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2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题 A · 解析版选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{|13}M x x =≤<，{1,2}N =，则M N =A ．{1}B ．{1,2}C ．0D ．[1,2]1．【答案】B【解析】由交集定义可得：{}1,2MN =，故选B ．2．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|12}x x -<< C ．1{|2x x >-或1}x ≤- D ．}{|21x x x ><-或2．【答案】A【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知，不等式(1)(2)0x x +-≤的解是12x ≤≤－，故选A ． 3．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79C ．79-D ．89-3．【答案】B【解析】227cos 212sin 199αα=-=-=，故选B ． 4．圆224210x y x y +--+=的圆心在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．【答案】A【解析】化简224210x y x y +--+=得到22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)，在第一象限，故选A ．5．双曲线方程为x 2−2y 2=1，则它的左焦点的坐标为A ．，0)B ．0)C ．0)D ．0)5．【答案】C【解析】由2222211121x y x y ⇒－＝－＝，可得21a =，212b =，由22213+1=22c a b =+=，得c =，所以左焦点坐标为0).故选C ． 6．已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b，||+=a b ⋅=a b A ．12B ．1 CD ．26．【答案】A【解析】由||+=a b 2()6+=a b ，即2226+⋅+=a a b b ，又||1=a ，||2=b ，则12⋅=a b .所以本题答案为A ．7．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则z =2x ＋y 的最大值是A ．2B ．3C ．4D ．57．【答案】B【解析】如图，先根据约束条件画出可行域，当直线z =2x +y 过点A （2，﹣1）时，z 最大，最大值是3，故选B ．8．若平面α和直线a ，b 满足a A α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是 A ．相交 B ．平行C ．异面D ．相交或异面8．【答案】D【解析】当A b ∈时，a 与b 相交；当A b ∉时，a 与b 异面.故答案为D. 9．过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为A ．20x y +-=B ．20x y --=C ．20x y ++=D ．20x y -+=9．【答案】A【解析】由0x y -=可得直线斜率11k =，根据两直线垂直的关系得121k k ⋅=-，求得21k =-，再利用点斜式，可求得直线方程为1(0)2y x =--+，化简得20x y +-=，故选A. 10．函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．【答案】B【解析】由函数32()log (||1)f x x =-，可知函数()f x 是偶函数，排除C ，D ；定义域满足：10x ->，可得1x <-或1x >．当1x >时，32()log (||1)f x x =-是递增函数，排除A.故选B ．11．设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．【答案】B【解析】若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件.若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如133a b ==，，从而333a b >>不成立.故选B ． 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12πB ．64π3C ．32π3D ．16π12．【答案】C【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故22141148π32ππ()4π()48π2223233V =⋅⨯+⨯⋅⨯=+=，故选C ． 13．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．913．【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，611||||a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d <>=-=-，有2[(8)64]2n dS n =--，所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C ． 14．将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 14．【答案】B【解析】将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x = 2ππcos(2)sin 236x x =+-=-的图象，故()g x 为奇函数，且最小正周期为2ππ2=，故A 错误，B 正确；令2πx k =，k ∈Z ，得π2k x =，k ∈Z ，则函数()g x 的图象关于点π(,0)2k ，k ∈Z 对称，故C 错误； 令π2π2x k =+，k ∈Z ，得ππ24k x =+，k ∈Z ，则函数()g x 的图象关于直线ππ24k x =+，k ∈Z 对称，故D 错误. 故选B ．15．在三棱锥P ABC -中，,3,2PB BC PA AC PC ====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A ．13B C ．23D【解析】如图所示，取PC 中点为D ，连接,AD BD ，因为过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，所以α即为平面ABD.又因为PA AC =，所以PC AD ⊥，又PB BC =，所以PC BD ⊥，且AD BD D =，所以PC ⊥平面ABD ，所以PA 与平面α所成角即为PAD ∠，因为2PC =，所以1PD =，所以1sin 3PD PAD PA ∠==，所以cos 3PAD ∠==，故选D ． 16．已知直线10x +=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为 A ．13B ．23CD16．【答案】D【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，∵点,A B 在椭圆22221x y a b +=上，∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减整理得2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，∴20122012y y y b x x x a -⋅=--，即22OM AB b k k a⋅=-，∴221tan1503b a==-=-，∴2213b a =，∴椭圆C的离心率为3e ===．故选D ． 17．已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a =A ．17B ．37C ．57D ．67【解析】数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，167a =，21324653362121,21,2,77777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=3n n a a +∴=，202067331167a a a ⨯+∴===．故选D ． 18．如图，在Rt ABC △中，6AB BC ==，动点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，四边形BDEF 为矩形，剪去矩形BDEF 后，将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD =A ．2B ．3C ．4D．18．【答案】B【解析】设BD x =，BF y =，其中,(0,6)x y ∈，由题易得666x y -=， 所以6x y +=，则所求几何体的表面积为：212π6π62π2S xy =⨯⨯⨯⨯+236π2π36π2π()54π2x y xy +=++≤++⨯=+，当且仅当3x y ==，即3BD =时等号成立.故选B.非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =________，1l 与2l 之间的距离为________. 19．【答案】−1【解析】由两直线平行，得1a =－，在直线1:10l x y -+=上任取一点（0，1），到直线2:30l x y -+=的距离为d=.故答案为−1.20．函数0()(2)f x x =-的定义域为________.20．【答案】[)()0,22,+∞【解析】因为21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩，所以02x x ≥⎧⎨≠⎩，则定义域为[)()0,22,+∞，故答案为[)()0,22,+∞.21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里． 21．【答案】84【解析】由题意画出图象：且AB =13里，BC =14里，AC =15里，在△ABC 中，由余弦定理得，cos B =2222AB BC AC AB BC +-⋅=22213141521314+-⨯⨯=513， 所以sin B=1213， 则该沙田的面积即△ABC 的面积S =12AB •BC •sin B =1121314213⨯⨯⨯=84．故答案为84． 22．已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-．若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则实数a 的值为________.22．【答案】13-【解析】不等式12|()|()f x g x ≤可化为：()()()212g x f x g x -≤≤，若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则min minmax max [()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩，当[]23x ∈，时，()21g x x =-的最大值为()22221g ==-； 当[]03x ∈，时，()223f x x x a =-+的最大值为()23323333f a a =-⨯+=+，最小值为()21121313f a a =-⨯+=-+，所以min min max max[()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩可化为231332a a -≤-⎧⎨+≤⎩，解得1133a -≤≤-.故13a =-.三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若π3B =，且3(7())a b c a b c bc -++-=， （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）若5a =，求b . 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由3(7( ))a b c a b c bc -++-=，可得22222()327a b c a b c bc bc ----+=＝，即222117a b c bc =+-，即222117b c a bc +-=，（3分） 由余弦定理可得22211cos 214b c a A bc +-==.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数的基本关系式，可得sin A ==7分） 在ABC △中，由正弦定理可得sin sin b a B A =，所以5sin 275sin a B b A ===.（10分） 24．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，满足124y y =-.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点C 的坐标为(2,0)-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值. 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为直线AB 过焦点(,0)2pF ，设直线AB 的方程为2p x my =+， 将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=， 所以有2124y y p =-=-，0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程为24y x =.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，则直线AB 的方程为1x my =+， 联立抛物线的方程得2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-， 则有1113m k y =+，2213m k y =+，（6分） 因此22222221212121211331111()()=26()9()m m m m k k y y y y y y +=+++++++ ()212122122212122269y y y y y y m m y y y y +-+=+⋅+⋅ ()222484926954162m mm m m +=+⋅+⋅=+-.（9分） 因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92.（10分） 25．（本小题满分11分）已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1，设()()g x f x x=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x x x f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点，求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）． 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）因为()()21g x x m =-+在[1,2]上是增函数， 所以()()()2max 2211g x g m ==-+=，解得0m =．（2分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()12f x x x=+-， 所以不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[3,9]x ∈上恒成立等价于()2331221log log k xx ≤-+在[3,9]x ∈上恒成立.（3分） 令31log t x =，因为[]3,9x ∈，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则有2221k t t ≤-+在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.（4分）令()221s t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()min 10s t s ==，所以20k ≤，即0k ≤，所以实数k 的取值范围为(],0-∞．（6分） （Ⅲ）因为()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=，令e 1xq =-，由题意可知[0,)q ∈+∞，令()()23221H q q k q k =-+++，[0,)q ∈+∞，（7分）则函数()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=有三个不同的零点等价于()()23221H q q k q k =-+++在[0,)q ∈+∞上有两个不同的零点，（8分）当0q =时12k =-，此时方程()100,2H q q q =⇒==，此时关于x 的方程有三个零点，符合题意； 当0q ≠时，记方程()0H q =的两根为1q ，2q ，且12q q <，101q <<，21q ≥，所以()()00100H H >⎧⎪≤⎨⎪∆>⎩，解得0k >.综上，实数k 的取值范围是(0,)+∞1{}2-．（11分）。
数学试题B选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合*{|05,}A x x x =<<∈N ，2{|60}B x x x =--=，则A B =A ．{|13}x x <<B ．{|03}x x <<C ．{3}D ．{1,2,3}1．【答案】C2．已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也不必要条件2．【答案】B3．设函数1(),1x f x x x ≥=-<⎪⎩，则((1))f f -=A ．−1B ．0C ．1D ．33．【答案】B4．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为A ．4B ．C ．D ．4．【答案】A5．若函数π()sin()6f x x ω=+（0>ω）的最小正周期为5π，则ω= A ．5 B ．10 C ．15D ．205．【答案】B6．设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则 A ．c b a >> B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>6．【答案】C7．满足|1||1|1x y -+-≤的图形面积为 A ．1 B ．2C ．2D ．47．【答案】C8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．7π6B ．4π3C ．2πD ．13π68．【答案】A9．已知1{}1n a +是等差数列，且114a =，41a =，则11a = A ．−12 B ．−11C ．−6D ．−59．【答案】C10．若向量(1,1,2)=-a ，(2,1,3)=-b ，则||+=a bA 7B ．22C ．3D 1010．【答案】D11．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=，a b ∥，则下列结论不可能成立的是 A ．b β⊄，且b α∥ B ．b α⊄，且b β∥ C ．b α∥，且b β∥ D ．b 与α、β都相交11．【答案】D12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆C 被直线y x =截得的弦长为C 的方程为 A ．22(2)9x y ++= B ．22(2)9x y -+= C ．22(1)6x y ++= D ．22(1)6x y -+=12．【答案】B13．若两个非零向量a 、b ，满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量+a b 与a 的夹角为A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π 13．【答案】C14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c b -=，sin cos 3sin cos A C C A =，则b 的值为A ．2B ．3C ．4D ．514．【答案】C15．已知函数()254f x x x kx =-+-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅=A ．4B ．6C ．8D ．1215．【答案】C16．设二次函数2()f x x ax b =++，若对任意的实数a ，都存在实数2[]1,2x ∈使得不等式|()|f x x ≥成立，则实数b 的取值范围是 A ．1(,][2,)3-∞-+∞ B ．11(,][,)34-∞-+∞C ．11(,][,)49-∞+∞ D ．19(,][,)34-∞-+∞16．【答案】D17．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、在抛物线C 上，且满足4OA OB ⋅=-，||||43FA FB -=，则FA FB ⋅为 A ．11- B ．12-C ．13-D ．14-17．【答案】A18．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD △绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有A ．EFK α∠≤B ．EFK α∠≥C ．EDK α∠≤D ．EDK α∠≥18．【答案】B非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知π(0,)6a ∈，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______.19．【答案】12;4520．已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则k =______.20．【答案】1或−321．已知向量(,1)m =a ，(4,2)n =-b ，0m >，0n >，若∥a b ，则18m n+的最小值为______. 