上海市2021届高三上学期一模暨春考数学模拟试卷含答案

2021届高三一模暨春考数学模拟试卷八2020.10.21一､填空题:1.若复数z 满足()12i z i +=(i 是虚数单位),则z =____.2.方程()9310x x ln +-=的根为___.3.从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务,若每一个班级至少有一名代表,则各班的代表数有种___不同的选法.(用数字作答)4.若函数()2103y sin x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π,则ω=___. 5.若函数()af x x =的反函数图像经过点11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭,则a =___. 6.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为321m π,则该几何体的侧面积为___3cm .7､函数()y f x =与y lnx =的图像关于直线y x =-对称,则()f x =___.8.已知抛物线C 的顶点为坐标原点,双曲线22125144x y -=的右焦点是C 的焦点F,若斜率为-1,且过F 的直线与C 交于A ､B 两点,则||AB =___.9､已知()2,3A ,()1,4B ,且()1,2AB sinx cosy =,,,22x y ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则x y +=___.10､将函数y =y 轴旋转一周所得到的几何容器的容积是___.11､张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在ABC ∠中,a ､b ､c 分别是角A ､B ､C 的对边,已知b =,45A ︒∠=,求边c ｡显然缺少条件,若他打算补充a 的大小,并使得c 只有一解,那么,a 的可能取值是___.,(只需要填写一个合适的答案)12､已知数列{}n a 满足:①10a =, ②对任意的*n N ∈都有1n n a a +>成立,函数()11||,[, ]n n n n f sin x a x a a n+=-∈满足:对于任意的实数1)[0,m ∈,()n f x m =总有两个不同的根,则{}n a 的通项公式是___.二､选择题:13.设a,b R ∈,若a b >,则 A.11a b < B.lga lgb >, C.sina sinb > .22a b D >14.已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“0d >”是“4652S S S +>”的A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15.设点M ､N 均在双曲线22:143x y C -=上运动,1F ,2F 是双曲线C 的左､右焦点,则12|2|MF MF MN +-最小值为(A) (B)4 (C) (D)以上都不对16.称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积,设:数列甲:1x 2x ,…,5x 为递增数列,且()*1,2,,5i x N i ∈=数列乙:1y ,2y ,3y ,4y ,5y 满足(){1,1}1,2,,5i y i ∈-=则在甲､乙的所有内积中() A.当且仅当11x =,23x =,35x =,47x =,59x =时,存在16个不同的整数,它们同为奇数B.当且仅当12x =,24x =,36x =,48x =,510x =时,存在16个不同的整数,它们同为偶数C.不存在16个不同的整数,要么同为奇数,要么同为偶数D.存在16个不同的整数,要么同为奇数,要么同为偶数三､解答题:17.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,已知4AB BC ==,18DD =,M 为棱11C D 的中点.(1)求四棱锥M ABCD -的体积(2)求直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值.18.已知函数()2122x f x sin =-. (1)求()f x 在[3,22]ππ上的单调递减区间,(2)设ABC 的内角A ､B ､C 所对应的边依次为a ､b ､c,若211=4111c a b ----且()12f C =, 求ABC 面积的最大值,并指出此时ABC 为何种类型的三角形.19､某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得25万元一1600万元的投资收益,先准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过75万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(即:设奖励方案函数模型为()y f x =时,则公司对函数模型的基本要求是:当25,1[] 600x ∈时,①()f x 是增函数 ②()75f x 恒成立 ③()5x f x 恒成立.) (1)判断函数()1030x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求,并说明理由(2)已知函数()()51g x a =符合公司奖励方案函数模型建立,求实数a 的取值范围.20､在平面直角坐标系中,已知椭圆()222:10,1x C y a a a+=>≠的两个焦点分别是1F ,,2F ,,直线():,l y kx m k m R =+∈与椭圆交于A,B 两点.(1)若M 为椭圆短轴上的一个顶点,且12MF F 是直角三角形,求a 的值(2)若1k =,且OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形,求a 与m 满足的关系(3)若2a =,且14OA OB k k ⋅=-,求证:OAB 的面积为定值.21､如果数列{}n a 对于任意*n N ∈,都有2n n a a d +-=,其中d 为常数,则称数列{}n a 是“间等差数列”,d 为“间公差”.若数列{}n a 满足1235n n a a n ++=-,*n N ∈,()1a a a R =∈.(1)求证:数列{}n a 是“间等差数列”,并求间公差d(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,若n S 的最小值为-153,求实数a 的取值范围(3)类似地:非零数列{}n b 对于任意*n N ∈,都有2n nb q b +=,其中q 为常数,则称数列{}n b 是“间等比数列”,q 为“间公比”｡已知数列{}nc 中,满足()10,c k k k Z =≠∈,11120182n n n c c -+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,*n N ∈,试问数列{}n c 是否为“间等比数列”,若是,求最大的整数k 使得对于任意*n N ∈,都有1n n c c +> 若不是,说明理由.。

2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝．2．（4分）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．4．（4分）不等式＜1的解集为．5．（4分）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为．6．（4分）若方程组无解，则＝．7．（5分）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．8．（5分）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a ＝．9．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示.A运动B运动C运动D运动E运动7点﹣8点8点﹣9点9点﹣10点10点﹣11点11点﹣12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11．（5分）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是．12．（5分）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*（nθ+φ）＜，则θ的最小值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝sinx C．f（x）＝2x D．f（x）＝1 14．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中（）A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R 15．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，下列是f（x）（）A．f（x）为偶函数且关于点（1，1）对称B．f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称C．f（x）为奇函数且关于点（1，1）对称D．f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称16．（5分）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，使得＝0，使得∥（+）；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC 与AD所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2．（1）若sinA＝2sinB，求b、c；（2）若cos（A）＝，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函数的定义域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在21．（18分）已知数列{a n}满足a n≥0，对任意n≥2，a n和a n+1中存的等差中项．