时，d≥13−2n恒成立；∵13−2n∈[−1，0)∴d≥0综上d∈[0，1]【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.19．（14分）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知AB=30m，AD=15m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.（1）（7分）若∈ADE =20°，求EF的长；（2）（7分）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）【答案】（1）如图，作DH∈EF，则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∈ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，则S AEFD =152(30tanθ+15cot2θ)=2254(3tanθ+1tanθ)≥225√32当且仅当3tanθ=1tanθ，即tanθ=√33时，等号成立，即当AE =15tanθ=5√3时，最大面积为450−225√32≈255.14m 2【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.20．（16分）在椭圆 Γ：x 2a2+y 2=1 中，直线 l ：x =a 上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F.（1）（5分）若∈AFB =π6 ，求椭圆 Γ 的标准方程；（2）（5.5分）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）（5.5分）已知直线BC 与椭圆 Γ 相交于点P ，直线AD 与椭圆 Γ 相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求 |CD| 的最小值.【答案】（1）由题意知，∵ ∈AFB =π6 ，∴在RT∈BOF 中，BF=2OB ，即a=2b=2 则椭圆 Γ 的标准方程为 x 24+y 2=1 ；（2）由题意知A(-a ，0)，B(0，-1)，C(a ，2)，D(a ，1)， 则直线BC ：y =3ax −1直线AD ：y =12a x +12则由{y =3a x −1y =12a x +12得交点为(3a 5，45)，符合椭圆 Γ：x 2a 2+y 2=1，故交点在椭圆上； （3）设P 为(acosθ，sinθ)，又B(0，-1)， 则K BP =sinθ+1acosθ，则直线BP ：y =sinθ+1acosθx −1，∴点C (a ，sinθ+1cosθ−1)，同理可得，设Q 为(-acosθ，-sinθ)，又A(-a ，0)，则K AQ=sinθacosθ−a，则直线AQ：y=sinθacosθ−a(x+a)，∴点D(a，2sinθcosθ−1)，∴|CD|=sinθ+1cosθ−1−2sinθcosθ−1=2sinθ2cosθ2+sin2θ2+cos2θ2cos2θ2−sin2θ2−4sinθ2cosθ2−2sin2θ2设t=tan θ2，则|CD|=2(11−t+1t)−2∵1a+1b≥4a+b∴11−t+1t≥41−t+t=4∴|CD|≥6即|CD|的最小值为6【解析】【分析】(1)根据椭圆方程，运用数形结合思想求解即可；(2)根据直线的斜截式方程，以及两直线的交点，结合点在椭圆上的判定求解即可；(3)根据直线的斜截式方程，以及直线与椭圆的位置关系，运用换元法，结合两点间的距离公式以及不等式的性质求解即可.21．（18分）已知函数f(x)，甲变化：f(x)−f(x−t)；乙变化：|f(x+t)−f(x)|，t>0.（1）（6分）若t=1，f(x)=2x，f(x)经甲变化得到g(x)，求方程g(x)=2的解；（2）（6分）若f(x)=x2，f(x)经乙变化得到ℎ(x)，求不等式ℎ(x)≤f(x)的解集；（3）（6分）若f(x)在(−∞，0)上单调递增，将f(x)先进行甲变化得到u(x)，再将u(x)进行乙变化得到ℎ1(x)；将f(x)先进行乙变化得到v(x)，再将v(x)进行甲变化得到ℎ2(x)，若对任意t>0，总存在ℎ1(x)=ℎ2(x)成立，求证：f(x)在R上单调递增.【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1，则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2；（2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示①当x≤−t2时，h(x)≤f(x)恒成立；②当x>−t2时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2，解得x≤(1−√2)t或x≥(1+√2)t，综上可得x≤(1−√2)t或x≥(1+√2)t，故解集为：(−∞，(1−√2)t]∪[(1+√2)t，+∞)（3）由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，∵x∈R时，h1(x)=h2(x)恒成立∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……①∵t>0且f(x)在(−∞，0)上单调递增∴x-t<x<0则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立)得f(x-t)<f(x)∴f(x)-f(x-t)>0则由①得{[f(x+t)−f(x)]·[f(x)−f(x−t)]⩾0|f(x+t)−f(x)|≥|f(x)−f(x−t)|=f(x)−f(x−t)>0∴f(x+t)-f(x)>0即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0∴{f(x +t)−f(x)>f(x)−f(x −t)f(x +t)>f(x)f(x)>f(x −t)对t>0都成立，则f(x)在R 上单调递增.【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可；(2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可；(3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可.试题分析部分1、试卷总体分布分析2、试卷题量分布分析3、试卷难度结构分析4、试卷知识点分析。

2022年上海市普通高等学校春季招生真题考试数学试卷一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.2023年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n 2+n （4+b 2）+2b 2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b 2=k 2+k 02，由，得，即Q （，），代入x 2﹣=1，化简，得：，解得b 2=4或b 2=kk 0，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立． 解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数， 又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．2022年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2022.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4. 函数()2f x x =-的定义域为 ；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，6BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为 ；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ）A. πB.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 222a b ab +≥ B. 222a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+， 有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两 个结论，正确的判断是（ ）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射 镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列； （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2nn n b b +-=，记 12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>； （1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x xf x a =+⋅+，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（ ） A. 0 B.2πC. πD. 2π2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为 ； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为 ； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天 下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该 地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天 没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ； 19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)； （2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。