21．【答案】9222．已知数列{}n a 满足113a =，1340n n a a ++-=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则满足不等式1|9|1000n S n -->的n 的最大值为______. 22．【答案】8三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥. 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为5sin 7sin c B a C =，所以5757cb ac b a =⇒=，又2b c a +=，所以73,255b ac a b a ==-=.（3分） 所以22222237()()155cos 32225a a a a c b B a ac a +-+-===-⋅⋅.（5分） （Ⅱ）因为0πB <<，1cos 2B =-，所以2π3B =.（6分） 所以1()sin()22π3f x x =+≥23ππ5π2π2π,66k x k k ⇒+≤+≤+∈Z ，（8分） 解得x ∈ππ[2π,2π]26k k -+，k ∈Z .（10分）24．（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，点P （2，3）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P引圆222(3)(03)x y r r +-=<<的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距为4，所以c ＝2，则左焦点为F 1（﹣2，0），右焦点为F 2（2，0），所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，所以2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝5+3＝8，即4a =，（2分） 所以b 2=a 2−c 2=12，故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（4分）（Ⅱ）设PA ：1(2)3y k x =-+，则r =，所以2221(4)0r k r -+=；设PB ：2(2)3y k x =-+，则r =，所以2222(4)0r k r -+=，所以1k ，2k 为方程222(4)0r k r -+=的两根，即120k k +=．（6分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立122(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有()()2222111113416241648120k x k k x k k +--+--=，2111211624234k k x k -+=+，221111122111624824623434k k k k x k k ---=-=++． 同理联立222(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：211221824634k k x k +-=+，（8分） 则()121121211121212124434148234ABk k x k y k k x x x y k k x x -++-+====--+．故直线AB 的斜率是定值，且定值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知函数21()log ()()f x a a x=+∈R .（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域；（Ⅱ）若对任意[2,4]t ∈，12,[1,1]x x t t ∈-+，均有12|()()|2f x f x -≤，求a 的取值范围.25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）当1a =时，()21log (1)f x x=+， 因为[1,)x ∈+∞，所以(]111,2x +∈，则()(]21log (1)0,1f x x=+∈， 所以()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域为(]0,1.（3分） （Ⅱ）依题意对任意[]2,4t ∈，[]1,1x t t ∈-+，10a x+>恒成立， 所以101a t +>+在[]2,4t ∈时恒成立，则15a >-.（5分） 对任意[]2,4t ∈，函数()f x 在区间[]1,1t t -+上单调递减，由已知[]12,1,1x x t t ∈-+，均有()()122f x f x -≤，所以2211log ()log ()211a a t t +-+≤-+在[]2,4t ∈时恒成立， 即214533111t a t t t -≥-=-+-在[]2,4t ∈时恒成立.（7分） ①当0a ≥，[]2,4t ∈时，25301tt -<-，则0a ≥符合题意.（8分） ②当105a -<<时，25331t a t -≥-在[]2,4t ∈时恒成立，则215(1)03t t a a+-+≤在[]2,4t ∈时恒成立，令()215(1)3g t t t a a =+-+，所以()()1230,374150,310,5g a g a a ⎧=+≤⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩则109a -≤<.（10分） 由①、②可得a 的取值范围为19a ≥-.（11分）gm。
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A （附解析）选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合{|13}M x x =≤<，{1,2}N =，则M N =A ．{1}B ．{1,2}C ．0D ．[1,2] 2．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|12}x x -<<C ．1{|2x x >-或1}x ≤- D ．}{|21x x x ><-或 3．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 4．圆224210x y x y +--+=的圆心在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．双曲线方程为x 2−2y 2=1，则它的左焦点的坐标为A ．(−2，0) B ．(−2，0) C ．(−20) D ．0)6．已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，||+=a b ⋅=a bA ．12B ．1 CD ．2 7．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则z =2x ＋y 的最大值是A ．2B ．3C ．4D ．58．若平面α和直线a ，b 满足a A α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是 A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．相交或异面 9．过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为A ．20x y +-=B ．20x y --=C ．20x y ++=D ．20x y -+= 10．函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．11．设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12πB ．64π3 C ．32π3D ．16π 13．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．914．将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 15．在三棱锥P ABC -中，,3,2PB BC PA AC PC ====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A ．13 B C ．23 D16．已知直线10x +=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为A ．13 B ．23 CD17．已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a = A ．17 B ．37 C ．57 D ．6718．如图，在Rt ABC △中，6AB BC ==，动点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB上，四边形BDEF 为矩形，剪去矩形BDEF 后，将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD =A ．2B ．3C ．4 D．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =________，1l 与2l 之间的距离为________.20．函数0()(2)f x x =-的定义域为________.21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里．22．已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-．若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得1|()|f x ≤2()g x 成立，则实数a 的值为________. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若π3B =，且3(7( ))a b c a b c bc -++-=，（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）若5a =，求b .24．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，满足124y y =-.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点C 的坐标为(2,0)-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.25．（本小题满分11分）已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1，设()()g x f x x=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x xx f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点，求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）．2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A （解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合{|13}M x x =≤<，{1,2}N =，则M N =A ．{1}B ．{1,2}C ．0D ．[1,2] 1．【答案】B【解析】由交集定义可得：{}1,2MN =，故选B ．2．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为A ．{|12}x x -≤≤B ．{|12}x x -<<C ．1{|2x x >-或1}x ≤- D ．}{|21x x x ><-或 2．【答案】A【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知，不等式(1)(2)0x x +-≤的解是12x ≤≤－，故选A ．3．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 3．【答案】B【解析】227cos 212sin 199αα=-=-=，故选B ． 4．圆224210x y x y +--+=的圆心在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．【答案】A【解析】化简224210x y x y +--+=得到22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)，在第一象限，故选A ．5．双曲线方程为x 2−2y 2=1，则它的左焦点的坐标为A ．，0)B ．，0)C ．0)D ．0) 5．【答案】C【解析】由2222211121x y x y ⇒－＝－＝，可得21a =，212b =，由22213+1=22c a b =+=，得c =0).故选C ．6．已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，||+=a b ，则⋅=a bA ．12B ．1 CD ．2 6．【答案】A【解析】由||+=a b 2()6+=a b ，即2226+⋅+=a a b b ，又||1=a ，||2=b ，则12⋅=a b .所以本题答案为A ． 7．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则z =2x ＋y 的最大值是A ．2B ．3C ．4D ．5 7．【答案】B【解析】如图，先根据约束条件画出可行域，当直线z =2x +y 过点A （2，﹣1）时，z 最大，最大值是3，故选B ． 8．若平面α和直线a ，b 满足aA α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面 8．【答案】D【解析】当A b ∈时，a 与b 相交；当A b ∉时，a 与b 异面.故答案为D. 9．过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为 A ．20x y +-= B ．20x y --= C ．20x y ++= D ．20x y -+= 9．【答案】A【解析】由0x y -=可得直线斜率11k =，根据两直线垂直的关系得121k k ⋅=-，求得21k =-，再利用点斜式，可求得直线方程为1(0)2y x =--+，化简得20x y +-=，故选A.10．函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．【答案】B【解析】由函数32()log (||1)f x x =-，可知函数()f x 是偶函数，排除C ，D ；定义域满足：10x ->，可得1x <-或1x >．当1x >时，32()log (||1)f x x =-是递增函数，排除A.故选B ．11．设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．【答案】B【解析】若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件.若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如133a b ==，，从而333a b >>不成立.故选B ．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12πB ．64π3 C ．32π3D ．16π 12．【答案】C【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故22141148π32ππ()4π()48π2223233V =⋅⨯+⨯⋅⨯=+=，故选C ． 13．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．9 13．【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，611||||a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d <>=-=-，有2[(8)64]2n dS n =--，所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C ． 14．将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 14．【答案】B【解析】将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x = 2ππcos(2)sin 236x x =+-=-的图象，故()g x 为奇函数，且最小正周期为2ππ2=，故A 错误，B 正确；令2πx k =，k ∈Z ，得π2k x =，k ∈Z ，则函数()g x 的图象关于点π(,0)2k ，k ∈Z 对称，故C 错误；令π2π2x k =+，k ∈Z ，得ππ24k x =+，k ∈Z ，则函数()g x 的图象关于直线ππ24k x =+，k ∈Z 对称，故D 错误.故选B ．15．在三棱锥P ABC -中，,3,2PB BC PA AC PC ====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A ．13 B C ．23 D 15．【答案】D【解析】如图所示，取PC 中点为D ，连接,AD BD ，因为过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，所以α即为平面ABD .又因为PA AC =，所以PC AD ⊥，又PB BC =，所以PC BD ⊥，且ADBD D =，所以PC ⊥平面ABD ，所以PA 与平面α所成角即为PAD ∠，因为2PC =，所以1PD =，所以1sin 3PD PAD PA ∠==，所以cos PAD ∠==D ．16．已知直线10x -+=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为A ．13 B ．23 CD16．【答案】D【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，∵点,A B 在椭圆22221x y a b +=上，∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减整理得2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，∴20122012y y y b x x x a -⋅=--，即22OM AB b k k a⋅=-，∴221tan1503b a ==-=-，∴2213b a =，∴椭圆C的离心率为e ===D ． 17．已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a =A ．17 B ．37 C ．57 D ．6717．【答案】D【解析】数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，167a =，21324653362121,21,2,77777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=3n n a a +∴=，202067331167a a a ⨯+∴===．故选D ．18．如图，在Rt ABC △中，6AB BC ==，动点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB上，四边形BDEF 为矩形，剪去矩形BDEF 后，将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD =A ．2B ．3C ．4D ．18．【答案】B【解析】设BD x =，BF y =，其中,(0,6)x y ∈，由题易得666x y -=，所以6x y +=，则所求几何体的表面积为：212π6π62π2S xy =⨯⨯⨯+⨯+236π2π36π2π()54π2x y xy +=++≤++⨯=+，当且仅当3x y ==，即3BD =时等号成立.故选B.非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =________，1l 与2l 之间的距离为________.19．【答案】−1【解析】由两直线平行，得1a =－，在直线1:10l x y -+=上任取一点（0，1），到直线2:30l x y -+=的距离为.故答案为−1.20．函数0()(2)f x x =+-的定义域为________. 20．【答案】[)()0,22,+∞【解析】因为21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩，所以02x x ≥⎧⎨≠⎩，则定义域为[)()0,22,+∞，故答案为[)()0,22,+∞.21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里． 21．【答案】84【解析】由题意画出图象：且AB =13里，BC =14里，AC =15里，在△ABC 中，由余弦定理得，cos B =2222AB BC AC AB BC +-⋅=22213141521314+-⨯⨯=513，所以sin B =1213，则该沙田的面积即△ABC 的面积S =12AB •BC •sin B =1121314213⨯⨯⨯=84．故答案为84．22．已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-．若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则实数a 的值为________.22．【答案】13-【解析】不等式12|()|()f x g x ≤可化为：()()()212g x f x g x -≤≤，若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则min minmax max [()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩， 当[]23x ∈，时，()21g x x =-的最大值为()22221g ==-； 当[]03x ∈，时，()223f x x x a =-+的最大值为()23323333f a a =-⨯+=+，最小值为()21121313f a a =-⨯+=-+，所以min min max max[()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩可化为231332a a -≤-⎧⎨+≤⎩，解得1133a -≤≤-.