在一项使其为另一项与a n﹣1（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即a r＝a s＝a t＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a r+1+a s+1+a t+1的最大值．答案与卡片一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．参考解答：因为等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝a5+9d＝3+3×2＝21．故答案为：21．2．参考解答：∵z＝1﹣3i，∴，则|﹣i|＝|1+2i|＝．故答案为：．3．参考解答：圆柱的底面半径为r＝1，高为h＝2，所以圆柱的侧面积为S侧＝4πrh＝2π×1×8＝4π．故答案为：4π．4．参考解答：＜1⇒＜0，解得，﹣4＜x＜2．故答案为：（﹣7，5）．5．参考解答：∵直线x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为，直线x﹣y+1＝0的斜率为，故直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为﹣＝，故答案为：．6．参考解答：对于方程组，有，根据题意，方程组，所以D＝0，即，故答案为：0．7．参考解答：由题意，＞，且＞，所以n＝6，所以令x＝7，（1+x）6的系数和为86＝64．故答案为：64．8．参考解答：f（x）＝3x+＝3x+1+﹣1≥，所以a＝9，经检验，3x＝2时等号成立．故答案为：9．9．参考解答：∵无穷等比数列{a n}，∴公比q∈（﹣1，1），∴a n＝5，∴（a1﹣a n）＝a1＝5，∴a2＝a1q＝5q∈（﹣4，0）∪（4．故答案为：（﹣4，0）∪（8．10．参考解答：由题意知，至少要选2种运动，AB、EB的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：+++﹣3＝10+10+5+8﹣3＝23（种）．故答案为：23种．11．参考解答：设F1（﹣c，0），F5（c，0）2＝6cx，直线PF1：y＝x+c，联立方程组，y＝2c，所以点P的坐标为（c，2c）7⊥F1F2，又PF所以PF，则c＝﹣3，所以抛物线的准线方程为：x＝﹣c＝1﹣，故答案为：x＝7﹣．12．参考解答：在单位圆中分析，由题意可得nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域（其中∠AOx＝∠BOx＝），所以θ＞∠AOB＝，因为对任意n∈N*都成立，所以∈N*，k∈N*，同时θ＞，所以θ的最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．参考解答：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，C正确，选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，D错误，故选：C．14．参考解答：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}2﹣x﹣5≥0，x∈R}，解得B＝{x|x≥2或x≤﹣6，x∈R}，∁R A＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁R B＝{x|﹣1＜x＜2}；则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，故选：D．15．参考解答：根据题意，依次判断选项：对于A，f（x）＝cos，f（x）为偶函数，1）对称，A错误，对于B，f（x）＝cos（πx），存在最大值，对于C，假设f（x）有最大值，其最高点的坐标为（a，f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，﹣M），又由f（x）的图象关于点（7，1）对称，﹣M）关于点（1，2+M），与最大值为M相矛盾，则此时f（x）无最大值，对于D，f（x）＝sin，D错误，故选：C．16．参考解答：不妨设A（2x，2y），7），0），0），y），①＝（﹣5﹣2x，＝（x﹣1，若＝42＝0，即﹣（6+2x）（x﹣1）＝6y2，满足条件的（x，y）存在，），满足上式；②F为AB中点，（+）＝2，因为G为AD的三等分点，E为AD中点，所以与不共线．故选：B．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．参考解答：（1）∵△PAB为等边三角形，且E为AB中点，∴PE＝2，又PE⊥平面ABCD，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE•S正方形ABCD＝×28＝．（2）∵PE⊥平面ABCD，∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°，∴△PEF为等腰直角三角形，∵E，F分别为AB，∴PE＝FE＝5，∴PB＝＝，∵AD∥BC，∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，又BC⊥AB，PE∩AB＝E、AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝，故PC与AD所成角的大小为arctan．18．参考解答：（1）因为sinA＝2sinB，可得a＝2b，又a＝8，可得b＝1，由于cosC＝＝＝﹣．（2）因为cos（A）＝，可得cosA+sinA＝，又cos2A+sin2A＝7，可解得cosA＝，sinA＝，cosA＝，因为cosC＝﹣，可得sinC＝，可得C为钝角，若sinA＝，cosA＝，可得tanB＝﹣tan（A+C）＝＝，可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，所以sinA＝，由正弦定理．19．参考解答：（1）由题意可得a＝10，c＝202＝300，所以双曲线的标准方程为﹣＝1，直线OP：y＝x，联立双曲线方程，y＝，即点P的坐标为（，）．（2）①|QA|﹣|QB|＝30，则a＝15，所以b2＝175，双曲线方程为﹣＝1；②|QC|﹣|QD|＝10，则a＝3，所以b2＝200，所以双曲线方程为﹣＝1，两双曲线方程联立，得Q（，），所以|OQ|≈19米，Q点位置北偏东66°．20．参考解答：（1）当a＝1时，f（x）＝，由|x+1|﹣1≥5，得|x+1|≥1．∴函数的定义域为（﹣∞，﹣5]∪[0；（2）f（ax）＝，f（ax）＝a⇔，设ax+a＝t≥0，∴有两个不同实数根8，t≥0，∴a＝，t≥0时，方程有2个不同实数根，又a≠0，∴a的取值范围是（2，）；（3）当x≥﹣a时，f（x）＝，在[，此时需要满足﹣a≥，即a，+∞）上递减；当x＜﹣a时，f（x）＝，在（﹣∞，∵a＜0，即当a时，﹣a）上递减．综上，当a∈（﹣∞，﹣，函数f（x）在定义域R上连续．21．参考解答：（1）由题意，2a n＝a n+1+a n﹣3或2a n+1＝a n+a n﹣8，∴2a2＝a8+a1解得a3＝6，2a3＝a7+a1解得a3＝8，经检验，a3＝1，（2）证明：∵a4＝a4＝a7＝3，∴a3＝2a3，或，经检验，；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；综上，a2、a2、a8成等比数列，公比为；（3）由2a n＝a n+1+a n﹣7或2a n+1＝a n+a n﹣2，可知或，由第（2）问可知，a r＝0，则a r﹣2＝5a r﹣1，即a r﹣1﹣a r﹣7＝﹣a r﹣1，∴a r＝0，则＝＝＝，∴，同理，＝，∴，同理，r+1+a s+5+a t+1的最大值．考点卡片1．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A 叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B 的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．2．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B ∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．3．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p 与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．4．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则 f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．5．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．6．有理数指数幂及根式【根式与分数指数幂】规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义常考题型：例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3 D、＝a（a＞0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵，∴B不正确；∵，∴C正确；∵∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【有理数指数幂】（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①a r a s＝a r+s（a＞0，r，s∈Q）；②（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．常考题型：例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、B、a m•a n＝a m•n C、（a m）n＝a m+n D、1÷a n＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，a m÷a n＝a m﹣n，故不成立；B中，a m•a n＝a m+n≠a m•n，故不成立；C中，（a m）n＝a m•n≠a m+n，故不成立；D中，1÷a n＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．