故13a =-.三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若π3B =，且3(7( ))a b c a b c bc -++-=，（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）若5a =，求b . 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由3(7())a b c a b c bc -++-=，可得22222()327a b c a b c bc bc ----+=＝，即222117a b c bc =+-，即222117b c a bc +-=，（3分） 由余弦定理可得22211cos 214b c a A bc +-==.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数的基本关系式，可得sin A ==7分）在ABC △中，由正弦定理可得sin sin b a B A =，所以sin 7sin a B b A ===.（10分）24．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，满足124y y =-.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点C 的坐标为(2,0)-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为直线AB 过焦点(,0)2p F ，设直线AB 的方程为2p x my =+， 将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程为24y x =.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，则直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程得2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+，（6分） 因此22222221212121211331111()()=26()9()m m m m k k y y y y y y +=+++++++ ()212122122212122269y y y y y y m m y y y y +-+=+⋅+⋅ ()222484926954162m mm m m +=+⋅+⋅=+-.（9分）因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92.（10分） 25．（本小题满分11分）已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1，设()()g x f x x=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x xx f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点，求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）． 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）因为()()21g x x m =-+在[1,2]上是增函数，所以()()()2max 2211g x g m ==-+=，解得0m =．（2分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()12f x x x=+-， 所以不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[3,9]x ∈上恒成立等价于()2331221log log k xx ≤-+在[3,9]x ∈上恒成立.（3分） 令31log t x =，因为[]3,9x ∈，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则有2221k t t ≤-+在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.（4分）令()221s t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()min 10s t s ==， 所以20k ≤，即0k ≤，所以实数k 的取值范围为(],0-∞．（6分）（Ⅲ）因为()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=， 令e 1x q =-，由题意可知[0,)q ∈+∞，令()()23221H q q k q k =-+++，[0,)q ∈+∞，（7分）则函数()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=有三个不同的零点等价于()()23221H q q k q k =-+++在[0,)q ∈+∞上有两个不同的零点，（8分） 当0q =时12k =-，此时方程()100,2H q q q =⇒==，此时关于x 的方程有三个零点，符合题意；当0q ≠时，记方程()0H q =的两根为1q ，2q ，且12q q <，101q <<，21q ≥，所以()()00100H H >⎧⎪≤⎨⎪∆>⎩，解得0k >. 综上，实数k 的取值范围是(0,)+∞1{}2-．（11分）。
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2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题B · 解析版选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合*{|05,}A x x x =<<∈N ，2{|60}B x x x =--=，则A B =I A ．{|13}x x << B ．{|03}x x << C ．{3} D ．{1,2,3}1．【答案】C【解析】易得{}{}2602,3B x x x =--==-，{}{}*05,1,2,3,4A x x x =<<∈=N ，所以{}{}{}1,2,3,42,33A B =-=I I .故选C ． 2．已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也不必要条件2．【答案】B【解析】当1a =，5b =时，5a b +>，但不满足23a b >⎧⎨>⎩，故不是充分条件； 由不等式的性质可知， 由23a b >⎧⎨>⎩可得235a b +>+=，故是必要条件.故选B ．3．设函数1(),1x f x x x ≥=-<⎪⎩，则((1))f f -=A ．−1B ．0C ．1D ．33．【答案】B【解析】因为()()111f -=--=，所以()()()110f f f -===，故选B ．4．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为A ．4B ．C ．D ．4．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为24a =.故选A.5．若函数π()sin()6f x xω=+（0>ω）的最小正周期为5π，则ω=A．5 B．10 C．15 D．205．【答案】B【解析】根据周期公式2π||Tω=以及0>ω得2π10π5ω==，故选B．6．设120202019a=，2019log2020b=，20201log2019c=，则A．c b a>>B．b c a>>C．a b c>>D．a c b>>6．【答案】C【解析】120200201901912a>==Q，20192019log2020log201910b<<==，202020201log log102019c=<=，∴a b c>>，故选C．7．满足|1||1|1x y-+-≤的图形面积为A．1B．2C．2D．47．【答案】C【解析】由题意，可得3,1,11,1,11111,1,11,1,1x y x yx y x yx yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥<⎪-+-≤⇒⎨+≥<<⎪⎪-≥-<≥⎩，画出对应的平面区域，如图所示，其中四边形ABCD为正方形，因为2AB=222ABCDS=四边形，即111x y-+-≤所表示的图形的面积为2.故选C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．7π6B ．4π3C ．2πD ．13π68．【答案】A【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，右侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥，所以该几何体的体积为22111π7ππ12π11π22366V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选A ． 9．已知1{}1n a +是等差数列，且114a =，41a =，则11a = A ．−12 B ．−11C ．−6D ．−59．【答案】C【解析】因为数列1{}1n a +是等差数列，所以公差4111111412541310a a d -===---++，所以111114111010()115105d a a =+=+⨯-=-++，解得116a =-，故选C ． 10．若向量(1,1,2)=-a ，(2,1,3)=-b ，则||+=a bA 7B ．22C ．3D 1010．【答案】D【解析】由题得()3,0,1+=-a b ，则22230(1)+=++-a b 10D ．11．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a b ∥，则下列结论不可能成立的是A ．b β⊄，且b α∥B ．b α⊄，且b β∥C ．b α∥，且b β∥D ．b 与α、β都相交11．【答案】D【解析】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，令平面ABCD 为平面α，平面11D DCC 为平面β，则CD 为直线a ，a b Q ∥，∴不妨设11A B 为直线b ，11,A B AB AB ⊂Q ∥平面11,ABCD A B ⊄平面ABCD ，11A B ∴∥平面ABCD ，b β∴⊄且b α∥，即A项成立；同理满足b α⊄，且b β∥，即B 项成立；111111,A B C D C D ⊂Q ∥平面11CDD C ，11A B ⊄平面11CDD C ，11A B ∴∥平面11CDD C ，即b β∥，b α∴∥，且b β∥成立，即C 选项成立.故排除A ，B ，C ．对于D ，若a b ∥，且a αβ=I ，则b α∥或b α⊂， 所以b 不可能与α相交，同理，b 不可能与β相交，故D 不可能成立. 故选D ．12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆C 被直线y x =截得的弦长为27C 的方程为A ．22(2)9x y ++=B ．22(2)9x y -+=C ．22(1)6x y ++=D ．22(1)6x y -+=12．【答案】B【解析】由题意，设圆心坐标为(,0)C a （0a >），因为5)M 在圆C 上，所以圆的半径为25r a +，又圆心(,0)C a 到直线y x =的距离为0222a d a -==，且圆C 被直线y x =截得的弦长为7222221175522r d a a a =-=+-=+，解得2a =，所以253r a =+=，因此，所求圆的方程为22(2)9x y -+=.故选B ．13．若两个非零向量a 、b ，满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量+a b 与a 的夹角为A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π 13．【答案】C【解析】由||||2||+=-=a b a b a 得：|0|||+=-⇒⋅=a b a b a b ，又||2||+=a b a ，所以向量+a b与a 的夹角θ满足2222()+||1cos ==||||2||2||2θ+⋅⋅==+⋅a b a a a b a a b a a a ，解得π3θ=，故选C ．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c b -=，sin cos 3sin cos A C C A =，则b 的值为 A ．2 B ．3C ．4D ．514．【答案】C【解析】由sin cos 3sin cos A C C A =，及正弦定理得cos 3cos a C c A =，由余弦定理得，222222322a b cb c a a c ab bc+-+-⋅=⋅，即2222223()a b c b c a +-=+-， 又222a c b -=，所以2223(2)b b b b +=-，即24b b =，又0b >，所以4b =.故选C ．15．已知函数()254f x x x kx =-+-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅=A ．4B ．6C ．8D ．1215．【答案】C【解析】画出254y x x =-+与y kx =的图象如下图所示：()()[]22254,,14,5454,1,4x x x y x x x x x ⎧-+∈-∞+∞⎪=-+=⎨-+-∈⎪⎩U ， 由()254f x x x kx =-+-有三个零点，得当[]1,4x ∈时方程2540x x kx -+--=在区间[]1,4内有两个相等的实根，所以()25160k ∆=--=，得9k =或1k =， 若9k =，2x =-，舍去；若1k =，2x =满足条件，所以22x =；当()(),14,x ∈-∞+∞U 时，2540x x kx -+-=的两根之积为4，所以134x x =， 所以1238x x x =，故选C ．16．设二次函数2()f x x ax b =++，若对任意的实数a ，都存在实数2[]1,2x ∈使得不等式|()|f x x ≥成立，则实数b 的取值范围是A ．1(,][2,)3-∞-+∞U B ．11(,][,)34-∞-+∞U C ．11(,][,)49-∞+∞U D ．19(,][,)34-∞-+∞U16．【答案】D【解析】问题条件的反面为“若存在实数a ，对任意实数2[]1,2x ∈使得不等式()f x x <成立”，即1[,2],1 1.2bx x a x∀∈-<++<只要()=b g x x x +在2[]1,2x ∈上的最大值与最小值之差小于2即可. 当4b ≥时，1()(2)2,2g g -<得b ∈∅；当144b <<时,g(2)21()22g ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩，得1944b <<；当1111(2)()2,4234b g g b ≤-<-<≤时，得.所以1934b -<<. 综上可得，所求实数b 的取值范围是19(,][,)34-∞-+∞U ，故选D ．17．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、在抛物线C 上，且满足4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，||||FA FB -=u u u r u u u r ，则FA FB ⋅u u u r u u u r 为A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-17．【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ==， 由4OA OB ⋅=-u u u r u u u r 得22121212124,4,44y y x x y y y y +=-⋅+=-221212128,444y y y y x x ∴=-=⋅=，因为FA FB -=u u u r u u u r=结合2114y x =，2224y x =，得1212(1)(1)x x x x +-+=-=因此2212121212()()4481664,8x x x x x x x x +=-+=+=∴+=，从而1122121212(1,)(1,)()1488111FA FB x y x y x x y y x x =-⋅-=+-++=-⋅-+=-u u u r u u u r，故选A ．18．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD △绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有A ．EFK α∠≤B ．EFK α∠≥C ．EDK α∠≤D ．EDK α∠≥18．【答案】B【解析】如图，DEF △绕BD 旋转形成以圆O 为底面的两个圆锥(O 为圆心，OE 为半径，O 为DF 的中点)，πE FK EFE ∠=-∠''，πE OE α=-∠'，当180α≠o 且0α≠o 时，OEE '△与等腰FEE '△中，EE '为公共边，且FE FE OE OE =>=''，EFE EOE ∴∠<∠''，E FK α∴∠'>.当180α=o 时，E FK α∠'=， 当0α=o 时，E FK α∠'>， 综上，E FK α∠'≥，即EFK α∠≥.C 、D 选项比较EDK ∠与α的大小关系，由图可知即比较E DK '∠与α的大小关系，根据特殊值验证：当0α=o 时，E DK α∠'>，当180α=o 时，E DK α∠'<，∴C 、D 都不正确. 故选B ．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知π(0,)6a ∈，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______. 19．【答案】12;45【解析】22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2a a a a a a a +==+⇒=⇒=，22tan 14sin 211tan 514a a a ===++，所以1tan 2a =，4sin 25a =.20．已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则k =______. 20．【答案】1或−3【解析】因为l 1⊥l 2，所以k ·（k ﹣1）+（1﹣k ）·（2k +3）＝0，解得 k ＝1或k ＝﹣3，故答案为1或﹣3. 21．已知向量(,1)m =a ，(4,2)n =-b ，0m >，0n >，若∥a b ，则18m n+的最小值为______. 21．【答案】92【解析】∵∥a b ，∴420n m --=，即24n m +=，∵0m >，0n >，∴18118(2)4n m m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭116104n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭19(1042≥+=，当且仅当843n m ==时取等号， ∴18m n +的最小值是92．故答案为92． 22．已知数列{}n a 满足113a =，1340n n a a ++-=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则满足不等式1|9|1000n S n -->的n 的最大值为______. 22．【答案】8【解析】对1340n n a a ++-=变形得：13(1)(1)n n a a +-=--，即11113n n a a +-=--，故可以分析得到数列{1}n a -是首项为12，公比为13-的等比数列.所以11112()3n n a --=⨯-，1112()13n n a -=⨯-+，所以112[1()]1399()131()3n n n S n n --=+=-⨯-+--，故119|9()|31000nn S n --=-⨯->，解得最大正整数8n =. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥. 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为5sin 7sin c B a C =，所以5757cb ac b a =⇒=， 又2b c a +=，所以73,255b ac a b a ==-=.（3分） 所以22222237()()155cos 32225a a a a cb B a aca +-+-===-⋅⋅.（5分）（Ⅱ）因为0πB <<，1cos 2B =-，所以2π3B =.（6分） 所以1()sin()22π3f x x =+≥23ππ5π2π2π,66k x k k ⇒+≤+≤+∈Z ，（8分） 解得x ∈ππ[2π,2π]26k k -+，k ∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，点P （2，3）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P引圆222(3)(03)x y r r +-=<<的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距为4，所以c ＝2，则左焦点为F 1（﹣2，0），右焦点为F 2（2，0），所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，所以2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝5+3＝8，即4a =，（2分） 所以b 2=a 2−c 2=12，故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（4分）（Ⅱ）设PA ：1(2)3y k x =-+，则r =，所以2221(4)0r k r -+=；设PB ：2(2)3y k x =-+，则r =2222(4)0r k r -+=，所以1k ，2k 为方程222(4)0r k r -+=的两根，即120k k +=．（6分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立122(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有()()2222111113416241648120k x k k x k k +--+--=，2111211624234k k x k -+=+，221111122111624824623434k k k k x k k ---=-=++．同理联立222(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：211221824634k k x k +-=+，（8分） 则()121121211121212124434148234ABk k x k y k k x x x y k k x x -++-+====--+．故直线AB 的斜率是定值，且定值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知函数21()log ()()f x a a x=+∈R .（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域；（Ⅱ）若对任意[2,4]t ∈，12,[1,1]x x t t ∈-+，均有12|()()|2f x f x -≤，求a 的取值范围. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）当1a =时，()21log (1)f x x=+， 因为[1,)x ∈+∞，所以(]111,2x +∈，则()(]21log (1)0,1f x x=+∈， 所以()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域为(]0,1.（3分） （Ⅱ）依题意对任意[]2,4t ∈，[]1,1x t t ∈-+，10a x+>恒成立， 所以101a t +>+在[]2,4t ∈时恒成立，则15a >-.（5分） 对任意[]2,4t ∈，函数()f x 在区间[]1,1t t -+上单调递减， 由已知[]12,1,1x x t t ∈-+，均有()()122f x f x -≤， 所以2211log ()log ()211a a t t +-+≤-+在[]2,4t ∈时恒成立，即214533111t a t t t -≥-=-+-在[]2,4t ∈时恒成立.（7分） ①当0a ≥，[]2,4t ∈时，25301t t -<-，则0a ≥符合题意.（8分） ②当105a -<<时，25331t a t -≥-在[]2,4t ∈时恒成立，则215(1)03t t a a+-+≤在[]2,4t ∈时恒成立， 令()215(1)3g t t t a a =+-+，所以()()1230,374150,310,5g a g a a ⎧=+≤⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩则109a -≤<.（10分） 由①、②可得a 的取值范围为19a ≥-.（11分）。
浙江省2020年1月普通高校招生学业水平考试数学试题数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1.已知集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则A B =U （ ） A. {}4B. {}1,6C. {}2,4D. {}1,2,4,62.()tan a π-=（ ） A. tan a -B. tan aC. tan a ±D.1tan a3.66log 2log 3+=（ ） A. 0B. 1C. 6log 5D. 12log 54.圆22280x y x ++-=的半径是（ ）A 2 B. 3 C. 6 D. 95.不等式12x -<（ ） A. {}13x x -<<B. {}13x x <<C. {1x x <-或}3x >D. {1x x <或}3x >6.椭圆221259x y +=的焦点坐标是（ ）A. ()5,0-，()5,0B. ()0,5-，()0,5C. ()4,0-，()4,0D. ()0,4-，()0,47.若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 48.直线平面，，那么过点且平行于直线a 的直线 （ ）A. 只有一条，不平面内B. 有无数条，不一定在内C. 只有一条，且在平面内D. 有无数条，一定在内9.过点()3,1A -且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（ ） A. 210x y ++=B. 210x y +-=C. 270x y -+=D. 270x y --=10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，45B =︒，3a =则b =（ ） A. 1B. C. 2D.11.函数()sin f x x x =⋅的图象大致是（ ） A.B.CD.12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 13B. 23C. 1D. 213.设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件.14.设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率是（ ）15.点P 从O 出发, 按逆时针方向沿周长为l 图形运动一周, 点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程(x )的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的( ).A.B. C.D.16.设数列{}n a 满足11a =，2212n n a a -=+，2121n n a a +=-，*n N ∈，则满足4n a n -≤的n 的最大值是（ ） A. 7B. 9C. 12D. 1417.设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2xy =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =⋅u u u r u u u r ，2I BP BA =⋅u u u r u u u r.（ ） A 若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈u u u r u u u rB. 若12I I =，则AP BQ =u u u r u u u rC. 若()PQ AB R λλ=∈u u u r u u u r，则12I I =D. 若AP BQ =u u u r u u u r，则12I I =18.如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O e 上的动点，BB '是O e 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（ ）的.A.56π B.23π C. 2πD. 4π二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.设等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若22a =，34a =，则1a =______，4S =______.20.设u r，v r 分别是平面a ，β的法向量，()1,2,2u =-r ，()2,4,v m =--r .若a β∥，则实数m =______.21.在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ∆中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将ABD ∆沿AD 翻折AB D '∆，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.22.已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R（Ⅰ）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.24.如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（Ⅰ）求p 的值（用t 表示）；（Ⅱ）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.。
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题C · 解析版选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,4,6}A =，{4,5}B =，则()UA B =A ．{4}B ．{5}C ．{3,5}D ．{3,4,5}1．【答案】D 【解析】由已知得={35}UA ，，所以()={345}U A B ，，，故选D ．2．函数ln(1)()x f x x+=的定义域为 A ．（–1，+∞） B ．（–1，0）C ．（0，+∞）D ．（–1，0）∪（0，+∞）2．【答案】D【解析】由题可知100x x +>⎧⎨≠⎩，1x x >-⎧∴⎨≠⎩，()()1,00,x ∴∈-+∞，故选D.3．已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，若λ=a b （λ∈R ），则m = A ．−2 B ．12-C ．12D ．23．【答案】C【解析】∵向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，λ=a b （λ∈R ），∴()12-，＝λ()1m -，，∴12m λλ-=⎧⎨=-⎩，∴m ＝12，故选C ．4．在等比数列{}n a 中，1352,12a a a =+＝，则7a = A ．8 B ．10 C ．14 D ．164．【答案】D【解析】设等比数列的公比为q ，由3512a a +=，可得241112a q a q +=，又12a =，所以4260q q +-=，化简得22(3)(2)0q q +-=，所以22q =，所以671a a q =32216=⨯=.故选D.5．函数22()1xf x x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．5．【答案】A【解析】∵函数f （x ）221xx=-，∴当x (01)∈，时，f （x ）>0，故D 错误； x >1时，f （x ）<0恒成立，故B 和C 错误． 由排除法得正确选项是A ．6．已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为 A ．1- B ．4C ．4或16-D ．16-6．【答案】C【解析】两条平行线之间的距离为22662534a a d ----===+，故4a =或16a =-，故选C ．7．若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．0B ．2C ．4D ．67．【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ． 8．若7sin cos 5θθ+=，则sin cos θθ= A ．2425 B ．1225 C ．2425± D ．2425-8．【答案】B【解析】由7sin cos 5θθ+=两边平方得2249sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，即4912sin cos 25θθ+=，解得12sin cos 25θθ=.故选B ． 9．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>分别过点(2,0)A 和(0,1)B -，则该椭圆的焦距为A B ．C D ．9．【答案】B【解析】由题意可得2a =，1b =，所以a 2＝4，b 2＝1，所以c ==2c =故选B. 10．已知两条不同的直线a ，b 和一个平面α，则使得“a b ∥”成立的一个必要条件是A ．a α∥且b α∥B ．a α∥且b α⊂C ．a α⊥且b α⊥D ．a ，b 与α所成角相同10．【答案】D【解析】若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故A 错误； 若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故B 错误； 若a b ∥，a α⊥且b α⊥不一定成立，故C 错误； 若a b ∥，则a ，b 与α所成角相同，故D 正确. 故选D ．11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若π4A =，a =，b =，则ABC △的面积等于A ．12或32B ．12C ．2D ．3211．【答案】D【解析】利用余弦定理得到：22222cos ,522,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=或1c =-（舍去），∴13sin 22ABC S bc A ==△.故选D. 12．在正三棱锥P ABC -中，4,PA AB ==PA 与底面ABC 所成角的正弦值为A ．14BC ．18D12．【答案】B【解析】连接P 与底面正△ABC 的中心O ，因为P ABC -是正三棱锥，所以PO ⊥平面ABC ，所以PAO ∠为侧棱PA 与底面ABC 所成角，因为4,PA AB ==2132cos 44AO PAO PA ∠===，所以sin PAO ∠=，故选B ．13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30︒的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为(0,)b ，则该双曲线的离心率为ABCD13．【答案】A【解析】由题意设直线l的方程为)y x c =+，令0x =，得y =b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，所以2e ==.故选A. 14．设函数21()lg ||1f x x x=-+，则使得5(log )0f m ≥成立的m 的取值范围是 A ．1[,5]5B ．1(0,][5,)5+∞ C ．1(,][5,)5-∞+∞ D ．1(,0][,5)5-∞14．【答案】B【解析】由函数()f x 的解析式可得：函数()f x 的定义域为{|0},x x ≠又()()f x f x =-，则函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()lg 1f x x x=-+，易得函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又(1)0f =，所以5(log )0f m ≥等价于5(|log |)(1)f m f ≥，即5log 1m ≥，即1(0,][5,)5m ∈+∞，故选B ．15．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是A ．2π(3)4a - B ．2π(6)2a -C ．2π(6)4a -D ．23π(6)4a -15．【答案】C【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为22222π1π334π(6)4()84a S a a a a =+-+⨯=-.故选C.16．等差数列{}n a 中，公差0d ≠，当1()n n *>∈N 时，下列关系式正确的是A ．112n n a a a a +>B ．112n n a a a a +<C ．112n n a a a a +=D ．112n n a a a a +≥16．【答案】B【解析】设()11n a a n d +-=，因为()2111111n a a a a nd a na d +=+=+，()()()()222111111n a a a d a n d a na d n d =++-=++-，所以()21121n n a a a a n d +-=--，又因为1,0n d >≠，所以1120n n a a a a +-<，所以112n n a a a a +<.故选B ． 17．若函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，则实数a 的取值范围是A ．332a -≤< B ．31a -≤< C ．332a a ≥<-或 D ．13a a ≥<-或 17．【答案】A【解析】因为函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，所以方程|2||21|x x ax -+-=无实根，即函数()|2 |21g x x x =-+-与()h x ax =的图象无交点，如图所示，则()h x 的斜率a 应满足332a -≤<，故选A.18．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，四面体11M B C N -的体积为V ，则 A ．32V a =B ．32V a >C ．32V a =D ．32V a <18．【答案】C【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，如图所示：点1B 到平面1MNC 的距离1112d B D =2，且MN a =，所以1211122MNC S MN CC a =⋅=△，所以三棱锥11B C MN -的体积11B C NM V -＝12311122332MNC a S d a ⨯⨯=⨯=△，利用等体积法得11113212M B C N B C NM V V a --==.故选C ． 非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知||2=a ，||4=b ，a 与b 的夹角为120︒，则⋅=a b _________，||+=a b ________. 19．【答案】4-；23【解析】由题得24cos1204⋅=⨯⨯=-a b ；+===a b故答案为4-；20．若22log log1m n+=，那么m n+的最小值是________.20．【答案】【解析】22log log1m n+=，即2log1mn=，2mn∴=，由基本不等式可得m n+≥=m n==时，等号成立，故m n+的最小值是21．已知0a>且1a≠，设函数2,3()2log,3ax xf xx x-≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a的取值范围是________. 21．【答案】1[,1)3【解析】由题意知，函数()y f x=在(],3-∞上单调递增，且()31f=，由于函数()2,32log,3ax xf xx x-≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则函数()2log af x x=+在()3,+∞上单调递减且2log31a+≤，则有012log31aa<<⎧⎨+≤⎩，即01log31aa<<⎧⎨≤-⎩，解得113a≤<，因此，实数a的取值范围是1[,1)3，故答案为1[,1)3.22．在数列{}n a中，已知11a=，2211n n n nn a S n a S---=-*(2,)n n≥∈N，记2nnabn=，nT为数列{}nb的前n项和，则2021T=________.22．【答案】20211011【解析】由22*11(2,)n n n nn a S n a S n n---=-≥∈N得()2211n n n nn a S S n a----=，∴()2211n nn a n a--=，∴111n na a nn n n-=⨯-+，令nnacn=，则11n nnc cn-=⨯+，∴11nnc nc n-=+，由累乘法得121ncc n=+，∴21ncn=+，∴21nan n=+，∴21nnan=+，∴22112(1)1nnabn n n n n⎛⎫===⨯-⎪++⎝⎭，∴202111111120212(1)2(1)2232021202220221011T =-+-++-=-=. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数2()22cos 1f x x x =+-． （Ⅰ）求5π()12f 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调增区间． 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =+-，所以25π5π5π())2cos ()1121212f =⨯+- 5π5π)cos(2)1212=⨯+⨯（3分） 5π5πcos 66=+0=.（5分）（Ⅱ）2()22cos 12cos π2sin 62(2)f x x x x x x =+++=-=，（7分）所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（8分） 令πππ2π22π+()262k x k k -≤+≤∈Z ，解得ππππ+()36k x k k -≤≤∈Z ， 所以()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k -∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ，求sin QMN ∠的最小值. 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意得抛物线的准线方程为2py =-， 点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3，232p∴+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（3分）（Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+， 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x ky --=，（5分） 所以124x x k +=，124x x ⋅=-， 所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()22,21k k +，（7分）因为21244AB y y p k =++=+， 所以圆Q 的半径为222r k =+.（8分）在等腰QMN △中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号. 所以sin QMN ∠的最小值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知关于x 的函数2()2f x x kx =--，x ∈R . （Ⅰ）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数k 的值；（Ⅱ）若函数()(21)x g x f =-，当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若函数2()()|1|2h x f x x =+-+，且函数()h x 在(0,2)上有两个不同的零点1x ，2x ，求证：12114x x +<. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，即2222x kx x kx +-=--对x ∈R 都成立，0k ∴=.（2分）（Ⅱ）当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立. 令21x u =-，则(]0,3u ∈，()()2212120xx k ∴----≤在2(]0,x ∈时恒成立等价于2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成立，（4分） 又227333u u -≤-=，73k ∴≥， k ∴的取值范围是7[,)3+∞.（6分）（Ⅲ）不妨设1202x x <<<， 因为()21,01,21,12,kx x h x x kx x -+<<⎧=⎨--≤<⎩所以()f x 在()0,1上至多有一个零点， 若1212x x ≤<<，则120x x ⋅>，而12102x x ⋅=-<，矛盾. 因此12012x x <<≤<；（8分） 由()10h x =，得11k x =，由()20h x =，得222210x kx --=， 22211210x x x ∴-⋅-=，即212122x x x x +=⋅， 2121124x x x ∴+=<.（11分）。