7．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f （x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．8．函数的零点与方程根的关系【函数的零点与方程根的关系】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解法】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【考查趋势】考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．9．极限及其运算【知识点的知识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，a n＝0，当|a|＝1时，若a＝1，则a n＝1；若a＝﹣1，则a n＝（﹣1）n 不存在当|a|＞1时，a n＝不存在．（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f （x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．注：①各个函数的极限都应存在．②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．（3）几个常用极限：3．函数的连续性：（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点x＝x0处都连续．（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x0）．（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．10．其他不等式的解法【知识点的知识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：11．基本不等式及其应用【概述】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．【实例解析】例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【基本不等式的应用】1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【解题方法点拨】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．12．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n 项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．13．数列的应用【知识点的知识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．14．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m ＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m •n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【考点分析】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．15．复数的模【知识点的知识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．。

参考答案：一、填空题：1.(,0)-∞ 2.32 3.83π 4.25 5.7 6.7267.2108.(2,4)9.2π10.12b c b +=-⎧⎨<-⎩（或11b c c +=-⎧⎨>⎩）11.312.33-二.选择题13.B14.D 15.A 16.D 三.解答题17、（1）π96；（2）196，7.6；18、（1）123；（2）3max =y ，此时()Z k k x ∈+=6ππ；19、（1）联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧=-=x y x y 4422，解得6=-B A y y ，827=∆AOB S ；（2）设点D 、M 、N 的纵坐标分别为321,,y y y ，AD 为抛物线px y 22=的一条弦，M 是AD 中点，且D A ,两点纵坐标之差为定值，即()021>=-a a y y A ，由已知的结论，得p a p a S AMD 168116233⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆，同理，可得p a p a S BND168116233⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆；20．(1)解设数列{}n a 的公差为d ，由113615511a d a d +=⎧⎨+=⎩，………………………………2分得112a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，n ∈N *；……………………4分(2)对任意m ∈N *，若1212212m m n ++<-<，则2112222m m n +<<+，故222m m m b =-,m ∈N *，…………………………………………………………6分S m =b 1+b 2+…+b m =(22+24+26+…+22m )–(2+22+23+…+2m )=21)21(241)41(4-----m m =322644+⨯-⨯m m ，………………………………8分令4462220183m m ⨯-⨯+>，解得23l 5.34og m +>≈，故所求最小整数m 为6；…………………………………………………………10分(3)1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+，22(21)111(21)(21)(21)n n n n λ-+≤≤+-++，…12分记2(21)1(21)(21)n n A n n -+=-+，211(21)n B n =++，n ∈N *，由221(21)1(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(21)(21)(23)n n n n n A A n n n n n n n +++-+--=-=++-+-++，知12A A =，且从第二项起，{}n A 递增，即1234A A A A =<<< 而211(21)n B n =++递减，故实数λ的范围为[]11,A B ,即210,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………18分【注】求出A 1给3分，求出B 1给2分，结论1分21、解(1)依据题意，知()21f x x =-，若(2)()f a x k f x -=⋅，即2(2)1(21)a x k x --=-.化简得2412x a kx k -+-=-，此等式对R x ∈都成立，则22,41.k a k =-⎧⎨-=-⎩解得1,1.2k a =-⎧⎪⎨=⎪⎩于是，函数()21f x x =-有理想数对1(,1)2-.所以，函数()f x M ∈.证明(2)用反证法证明()g x M ∉.假设()g x M ∈，则存在实数对(,)(0)a k k ≠使得(2)()g a x k g x -=⋅成立.又()2x g x =，于是，222a x x k -=⋅，即2222a x k =⋅.一方面，此等式对R x ∈都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随x 变化而变化的实数.这是矛盾！故假设不成立.因此，函数()g x 不存在理想数对(,)(0)a k k ≠，即()g x M ∉.解(3) 数对(2,1)(1,1)-和都是函数()h x 的理想数对，(4)(),(2)(),R h x h x h x h x x ∴-=-=-∈.(4)(4(4))(2(2))(2)(4(2))(2)().h x h x h x f x h x h x h x ∴+=-+=-+=-+=---=--=∴函数()h x 是以4为周期的周期函数.由(2)(),(2)()0,R h x h x h x h x x -=--+=∈，可知函数()h x 的图像关于点(1,0)成中心对称图形.又11x -≤≤时，2()1h x x =-.13121x x ∴<≤-≤-<时，，则2()(2)(2)1h x h x x =--=--.先画出函数()h x 在[1,3]-上的图像，再根据周期性，可得到函数()h x的图像如下：221(2),2121,()(2)1,212 1.x k k k x k h x x k k k x k ⎧---≤<+⎪∴=⎨---≤<+⎪⎩为偶数，为奇数，2()1(8),79h x x x ∴=--≤≤；2()1(12),1113h x x x =--≤≤.由2()1(8),(79)h x x x y mx ⎧=--≤≤⎨=⎩有且仅有一个交点，解得1616)m m =-=+.由2()1(12),(1113)h x x x y mx ⎧=--≤≤⎨=⎩有且仅有一个交点，解得2424)m m =-=+.∴函数(0)y mx m =>的图像与函数()h x 的图像在区间[0,12]上有且仅有5个交点时，实数m的取值范围是2416m -<<-。

2021年上海市春季高考数学试卷一.填空题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕1．复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是．2．假设log2〔x+1〕=3，那么x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，那么实数a=．7．在△ABC中，假设A=30°，B=45°，，那么AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为〔结果用数值表示〕．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，那么{a n}的各项的和为．10．假设2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，那么实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，那么的最小值为．二.选择题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕13．假设sinα＞0，且tanα＜0，那么角α的终边位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．半径为1的球的外表积为〔〕A．πB． C．2πD．4π15．在〔1+x〕6的二项展开式中，x2项的系数为〔〕A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是〔〕A．B．C．D．17．向量，，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A．1 B．2 C．〔1，0〕D．〔0，2〕18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n〔n∈N*〕的第〔ii〕步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为〔〕A．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕B．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕C．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕D．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕20．关于双曲线与的焦距和渐近线，以下说法正确的选项是〔〕A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f〔x〕的定义域为R，那么“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．以下关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是〔〕A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①假设x1y2﹣x2y1=0，那么；②假设x1x2+y1y2=0，那么．关于以上两个结论，正确的判断是〔〕A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立 24．对于椭圆．假设点〔x 0，y 0〕满足．那么称该点在椭圆C 〔a ，b 〕内，在平面直角坐标系中，假设点A 在过点〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么满足条件的点A 构成的图形为〔 〕 A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部三.解答题〔本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分〕 25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC所成的角的大小．26．函数，求f 〔x 〕的最小正周期及最大值，并指出f 〔x 〕取得最大值时x 的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．28．数列{a n }是公差为2的等差数列． 〔1〕a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；〔2〕设a 1=﹣19，数列{a n }的前n 项和为S n ．数列{b n }满足，记〔n ∈N *〕，求数列{c n }的最小项〔即对任意n ∈N *成立〕．29．对于函数f 〔x 〕，g 〔x 〕，记集合D f ＞g ={x|f 〔x 〕＞g 〔x 〕}．〔1〕设f〔x〕=2|x|，g〔x〕=x+3，求D f；＞g〔2〕设f1〔x〕=x﹣1，，h〔x〕=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．假设函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，那么ϕ的一个值是〔〕A．0 B．C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是〔〕A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆32．函数y=f〔x〕的图象是折线ABCDE，如图，其中A〔1，2〕，B〔2，1〕，C〔3，2〕，D〔4，1〕，E〔5，2〕，假设直线y=kx+b与y=f〔x〕的图象恰有四个不同的公共点，那么k 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕B．C．〔0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，那么该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区2021年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1〔1≤k≤31〕，他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，假设对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，那么称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞．〔1〕设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，假设{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列〞求所有可能的有序数组〔c1，c2，c3〕；〔2〕数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，假设存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞，求t的值所构成的集合．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕1．复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是3．【考点】复数的根本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是3，故答案为：3．2．假设log2〔x+1〕=3，那么x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法那么化简求解即可．【解答】解：log2〔x+1〕=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞〕．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞〕．故答案为[2，+∞〕．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号〔﹣1〕i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：〔﹣1〕1+3||=〔4×2+1×0〕=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，那么实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，可得函数的图象经过点〔1，2〕，即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，∴函数的图象经过点〔1，2〕，∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，假设A=30°，B=45°，，那么AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24〔结果用数值表示〕．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，那么{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为：==3．故答案为：3．10．假设2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么2﹣i〔i为虚数单位〕也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i〔i为虚数单位〕也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+〔2﹣i〕=﹣a，解得a=﹣4．那么a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，那么实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f〔x〕=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2，∴对称轴x=1，∴f〔1〕=0，f〔2〕=1，f〔0〕=1，∵f〔x〕=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，那么的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法那么．【分析】此题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到此题答案．【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB中点M〔x′，y′〕．