浙江省2020年高中数学1月学业水平考试模拟试题C选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,4,6}A =，{4,5}B =，则()U A B ð=A ．{4}B ．{5}C ．{3,5}D ．{3,4,5}1．【答案】D【解析】由已知得={35}U A ，ð，所以()={345}U A B ，，ð，故选D ．2．函数ln(1)()x f x x+=的定义域为 A ．（–1，+∞） B ．（–1，0） C ．（0，+∞）D ．（–1，0）∪（0，+∞）2．【答案】D【解析】由题可知100x x +>⎧⎨≠⎩，10x x >-⎧∴⎨≠⎩，()()1,00,x ∴∈-+∞，故选D.3．已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，若λ=a b （λ∈R ），则m = A ．−2 B ．12-C ．12D ．23．【答案】C【解析】∵向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，λ=a b （λ∈R ），∴()12-，＝λ()1m -，，∴12m λλ-=⎧⎨=-⎩，∴m ＝12，故选C ． 4．在等比数列{}n a 中，1352,12a a a =+＝，则7a = A ．8 B ．10 C ．14 D ．164．【答案】D【解析】设等比数列的公比为q ，由3512a a +=，可得241112a q a q +=，又12a =，所以4260q q +-=，化简得22(3)(2)0q q +-=，所以22q =，所以671a a q =32216=⨯=.故选D.5．函数22()1xf x x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．5．【答案】A【解析】∵函数f （x ）221xx=-，∴当x (01)∈，时，f （x ）>0，故D 错误； x >1时，f （x ）<0恒成立，故B 和C 错误．由排除法得正确选项是A ．6．已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为 A ．1- B ．4C ．4或16-D ．16-6．【答案】C【解析】两条平行线之间的距离为625a d --===，故4a =或16a =-，故选C ．7．若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．0B ．2C ．4D ．67．【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩………表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ．8．若7sin cos 5θθ+=，则sin cos θθ= A ．2425 B ．1225C ．2425±D ．2425-8．【答案】B【解析】由7sin cos 5θθ+=两边平方得2249sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，即4912sin cos 25θθ+=，解得12sin cos 25θθ=.故选B ． 9．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>分别过点(2,0)A 和(0,1)B -，则该椭圆的焦距为A B ．C D ．9．【答案】B【解析】由题意可得2a =，1b =，所以a 2＝4，b 2＝1，所以c ==2c =故选B.10．已知两条不同的直线a ，b 和一个平面α，则使得“a b ∥”成立的一个必要条件是A ．a α∥且b α∥B ．a α∥且b α⊂C ．a α⊥且b α⊥D ．a ，b 与α所成角相同10．【答案】D【解析】若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故A 错误； 若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故B 错误； 若a b ∥，a α⊥且b α⊥不一定成立，故C 错误； 若a b ∥，则a ，b 与α所成角相同，故D 正确. 故选D ．11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若π4A =，a =b =ABC △的面积等于A ．12或32B ．12C ．2D ．3211．【答案】D【解析】利用余弦定理得到：22222cos ,522,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=或1c =-（舍去），∴13sin 22ABC S bc A ==△.故选D.12．在正三棱锥P ABC -中，4,PA AB ==PA 与底面ABC 所成角的正弦值为A ．14BC ．18D12．【答案】B【解析】连接P 与底面正△ABC 的中心O ，因为P ABC -是正三棱锥，所以PO ⊥平面ABC ，所以PAO ∠为侧棱PA 与底面ABC 所成角，因为4,PA AB ==2132cos 44AO PAO PA ∠===，所以sin 4PAO ∠=，故选B ． 13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30︒的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为(0,)b ，则该双曲线的离心率为 ABCD13．【答案】A【解析】由题意设直线l的方程为()3y x c =+，令0x =，得3y c =，所以3b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，所以e ==.故选A. 14．设函数21()lg ||1f x x x=-+，则使得5(log )0f m ≥成立的m 的取值范围是 A ．1[,5]5B ．1(0,][5,)5+∞ C ．1(,][5,)5-∞+∞ D ．1(,0][,5)5-∞14．【答案】B【解析】由函数()f x 的解析式可得：函数()f x 的定义域为{|0},x x ≠又()()f x f x =-，则函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()lg 1f x x x=-+，易得函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又(1)0f =，所以5(log )0f m ≥等价于5(|log |)(1)f m f ≥，即5log 1m ≥，即1(0,][5,)5m ∈+∞，故选B ．15．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是A ．2π(3)4a - B ．2π(6)2a -C ．2π(6)4a -D ．23π(6)4a -15．【答案】C【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为22222π1π334π(6)4()84a S a a a a =+-+⨯=-.故选C.16．等差数列{}n a 中，公差0d ≠，当1()n n *>∈N 时，下列关系式正确的是A ．112n n a a a a +>B ．112n n a a a a +<C ．112n n a a a a +=D ．112n n a a a a +≥16．【答案】B【解析】设()11n a a n d +-=，因为()2111111n a a a a nd a na d +=+=+，()()()()222111111n a a a d a n d a na d n d =++-=++-，所以()21121n n a a a a n d +-=--，又因为1,0n d >≠，所以1120n n a a a a +-<，所以112n n a a a a +<.故选B ． 17．若函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，则实数a 的取值范围是A ．332a -≤< B ．31a -≤< C ．332a a ≥<-或 D ．13a a ≥<-或 17．【答案】A【解析】因为函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，所以方程|2||21|x x ax -+-=无实根，即函数()|2 |21g x x x =-+-与()h x ax =的图象无交点，如图所示，则()h x 的斜率a 应满足332a -≤<，故选A.18．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，四面体11M B C N -的体积为V ，则A ．36V =B ．36V a > C ．312V a =D ．312V a <18．【答案】C【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，如图所示：点1B 到平面1MNC 的距离1112d B D =＝2a ，且MN a =，所以1211122MNC S MN CC a =⋅=△，所以三棱锥11B C MN -的体积11B C NM V -＝123111332MNC S d a ⨯⨯=⨯=△，利用等体积法得11113M B C N B C NM V V --==.故选C ． 非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知||2=a ，||4=b ，a 与b 的夹角为120︒，则⋅=a b _________，||+=a b ________.19．【答案】4-；【解析】由题得24cos1204⋅=⨯⨯=-a b ；+===a b故答案为4-；20．若22log log 1m n +=，那么m n +的最小值是________.20．【答案】【解析】22log log 1m n +=，即2log 1mn =，2mn ∴=，由基本不等式可得m n +≥=m n ==时，等号成立，故m n +的最小值是. 21．已知0a >且1a ≠，设函数2,3()2log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是________.21．【答案】1[,1)3【解析】由题意知，函数()y f x =在(],3-∞上单调递增，且()31f =， 由于函数()2,32log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则函数()2log a f x x =+在()3,+∞上单调递减且2log 31a +≤， 则有012log 31a a <<⎧⎨+≤⎩，即01log 31a a <<⎧⎨≤-⎩，解得113a ≤<，因此，实数a 的取值范围是1[,1)3，故答案为1[,1)3.22．在数列{}n a 中，已知11a =，2211n n n n n a S n a S ---=-*(2,)n n ≥∈N ，记2nn a b n =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2021T =________.22．【答案】20211011【解析】由22*11(2,)n n n n n a S n a S n n ---=-≥∈N 得()2211n n n n n a S S n a ----=，∴()2211n n n a n a --=，∴111n n a a n n n n -=⨯-+， 令n n a c n =，则11n n n c c n -=⨯+，∴11n n c n c n -=+，由累乘法得121n c c n =+， ∴21n c n =+，∴21n a n n =+，∴21n n a n =+，∴22112(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++⎝⎭，∴202111111120212(1)2(1)2232021202220221011T =-+-++-=-=. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数2()22cos 1f x x x =+-．（Ⅰ）求5π()12f 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调增区间． 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =+-，所以25π5π5π())2cos ()1121212f =⨯+- 5π5π)cos(2)1212=⨯+⨯（3分） 5π5πcos 66=+0=.（5分）（Ⅱ）2()22cos 12cos π2sin 62(2)f x x x x x x =+++=-=，（7分） 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（8分） 令πππ2π22π+()262k x k k -≤+≤∈Z ，解得ππππ+()36k x k k -≤≤∈Z ， 所以()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k -∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ，求sin QMN ∠的最小值.24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意得抛物线的准线方程为2py =-， 点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3，232p∴+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（3分）（Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x ky --=，（5分） 所以124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()22,21k k +，（7分） 因为21244AB y y p k =++=+， 所以圆Q 的半径为222r k =+.（8分）在等腰QMN △中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号. 所以sin QMN ∠的最小值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知关于x 的函数2()2f x x kx =--，x ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数k 的值；（Ⅱ）若函数()(21)xg x f =-，当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数2()()|1|2h x f x x =+-+，且函数()h x 在(0,2)上有两个不同的零点1x ，2x ，求证：12114x x +<. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，即2222x kx x kx +-=--对x ∈R 都成立，0k ∴=.（2分）（Ⅱ）当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立. 令21x u =-，则(]0,3u ∈，()()2212120x x k ∴----≤在2(]0,x ∈时恒成立等价于2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成立，（4分） 又227333u u -≤-=，73k ∴≥， k ∴的取值范围是7[,)3+∞.（6分）（Ⅲ）不妨设1202x x <<<， 因为()21,01,21,12,kx x h x x kx x -+<<⎧=⎨--≤<⎩所以()f x 在()0,1上至多有一个零点， 若1212x x ≤<<，则120x x ⋅>，而12102x x ⋅=-<，矛盾. 因此12012x x <<≤<；（8分）由()10h x =，得11k x =，由()20h x =，得222210x kx --=， 22211210x x x ∴-⋅-=，即212122x x x x +=⋅， 2121124x x x ∴+=<.（11分）。
浙江省2020年高中数学1月学业水平考试模拟试题A选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合，，则{|13}M x x =≤<{1,2}N =M N = A ．B ．C ．0D ．{1}{1,2}[1,2]1．【答案】B【解析】由交集定义可得：，故选B ．{}1,2M N = 2．不等式的解集为(1)(2)0x x +-≤A ．B ．{|12}x x -≤≤{|12}x x -<<C ．或D ．1{|2x x >-1}x ≤-}{|21x x x ><-或2．【答案】A【解析】由二次函数的图象可知，不等式的解是，故选A ．()()12y x x =+-(1)(2)0x x +-≤12x ≤≤－3．若，则1sin 3α=cos2α=A ．B ．C ．D ．897979-89-3．【答案】B【解析】，故选B ．227cos 212sin 199αα=-=-=4．圆的圆心在224210x y x y +--+=A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．【答案】A【解析】化简得到，圆心为，在第一象限，故选A ．224210x y x y +--+=22(2)(1)4x y -+-=(2,1)5．双曲线方程为x 2−2y 2=1，则它的左焦点的坐标为A ．(，0)B ．(，0)C ．(0)D ．(，0)5．【答案】C【解析】由，可得，，由得，所2222211121x y x y ⇒－＝－＝21a =212b =22213+1=22c a b =+=，c =以左焦点坐标为(0).故选C ．6．已知向量满足，，,a b ||1=a ||2=b ||+=a b ⋅=ab A ．B ．C D ．21216．【答案】A【解析】由，，即，又，，则.所以本||+=a b 2()6+=a b 2226+⋅+=a a b b ||1=a ||2=b 12⋅=a b 题答案为A ．7．若变量x ，y 满足约束条件，则z =2x ＋y 的最大值是11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………A ．2B ．3C ．4D ．57．【答案】B【解析】如图，先根据约束条件画出可行域，当直线z =2x +y 过点A （2，﹣1）时，z 最大，最大值是3，故选B ．8．若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是αa b a A α= b α⊂a b A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面8．【答案】D【解析】当时，与相交；当时，与异面.故答案为D.A b ∈a b A b ∉a b 9．过点且与直线垂直的直线方程为(0,2)0x y -=A ．B ．20x y +-=20x y --=C ．D ．20x y ++=20x y -+=9．【答案】A【解析】由可得直线斜率，根据两直线垂直的关系得，求得，再利用0x y -=11k =121k k ⋅=-21k =-点斜式，可求得直线方程为，化简得，故选A.1(0)2y x =--+20x y +-=10．函数的大致图象是32()log (||1)f x x =-A ．B ．C ．D ．10．【答案】B【解析】由函数，可知函数是偶函数，排除C ，D ；32()log (||1)f x x =-()f x 定义域满足：，可得或．当时，是递增函数，排除A.故10x ->1x <-1x >1x >32()log (||1)f x x =-选B ．11．设都是不等于的正数，则“”是“”的a b ，1333ab>>log 3log 3a b <A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件.333ab>>1a b >>log 3log 3a b <若不一定有，比如，从而不成立.故选B ．log 3log 3a b <1a b >>133a b ==333a b >>12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．12π64π332π316π12．【答案】C【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故，故选C ．22141148π32ππ()4π(48π2223233V =⋅⨯+⨯⋅⨯=+=13．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为{}n a 611||||a a =0d >n nA ．6B ．7C ．8D ．913．【答案】C【解析】因为等差数列中，，所以，有{}n a 611||||a a =6116111150,0,,2a a a a a d<>=-=-，所以当时前项和取最小值.故选C ．2[(8)64]2n dS n =--8n =n 14．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，那么下列说法正确的π()cos(2)6f x x =-π3()y g x =是A ．函数的最小正周期为()g x 2πB ．函数是奇函数()g x C ．函数的图象关于点对称()g x π(,0)12D ．函数的图象关于直线对称()g x π3x =14．【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数π()cos(2)6f x x =-π3()y g x =的图象，故为奇函数，且最小正周期为，故A 错误，B 正确；2ππcos(2)sin 236x x =+-=-()g x 2ππ2=令，，得，，则函数的图象关于点，对称，故C 错误；2πx k =k ∈Z π2k x =k ∈Z ()g x π(,0)2k k ∈Z 令，，得，，则函数的图象关于直线，对π2π2x k =+k ∈Z ππ24k x =+k ∈Z ()g x ππ24k x =+k ∈Z 称，故D 错误.故选B ．15．在三棱锥中，，若过的平面将三棱锥分为体P ABC -,3,2PB BC PA AC PC ====AB αP ABC -积相等的两部分，则棱与平面所成角的余弦值为PAαA ．B C ．D 132315．【答案】D【解析】如图所示，取中点为，连接，因为过的平面将三棱锥分为体积PC D ,AD BD AB αP ABC -相等的两部分，所以即为平面.αABD又因为，所以，又，所以，且，所以平PA AC =PC AD ⊥PB BC =PC BD ⊥AD BD D = PC ⊥面，所以与平面所成角即为，因为，所以，所以ABD PA αPAD ∠2PC =1PD =，所以D ．1sin 3PD PAD PA ∠==cos PAD ∠==16．已知直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，若10x +=2222:1(0)x y C a b a b +=>>,A B AB M 直线（为坐标原点）的倾斜角为，则椭圆的离心率为OM O 150︒C A ．B ．CD 1323316．【答案】D【解析】设，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ∵点在椭圆上，∴，,A B 22221x y a b +=2222112222221,1x y x y a b a b +=+=两式相减整理得，∴，即，2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=-+-20122012y y y b xx x a -⋅=--22OM AB b k k a ⋅=-∴，∴，221tan1503b a ==-=-2213b a =∴椭圆的离心率为．故选D ．C e ===17．已知数列满足，若，则{}n a 11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩167a =2020a =A ．B ．C ．D ．1737576717．【答案】D【解析】数列满足，，{}n a 11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩167a =21324653362121,21,2,77777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=，．故选D ．3n n a a +∴=202067331167a a a ⨯+∴===18．如图，在中，，动点，，分别在边，，上，四边形Rt ABC △6AB BC ==D E F BC AC AB 为矩形，剪去矩形后，将剩余部分绕所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几BDEF BDEF AF 何体的表面积最大时，BD=A ．2B ．3C ．4D．18．【答案】B【解析】设，，其中，由题易得，BD x =BF y =,(0,6)x y ∈666x y -=所以，则所求几何体的表面积为：6x y +=212π62π62π2Sxy =⨯⨯⨯⨯+，当且仅当，即236π2π36π2π(54π2x y xy +=++≤++⨯=+3x y ==时等号成立.故选B.3BD =非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知直线与平行，则________，与之间的距离为________.1:10l x y -+=2:30l x ay ++=a=1l 2l 19．【答案】−1【解析】由两直线平行，得，在直线上任取一点（0，1），到直线1a =－1:10l x y -+=的距离为.故答案为−1.2:30l x y-+=20．函数的定义域为________.()(2)f x x =+-20．【答案】[)()0,22,+∞【解析】因为，所以，则定义域为，故答案为.21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩02x x ≥⎧⎨≠⎩[)()0,22,+∞ [)()0,22,+∞ 21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里．21．【答案】84【解析】由题意画出图象：且AB =13里，BC =14里，AC =15里，在△ABC 中，由余弦定理得，cos B ===，2222AB BC AC AB BC +-⋅22213141521314+-⨯⨯513所以sin B =，1213则该沙田的面积即△ABC 的面积S =AB •BC •sin B ==84．故答案为84．121121314213⨯⨯⨯22．已知函数．若对任意，总存在，使得22()23,()1f x x x a g x x =-+=-1[03]x ∈，2[23]x ∈，成立，则实数的值为________.12|()|()f x g x ≤a 22．【答案】13-【解析】不等式可化为：，12|()|()f x g x ≤()()()212g x f x g x -≤≤若对任意，总存在，使得成立，则，1[03]x ∈，2[23]x ∈，12|()|()f x g x ≤min minmax max[()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩当时，的最大值为；[]23x ∈，()21g x x =-()22221g ==-当时，的最大值为，最小值为[]03x ∈，()223f x x x a=-+()23323333f a a=-⨯+=+，()21121313f a a=-⨯+=-+所以可化为，解得.min minmax max[()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩231332a a -≤-⎧⎨+≤⎩1133a -≤≤-故.13a =-三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）在中，角所对的边分别是，若，且，ABC △,,A B C ,,a b c π3B =3(7( ))a b c a b c bc -++-=（Ⅰ）求的值；cos A （Ⅱ）若，求.5a =b 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由，可得，即3(7( ))a b c a b c bc -++-=22222()327a b c a b c bc bc----+=＝，即，（3分）222117a b c bc =+-222117b c a bc +-=由余弦定理可得.（5分）22211cos 214b c a A bc +-==（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数的基本关系式，可得7分）2sin 1cos A A=-=在中，由正弦定理可得，所以.（10分）ABC△sin sin b a B A =sin 7sin a B b A ===24．（本小题满分10分）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于，两点，满足2:2(0)E y px p =>F 11(,)A x y 22(,)B x y .124y y =-（Ⅰ）求抛物线的方程；E （Ⅱ）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为，，求的最小值.C (2,0)-CA CB 1k 2k 221211k k +24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为直线过焦点，设直线的方程为，AB (,0)2p F AB 2px my =+将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，AB E 222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩x 2220y mpy p --=所以有，，，2124y y p =-=-0p > 2p ∴=因此，抛物线的方程为.（4分）E 24y x =（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点坐标为，则直线的方程为，()1,0F AB 1x my =+联立抛物线的方程得，所以，，2440y my --=124y y m +=124y y =-则有，，（6分）1113m k y =+2213m k y =+因此22222221212121211331111((=26()9()m m m m k k y y y y y y +=+++++++()212122122212122269y y y y y y m m y y y y +-+=+⋅+⋅.（9分）()222484926954162m mm m m +=+⋅+⋅=+-因此，当且仅当时，有最小值.（10分）0m =221211k k +9225．（本小题满分11分）已知定义域为的函数在上有最大值1，设.R 2()21g x x x m -++=[1,2]()()g x f x x =（Ⅰ）求的值；m （Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；33log 2log 0()x k f x -≥[3,9]x ∈k （Ⅲ）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x xx f k k h -⋅--=-⋅+k （为自然对数的底数）．e 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）因为在上是增函数，()()21g x x m=-+[1,2]所以，解得．（2分）()()()2max 2211g x g m ==-+=0m =（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，()12f x x x =+-所以不等式在上恒成立等价于在()33log 2log 0f x k x -≥[3,9]x ∈()2331221log log k xx ≤-+上恒成立.（3分）[3,9]x ∈令，因为，所以，31log t x =[]3,9x ∈1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则有在恒成立.（4分）2221k t t ≤-+1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令，，则，()221s t t t =-+1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()min 10s t s ==所以，即，所以实数的取值范围为．（6分）20k ≤0k ≤k (],0-∞（Ⅲ）因为，()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=令，由题意可知，e 1x q =-[0,)q ∈+∞令，，（7分）()()23221H q q k q k =-+++[0,)q ∈+∞则函数有三个不同的零点等价于()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=在上有两个不同的零点，（8分）()()23221H q q k q k =-+++[0,)q ∈+∞当时，此时方程，此时关于的方程有三个零点，符合题意；0q =12k =-()100,2H q q q =⇒==x 当时，记方程的两根为，，且，，，0q ≠()0H q =1q 2q 12q q <101q <<21q ≥所以，解得.()()00100H H >⎧⎪≤⎨⎪∆>⎩0k >综上，实数的取值范围是．（11分）k (0,)+∞1{}2-。
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题B · 解析版选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合*{|05,}A x x x =<<∈N ，2{|60}B x x x =--=，则A B =I A ．{|13}x x << B ．{|03}x x << C ．{3} D ．{1,2,3}1．【答案】C【解析】易得{}{}2602,3B x x x =--==-，{}{}*05,1,2,3,4A x x x =<<∈=N ，所以{}{}{}1,2,3,42,33A B =-=I I .故选C ． 2．已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也不必要条件2．【答案】B【解析】当1a =，5b =时，5a b +>，但不满足23a b >⎧⎨>⎩，故不是充分条件； 由不等式的性质可知， 由23a b >⎧⎨>⎩可得235a b +>+=，故是必要条件.故选B ．3．设函数1(),1x f x x x ≥=-<⎪⎩，则((1))f f -= A ．−1 B ．0C ．1D ．33．【答案】B【解析】因为()()111f -=--=，所以()()()110f f f -===，故选B ．4．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为A ．4B ．C ．D ．4．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为24a =.故选A.5．若函数π()sin()6f x xω=+（0>ω）的最小正周期为5π，则ω=A．5 B．10 C．15 D．205．【答案】B【解析】根据周期公式2π||Tω=以及0>ω得2π10π5ω==，故选B．6．设120202019a=，2019log2020b=，20201log2019c=，则A．c b a>>B．b c a>>C．a b c>>D．a c b>>6．【答案】C【解析】120200201901912a>==Q，20192019log2020log201910b<<==，202020201log log102019c=<=，∴a b c>>，故选C．7．满足|1||1|1x y-+-≤的图形面积为A．1B．2C．2D．47．【答案】C【解析】由题意，可得3,1,11,1,11111,1,11,1,1x y x yx y x yx yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥<⎪-+-≤⇒⎨+≥<<⎪⎪-≥-<≥⎩，画出对应的平面区域，如图所示，其中四边形ABCD为正方形，因为2AB=222ABCDS=四边形，即111x y-+-≤所表示的图形的面积为2.故选C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．7π6B ．4π3C ．2πD ．13π68．【答案】A【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，右侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥，所以该几何体的体积为22111π7ππ12π11π22366V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选A ． 9．已知1{}1n a +是等差数列，且114a =，41a =，则11a = A ．−12 B ．−11C ．−6D ．−59．【答案】C【解析】因为数列1{}1n a +是等差数列，所以公差4111111412541310a a d -===---++，所以111114111010()115105d a a =+=+⨯-=-++，解得116a =-，故选C ． 10．若向量(1,1,2)=-a ，(2,1,3)=-b ，则||+=a bA 7B ．2C ．3D 1010．【答案】D【解析】由题得()3,0,1+=-a b ，则22230(1)+=++-a b 10D ．11．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a b ∥，则下列结论不可能成立的是A ．b β⊄，且b α∥B ．b α⊄，且b β∥C ．b α∥，且b β∥D ．b 与α、β都相交11．【答案】D【解析】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，令平面ABCD 为平面α，平面11D DCC 为平面β，则CD 为直线a ，a b Q ∥，∴不妨设11A B 为直线b ，11,A B AB AB ⊂Q ∥平面11,ABCD A B ⊄平面ABCD ，11A B ∴∥平面ABCD ，b β∴⊄且b α∥，即A项成立；同理满足b α⊄，且b β∥，即B 项成立；111111,A B C D C D ⊂Q ∥平面11CDD C ，11A B ⊄平面11CDD C ，11A B ∴∥平面11CDD C ，即b β∥，b α∴∥，且b β∥成立，即C 选项成立.故排除A ，B ，C ．对于D ，若a b ∥，且a αβ=I ，则b α∥或b α⊂， 所以b 不可能与α相交，同理，b 不可能与β相交，故D 不可能成立. 故选D ．12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆C 被直线y x =截得的弦长为27C 的方程为A ．22(2)9x y ++=B ．22(2)9x y -+=C ．22(1)6x y ++=D ．22(1)6x y -+=12．【答案】B【解析】由题意，设圆心坐标为(,0)C a （0a >），因为5)M 在圆C 上，所以圆的半径为25r a +，又圆心(,0)C a 到直线y x =的距离为0222a d a -==，且圆C 被直线y x =截得的弦长为7222221175522r d a a a =-=+-=+，解得2a =，所以253r a =+=，因此，所求圆的方程为22(2)9x y -+=.故选B ．13．若两个非零向量a 、b ，满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量+a b 与a 的夹角为A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π 13．【答案】C【解析】由||||2||+=-=a b a b a 得：|0|||+=-⇒⋅=a b a b a b ，又||2||+=a b a ，所以向量+a b与a 的夹角θ满足2222()+||1cos ==||||2||2||2θ+⋅⋅==+⋅a b a a a b a a b a a a ，解得π3θ=，故选C ．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c b -=，sin cos 3sin cos A C C A =，则b 的值为 A ．2 B ．3C ．4D ．514．【答案】C【解析】由sin cos 3sin cos A C C A =，及正弦定理得cos 3cos a C c A =，由余弦定理得，222222322a b cb c a a c ab bc+-+-⋅=⋅，即2222223()a b c b c a +-=+-， 又222a c b -=，所以2223(2)b b b b +=-，即24b b =，又0b >，所以4b =.故选C ．15．已知函数()254f x x x kx =-+-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅=A ．4B ．6C ．8D ．1215．【答案】C【解析】画出254y x x =-+与y kx =的图象如下图所示：()()[]22254,,14,5454,1,4x x x y x x x x x ⎧-+∈-∞+∞⎪=-+=⎨-+-∈⎪⎩U ， 由()254f x x x kx =-+-有三个零点，得当[]1,4x ∈时方程2540x x kx -+--=在区间[]1,4内有两个相等的实根，所以()25160k ∆=--=，得9k =或1k =， 若9k =，2x =-，舍去；若1k =，2x =满足条件，所以22x =；当()(),14,x ∈-∞+∞U 时，2540x x kx -+-=的两根之积为4，所以134x x =， 所以1238x x x =，故选C ．16．设二次函数2()f x x ax b =++，若对任意的实数a ，都存在实数2[]1,2x ∈使得不等式|()|f x x ≥成立，则实数b 的取值范围是A ．1(,][2,)3-∞-+∞U B ．11(,][,)34-∞-+∞U C ．11(,][,)49-∞+∞U D ．19(,][,)34-∞-+∞U16．【答案】D【解析】问题条件的反面为“若存在实数a ，对任意实数2[]1,2x ∈使得不等式()f x x <成立”，即1[,2],1 1.2bx x a x∀∈-<++<只要()=b g x x x +在2[]1,2x ∈上的最大值与最小值之差小于2即可. 当4b ≥时，1()(2)2,2g g -<得b ∈∅；当144b <<时,g(2)21()22g ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩，得1944b <<；当1111(2)()2,4234b g g b ≤-<-<≤时，得.