∵x′=，y′=，∴=〔x1+x2，y1+y2〕=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴〔x﹣3〕2+y2=4，圆心C〔3，0〕，半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=〔AB〕2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕13．假设sinα＞0，且tanα＜0，那么角α的终边位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，那么角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．应选择B．14．半径为1的球的外表积为〔〕A．πB． C．2πD．4π【考点】球的体积和外表积．【分析】利用球的外表积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的外表积为4π×12=4π，应选：D．15．在〔1+x〕6的二项展开式中，x2项的系数为〔〕A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：〔1+x〕6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．应选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是〔〕A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕，可排除A，B；值域为〔0，+∞〕可排除D，应选：C．17．向量，，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A．1 B．2 C．〔1，0〕D．〔0，2〕【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：=1，=1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．应选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，应选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n〔n∈N*〕的第〔ii〕步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为〔〕A．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕B．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕C．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕D．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕，从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，那么当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕，∴从“k→k+1〞需增添的项是2k+1+2〔k+1〕，∴1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕．应选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，以下说法正确的选项是〔〕A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为〔±，0〕，即为〔±2，0〕，渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为〔0，±2〕，渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．应选：B．21．设函数y=f〔x〕的定义域为R，那么“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f〔x〕的定义域为R，假设函数f〔x〕为奇函数，那么f〔0〕=0，反之不成立，例如f〔x〕=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f〔x〕的定义域为R，假设函数f〔x〕为奇函数，那么f〔0〕=0，反之不成立，例如f〔x〕=x2．∴“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的必要不充分条件．应选：B．22．以下关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是〔〕A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的根本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=〔a﹣b〕2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=〔a+b〕2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；应选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①假设x1y2﹣x2y1=0，那么；②假设x1x2+y1y2=0，那么．关于以上两个结论，正确的判断是〔〕A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，那么=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②假设x1x2+y1y2=0，那么=〔〕•=x1x2+y1y2+〔x2y1+x1y2〕=〔x2y1+x1y2〕，无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，那么=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②假设x1x2+y1y2=0，那么=〔〕•=x 1x 2+y 1y 2+〔x 2y 1+x 1y 2〕=〔x 2y 1+x 1y 2〕，无法得到=0，因此不一定正确．应选：A ．24．对于椭圆．假设点〔x 0，y 0〕满足．那么称该点在椭圆C 〔a ，b 〕内，在平面直角坐标系中，假设点A 在过点〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么满足条件的点A 构成的图形为〔 〕 A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A 〔x 0，y 0〕在过点P 〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B 〔﹣2，1〕，点C 〔﹣2，﹣1〕，点D 〔2，﹣1〕，都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A 〔x 0，y 0〕在过点P 〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上， 那么=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B 〔﹣2，1〕，点C 〔﹣2，﹣1〕，点D 〔2，﹣1〕，都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部． 应选：B ．三.解答题〔本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分〕 25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．函数，求f〔x〕的最小正周期及最大值，并指出f〔x〕取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f〔x〕的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px〔p＞0〕，点〔10，12〕代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如下图：那么：设抛物线方程为y2=2px〔p＞0〕，点〔10，12〕在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．数列{a n}是公差为2的等差数列．〔1〕a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；〔2〕设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记〔n∈N*〕，求数列{c n}的最小项〔即对任意n∈N*成立〕．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】〔1〕利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此能求出〔2〕由利用累加法能求出b n=2﹣〔〕n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1数列{c n}的最小项．【解答】解：〔1〕∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8〕〔2〕b n=b1+〔b2﹣b1〕+〔b3﹣b2〕+…+〔b n﹣b n﹣1=1+==2﹣〔〕n﹣1．，，=2n﹣19+2n由题意n≥9，上式大于零，即c9＜c10＜…＜c n，进一步，2n+2n是关于n的增函数，∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，∴．={x|f〔x〕＞g〔x〕}．29．对于函数f〔x〕，g〔x〕，记集合D f＞g〔1〕设f〔x〕=2|x|，g〔x〕=x+3，求D f；＞g〔2〕设f1〔x〕=x﹣1，，h〔x〕=0，如果．求实数a的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】〔1〕直接根据新定义解不等式即可，〔2〕方法一：由题意可得那么在R上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值范围．={x|x＜﹣1或x＞3}；【解答】解：〔1〕由2|x|＞x+3，得D f＞g〔2〕方法一：，，由，那么在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0时成立．以下只讨论a＜0的情况对于，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，〔a＜0〕又t＞0，所以，∴=综上所述：方法二〔2〕，，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．假设函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，那么ϕ的一个值是〔〕A．0 B．C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，即sin〔﹣x+φ〕=sin〔x+φ〕，∴〔﹣x+φ〕=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当〔﹣x+φ〕=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．应选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是〔〕A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，那么|x+yi﹣1|==4，∴〔x﹣1〕2+y2=16，∴运动轨迹是圆，应选：D．32．函数y=f〔x〕的图象是折线ABCDE，如图，其中A〔1，2〕，B〔2，1〕，C〔3，2〕，D〔4，1〕，E〔5，2〕，假设直线y=kx+b与y=f〔x〕的图象恰有四个不同的公共点，那么k 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕B．C．〔0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f〔x〕图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，那么k BE=，直线BE与f〔x〕图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f〔x〕图象最多交于三点，即直线y=与f〔x〕图象最多交于三点，∴k≠．排除D．应选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，那么该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区2021年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1〔1≤k≤31〕，他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，假设对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，那么称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞．〔1〕设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，假设{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列〞求所有可能的有序数组〔c1，c2，c3〕；〔2〕数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，假设存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】〔1〕利用“并数列〞的定义即可得出．〔2〕利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：〔1〕〔1，2，3〕，〔1，2，5〕，〔1，3，3〕，〔1，3，5〕；〔2〕a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k 或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．2021年7月25日。

参考答案：一．填空题：1、4(,)+∞；2、22；3、()13,；4、4；5、712；6、0；7、；8、3[0,3；9、(],1-∞-；10、11[,]83；11、[6-+；12、(3-+；二．选择题：13、D；14、A；15、A；16、B；三．解答题：17、（1）,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤=∈-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π；18、（1）322arccos ；（2）42162米。

19、（1）35；（2）1[,)4a ∈+∞．20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a == ，又焦距为4，则224a b +=，…………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>，………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅< ，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，……………………………4分即223503m m -<-，则153m <<-或153m <<，即实数m的取值范围1515()33- .…………………6分（3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -.设00(,)D x y，由（1）得点B ，又点P 是线段BD 的中点，则点003(,)22x y P +，……………2分直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000()22y x x y x y -+-=-，即200000322x x y y x y y --=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x --++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x --+=-+，即02(3)1(33x x x +-+=，则0234x x =，即点Q的横坐标为024x +，……………5分则4p q x x -==.故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.……6分说明：看作是PQ 在OB 或(1,0)i = 方向上投影的绝对值，请相应评分.21、解：（1）(1)1f =，(2)2f =，猜想()f n n =；（2）98n a n =-，由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n ，21199m m m t --∴=-，352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=--，2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S ；（3）1sin ,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+==*1()2n n n N πθ+⇒=∈，1tan,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈，11sin ,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知：1111sin ()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<=。

2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十2020.11.3一.填空题:1.已知幂函数的图像过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭,则该幂函数的单调递增区间是____. 2.若n S 是等差数列()*{}:1,2,5,8...n a n ∈-N 的前n 项和,则2lim 1n n S n →∞=+____. 3.其侧面展开图是圆心角为的23π扇形,则该圆锥体的体积是____. 4.已知1F 、2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点,P 是椭圆上一个动点,则12||||PF PF ⨯的最大值是____. 5.已知x ､y 满足10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则目标函数2k x y =+的最大值为____.6.从一副混合的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A 为“抽得红桃K”,事件B 为“抽得为黑桃”,则概率()P A B ⋃=____. (结果用最简分数表示)7.在10321x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项的值是____. (结果用数值表示) 8.无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2,公比0q <,则首项1a 的取值范围是____.9.在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球,它与二面角的两个半平面相切于A ､B 两点,则这两个点在球面上的距离是____.10.已知函数()1||||1f x x =-,关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同实数根,则实数b ､c 满足的关系式是____.11.