所以1934b -<<. 综上可得，所求实数b 的取值范围是19(,][,)34-∞-+∞U ，故选D ．17．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、在抛物线C 上，且满足4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，||||FA FB -=u u u r u u u r ，则FA FB ⋅u u u r u u u r 为A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-17．【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ==， 由4OA OB ⋅=-u u u r u u u r 得22121212124,4,44y y x x y y y y +=-⋅+=-221212128,444y y y y x x ∴=-=⋅=，因为FA FB -=u u u r u u u r=结合2114y x =，2224y x =，得1212(1)(1)x x x x +-+=-=因此2212121212()()4481664,8x x x x x x x x +=-+=+=∴+=，从而1122121212(1,)(1,)()1488111FA FB x y x y x x y y x x =-⋅-=+-++=-⋅-+=-u u u r u u u r，故选A ．18．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD △绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有A ．EFK α∠≤B ．EFK α∠≥C ．EDK α∠≤D ．EDK α∠≥18．【答案】B【解析】如图，DEF △绕BD 旋转形成以圆O 为底面的两个圆锥(O 为圆心，OE 为半径，O 为DF 的中点)，πE FK EFE ∠=-∠''，πE OE α=-∠'，当180α≠o 且0α≠o 时，OEE '△与等腰FEE '△中，EE '为公共边，且FE FE OE OE =>=''，EFE EOE ∴∠<∠''，E FK α∴∠'>.当180α=o 时，E FK α∠'=， 当0α=o 时，E FK α∠'>， 综上，E FK α∠'≥，即EFK α∠≥.C 、D 选项比较EDK ∠与α的大小关系，由图可知即比较E DK '∠与α的大小关系，根据特殊值验证：当0α=o 时，E DK α∠'>，当180α=o 时，E DK α∠'<，∴C 、D 都不正确. 故选B ．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知π(0,)6a ∈，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______. 19．【答案】12;45【解析】22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2a a a a a a a +==+⇒=⇒=， 22tan 14sin 211tan 514a a a ===++，所以1tan 2a =，4sin 25a =.20．已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则k =______. 20．【答案】1或−3【解析】因为l 1⊥l 2，所以k ·（k ﹣1）+（1﹣k ）·（2k +3）＝0，解得 k ＝1或k ＝﹣3，故答案为1或﹣3.21．已知向量(,1)m =a ，(4,2)n =-b ，0m >，0n >，若∥a b ，则18m n+的最小值为______. 21．【答案】92【解析】∵∥a b ，∴420n m --=，即24n m +=， ∵0m >，0n >，∴18118(2)4n m m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭116104n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭19(1042≥+=，当且仅当843n m ==时取等号， ∴18m n +的最小值是92．故答案为92． 22．已知数列{}n a 满足113a =，1340n n a a ++-=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则满足不等式1|9|1000n S n -->的n 的最大值为______. 22．【答案】8【解析】对1340n n a a ++-=变形得：13(1)(1)n n a a +-=--，即11113n n a a +-=--，故可以分析得到数列{1}n a -是首项为12，公比为13-的等比数列.所以11112()3n n a --=⨯-，1112()13n n a -=⨯-+，所以112[1()]1399()131()3n n n S n n --=+=-⨯-+--，故119|9()|31000nn S n --=-⨯->，解得最大正整数8n =. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥. 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为5sin 7sin c B a C =，所以5757cb ac b a =⇒=， 又2b c a +=，所以73,255b ac a b a ==-=.（3分） 所以22222237()()155cos 32225a a a a cb B a aca +-+-===-⋅⋅.（5分）（Ⅱ）因为0πB <<，1cos 2B =-，所以2π3B =.（6分） 所以1()sin()22π3f x x =+≥23ππ5π2π2π,66k x k k ⇒+≤+≤+∈Z ，（8分） 解得x ∈ππ[2π,2π]26k k -+，k ∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，点P （2，3）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P引圆222(3)(03)x y r r +-=<<的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距为4，所以c ＝2，则左焦点为F 1（﹣2，0），右焦点为F 2（2，0）， 所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，所以2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝5+3＝8，即4a =，（2分） 所以b 2=a 2−c 2=12，故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（4分）（Ⅱ）设PA ：1(2)3y k x =-+，则r =，所以2221(4)0r k r -+=；设PB ：2(2)3y k x =-+，则r =2222(4)0r k r -+=，所以1k ，2k 为方程222(4)0r k r -+=的两根，即120k k +=．（6分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立122(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有()()2222111113416241648120k x k k x k k +--+--=，2111211624234k k x k -+=+，221111122111624824623434k k k k x k k ---=-=++．同理联立222(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：211221824634k k x k +-=+，（8分） 则()121121211121212124434148234ABk k x k y k k x x x y k k x x -++-+====--+．故直线AB 的斜率是定值，且定值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知函数21()log ()()f x a a x=+∈R .（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域；（Ⅱ）若对任意[2,4]t ∈，12,[1,1]x x t t ∈-+，均有12|()()|2f x f x -≤，求a 的取值范围. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）当1a =时，()21log (1)f x x=+， 因为[1,)x ∈+∞，所以(]111,2x +∈，则()(]21log (1)0,1f x x=+∈， 所以()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域为(]0,1.（3分） （Ⅱ）依题意对任意[]2,4t ∈，[]1,1x t t ∈-+，10a x+>恒成立， 所以101a t +>+在[]2,4t ∈时恒成立，则15a >-.（5分） 对任意[]2,4t ∈，函数()f x 在区间[]1,1t t -+上单调递减， 由已知[]12,1,1x x t t ∈-+，均有()()122f x f x -≤， 所以2211log ()log ()211a a t t +-+≤-+在[]2,4t ∈时恒成立，即214533111t a t t t -≥-=-+-在[]2,4t ∈时恒成立.（7分） ①当0a ≥，[]2,4t ∈时，25301t t -<-，则0a ≥符合题意.（8分） ②当105a -<<时，25331t a t -≥-在[]2,4t ∈时恒成立，则215(1)03t t a a+-+≤在[]2,4t ∈时恒成立， 令()215(1)3g t t t a a =+-+，所以()()1230,374150,310,5g ag a a ⎧=+≤⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩则109a -≤<.（10分） 由①、②可得a 的取值范围为19a ≥-.（11分）。
浙江省2020年高中数学1月学业水平考试模拟试题A选择题部分一、选择题（本大题共18小题,每小题3分,共54分,每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{|13}M x x =≤<,{1,2}N =,则M N =A ．{1}B ．{1,2}C ．0D ．[1,2]1．【答案】B【解析】由交集定义可得：{}1,2MN =,故选B ．2．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|12}x x -<< C ．1{|2x x >-或1}x ≤- D ．}{|21x x x ><-或2．【答案】A【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知,不等式(1)(2)0x x +-≤的解是12x ≤≤－,故选A ． 3．若1sin 3α=,则cos2α= A ．89 B ．79C ．79-D ．89-3．【答案】B【解析】227cos 212sin 199αα=-=-=,故选B ． 4．圆224210x y x y +--+=的圆心在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．【答案】A【解析】化简224210x y x y +--+=得到22(2)(1)4x y -+-=,圆心为(2,1),在第一象限,故选A ． 5．双曲线方程为x 2−2y 2=1,则它的左焦点的坐标为A ．(,0)B ．(,0)C ．(D ．(,0)5．【答案】C【解析】由2222211121x y x y ⇒－＝－＝,可得21a =,212b =,由22213+1=22c a b =+=，得c =,所以左焦点坐标为(故选C ．6．已知向量,a b 满足||1=a ,||2=b,||+=a b 则⋅=a bA ．12B ．1CD ．26．【答案】A【解析】由||+=a b 2()6+=a b ,即2226+⋅+=a a b b ,又||1=a ,||2=b ,则12⋅=a b .所以本题答案为A ．7．若变量x ,y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………,则z =2x ＋y 的最大值是A ．2B ．3C ．4D ．57．【答案】B【解析】如图,先根据约束条件画出可行域,当直线z =2x +y 过点A （2,﹣1）时,z 最大,最大值是3,故选B ． 8．若平面α和直线a ,b 满足a A α=,b α⊂,则a 与b 的位置关系一定是A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面8．【答案】D【解析】当A b ∈时,a 与b 相交；当A b ∉时,a 与b 异面.故答案为D. 9．过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为 A ．20x y +-= B ．20x y --= C ．20x y ++= D ．20x y -+=9．【答案】A【解析】由0x y -=可得直线斜率11k =,根据两直线垂直的关系得121k k ⋅=-,求得21k =-,再利用点斜式,可求得直线方程为1(0)2y x =--+,化简得20x y +-=,故选A.10．函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．【答案】B【解析】由函数32()log (||1)f x x =-,可知函数()f x 是偶函数,排除C,D ；定义域满足：10x ->,可得1x <-或1x >．当1x >时,32()log (||1)f x x =-是递增函数,排除A.故选B ．11．设a b ，都是不等于1的正数,则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．【答案】B【解析】若333a b >>,则1a b >>,从而有log 3log 3a b <,故为充分条件.若log 3log 3a b <不一定有1a b >>,比如133a b ==，,从而333a b >>不成立.故选B ． 12．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．12πB ．64π3C ．32π3D ．16π12．【答案】C【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体, 故22141148π32ππ()4π()48π2223233V =⋅⨯+⨯⋅⨯=+=,故选C ． 13．等差数列{}n a 中,已知611||||a a =,且公差0d >,则其前n 项和取最小值时的n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．913．【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中,611||||a a =,所以6116111150,0,,2a a a a a d <>=-=-,有2[(8)64]2n dS n =--,所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C ． 14．将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位,得到函数()y g x =的图象,那么下列说法正确的是 A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 是奇函数 C ．函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 14．【答案】B【解析】将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位,得到函数()y g x = 2ππcos(2)sin 236x x =+-=-的图象,故()g x 为奇函数,且最小正周期为2ππ2=,故A 错误,B 正确； 令2πx k =,k ∈Z ,得π2k x =,k ∈Z ,则函数()g x 的图象关于点π(,0)2k ,k ∈Z 对称,故C 错误； 令π2π2x k =+,k ∈Z ,得ππ24k x =+,k ∈Z ,则函数()g x 的图象关于直线ππ24k x =+,k ∈Z 对称,故D 错误. 故选B ．15．在三棱锥P ABC -中,,3,2PB BC PA AC PC ====,若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分,则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A ．13B C ．23D 15．【答案】D【解析】如图所示,取PC 中点为D ,连接,AD BD ,因为过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分,所以α即为平面ABD .又因为PA AC =,所以PC AD ⊥,又PB BC =,所以PC BD ⊥,且AD BD D =,所以PC ⊥平面ABD ,所以PA 与平面α所成角即为PAD ∠,因为2PC =,所以1PD =,所以1sin 3PD PAD PA ∠==,所以cos PAD ∠==,故选D ． 16．已知直线10x +=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点,且线段AB 的中点为M ,若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒,则椭圆C 的离心率为 A ．13B ．23CD16．【答案】D【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ,∵点,A B 在椭圆22221x y a b +=上,∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+=,两式相减整理得2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=-+-,∴20122012y y y b x x x a -⋅=--,即22OM AB b k k a⋅=-,∴221tan1503b a ==-=-,∴2213b a =,∴椭圆C的离心率为e ===．故选D ． 17．已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,若167a =,则2020a =A ．17B ．37C ．57D ．6717．【答案】D【解析】数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,167a =,21324653362121,21,2,77777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=3n n a a +∴=,202067331167a a a ⨯+∴===．故选D ． 18．如图,在Rt ABC △中,6AB BC ==,动点D ,E ,F 分别在边BC ,AC ,AB 上,四边形BDEF 为矩形,剪去矩形BDEF 后,将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周,得到一个几何体,则当该几何体的表面积最大时,BD =A ．2B ．3C ．4D．18．【答案】B【解析】设BD x =,BF y =,其中,(0,6)x y ∈,由题易得666x y -=, 所以6x y +=,则所求几何体的表面积为：212π6π62π2S xy =⨯⨯⨯⨯+236π2π36π2π()54π2x y xy +=++≤++⨯=+,当且仅当3x y ==,即3BD =时等号成立.故选B.非选择题部分二、填空题（本大题共4小题,每空3分,共15分）19．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行,则a =________,1l 与2l 之间的距离为________. 19．【答案】−1【解析】由两直线平行,得1a =－,在直线1:10l x y -+=上任取一点（0,1）,到直线2:30l x y -+=的距离为.故答案为−1.20．函数0()(2)f x x =+-的定义域为________.20．【答案】[)()0,22,+∞【解析】因为21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩,所以02x x ≥⎧⎨≠⎩,则定义域为[)()0,22,+∞,故答案为[)()0,22,+∞.21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,…,欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里,求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里． 21．【答案】84【解析】由题意画出图象：且AB =13里,BC =14里,AC =15里,在△ABC 中,由余弦定理得,cos B =2222AB BC AC AB BC +-⋅=22213141521314+-⨯⨯=513,所以sin B=1213, 则该沙田的面积即△ABC 的面积S =12AB •BC •sin B =1121314213⨯⨯⨯=84．故答案为84． 22．已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-．若对任意1[03]x ∈，,总存在2[23]x ∈，,使得12|()|()f x g x ≤成立,则实数a 的值为________. 22．【答案】13-【解析】不等式12|()|()f x g x ≤可化为：()()()212g x f x g x -≤≤,若对任意1[03]x ∈，,总存在2[23]x ∈，,使得12|()|()f x g x ≤成立,则min minmax max [()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩,当[]23x ∈，时,()21g x x =-的最大值为()22221g ==-； 当[]03x ∈，时,()223f x x x a =-+的最大值为()23323333f a a =-⨯+=+,最小值为()21121313f a a =-⨯+=-+,所以min min max max[()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩可化为231332a a -≤-⎧⎨+≤⎩,解得1133a -≤≤-.故13a =-.三、解答题（本大题共3小题,共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若π3B =,且3(7())a b c a b c bc -++-=, （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）若5a =,求b . 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由3(7( ))a b c a b c bc -++-=,可得22222()327a b c a b c bc bc ----+=＝,即222117a b c bc =+-,即222117b c a bc +-=,（3分） 由余弦定理可得22211cos 214b c a A bc +-==.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数的基本关系式,可得sin A ==（7分） 在ABC △中,由正弦定理可得sin sin b a B A =,所以sin 7sin a B b A ===.（10分） 24．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>,过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点,满足124y y =-.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点C 的坐标为(2,0)-,记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ,2k ,求221211k k +的最小值. 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为直线AB 过焦点(,0)2p F ,设直线AB 的方程为2p x my =+, 将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩,消去x 得2220y mpy p --=,所以有2124y y p =-=-,0p >,2p ∴=,因此,抛物线E 的方程为24y x =.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ,则直线AB 的方程为1x my =+, 联立抛物线的方程得2440y my --=,所以124y y m +=,124y y =-,则有1113m k y =+,2213m k y =+,（6分） 因此22222221212121211331111()()=26()9()m m m m k k y y y y y y +=+++++++ ()212122122212122269y y y y y y m m y y y y +-+=+⋅+⋅ ()222484926954162m mm m m +=+⋅+⋅=+-.（9分） 因此,当且仅当0m =时,221211k k +有最小值92.（10分） 25．（本小题满分11分）已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1,设()()g x f x x=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立,求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x x x f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点,求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）． 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）因为()()21g x x m =-+在[1,2]上是增函数, 所以()()()2max 2211g x g m ==-+=,解得0m =．（2分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()12f x x x=+-, 所以不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[3,9]x ∈上恒成立等价于()2331221log log k xx ≤-+在[3,9]x ∈上恒成立.（3分） 令31log t x =,因为[]3,9x ∈,所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则有2221k t t ≤-+在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.（4分）令()221s t t t =-+,1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()min 10s t s ==, 所以20k ≤,即0k ≤,所以实数k 的取值范围为(],0-∞．（6分） （Ⅲ）因为()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=,令e 1xq =-,由题意可知[0,)q ∈+∞,令()()23221H q q k q k =-+++,[0,)q ∈+∞,（7分）则函数()()2e 1e 13221xx h x k k -+-+-⋅+=有三个不同的零点等价于()()23221H q q k q k =-+++在[0,)q ∈+∞上有两个不同的零点,（8分）当0q =时12k =-,此时方程()100,2H q q q =⇒==,此时关于x 的方程有三个零点,符合题意； 当0q ≠时,记方程()0H q =的两根为1q ,2q ,且12q q <,101q <<,21q ≥,所以()()00100H H >⎧⎪≤⎨⎪∆>⎩,解得0k >.综上,实数k 的取值范围是(0,)+∞1{}2-．（11分）。
浙江省2020年高中数学1月学业水平考试模拟试题C选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,4,6}A =，{4,5}B =，则()U A B ð=A ．{4}B ．{5}C ．{3,5}D ．{3,4,5}1．【答案】D【解析】由已知得={35}U A ，ð，所以()={345}U A B ，，ð，故选D ．2．函数ln(1)()x f x x+=的定义域为 A ．（–1，+∞） B ．（–1，0） C ．（0，+∞）D ．（–1，0）∪（0，+∞）2．【答案】D【解析】由题可知100x x +>⎧⎨≠⎩，1x x >-⎧∴⎨≠⎩，()()1,00,x ∴∈-+∞，故选D.3．已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，若λ=a b （λ∈R ），则m = A ．−2 B ．12-C ．12D ．23．【答案】C【解析】∵向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，λ=a b （λ∈R ），∴()12-，＝λ()1m -，，∴12m λλ-=⎧⎨=-⎩，∴m ＝12，故选C ．4．在等比数列{}n a 中，1352,12a a a =+＝，则7a = A ．8 B ．10 C ．14 D ．164．【答案】D【解析】设等比数列的公比为q ，由3512a a +=，可得241112a q a q +=，又12a =，所以4260q q +-=，化简得22(3)(2)0q q +-=，所以22q =，所以671a a q =32216=⨯=.故选D.5．函数22()1xf x x=-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．5．【答案】A【解析】∵函数f （x ）221xx=-，∴当x (01)∈，时，f （x ）>0，故D 错误； x >1时，f （x ）<0恒成立，故B 和C 错误．由排除法得正确选项是A ．6．已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为 A ．1- B ．4C ．4或16-D ．16-6．【答案】C【解析】两条平行线之间的距离为625a d --===，故4a =或16a =-，故选C ．7．若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．0B ．2C ．4D ．67．【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩………表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ．8．若7sin cos 5θθ+=，则sin cos θθ= A ．2425 B ．1225C ．2425±D ．2425-8．【答案】B【解析】由7sin cos 5θθ+=两边平方得2249sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，即4912sin cos 25θθ+=，解得12sin cos 25θθ=.故选B ． 9．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>分别过点(2,0)A 和(0,1)B -，则该椭圆的焦距为A B ．C D ．9．【答案】B【解析】由题意可得2a =，1b =，所以a 2＝4，b 2＝1，所以c ==2c =故选B.10．已知两条不同的直线a ，b 和一个平面α，则使得“a b ∥”成立的一个必要条件是A ．a α∥且b α∥B ．a α∥且b α⊂C ．a α⊥且b α⊥D ．a ，b 与α所成角相同10．【答案】D【解析】若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故A 错误； 若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故B 错误； 若a b ∥，a α⊥且b α⊥不一定成立，故C 错误； 若a b ∥，则a ，b 与α所成角相同，故D 正确. 故选D ．11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若π4A =，a =b =ABC △的面积等于A ．12或32B ．12C ．2D ．3211．【答案】D【解析】利用余弦定理得到：22222cos ,522,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=或1c =-（舍去），∴13sin 22ABC S bc A ==△.故选D.12．在正三棱锥P ABC -中，4,PA AB ==PA 与底面ABC 所成角的正弦值为A ．14BC ．18D12．【答案】B【解析】连接P 与底面正△ABC 的中心O ，因为P ABC -是正三棱锥，所以PO ⊥平面ABC ，所以PAO ∠为侧棱PA 与底面ABC 所成角，因为4,PA AB ==2132cos 44AO PAO PA ⨯∠===，所以sin 4PAO ∠=，故选B ． 13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30︒的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为(0,)b ，则该双曲线的离心率为 ABCD13．【答案】A【解析】由题意设直线l的方程为()3y x c =+，令0x =，得3y c =，所以3b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，所以e ==.故选A. 14．设函数21()lg ||1f x x x=-+，则使得5(log )0f m ≥成立的m 的取值范围是 A ．1[,5]5B ．1(0,][5,)5+∞ C ．1(,][5,)5-∞+∞ D ．1(,0][,5)5-∞14．【答案】B【解析】由函数()f x 的解析式可得：函数()f x 的定义域为{|0},x x ≠又()()f x f x =-，则函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()lg 1f x x x=-+，易得函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又(1)0f =，所以5(log )0f m ≥等价于5(|log |)(1)f m f ≥，即5log 1m ≥，即1(0,][5,)5m ∈+∞，故选B ．15．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是A ．2π(3)4a - B ．2π(6)2a -C ．2π(6)4a -D ．23π(6)4a -15．【答案】C【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为22222π1π334π(6)4()84a S a a a a =+-+⨯=-.故选C.16．等差数列{}n a 中，公差0d ≠，当1()n n *>∈N 时，下列关系式正确的是A ．112n n a a a a +>B ．112n n a a a a +<C ．112n n a a a a +=D ．112n n a a a a +≥16．【答案】B【解析】设()11n a a n d +-=，因为()2111111n a a a a nd a na d +=+=+，()()()()222111111n a a a d a n d a na d n d =++-=++-，所以()21121n n a a a a n d +-=--，又因为1,0n d >≠，所以1120n n a a a a +-<，所以112n n a a a a +<.故选B ． 17．若函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，则实数a 的取值范围是A ．332a -≤< B ．31a -≤< C ．332a a ≥<-或 D ．13a a ≥<-或 17．【答案】A【解析】因为函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，所以方程|2||21|x x ax -+-=无实根，即函数()|2 |21g x x x =-+-与()h x ax =的图象无交点，如图所示，则()h x 的斜率a 应满足332a -≤<，故选A.18．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，四面体11M B C N -的体积为V ，则A ．36V =B ．36V a > C ．312V a =D ．312V a <18．【答案】C【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，如图所示：点1B 到平面1MNC 的距离1112d B D =＝2a ，且MN a =，所以1211122MNC S MN CC a =⋅=△，所以三棱锥11B C MN -的体积11B C NM V -＝123111332MNC S d a ⨯⨯=⨯=△，利用等体积法得11113M B C N B C NM V V --==.故选C ． 非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知||2=a ，||4=b ，a 与b 的夹角为120︒，则⋅=a b _________，||+=a b ________.19．【答案】4-；【解析】由题得24cos1204⋅=⨯⨯=-a b ；+===a b故答案为4-；20．若22log log 1m n +=，那么m n +的最小值是________.20．【答案】【解析】22log log 1m n +=，即2log 1mn =，2mn ∴=，由基本不等式可得m n +≥=m n ==时，等号成立，故m n +的最小值是. 21．已知0a >且1a ≠，设函数2,3()2log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是________.21．【答案】1[,1)3【解析】由题意知，函数()y f x =在(],3-∞上单调递增，且()31f =， 由于函数()2,32log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则函数()2log a f x x =+在()3,+∞上单调递减且2log 31a +≤， 则有012log 31a a <<⎧⎨+≤⎩，即01log 31a a <<⎧⎨≤-⎩，解得113a ≤<，因此，实数a 的取值范围是1[,1)3，故答案为1[,1)3.22．在数列{}n a 中，已知11a =，2211n n n n n a S n a S ---=-*(2,)n n ≥∈N ，记2nn a b n =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2021T =________.22．【答案】20211011【解析】由22*11(2,)n n n n n a S n a S n n ---=-≥∈N 得()2211n n n n n a S S n a ----=，∴()2211n n n a n a --=，∴111n n a a n n n n -=⨯-+， 令n n a c n =，则11n n n c c n -=⨯+，∴11n n c n c n -=+，由累乘法得121n c c n =+， ∴21n c n =+，∴21n a n n =+，∴21n n a n =+，∴22112(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++⎝⎭，∴202111111120212(1)2(1)2232021202220221011T =-+-++-=-=. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数2()22cos 1f x x x =+-．（Ⅰ）求5π()12f 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调增区间． 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =+-，所以25π5π5π())2cos ()1121212f =⨯+- 5π5π)cos(2)1212=⨯+⨯（3分） 5π5πcos 66=+0=.（5分）（Ⅱ）2()22cos 12cos π2sin 62(2)f x x x x x x =+++=-=，（7分） 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（8分） 令πππ2π22π+()262k x k k -≤+≤∈Z ，解得ππππ+()36k x k k -≤≤∈Z ， 所以()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k -∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ，求sin QMN ∠的最小值.24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意得抛物线的准线方程为2py =-， 点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3，232p∴+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（3分）（Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x ky --=，（5分） 所以124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()22,21k k +，（7分） 因为21244AB y y p k =++=+， 所以圆Q 的半径为222r k =+.（8分）在等腰QMN △中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号. 所以sin QMN ∠的最小值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知关于x 的函数2()2f x x kx =--，x ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数k 的值；（Ⅱ）若函数()(21)xg x f =-，当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数2()()|1|2h x f x x =+-+，且函数()h x 在(0,2)上有两个不同的零点1x ，2x ，求证：12114x x +<. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，即2222x kx x kx +-=--对x ∈R 都成立，0k ∴=.（2分）（Ⅱ）当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立. 令21x u =-，则(]0,3u ∈，()()2212120x x k ∴----≤在2(]0,x ∈时恒成立等价于2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成立，（4分） 又227333u u -≤-=，73k ∴≥， k ∴的取值范围是7[,)3+∞.（6分）（Ⅲ）不妨设1202x x <<<， 因为()21,01,21,12,kx x h x x kx x -+<<⎧=⎨--≤<⎩所以()f x 在()0,1上至多有一个零点， 若1212x x ≤<<，则120x x ⋅>，而12102x x ⋅=-<，矛盾. 因此12012x x <<≤<；（8分）由()10h x =，得11k x =，由()20h x =，得222210x kx --=， 22211210x x x ∴-⋅-=，即212122x x x x +=⋅， 2121124x x x ∴+=<.（11分）。