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,若i a j a 的夹角记为,ij θ其中,{1,2,3,4,5}i j ∈,且i j ≠,则||i ij a cos θ⋅的最大值为____.12.如图,1l ,2l 是过点M 夹角为3π的两条直线,且与圆心为O,半径为1的圆分别相切,设圆周上一点P 到1l ､2l的距离分别为1d ､2d ,那么122d d +的最小值为____.二.选择题:13.已知α､β是空间两个不同的平面,则“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“//αβ”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件14.为了得到函数()33y sin x cos x x R =+∈的图像,可以将函数3y x =的图像()A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 15.欧拉公式ix e cosx isinx =+(i 为虚数单位,x ∈R ,e 为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,2018i e 表示的复数在复平面中位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.给出下列四个命题:(1)函数()11y arccosx x =-的反函数为()y cosx x R =∈;(2)函数()21m m y x m N +-=∈为奇函数;(3)参数方程22211()21t x t t R t y t ⎧-=⎪⎪+∈⎨⎪=⎪+⎩所表示的曲线是圆;(4)函数()22132xf x sin x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,当2017x >时,()12f x >恒成立; 其中真命题的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个三.解答题:17.如图,一个圆锥形量杯的高为12厘米,其母线与轴的夹角为30︒｡ (1)求该量杯的侧面积S;(2)若要在该圆锥形量杯的一条母线PA 上,刻上刻度,表示液面到达这个刻度时,量杯里的液体的是多少,当液体体积是100立方厘米时,刻度的位置B 与顶点P 之间的距离是多少厘米(精确到0.1厘米)?18.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点(P -.(1)求行列式sin 1tan cos ααα的值; (2)若函数()()()()f x cos x cos sin x sin x αααα=+++∈R ,求函数()2222y x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值,并指出取得最大值时x 的值.19.给出定理:在圆锥曲线中,AB 是抛物线Γ:()220y px p =>的一条弦,C 是AB 的中点,过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D,若A ､B 两点纵坐标之差的绝对()||0A B y y a a -=> ,则ADB 的面积316ADB a S p =,试运用上述定理求解以下各题: (1)若2p =,AB 所在直线的方程为24y x =-,C 是AB 的中点,过C 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ的交点为D,求ADB S ；(2)已知AB 是抛物线Γ()2:20y px p =>的一条弦,C 是AB 的中点,过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D,E ､F 分别为AD 和BD 的中点,过E ､F 且平行于x 轴的直线与抛物线()2:20y px p Γ=>分别交于点M ､N,若A ､B 两点纵坐标之差的绝对值()||0A B y y a a -=>,求AMD S和BND S .20.在等差数列{}n a 中,13515a a a ++=,611a =.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)对任意*m ∈N ,将数列{}n a 中落入区间()1212,2m m ++内的项的个数记为{}m b ,记数列{}m b 的前m 项和为m S ,求使得2018m S >的最小整数m;(3)若*n ∈N ,使不等式()111121n n n n a n a a a λ+++++成立,求实数λ的取值范围.21.定义:若函数()f x 的定义域为R,且存在实数a 和非零实数k(a ､k 都是常数),使得()()2f a x k f x -=⋅对x R ∈都成立,则称函数()f x 是具有“理想数对(),a k ”的函数,比如,函数()f x 有理想数对()2,1- ,即()()4f x f x -=-,()()40f x f x -+=,可知函数图像关于点()2,0成中心对称图形,设集合M 是具有理想数对(),a k 的函数的全体.(1)已知()21f x x =-,x R ∈,试判断函数()f x 是否为集合M 的元素,并说明理由;(2)已知函数()2xg x =,x R ∈,证明:()g x M ∉; (3)数对()2,1和()1,1-都是函数()h x 的理想数对,且当11x -时,()21h x x =- ,若正比例函数()0y mx m =>的图像与函数()h x 的图像在区间[]0,12上有且仅有5个交点,求实数m 的取值范围.。

2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十三2020.11.24一.填空题:1.设12,1i z i i-=++则|z|=____. 2522.()x x+的展开式中,4x 的系数为____. 3.已知椭圆22194x y +=的左､右焦点分别为12,F F 、若椭圆上的点P 满足12||2||,PF PF =则1||PF =____. 4.如图所示,在复平面内,网格中的每个正方形的边长都为1,点A ､B 对应的复数分别是12,z z 、则21||z z =____.5.已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4,则首项1a 的取值范围是____.6.设函数()() 02f x sin x ωω=<<,将f(x)图像向左平移23π单位后所得函数图像与原函数图像的对称轴重合,则ω=____.7.已知数列{}n a 中,*11111,(),2n n n a a a n -+=-=∈N 则lim n n a →∞=____. 8.某地开展名优教师支教活动,现有五名名优教师被随机分到A ､B ､C 三个不同的乡镇中学.现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学,可以有乡镇中学不分配到名优教师,则不同的分配方案共有____种.9.已知对于任意给定的正实数k,函数()22x x f x k -=+⋅的图像都关于直线x=m 成轴对称图形,则m=____.10. 如图,一一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上,另两个顶点C ､D 在函数2(),01x f x x x=>+的图像上,则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是____.11.已知向量12,e e 是平面α内的一组基向量, O 为α内的定点,对于α内任意一点P ,12OP xe ye =+时,则称有序实数对(x,y)为点P 的广义坐标,若点A ､B 的广义坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、,对于下列命题: ①线段A ､B 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++；②A ､B③向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =；④向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120.x x y y +=其中的真命题是_____. (请写出所有真命题的序号)12. 已知函数f(x)的定义域为R ,且()()·1f x f x -=和()()114f x f x ⋅+-=对任意的x ∈R 都成立,若当x ∈[0,1]时,f(x) 的值域为[1,2],则当x ∈[-100,100]时,函数f(x)的值域为____.二.选择题:13. 长轴长为8,以抛物线212y x =的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为() 2264.155x y A += 2264.128x y B += 2225.116x y C += 2216.17x y D += 14. 对于两条不同的直线m ､n 和两个不同的平面α､β,以下结论正确的是( )A.若, // ,m n m n αβ､是异面直线,则α､β相交B. 若,,//m m n αβα⊥⊥,则n//βC.,// ,m n m n αα､共面于β,则m// nD.若,,m n αβαβ⊥⊥､不平行,则m ､n 为异面直线15. 已知b ､c ∈R,若2||x bx c M ++≤对任意的x ∈[0,4]恒成立,则(A) M 的最小值为1 (B) M 的最小值为2(C) M 的最小值为4 (D) M 的最小值为816. 已知集合M ={1,2,3,...,10}, 集合A ⊆M,定义M(A)为A 中元素的最小值,当A 取遍M 的所有非空子集时,对应的M(A)的和记为10,S 则10S =(A) 45(B) 1012 (C) 2036 (D) 9217三.解答题:17､已知函数2()cos 2sin f x x x x =-. (1)求f(x)的最大值;(2)在△ABC 中,内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c,若f(A)=0, b ､a ､c 成等差数列,且2,AB AC ⋅=求边a 的长.18. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3,1 5.A D =(1)求该正四棱柱的侧面积与体积;(2)若E 为线段1A D 的中点,求BE 与平面ABCD 所成角的大小.19､某企业生产的产品具有60个月的时效性,在时效期内,企业投入50万元经销该产品,为了获得更多的利润,企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中.市场调研表明,该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是**10,110()(),1160()n n f n n n n ⎧≤≤∈=⎨≤≤∈⎩N N (单位:万元).记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的利润截止到第个月投入的资金总和,例(3)(3).50((1)(2))10%f g f f =++⨯(1) 求第n 个月的当月利润率;(2)求该企业在经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.20､已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10,椭圆C 经过点16(3,).5 (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1,l 直线1l 上存在M ､N 两点满足OM ⊥ON,求△OMN 面积的最小值;(3)若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A ､B 两点,交x 轴于定点M,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N,且||||AB MN 为定值,求点M 的坐标.21.对于给定数列{},n a 若数列{}n b 满足:对任意*,n ∈N 都有11()()0,n n n n a b a b ++--<则称数列{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”(1)若,n n n b a c =+且数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”,试写出{}n c 的一个通项公式,并说明理由;(2)设21,n a n =-证明:不存在等差数列{},n b 使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”;(3)设112,n n n n a b b q --==⋅(其中q<0),若:{}n b 是{}n a 的“相伴数列”,试分析实数b ､q 的取值应满足的条件.。

2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十一2020.11.10一.填空题:1.方程1lg 3lg =011x x +-的根是______. 2.已知3455sin cos i αα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数(i 是虚数单位),则4sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____. 3.已知直线l 的一个法向量是()3,1n =-,则l 的倾斜角的大小是_____. 4.已知函数()()23x f x a a a R =⋅+-∈的反函数为()1y fx -=,则函数()1y f x -=的图像经过的定点的坐标为_____.5.在()10x a -的展开式中,7x 的系数是15,则实数a =_____.6.已知点()2,3A 到直线()130ax a y +-+=的距离不小于3,则实数a 的取值范围是_____.7.以两条直线1:20l x y +=和2:350l x y ++=的交点为圆心,并且与直线315x y ++相切的圆的方程是_____.8.已知球的半径为24cm,一个圆锥的高等于这个球的直径,而且球的表面积等于圆锥的表面积,则这个圆锥的体积是_____3cm (结果保留圆周率π)9.集合12{|,12}A y y log x x x ==-,2{|510}B x x tx =-+,若A B A ⋂=,则实数t 的取值范围是_____.10.如图,向量OA 与OB 的夹角为120︒,||2OA =,||1OB =,P 是以O 为圆心､||OB 为半径的弧BC 上的动点,若OP OA OB λμ=+,则λμ的最大值是_____.11.已知向量(),a cos sin αα=,(),b cos sin ββ=,且3παβ-=,若向量c 满足||1c a b --=,则||c 的最大值为_____. 12.若无穷数列{}n a 满足:10a ,当*n ∈N ,2n 时,1121||{,,,}n n n a a max a a a ---=,(其中1{,max a 2a ,…,1}n a -表示1a ,2a ,…,1n a -中的最大项),有以下结论:①若数列{}n a 是常数列,则()*0n a n =∈N ;②若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列,则0d <;③若数列{}n a 是公比为q 的等比数列,则1q >;④若存在正整数T,对任意*n ∈N ,都有n T n a a +=,则1a 是数列{}n a 的最大项.则其中的正确结论是_____.(写出所有正确结论的序号)二选择题:13.两条相交直线l ､m 都在平面α内,且都不在平面β内,若有甲:1和m 中至少有一条直线与β相交,乙:平面α与平面β相交,则甲是乙的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 14.若曲线||2y x =+与22:144x y C λ+=恰有两个不同交点,则实数入取值范围为() A.(](),11,-∞-⋃+∞B.(],1-∞-C.()1,+∞D.[)()1,01,-⋃+∞ 15.下列四个命题:①若复数1z ､2z 的模相等,则1z ､2z 是共轭复数;②1z ､2z 都是复数,若12z z +是虚数,则1z 不是2z 的共轭复数;③复数z 是实数的充要条件是z z =;(z 是z 的共轭复数)④已知复数112z i =-+,21z i =-,332z i =-(i 是虚数单位),它们对应的点分别为A ､B ､C,O 为坐标原点,若(),OC xOA yOB x y =+∈R ,则1x y +=.其中正确命题的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知函数122|1|log (1),1()23,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩()n m <的值域是[]1,1-,有下列结论: ①当0n =时,(]0,2m ∈; ②当12n =时,1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,[]1,2m ∈; ④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,(],2m n ∈ 其中结论正确的所有的序号是().(A)①②(B)③④ (C)②③ (D)②④三.解答题:17.如图,自动卸货汽车采用液压机构,设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度,已知车厢的最大仰角为60︒,油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米,AB 与水平线之间的夹角为620︒',AC 的长为1.40米,计算BC 的长(结果保留3个有效数字,单位:米).18.如图,已知AB 是圆锥SO 的底面直径,O 是底面圆心,SO =4AB =,P 是母线SA 的中点,C 是底面圆周上一点,60AOC ︒∠=.(1)求圆锥的侧面积;(2)求直线PC 与底面所成的角的大小.19.对于函数()()y f x x D =∈,,如果存在实数(0a b a ≠、,,且1a =､0b =不同时成立),使得()()f x f ax b =+对x D ∈恒成立,则称函数()f x 为“(),a b 映像函数”.(1)判断函数()22f x x =-是否是“(),a b 映像函数”,如果是,请求出相应的a ､b 的值,若不是,请说明理由; (2)已知函数()y f x =是定义在[)0,+∞上的“()2,1映像函数”,且当[)0,1x ∈时,()2x f x =,.求函数()[)()3,7y f x x =∈的反函数.20.如图,已知满足条件|3|||z i i -=(其中i 为虚数单位)的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C(圆心为C),设复平面xOy 上的复数(),z x yi x R y R =+∈∈对应的点为(),x y ,,定直线m 的方程为360x y ++=,过()1,0A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点,与圆C 相交于P ､Q 两点,M 是弦PQ 中点.(1)若直线l 经过圆心C,求证:l 与m 垂直;(2)当||PQ =,求直线l 的方程;(3)设t AM AN =⋅,试问t 是否为定值?若为定值,请求出t 的值,若t 不为定值,请说明理由.21.将n 个数1a ､2a ､…､n a 的连乘积123...n a a a a ⋅⋅记为1n i i a =∏,将n 个数1a ､2a ､…､n a 的和12n a a a +++记为()*1n ii a n =∈∑N . (1)若数列{}n x 满足11x =,21n n n x x x +=+,设111i i n nP x =∏=+,111n n i i S x ==+∑,求55P S +; (2)用[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[]22=,,[]3.43=,,[]1.82-=-,,若数列{}n x 满足11x =,,21n n n x x x +=+,求20191[]1i i ix x =+∑的值; (3)设定义在正整数集N 上的函数()f n 满足:当()()()*1122m m m m n m -+<∈N 时，()f n m =,问是否存在正整数n,使得()12019n i f i ==∑?若存在,求出n 的值;若不存在,说明理由.(已知()()211216nin n ni=++=∑，例如182118193721096ii=⨯⨯==∑)。